专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、平面向量基本定理及坐标表示
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容。从近几年的高考
情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，
主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解
析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。在高考复习过程中应注意加
强对平面向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的
相关公式，灵活进行求解。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
平面向量基
本定理及坐
标表示
新课标I 卷：第3
题，5 分
全国乙卷（文数）：
第6 题，5 分
全国甲卷（文数）：
第3 题，5 分
新课标I 卷：第3
题，5 分
全国甲卷（理数）：
第9 题，5 分
全国一卷：第6 题，
5 分
全国二卷：第12
题，5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，平面向量基本定理及坐标表示的考
情将继续维持稳定态势，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，
分值稳定在5 分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与
夹角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算，难度不大；也可能结
合实际情境（如速度、位移等）考查，要灵活求解。
知识点
1
平面向量基本定理及其解题策略
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量⃗a，有且只有一对实数
，使
.若
不共线，我们把{
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量⃗a在给出基底{
}的条件下进行分解
平面内的任一向量都
——
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都
是唯一的.
知识点
2
平面向量坐标运算及其解题策略
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
，即
.同理可得
.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得
，则
，即
.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
.又
，
，
，所以
.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若
，则
或
.
其含义是：向量⃗a的长度(模)等于向量⃗a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量⃗a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
，
，那么
，
.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设
，
，其中
.我们知道，
共线的充要条件是存在实数λ，使
.如果用坐
标表示，可写为
，即
，消去
λ
，得
.这就是说，向量
共线的充要条件是
.
②三点共线的坐标表示
若
，
，
三点共线，则有
，从而
，
即
，
或由
得到
，
或由
得到
.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C 三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设
都是非零向量，
，
，θ是⃗a与⃗b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.
(3)垂直的坐标表示
设
，
，则
.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若⃗a与⃗b不共线，且
，则
.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(
)，B(
)，则P 点坐标为
.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(
)，B(
)，C(
)，则G
.
【题型1 用基底表示向量】
【例1】（2025·甘肃甘南·三模）△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示
为（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
【变式1-1】（2025·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD = 2
3⃗BC，则⃗DE =（ ）
A．−1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
3⃗AC
C．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
D．1
6⃗AB−2
3⃗AC
【变式1-2】（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，⃗BE =−1
3⃗AB ,⃗BF = 1
2⃗BC ,CE和DF 交于点
O，若⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗AO =（ ）
A．5
8⃗a+ 3
8⃗b
B．6
7⃗a+ 4
7⃗b
C．3
8⃗a+ 7
8⃗b
D．3
7⃗a+ 5
7⃗b
【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在△ABC中，点D 为边BC上一点，且BD = 1
3 BC，设⃗
AB =⃗a，⃗AC =⃗b，则（ ）
A．⃗AD = 1
3⃗a−2
3⃗b
B．⃗AD = 2
3⃗a+ 1
3⃗b
C．⃗AD = 1
3⃗a+ 2
3⃗b
D．⃗AD = 2
3⃗a−1
3⃗b
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗
AM = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【变式2-1】（2025·湖南·三模）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若⃗BD = λ⃗BC，⃗AD = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC
，则实数λ =（ ）
A．1
4
B．1
3
C．2
3
D．3
4
【变式2-2】（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC
→
+3CE
→
= 0
→，F是线段DE 的中点，连接
BD交AF于O，若⃗AO =m⃗AF，则m=（ ）
A．1
B．3
4
C．4
3
D．2
3
【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设
⃗
AD = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】
【例3】（2026·广西·模拟预测）已知平面向量⃗a=(1,k )，⃗b=(3,2k +2)，若⃗a//(2⃗a+⃗b)，则k =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【变式3-1】（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量⃗a=(−1,2)与⃗b=( x ,−2)平行，则x的值为（ ）
A．1
B．−1
C．4
D．−4
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2, x),⃗b=(x ,3)，若⃗a与⃗b
同向共线，则x为（ ）
A．❑√6
B．−❑√6
C．± ❑√6
D．0
【变式3-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,0),⃗c =(3,4)．若λ为实数，且
( a
→
+ λ b
→
)// c
→，则λ =（ ）
A．1
B．2
C．1
3
D．1
2
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】
【例4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(1,0)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）设向量⃗a=(2, x),⃗b=(2+ x ,2 x).若⃗a⋅(2⃗a−⃗b)=0
，则x =（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式4-2】（2025·广西来宾·模拟预测）已知向量⃗m=(1,2),⃗n=(−2,3)，则⃗m⋅(⃗n−⃗m)=（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的
厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知A , B , P为图中7 个正六边形（边长为
1）的三个固定顶点，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．12
B．12❑√3
C．16
D．16 ❑√3
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】
【例5】（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量⃗m=(1,2)，⃗n=(5−2t
2,t)满足⃗m−2⃗n=(−5,0)，则向量⃗m与⃗n的
夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【变式5-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2, x)，若⃗a∥⃗b，则|⃗b)=
（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．5
D．20
【变式5-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(m,4)，若⃗a,⃗b
的夹角为锐角，则实数m
的取值范围是（ ）
A．m>−8
B．m>−8且m≠2
C．m<−8
D．m≠2
【变式5-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−1),⃗b=(x ,2)，若⃗a⊥⃗b，则|⃗a−⃗b)的值为
（ ）
A．10
B．3 ❑√5
C．3 ❑√2
D．❑√10
【题型6 向量垂直的坐标表示】
【例6】（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−5)，⃗b=(1,2)，且2⃗a−⃗b
与⃗a+ x⃗b
垂直，则x =（ ）
A．3
4
B．11
7
C．22
7
D．3
2
【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量⃗a=(λ−1,1),⃗b=(2, λ)，若(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）设向量⃗a=(x +2, x)，⃗b=(x ,1)，则（ ）
A．“x =−1 是
”
“⃗a∥⃗b 的必要条件
”
B．“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
C．“x =−2 是
”
“⃗a∥⃗b 的充分条件
”
D．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
【变式6-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,1)，若(m⃗a+n⃗b)⊥(2⃗a−⃗b)，则
（ ）
A．2m−n=0
B．2m+n=0
C．m−2n=0
D．m+2n=0
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
【例7】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形ABCD中，AB =2，M为BC中点，N为正方形ABCD
内部或边界上一点，则⃗DM ⋅⃗CN的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．7
4
D．2
【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）已知|⃗OA)=|⃗OB)=3
，|⃗AB)=3 ❑√2
，点C (4,2)，O为坐标原点，则
|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)的最小值是（ ）
A．
❑√5
3
B．2❑√5
3
C．❑√5
D．4 ❑√5
【变式7-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥AD ,CD⊥AD ,CD =2 AB，点M
在边BC（含端点）上运动，设⃗AM = x⃗AB+ y⃗AD，则x + y的取值范围是（ ）
A．[1,5]
B．[2,4 ]
C．[1,3]
D．[1,4 ]
【变式7-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，AB =2，CD =1，∠DAB =π
4
，P 为腰AD 所在线段上任意一点，则⃗PC ⋅⃗PB的最小值是（ ）
A．❑√3
B．1
C．3
2
D．❑√2
点
平面向量基本定理及坐标表示
考
一
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(2, x)，若⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，则x =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
B．“x =1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的必要条件
”
C．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
D．“x =−1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的充分条件
”
4．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=1
B．λ+ μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)=
（ ）
A．1
17
B．
❑√17
17
C．
❑√5
5
D．2❑√5
5
7．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b
满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=
（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
二、填空题
8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x −1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
.
9．（2025·上海·高考真题）已知⃗a=(2,1),⃗b=(1, x)，若⃗a∥⃗b
，则x = ．
10．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE = 1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD = ．
11．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE
→
=2 EC
→
,
若⃗BE = λ⃗BA + μ⃗BC，其中λ , μ为
实数，则λ+ μ=
；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF ⋅⃗DG的最小值为
．
12．（2024·上海·高考真题）已知⃗a=(2,5)，⃗b=(6,k )，⃗a∥⃗b
，则k 的值为
．
