专题3.3 导数的应用：单调性、极值与最值（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、导数的应用：单调性、极值与最值
导数与函数是高中数学的重要内容，函数的单调性、极值与最值是高
考常考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，高考中常涉及的问
题有：利用导数解决函数的单调性、极值和最值等；多与不等式、函数零
点(或方程根)等内容结合考查，此类问题体现了分类讨论、转化与化归等
数学思想，此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，而在解答题中进
行考查时试题难度较大.
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
函数的单调
性
新课标I 卷：第19
题，12 分
新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第20 题，12 分
新课标I 卷：第10
题，6 分
全国甲卷（文数）：
第20 题，12 分
全国二卷：第18
题，17 分
全国甲卷（理数）：
第21 题，12 分
全国乙卷（文数）：
第20 题，12 分
函数的极值
与最值
新课标Ⅱ卷：第22
题，12 分
全国乙卷（理数）：
第21 题，12 分
新课标I 卷：第10
题，6 分
新课标Ⅱ卷：第16
题，15 分
全国甲卷（理数）：
第21 题，12 分
全国一卷：第19
题，17 分
全国二卷：第13
题，5 分
上海卷：第19 题，
14 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，函数的单调性、极值与最值问题的
考情将继续维持稳定态势。单调性、极值、最值依旧是考查核心，或与三
角函数、不等式等内容跨模块结合考查，主要涉及分类讨论、转化与化归
等数学思想。单调性、极值、最值问题在选择题、填空题、解答题中都有
可能考查，而在解答题中进行考查时综合性较强，试题难度较大。
知识点
1
导数中函数单调性问题的解题策略
1．确定函数单调区间的步骤；
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f'(x)；
(3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
2．含参函数的单调性的解题策略：
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分
解，则需讨论判别式Δ 的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
3．根据函数单调性求参数的一般思路：
(1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x (
∈a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，
f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解.
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.
知识点
2
导数中函数单调性的应用
1．比较大小：
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构
造
辅助函数
，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函
数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2．解不等式：
与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，
常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求
解不等式.
知识点
3
函数的极值问题及其解题策略
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程
组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
知识点
4
函数的最值问题及其解题策略
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极
值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就
是最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1 函数与导函数图象问题】
【例1】（2025·四川成都·模拟预测）已知定义域为(0,+∞)的函数f (x)的导函数为f
′ (x)，且函数
g(x)=(x−3)⋅f
′ (x)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．f (x)有极小值f (6)，极大值f (10)
B．f (x)有极小值f (1)，极大值f (10)
C．f (x)有极小值f (1)，极大值f (3)和f (10)
D．f (x)有极小值f (6)，极大值f (1)
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=a x
3+b x
2+cx +2的导函数f
′ (x)的图象如图所示，则
下列结论成立的是（ ）
A．a>0,b<0,c>0
B．a>0,b=0,c<0
C．a<0,b=0,c>0
D．a<0,b>0,c>0
【变式1-2】（2025·陕西渭南·二模）已知函数f (x)=e
x(ax−1)的大致图象如图所示，则不等式
f (x)f
′ (x)<0的解集为（ ）
A．(−2,−1)
B．(1,2)
C．(−1
2 ,1)
D．(2,+∞)
【变式1-3】（2025·湖南郴州·三模）已知函数f (x)与其导函数f
′ (x)的部分图象如图所示.设函数
g(x)= f (x)
e
x
，则（ ）
A．f (0)<f (1)
B．ef (−1)>f (0)
C．g(x)在(1,2)上单调递减
D．g(x)在x =1处取得极大值
【题型2 利用导数判断单调性、求单调区间】
【例2】（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−3 x +a(a∈R)，则f (x)的单调递增区间为
（ ）
A．(0, 1
3)
B．(
1
3 ,+∞)
C．(0,3)
D．(3,+∞)
【变式2-1】（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知函数f (x)=cos x + 1
2 cos2 x + 1
3 cos3 x，则下列叙述正
确的是（ ）
A．f (x)在区间(0,π
2 )内单调递增
B．f (x)在区间(
π
3 ,π)内单调递减
C．f (x)在区间(
π
2 , 2π
3 )内单调递增
D．f (x)在区间(0,π)内单调递减
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)= x +1
x−1 e
x.
(1)求曲线f (x)在点(2,f (2))处的切线方程；
(2)求f (x)的单调区间.
【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知函数f ( x)=(3−a)ln x−3ax +3a+6−1
x
，其中a∈R.
(1)讨论函数f ( x)的单调性；
(2)若存在x>0，使f ( x)≥a
2成立，求实数a的取值范围.
【题型3 由函数的单调性求参数】
【例3】（2025·江苏·模拟预测）设函数f ( x)=( x +a)x
2在区间(1,2)上单调递减，则a的最大值是（ ）
A．−3
B．−2
C．−3
2
D．3
【变式3-1】（2025·四川泸州·一模）若函数f (x)= x
3−3a x
2−9a
2 x +1在(−1,2)单调递减，则a的取值范
围是（ ）
A．[1,+ ∞)
B．(−∞,−1¿∪)2,+ ∞¿¿
C．(−∞,−2¿∪)1,+ ∞¿¿
D．(−∞,−1
3)∪[1,+∞)
【变式3-2】（2025·四川绵阳·一模）“a>1”是“函数y = x−a
x
在(0,+ ∞)上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3-3】（2025·山东威海·三模）已知函数f ( x)=a
x−loga( x +1)(a>1)在(0,+∞)上存在单调递减区
间，则a的取值范围是（ ）
A．(1,e]
B．(1,e)
C．[e,+ ∞)
D．(e,+∞)
【题型4 导数中函数单调性的应用】
【例4】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知a=ln1.2,b=0.2,c = ❑√1.2−1，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．c<a<b
C．c<b<a
D．a<b<c
【变式4-1】（25-26 高三上·江西·月考）已知定义在R上的函数f (x)的导函数为f
′ (x)，若f
′ (x)<6 x恒成
立，且f (1)=2，则f (2 x)≤12 x
2−1的解集为（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．[1, +∞)
C．[
1
2 , +∞)
D．(−∞, 1)
【变式4-2】（2025·山西·三模）设a=e
2
4−ln 4
，b= 2
ln2
，c =e，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<c<b
B．a<b<c
C．c<a<b
D．b<c<a
【变式4-3】（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数f ( x)的导函数为f
′( x)，若对任意x∈R，都有
f
′( x)−f ( x)<1，且f (0)=2025，则不等式f ( x)+1>2026e
x的解集为（ ）
A．(−∞,0)
B．(0,+∞)
C．(−∞, 1
e )
D．(−∞,1)
【题型5 利用导数求函数的极值】
【例5】（2025·河南·模拟预测）函数f (x)=2 x
3−6 x +3的极小值为（ ）
A．−33
B．−7
C．−1
D．7
【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知x =1是函数f ( x)=(a x
2+3 x−3)e
x的极值点，则函数
f ( x)的极小值为（ ）
A．−3
B．−e
C．0
D．e
【变式5-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数f (x)=e
x(x +1)+e的极值点为x0，则x0= ．
【变式5-3】（2025·广东·模拟预测）函数f (x)=e
2 x+2e
x−4 x的极小值为
．
【题型6 根据极值（点）求参数】
【例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数f (x)=ax + 1
x +2ln x在x∈(
1
2 ,2)上有极值，则a的取值范围
是（ ）
A．(−3
4 ,0)
B．(−1,−3
4)
C．(−1,0)
D．[−1,0)
【变式6-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数f ( x)= ln( x +1)−a x
2有两个极值点，则实数a的取
值范围为（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−1
2)
C．(−∞,−1
2)∪(0,+∞) D．(−1
2 ,+∞)
【变式6-2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数f (x)=ax + ln x−1，a∈R.
(1)当a=2时，求函数f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围.
【变式6-3】（2025·安徽黄山·二模）已知函数f (x)=ae
x−2 x−3cos x +1，其中e为自然对数的底数．
(1)当a=2时，判断函数f (x)在区间(−π
2 ,0)上的单调性；
(2)令g(x)= f
′ (x)，若函数g(x)在区间(0,π
2 )上存在极值，求实数a的取值范围；
(3)求证：当a≥2时，f (x)≥0．
【题型7 利用导数求函数的最值】
【例7】（2025·河南驻马店·模拟预测）函数f (x)= x +cos x在区间[−π
2 ,π)上的最大值为（ ）
A．π
B．π
2 +1
C．π
2
D．π−1
【变式7-1】（2025·江苏南京·三模）已知函数f (x)= xe
−x，则当x∈[0,2)时，f (x)的最大值为（ ）
A．3
e
B．1
e
C．2
e
D．4
e
【变式7-2】（2025·湖南长沙·三模）已知函数f ( x)= ln x +axe
x−1+ x +1．
(1)若曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线经过原点，求a；
(2)若a=−1
e
3 ，求f ( x)的最大值．
【变式7-3】（2025·山东烟台·三模）已知函数f (x)= ln x +ax−a
x
(a<0)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)存在两个极值点x1
，x2
，且x2≥2 x1
，求f (x1)−f (x2)的最大值．
【题型8 已知函数最值求参数】
【例8】（2025·江苏宿迁·二模）若函数f (x)={
ln x
x
, x ≥2
kx , x<2 )
有最大值，则k的最大值为（ ）
A．ln2
4
B．ln2
2
C．1
2e
D．1
e
2
【变式8-1】（2025·四川自贡·三模）函数f (x)=(x−5)
2(x−b)，若f (x)在(b,b+3)有最大值，则实数b的
取值范围是（ ）
A．(−4,5)
B．(−4 , 11
4 )
C．(−4 , 11
4 )
D．(−4,5)
【变式8-2】（2025·江苏扬州·三模）若函数f ( x)=a(e
x+a)−x的最小值为2，则实数a 的值是
.
【变式8-3】（2025·上海·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−ax−2在区间(1,2)上存在最大值，则实数a的取
值范围为
.
点
函数的单调性
考
一
一、单选题
1．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数f (x)=ae
x−ln x在区间(1,2)上单调递增，则a 的最小值为
（ ）
A．e
2
B．e
C．e
−1
D．e
−2
二、填空题
2．（2023·全国乙卷·高考真题）设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+ ∞)上单调递增，则a 的取
值范围是
.
三、解答题
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)= ln(1+ x)−x + 1
2 x
2−k x
3，其中0<k < 1
3
．
(1)证明：f ( x)在区间(0,+∞)存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设x1, x2分别为f ( x)在区间(0,+ ∞)的极值点和零点.
（i）设函数g(t )= f (x1+t)−f (x1−t).证明：g(t )在区间(0, x1)单调递减；
（ii）比较2 x1与x2的大小，并证明你的结论．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=a(x−1)−ln x +1．
(1)求f (x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f (x)<e
x−1恒成立．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f (x)=(
1
x +a)ln(1+ x)．
(1)当a=−1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程．
(2)若函数f (x)在(0,+ ∞)单调递增，求a的取值范围．
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=ax−sin x
cos
2 x
, x∈(0,π
2 )．
(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；
(2)若f (x)+sin x<0，求a的取值范围．
7．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f (x)=a(e
x+a)−x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f (x)>2lna+ 3
2
．
点
函数的极值与最值
考
二
一、多选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知f ( x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f ( x)=(x
2−3)e
x+2，
则（ ）
A．f (0)=0
B．当x<0时，f ( x)=−(x
2−3)e
−x−2
C．f ( x)≥2当且仅当x ≥❑√3
D．x =−1是f ( x)的极大值点
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）设函数f ( x)=( x−1)
2( x−4)，则（ ）
A．x =3是f ( x)的极小值点
B．当0< x<1时，f ( x)<f (x
2)
C．当1< x<2时，−4<f (2 x−1)<0
D．当−1< x<0时，f (2−x)>f ( x)
3．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）若函数f (x)=aln x + b
x + c
x
2 (a≠0)既有极大值也有极小值，则（ ）
A．bc>0
B．ab>0
C．b
2+8ac>0
D．ac<0
二、填空题
4．（2025·全国二卷·高考真题）若x =2是函数f ( x)=( x−1)( x−2)( x−a)的极值点，则f (0)=
.
三、解答题
5．（2025·上海·高考真题）已知f ( x)= x
2−(m+2)x +mln x ,m∈R．
(1)若f (1)=0，求不等式f ( x)≤x
2−1的解集；
(2)若函数y = f ( x)满足在(0,+ ∞)上存在极大值，求m 的取值范围；
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数f (x)=(1−ax)ln(1+ x)−x．
(1)当a=−2时，求f (x)的极值；
(2)当x ≥0时，f (x)≥0，求a的取值范围．
7．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知函数f ( x)=e
x−ax−a
3．
(1)当a=1时，求曲线y = f ( x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)若f ( x)有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．
