专题5.3 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的图
象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系是高
考考察的重心。从近几年的高考情况来看，三角函数的图象与性质为核心
高频考点，考查形式稳定且层次分明。
选择题、填空题聚焦三角函数的图象与性质、图象变换（平移、伸
缩）、解析式确定，题型基础，难度偏低；解答题中多与三角函数的性质
应用结合，涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变
换、解三角形模块进行考察，凸显知识关联性，难度中等或偏下，二轮复
习时需要充分掌握三角函数的图象与性质，学会灵活求解。
高考真题
考点
2023 年
2024 年
2025 年
统计
三角函数的
图象与性质
新课标I 卷：第15
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第16
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第12 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第10 题，5 分
全国乙卷（文数）：
第10 题，5 分
全国乙卷（理数）：
第6 题，5 分
新课标I 卷：第7
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第9
题，6 分
全国甲卷（文数）：
第13 题，4 分
全国一卷：第4 题，
5 分
全国二卷：第15
题，13 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，三角函数的图象与性质的考情将继
续维持稳定态势。大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳
定在5 分左右；也有可能在解答题中考查。选择、填空题核心考点聚焦三角
函数的图象交点问题、三角函数的性质问题以及图象变换问题，难度不
大；在解答题中主要考查三角函数的性质应用或与其他知识（如：解三角
形、导数等）结合考查，此时难度中等，侧重三角函数性质的熟练运用，
考查数形转化与知识综合运用能力。
知识点
1 三角函数的定义域与值域的求解策略
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式
( 组
) ，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c 的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c 的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c 的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c 的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
知识点
2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=
kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)
（或令ωx+φ=
kπ(k∈Z)），求x 即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=
(k∈Z)），
求x 即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若
y=0 则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
kπ(k∈Z).
知识点
3 三角函数的单调性问题的解题策略
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只
需把ωx+φ 看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择
题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
知识点
4 三角函数的图象变换问题
1．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
知识点
5 由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω 和
φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由
即可求出ω；确定φ 时，若能求出
离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标
，则令
即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω 和φ，若对
A，ω 的符号或φ 的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点
6 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
个周期，相邻的对称中心与对称轴
之间的距离是
个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是
个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=
(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
3．三角函数的图象变换规律
(1)函数y=Asin(ωx+φ)+k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
(2)由y= sinωx 到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个单位长度而非φ 个单位长度.
【题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）】
【例1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (x)=sin x +acos x的图象关于x =π
6
对称，则f (x)的最大值为
（ ）
A．2❑√3
3
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）函数f (x)= 4 cos x sin(x−π
6 )在[0,π
2 )上的值域为（ ）
A．[−2,1)
B．[−3,1)
C．[−2,0)
D．[−1,1)
【变式1-2】（25-26 高一上·全国·单元测试）在[0,2π)内，函数f (x)= ❑√1−2cos x +ln(sin x−
❑√2
2 )
的
定义域是（ ）
A．(
π
4 ,π
3 )
B．(
3π
4 , 5π
3 )
C．[
π
3 , 3π
4 )
D．[
π
4 ,π
3 )
【变式1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为2π
3
，则
f (x)在[−π
6 ,π
6 )上的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
【题型2 三角函数的图象识别与交点问题】
【例2】（2025·天津·二模）函数f ( x)=cos x +2cos2 x +3cos3 x的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（2025·广东广州·模拟预测）当x∈[0,2π)时，曲线y =sin x与y =3sin(2 x−π
4 )的交点个
数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式2-2】（24-25 高一下·四川成都·月考）函数y =sin x−1
x
部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（2025·河南郑州·二模）函数f (x)=2sin(2 x + π
6)与函数g(x)=log2 x的图象交点个数为
（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【题型3 三角函数图象变换问题】
【例3】（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=sin2 x +acos2 x的一个零点是π
6
，为了得到y =2cos2 x的
图象，需要将函数y = f (x)的图象（ ）
A．向左平移5π
12
个单位长度
B．向左平移5π
6
个单位长度
C．向右平移π
12
个单位长度
D．向右平移π
6
个单位长度
【变式3-1】（2025·新疆·模拟预测）将函数f (x)= ❑√3sin 2 x +cos2 x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度
后得到函数g(x)的图象.若f (x)与g(x)的图象关于点(
π
8 ,0)对称，则φ的最小值为（ ）
A．π
12
B．5π
12
C．π
6
D．7π
12
【变式3-2】（2025·四川泸州·一模）把函数y =sin(2 x +π
3 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，
纵坐标不变，再把所得图象向右平移π
3
个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．y =−sin 4 x
B．y =sin(x−π
6 )
C．y =sin(x + 2π
3 )
D．y =sin x
【变式3-3】（2025·河北邢台·三模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，将f ( x)的图
象向右平移π
12
个单位长度后，得到函数g( x)的图象，则g( x)的图象的对称轴为（ ）
A．x =π
3 + k π
2
，k ∈Z
B．x =π
6 + k π
2
，k ∈Z
C．x = 5π
6 +k π，k ∈Z
D．x = 13π
12 +k π，k ∈Z
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【例4】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数f (x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所
示，则f (x)=（ ）
A．3sin(
1
4 x +π
4 )
B．3sin(
1
4 x−π
4 )
C．3sin(
π
4 x +π
4 )
D．3sin(
π
4 x−π
4 )
【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左
平移得到g(x)= 4 sin ωx的图象，其中点A 是g(x)图象上的最高点，N , M分别是f (x)，g(x)的图象与x 轴
的相邻交点（如图所示），若| MN |=| AM |，△AMN的面积为10，则f (x)=（ ）
A．4sin(
π
6 x−5π
6 )
B．4sin(
π
6 x + 5π
6 )
C．4sin(
π
3 x−π
3 )
D．4sin(
π
6 x−π
3 )
【变式4-2】（2025·江西吉安·模拟预测）如图函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A ,ω>0,|φ)<π
2 )的图象过点
(0,−1),(
π
6 ,1),(
π
2 ,1)三点，则ω的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．3
【变式4-3】（2025·天津滨海新区·三模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的部分图
象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调递减
②f (x)的图象可由y =2sin2 x的图象向左平移π
6
个单位得到
③f (x)的对称轴为x = 5π
12 +k π(k ∈Z)
④f (x)在区间[0,π
2 )上的最小值为−❑√3
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型5 三角函数的单调性问题】
【例5】（2025·陕西西安·二模）已知函数f (x)=sin(ωx −π
4 )(ω>0),f (x)在[0,π
4 )上单调，则ω的最
大值为（ ）
A．5
2
B．3
C．2
D．7
2
【变式5-1】（2025·陕西汉中·三模）函数f (x)=cos(2 x−π
6 )的一个单调递减区间为（ ）
A．(
π
2 , 3π
2 )
B．(0,π)
C．(
π
12 , 7π
12 )
D．(
π
3 , 5π
6 )
【变式5-2】（2025·辽宁·二模）已知函数f ( x)=cos(ωx +π
6 )(ω>0)在区间(
π
2 , 3π
2 )上单调，则ω的
取值范围为（ ）
A．(
5
9 ,1)
B．[
5
9 ,1)
C．(0, 5
9)
D．(0, 5
9)
【变式5-3】（2025·湖南·一模）下列函数中，f (x)为周期函数，且在区间(
π
6 , π
4)上单调递减的是
（ ）
A．f (x)=sin|x)+1
B．f (x)=|sin2 x)+2
C．f (x)=cos|3 x)+3
D．f (x)=|cos4 x)+ 4
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例6】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为π的奇函数是（ ）
A．y =|sin x)
B．y =cos
2 x−sin
2 x
C．y =cos(
π
2 −x)
D．y =sin2 x
1+cos2 x
【变式6-1】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数f (x)=sin (π−cos x)，则下列结论不正确的是（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的单调递增区间为[2k π−π,2k π)(k ∈Z)
C．f (x)是周期为π的周期函数
D．f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)对称
【变式6-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数f (x)=tan(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y =a的两个
相邻交点之间的距离为π
2 ，且f(x +π
12)为奇函数，则φ的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的
距离为π
2 ,g(x)=sin(2 x + 2π
3 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称
C．将g(x)的图象向左平移π
3
个单位长度可得到f (x)的图象
D．f (x)与g(x)的图象关于y轴对称
【题型7 三角函数的零点问题】
【例7】（2025·陕西榆林·模拟预测）设函数f (x)=sinωx在区间(0,π)上恰有2 个极值点､1 个零点，则ω
的取值范围是（ ）
A．(
3
2 ,2)
B．(
3
2 ,2)
C．[−2,−3
2)∪(
3
2 ,2)
D．(−2,−3
2)∪(
3
2 ,2)
【变式7-1】（2025·辽宁·模拟预测）设ω>0，已知函数f (x)=sin (ωsin x)在区间(0,π)内恰有2025 个零
点，则ω=（ ）
A．1010π
B．1011π
C．1012π
D．1013π
【变式7-2】（2025·湖南益阳·三模）函数f ( x)=cos2 x−sin x在(−2π,2π)内的零点之和为（ ）
A．−π
B．−2π
C．−π
2
D．0
【变式7-3】（2025·辽宁·二模）将函数f ( x)=sin x的图像先向右平移π
3
个单位长度，再把所得函数图像
上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1
ω (ω>0)倍，得到函数g( x)的图像．已知函数g( x)在
[0,π
2 )上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．[
8
3 , 14
3 )
B．[
7
3 , 14
3 )
C．[
8
3 , 13
3 )
D．[
7
3 , 13
3 )
【题型8 三角函数与三角恒等变换的综合应用】
【例8】（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x)=2sin x +cos x，x∈R，则f (x)的最大值与最小正
周期分别为（ ）
A．3，2π
B．3，π
C．❑√5，2π
D．❑√5，π
【变式8-1】（2025·四川自贡·一模）若函数f ( x)= ❑√3sin ωx +cosωx(ω>0)满足f ( x +π)= f ( x)，且在
(0,π
6 )没有零点，则ω的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式8-2】（2025·河北·一模）将函数 f (x)=sinωx + ❑√3cosωx(ω>0)的图象向右平移π
3
个单位长
度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．7
2
B．5
2
C．3
2
D．1
2
【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx +a⋅cosωx(a>0,ω>0)的最小正周期为π
，最小值为−❑√2，则（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =−π
4
对称
B．f (x)的图象关于点(−π
4 ,0)对称
C．先将y = ❑√2sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移π
8
个单位可得
到f (x)的图象
D．先将y = ❑√2sin x向左平移π
8
个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可
得f (x)的图象
考点一 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点(a,0)(a>0)是函数y =2tan(x−π
3 )的图象的一个对称中心，则
a 的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．4π
3
2．（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 )上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x−π
6)的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2−1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
2
C．1
D．2
5．（2023·全国甲卷·高考真题）函数y = f (x)的图象由函数y =cos(2 x +π
6 )的图象向左平移π
6 个单位长
度得到，则y = f (x)的图象与直线y = 1
2 x−1
2
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ),(ω>0)在区间(
π
6 , 2π
3 )单调递增，直线
x =π
6 和x = 2π
3 为函数y = f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f(−5π
12 )=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
二、多选题
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数f ( x)=sin 2 x和g( x)=sin(2 x−π
4 )，下列说法中正确的有
（ ）
A．f ( x)与g( x)有相同的零点
B．f ( x)与g( x)有相同的最大值
C．f ( x)与g( x)有相同的最小正周期
D．f ( x)与g( x)的图象有相同的对称轴
三、填空题
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x−❑√3cos x在[0,π)上的最大值是
．
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=cosωx −1(ω>0)在区间[0,2π)有且仅有3 个零点，则
ω的取值范围是
．
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)，如图A，B 是直线y = 1
2
与曲线y = f (x)的
两个交点，若|AB)=π
6
，则f (π)=
．
四、解答题
11．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)=cos(2 x +φ)(0≤φ<π),f (0)= 1
2
．
(1)求φ;
(2)设函数g( x)= f ( x)+ f(x−π
6 )，求g( x)的值域和单调区间．
