专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 基底的概念及辨析】..................................................................................................................................3
【题型2 用基底表示向量】......................................................................................................................................4
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】..............................................................................................................4
【题型4 平面向量的坐标运算】..............................................................................................................................5
【题型5 向量共线的坐标表示】..............................................................................................................................6
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】.............................................................................6
1、平面向量基本定理及坐标表示
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解平面向量基本定理及
其意义
(2)掌握平面向量的正交分解
及其坐标表示
(3)会用坐标表示平面向量的
加法、减法与数乘运算
(4)理解用坐标表示的平面向
量共线的条件
2023 年天津卷：第14 题，5
分
2024 年新课标I 卷：第3
题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第9 题，5 分
2024 年上海卷：第5 题，4 分
2025 年全国二卷：第12 题，
5 分
平面向量是高考的重点、热点内
容，属于高考的必考内容.从近几年的
高考情况来看，平面向量基本定理、平
面向量的坐标运算是高考的热点内容，
主要以选择题、填空题的形式考查，难
度较易；有时也会与三角函数、解析几
何结合出现在综合性大题中，难度中
等.学生在高考复习中应注意加强对向
量的线性运算法则、向量共线与垂直的
条件的理解，熟记平面向量的相关公
式，灵活进行求解.
知识点
1
平面向量基本定理的探究
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量⃗a，有且只有一对实数
，使
.若
不共线，我们把{
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量⃗a在给出基底{
}的条件下进行分解
平面内的任一向量都
——
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一
般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都
是唯一的.
知识点
2
平面向量坐标运算及其解题策略
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正
交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为⃗i，⃗j，取{⃗i，⃗j}作为基底.对
于平面内的任意一个向量⃗a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得⃗a=x⃗i+y⃗j.这样，平
面内的任一向量⃗a都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量⃗a的坐标，记作⃗a=(x,y)①.其中x 叫
做⃗a在x 轴上的坐标，y 叫做⃗a在y 轴上的坐标，①叫做向量⃗a的坐标表示.
显然，⃗i=(1,0)，⃗j=(0,1)，⃗0=(0,0).
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
区
别
表示形
式不同
向量⃗a=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号.
意义
不同
点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A 在平面直角坐标系中的位
置，⃗a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量
的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙
述时应指明点(x,y)或向量(x,y).
联系
向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起
点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
，即
.同理可得
.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得
，则
，即
.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．共线的坐标表示
(1)两向量共线的坐标表示
设
，
，其中⃗b≠0.我们知道，⃗a，⃗b共线的充要条件是存在实数λ，使⃗a=λ⃗b.如果用坐标
表示，可写为(
)=λ(
)，即
，消去λ，得
.这就是说，向量⃗
a
，⃗
b
(⃗
b
≠0)共线
的充要条件是
.
(2)三点共线的坐标表示
若A(
)，B(
)，C(
)三点共线，则有
，从而
，
即
，
或由
得到
，
或由
得到
.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C 三点共线.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若⃗a与⃗b不共线，且
，则
.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(
)，B(
)，则P 点坐标为
.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(
)，B(
)，C(
)，则G
.
【题型1 基底的概念及辨析】
【例1】（2025·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量⃗e1、⃗e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的
基底的是（ ）
A．2⃗e1+⃗e2和⃗e1−⃗e2
B． ⃗e1+3⃗e2和⃗e2+3⃗e1
C． 3⃗e1−⃗e2和2⃗e2−6⃗e1
D． ⃗e1和⃗e1+⃗e2
【变式1-1】（24-25 高一下·湖北黄冈·期中）若⃗e1，⃗e2是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，
不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．⃗e1与⃗e1−⃗e2
B．⃗e1+2⃗e2与2⃗e1+⃗e2
C．⃗e1−2⃗e2与⃗e1+2⃗e2
D．6⃗e1−3⃗e2与⃗e2−2⃗e1
【变式1-2】（24-25 高一下·江西景德镇·期中）若{⃗e1,⃗e2)是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作
平面向量的基底的是（ ）
A．{⃗e1−⃗e2,⃗e2−2⃗e1)
B．{⃗e1−⃗e2,⃗e1−1
2⃗e2)
C．{2⃗e2−3⃗e1,6⃗e1−4⃗e2)
D．{⃗e1+⃗e2,⃗e1+3⃗e2)
【变式1-3】（24-25 高一下·河南·期中）若⃗a,⃗b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组
基底向量的为（ ）
①⃗a−⃗b和2025⃗b−2025⃗a ②⃗a+⃗b和⃗a−⃗b
③3⃗a−2⃗b和2⃗a−3⃗b ④⃗a−3⃗b和6⃗b−2⃗a
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【题型2 用基底表示向量】
【例2】（2025·海南三亚·一模）已知ABCD为平行四边形，E为CD的中点，记⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗BE =
（ ）
A．⃗a+ 1
2⃗b
B．⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a+⃗b
D．−1
2⃗a−⃗b
【变式2-1】（2024·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD = 2
3⃗BC，则⃗DE =（ ）
A．−1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
3⃗AC
C．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
D．1
6⃗AB−2
3⃗AC
【变式2-2】（2025·甘肃庆阳·一模）在平行四边形ABCD 中，⃗AB =2⃗AE，⃗BF =2⃗BC，则⃗EF =（ ）
A．2⃗AB+ 1
2⃗AD
B．1
2⃗AB+ 1
2⃗AD
C．1
2⃗AB+2⃗AD
D．2⃗AB+2⃗AD
【变式2-3】（2024·福建福州·模拟预测）如图，梯形ABCD的腰CD的中点为E，且BC =3 AD，记⃗
AB =⃗m,⃗AD =⃗n，则⃗BE =（ ）
A．−1
2⃗m+2⃗n
B．1
2⃗m+2⃗n
C．−2⃗m+ 1
2⃗n
D．−1
2⃗m+ 3
2⃗n
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
【例3】（2025·湖南·三模）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若⃗BD = λ⃗BC，⃗AD = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC，
则实数λ=（ ）
A．1
4
B．1
3
C．2
3
D．3
4
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设⃗
AD = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
【变式3-2】（2025·陕西铜川·模拟预测）在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足⃗CE =2⃗EA，若⃗
AB = λ⃗AD + μ⃗BE，则λ+ μ的值为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．−1
2
D．−1
4
【变式3-3】（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，AB⊥AD , AD =2, AB = ❑√2，点E 为线段AD的
中点，BE与AC交于点F．设⃗AF =k1⃗e1+ k2⃗e2(k1,k2∈R)，其中⃗e1,⃗e2
分别是与⃗AB ,⃗AD方向相同的单位
向量，则（ ）
A．k1= 2
3 ,k2=
❑√2
3
B．k1=
❑√2
3 ,k2= 2
3
C．k1= 1
3 ,k2=
❑√2
3
D．k1= 1
3 ,k2= 2
3
【题型4 平面向量的坐标运算】
【例4】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，则⃗a+2⃗b
的坐标为（ ）
A．(−1,2)
B．(−1,1)
C．(0,1)
D．(1,2)
【变式4-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A (−2,1),B (−1,3),C (3,4)，若点D 满足⃗AB =⃗DC，则点D的
坐标为（ ）
A．(2,2)
B．(3,1)
C．(1,3)
D．(5.5)
【变式4-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量⃗w，⃗v，⃗u在正方形网格中的位置如图所示，将⃗w绕着起
点顺时针方向旋转90
∘后得到向量⃗a，若⃗u=m⃗a−n⃗v，则m+n=（ ）
A．−7
2
B．−1
2
C．3
2
D．5
2
【变式4-3】（2024·河南郑州·模拟预测）已知点A，B，C，D 为平面内不同的四点，若⃗
BD =2⃗DA −3⃗DC，且⃗AC =(−2,1)，则⃗AB =（ ）
A．(4 ,−2)
B．(−4,2)
C．(6,−3)
D．(−6,3)
【题型5 向量共线的坐标表示】
【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(−1, y)，若⃗a//⃗b
，则y 的值为（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．2
D．−2
【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量⃗a=(0,1)，⃗b=(1,1)，若⃗a+m⃗b
与⃗a−n⃗b
共线，则
（ ）
A．m+n=0
B．m+n=1
C．mn=0
D．mn=1
【变式5-2】（2025·广东东莞·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(2, x
2)，则“(⃗a+⃗b)//(⃗a−⃗b)”是“
x =2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】（2025·辽宁盘锦·三模）已知A (0,0)，B( λ
2,1)，C( λ ,−2)，D(2,−1)，若⃗AB
与⃗DC
共
线，则λ =（ ）
A．1
B．2
C．−1或2
D．−2或1
【题型6 由向量线性运算的坐标表示解决最值和范围问题】
【例6】（24-25 高三·全国·阶段练习）在直角梯形ABCD 中⃗AB⋅⃗AD =0,∠B =30
∘，AB =2❑√3,BC =2，
点E 为BC 边上一点，且⃗AE = x⃗AB+ y⃗AD，则xy的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．[0, 1
2)
C．[0,
❑√30
2 )
D．[
1
2 ,2❑√3)
【变式6-1】（24-25 高一下·广东韶关·期末）如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE =CD
.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE，下列判断
正确的是（ ）
A．满足λ+ μ =2的点P必为BC的中点.
B．满足λ+ μ=1的点P有且只有一个.
C．λ+ μ的最大值为3.
D．λ+ μ的最小值不存在.
【变式6-2】（2024·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
DE＝2CD．动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AE，则
λ+ μ的取值范围为 ．
【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在△ABC中，∠A =90°，AB =2，AC =3，P为△ABC内一点，且
AP =1.若⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则2 λ+3 μ的最大值为
.
一、单选题
1．（2025·山西·二模）若{⃗e1,⃗e2)是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是
（ ）
A．{⃗e1−⃗e2,⃗e2−⃗e1)
B．{2⃗e1−⃗e2,−⃗e1+ 1
2⃗e2)
C．{⃗e1+⃗e2,⃗e1+ 4⃗e2)
D．{3⃗e1−2⃗e2,−6⃗e1+ 4⃗e2)
2．（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量⃗a，⃗b
满足⃗a=(1,−❑√3)，⃗b=(2, x)，若⃗a//⃗b
，则x =（ ）
A．−❑√3
B．−2❑√3
C．❑√3
D．2❑√3
3．（2025·甘肃甘南·三模）△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示为
（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
4．（2025·湖北·模拟预测）已知向量⃗a=(1,4),⃗b=(2, x)，若⃗b//(2⃗a+⃗b)，则x =（ ）
A．8
B．4
C．2
D．−8
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在△ABC中，⃗BM =2⃗MC , N为线段AM上一点，且⃗
AN =(1−λ)⃗AB+ λ
3⃗AC，则实数λ的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC
，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
7．（2025·河南·模拟预测）已知两个不相等的向量⃗a=(2,m+1)，⃗b=(2−4 m,1)，若⃗a//(2⃗a−⃗b)，则m=
（ ）
A．1
2
B．0
C．−1
2
D．−1
4
8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ⃗a，⃗b，⃗c 在正方形网格中的位置如图所示，若 ⃗
c = λ⃗a+ μ⃗b(λ，μ∈R)，则 λ+ μ 的值为（ ）
A．2.5
B．3
C．−2.5
D．−3
二、多选题
9．（24-25 高一下·四川成都·期中）在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．⃗e1=(0,0)，⃗e2=(1,−2)
B．⃗e1=(−1,2)，⃗e2=(5,7)
C．⃗e1=(3,5)，⃗e2=(−6,10)
D．⃗e1=(2,−3)，⃗e2=(
1
2 ,−3
4)
10．（24-25 高二上·湖南株洲·阶段练习）已知⃗a=(−1,2)，⃗b=(2,5)，下列选项中关于⃗a，⃗b
的坐标运算正
确的是（ ）
A．⃗a+⃗b=(7,1)
B．⃗a−2⃗b=(−5,−8)
C．若⃗AB =⃗a
且A (2,3)，则B (3,1)
D．2⃗a+3⃗b=(4,19)
11．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD中，⃗BC =2⃗AD，E为CD的中点，BE与AC交
于点F，BD与AC交于点G，设⃗AB =⃗a，⃗AD =⃗b，则下列结论正确的是（ ）
A．⃗GD = 1
3⃗BD
B．⃗GF =⃗FC
C．⃗BE =−1
2⃗a+ 3
2⃗b
D．若⃗BF = λ⃗a+ μ⃗b，则2 λ−μ=−1
三、填空题
12．（2025·上海崇明·二模）已知⃗a=(1,0),⃗b=(2,1)，则|⃗a+2⃗b|=
．
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知向量⃗a=(2,1)，⃗b=(1,k )，⃗c =(−k ,2)，若
(⃗a+⃗c)//(2⃗a−⃗b)，则k =
．
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD =2 AB，AB⊥AD，E 是CD的中
点，若⃗AC = λ⃗BD + μ⃗AE，则λ+ μ=
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·甘肃白银·期末）如图，在△ABC中，D 是AC的中点，E 是BD的中点，设⃗BA =⃗a，⃗
BC =⃗c.
(1)用⃗a，⃗c表示向量⃗AE；
(2)若点F 在AC上，且⃗BF = 1
7⃗a+ 6
7⃗c，求AD: DF.
16．（24-25 高一下·贵州贵阳·期末）已知平面向量⃗a=(2,3)，⃗b=(−2,4).
(1)求向量2⃗a+3⃗b的坐标；
(2)当实数k 为何值时，k⃗a−⃗b与2⃗a+3⃗b共线.
17．（24-25 高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形ABCD中，⃗AE =2⃗EB ,⃗DF =3⃗FB，设⃗
AB =⃗a,⃗AD =⃗b.
(1)用⃗a,⃗b表示⃗BD ,⃗AF；
(2)证明：E , F ,C三点共线.
18．（24-25 高一下·甘肃兰州·期中）如图，已知A (−1,0),B (3,4)．
(1)求线段AB的中点M的坐标；
(2)若点P是线段AB的一个四等分点，点P靠近B端，求点P的坐标．
19．（24-25 高一下·上海奉贤·期中）已知A，B，C三点的坐标分别为(−1,0)，(3,−1)，(1,2)，且点E满
足⃗AE = 1
3⃗AC.
(1)求点E的坐标；
(2)若点F满足⃗BF = 1
3⃗BC，判断向量⃗EF与向量⃗AB是否共线，并证明你的结论.
