专题5.2 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三
专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】.........................................................................................................1
【题型2 诱导公式的应用——化简、求值】.........................................................................................................3
【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】.....................................................................................4
【题型4 三角恒等变换的化简问题】......................................................................................................................6
【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】.............................................................................8
【题型6 与解三角形有关的化简问题】..................................................................................................................9
【题型7 三角恒等变换的综合应用】....................................................................................................................12
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
1．（2025·甘肃金昌·二模）若sinα =cosα + 3
5，则tanα +
1
tanα =（ ）
A．8
25
B．16
25
C．25
8
D．25
16
【答案】C
【解题思路】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解.
【解答过程】因为sinα −cosα = 3
5，所以sin
2α +cos
2α −2sinα cosα = 9
25 ,sinα cosα = 8
25.
因为tanα +
1
tanα =sinα
cosα +cosα
sinα =sin
2α +cos
2α
sinα cosα
=
1
sinα cosα ，所以tanα +
1
tanα = 25
8 .
故选：C.
2．（2025·山西·模拟预测）若α是第三象限角，且sin α −2cosα =1，则tan α =（ ）
A．4
3
B．3
4
C．5
12
D．12
5
【答案】B
【解题思路】利用平方关系求出sin α ,cosα，即可得解.
【解答过程】由已知可得：sin α =2cosα +1，
代入sin
2α +cos
2α =1可得5cos
2α + 4 cosα =0，
解得cosα =−4
5 或cosα =0
∵α是第三象限角，∴cosα =−4
5 ，sinα =2×(−4
5)+1=−3
5，
∴tan α =sinα
cosα = 3
4 ，
故选：B.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知sinα +cosα = 3
4 sinα cosα，则sinα +cosα =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
4
C．−
❑√3
3
D．−1
3
【答案】D
【解题思路】由题意得sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2−1
2
，解一元二次方程即可得解.
【解答过程】因为sinα cosα = (sinα +cosα )
2−1
2
，所以sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2−1
2
，
化简得3(sinα +cosα )
2−8(sinα +cosα )−3=0，
解得sinα +cosα =−1
3或sinα +cosα =3（舍去，因为sinα +cosα ≤1+1=2，且等号不能成立）．
故选：D．
4．（2025·湖北孝感·三模）已知x∈(−π
2 ，0)，sin
4 x +cos
4 x = 1
2，则sin x−cos x =（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【答案】B
【解题思路】利用sin
4 x +cos
4 x = 1
2及角的范围变形得到sin x cos x =−1
2，从而得到
sin x−cos x =−
❑√(sin x−cos x)
2=−❑√2.
【解答过程】sin
4 x +cos
4 x =(sin
2 x +cos
2 x)
2−2sin
2 x cos
2 x =1−2sin
2 x cos
2 x，
又sin
4 x +cos
4 x = 1
2，所以1−2sin
2 x cos
2 x = 1
2，
所以sin
2 x cos
2 x = 1
4 ，
又x∈(−π
2 ，0)，所以sin x<0,cos x>0，sin x−cos x<0，
所以sin x cos x =−1
2，
故sin x−cos x =−
❑√(sin x−cos x)
2=−❑√1−2sin x cos x =−❑√
1−2×(−1
2)=−❑√2．
故选：B.
【题型2 诱导公式的应用——化简、求值】
5．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）sin990
°cos660
°tan330
°=（ ）
A．
❑√3
6
B．−
❑√3
6
C．1
2
D．−1
2
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【解答过程】sin990
°cos660
°tan330
°=sin(720
°+270
°)cos(720
°−60
°)tan(360
°−30
°)
=sin270
°cos(−60
°)tan(−30
°)=sin270
°cos60
°(−tan30
°)=−1× 1
2 ×(−
❑√3
3 )=
❑√3
6 .
故选：A.
6．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．−3
5
B．−4
5
C．3
5
D．4
5
【答案】B
【解题思路】根据三角函数值的定义求sin α，再结合诱导公式运算求解.
【解答过程】因为角α的终边经过点P(−3,4)，则sin α =
4
❑√(−3)
2+ 4
2 = 4
5 ，
所以cos(
π
2 +α)=−sin α =−4
5 .
故选：B.
7．（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin(θ+π
4 )= 1
3，则cos(θ−π
4 )=（ ）
A．1
3
B．−1
3
C．2❑√2
3
D．−2❑√2
3
【答案】A
【解题思路】利用两角之间的关系并根据诱导公式进行计算即可．
【解答过程】∵sin(θ+π
4 )=cos[
π
2 −(θ+π
4 ))=cos(
π
4 −θ)=cos(θ−π
4 )= 1
3，
∴cos(θ−π
4 )= 1
3．
故选：A.
8．（2025·河南·三模）已知∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，则sin(π−φ)=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式化简sin(2 x−π
3 )=cos(2 x−5π
6 )，再根据
∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，可得φ=−5π
6 +2k π(k ∈Z)，从而得所求.
【解答过程】由诱导公式可知sin(2 x−π
3 )=cos(
π
2 −2 x +π
3 )=cos(−2 x + 5π
6 )=cos(2 x−5π
6 )
，
又∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，
所以φ=−5π
6 +2k π(k ∈Z)，
所以sin(π−φ)=sinφ =sin(−5π
6 )=−1
2.
故选：B.
【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】
9．（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin α +cosα
sin α −cosα = 1
2，则tan(α +π)=（ ）
A．−3
B．−1
3
C．3
D．1
3
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【解答过程】因为sin α +cosα
sin α −cosα = 1
2，所以tan α +1
tan α −1 = 1
2，解得tan α =−3，
于是tan(α +π)=tanα =−3，
故选：A．
10．（2025·山东烟台·一模）已知tanα =−2，则
cos(
π
2 +α)
sin(π−α)−sin(
3π
2 −α)
=（ ）
A．−2
3
B．2
3
C．−2
D．2
【答案】C
【解题思路】由诱导公式化简，进而根据弦切互化即可求解.
【解答过程】
cos(
π
2 +α)
sin(π−α )−sin(
3π
2 −α)
=
−sinα
sinα +cosα =
−sinα
cosα
sinα
cosα +cosα
cosα
= −tanα
tanα +1 = −(−2)
−2+1 =−2．
故选：C.
11．（2025·新疆喀什·二模）已知tan(−π−α )= 1
2，cosα <0，则sin α =（ ）
A．−
❑√5
5
B．2❑√5
5
C．
❑√5
5
D．−2❑√5
5
【答案】C
【解题思路】利用诱导公式化简已知条件求得tan α的值，再根据同角三角函数基本关系式即可求解.
【解答过程】∵tan(−π−α )= 1
2，∴−tan(π+α )= 1
2，
∴−tan α = 1
2，∴tan α =−1
2，
∴sin α
cosα =−1
2，即cosα =−2sin α，
又sin
2α +cos
2α =1，∴sin
2α +(−2sin α )
2=1，∴sin
2α = 1
5，
∵cosα <0，∴−2sin α <0，∴sin α >0，
∴sin α =
❑√5
5 .
故选：C.
12．（2025·海南海口·模拟预测）已知cos(30
∘+α)= 1
3，且0
∘<α <90
∘，则
tan(30
∘+α)sin
2(60
∘−α)−cos(150
∘−α)=（ ）
A．3+ ❑√2
9
B．3+2❑√2
9
C．3−❑√2
9
D．3−2❑√2
9
【答案】B
【解题思路】先根据α的范围，求sin(30
∘+α)，再利用诱导公式化简sin(60
∘−α)、cos(150
∘−α)，即
可求得.
【解答过程】因0
∘<α <90
∘，则30
∘<30
∘+α <120
∘，
因cos(30
∘+α)= 1
3，则sin(30
∘+α)= 2❑√2
3
，
因sin(60
∘−α)=sin[90
∘−(30
∘+α))=cos(30
∘+α)，
cos(150
∘−α)=cos[180
∘−(30
∘+α))=−cos(30
∘+α)，
则tan(30
∘+α)sin
2(60
∘−α)−cos(150
∘−α)
=tan(30
∘+α)cos
2(30
∘+α)+cos(30
∘+α)
=sin(30
∘+α)cos(30
∘+α)+cos(30
∘+α)
= 2❑√2
3
× 1
3 + 1
3 = 2❑√2+3
9
故选：B.
【题型4 三角恒等变换的化简问题】
13．（2025·安徽·模拟预测）已知角α满足
1−sin 2α
sin 2α +cos2α −1 = 1
2，则
tan 2α
tan(α +π
4 )
的值等于（ ）
A．9
4
B．4
9
C．4
3
D．3
4
【答案】B
【解题思路】应用二倍角公式化简条件得到tan α = 1
2，再对目标式进行化简并代入求解即可.
【解答过程】由题意得cosα ≠sinα，则
1−sin2α
sin2α +cos2α −1 =sin
2α +cos
2α −2sinα cosα
2sinα cosα −2sin
2α
=
(cosα −sinα )
2
2sinα (cosα −sinα ) =cosα −sinα
2sinα
= 1
2，
解得tan α = 1
2，所以tan2α = 2tanα
1−tan
2α
=
2× 1
2
1−1
4
= 4
3 ，tan(α +π
4 )=
tanα +tanπ
4
1−tanα tanπ
4
=
1
2 +1
1−1
2
=3，
所以tan2α
tan(α +π
4 )
=
4
3
3 = 4
9 ，
故选：B.
14．（2025·广东广州·模拟预测）已知cos(α + β)cos γ −cosα cos( β + γ )= 4
5 ，则
sin α sin( β + γ )−sin(α + β)sin γ =（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
【答案】D
【解题思路】通过两角和的余弦公式证明
sin α sin( β + γ )−sin(α + β)sin γ +cos(α + β)cos γ −cosα cos( β + γ )=0即可得到答案．
【解答过程】sin α sin( β + γ )−sin(α + β)sin γ +cos(α + β)cos γ −cosα cos( β + γ )
=cos(α + β)cos γ −sin(α + β)sin γ −[cosα cos( β + γ )−sin α sin( β + γ ))
=cos(α + β + γ )−cos(α + β + γ )=0，
所以sin α sin( β + γ )−sin(α + β)sin γ =−[cos(α + β)cos γ −cosα cos( β + γ ))=−4
5 ．
故选：D.
15．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知α为锐角，且sin β cos(α −β)−cos β sin(β −α )= 4
5 ，则tan α
2 =
（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】B
【解题思路】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得sin α，再求得cosα，然后由半角公式计算．
【解答过程】sin β cos(α −β)−cos β sin(β −α )=sin β cos(α −β)+cos β sin(α −β)=sin α = 4
5 ，
α是锐角，则cosα =
❑√1−sin
2α = 3
5，
tan α
2 =
sin α
1+cosα =
4
5
1+ 3
5
= 1
2，
故选：B．
16．（2025·湖北黄冈·一模）若−π
2 <α −β <π
2 ,cosα −2sin β =1,sinα +2cos β =−❑√2，则
cos(β +π
3 )=（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．
❑√3
6
D．
❑√6
6
【答案】A
【解题思路】根据条件，利用平方关系得到sin(α −β)=−1
2，进而得α = β −π
6 ，再代入
cosα −2sin β =1，利用和差角的余弦公式，计算即得.
【解答过程】由cosα −2sin β =1两边取平方，可得cos
2α −4cosα sin β + 4sin
2 β =1①，
由sinα +2cos β =−❑√2，两边取平方，可得sin
2α + 4sinα cos β + 4cos
2 β =2②，
由①+②得到1+ 4 (sinα cos β −cosα sin β)+ 4 =3，整理得到sin(α −β)=−1
2，
又−π
2 <α −β <π
2 ，解得α −β =−π
6 ，即α = β −π
6 ，
将其代入cosα −2sin β =1，可得cos(β −π
6 )−2sin β =1，即
❑√3
2 cos β + 1
2 sin β −2sin β =1，
即
❑√3
2 cos β −3
2 sin β =1，所以
❑√3(
1
2 cos β −
❑√3
2 sin β)= ❑√3cos(β +π
3 )=1，
故得cos(β +π
3 )=
❑√3
3 .
故选：A.
【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】
17．（2025·广东肇庆·一模）已知cosθ+sinθ
cosθ−sinθ = tan75
°，则sinθ =（ ）
A．±
❑√3
2
B．1
2
C．± 1
2
D．
❑√2+ ❑√6
4
【答案】C
【解题思路】根据同角三角函数商数的关系化简，结合两角和的正切公式得θ =30
°+180
°⋅k，利用诱导公
式即可求解.
【解答过程】∵cosθ+sinθ
cosθ−sinθ = tan75
°，∴1+ tanθ
1−tanθ = tan75
°，∴
tan 45
°+ tanθ
1−tan 45
°⋅tanθ
= tan75
°，
∴tan(45
°+θ) = tan75
°，∴θ =30
°+180
°⋅k（k ∈Z），∴sinθ =± 1
2.
故选：C.
18．（25-26 高二上·甘肃陇南·期中）已知0<α <π，sin α
2 = 2❑√5
5
，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．1
7
B．7
C．−7
D．−1
7
【答案】D
【解题思路】根据题意，利用三角函数的基本关系式和倍角公式，求得tan α =−4
3 ，再由两角和的正切公
式，代入计算，即可求解.
【解答过程】由0<α <π，故0< α
2 <π，
而sin α
2 = 2❑√5
5
，故cos α
2 = ❑√1−sin
2 α
2 =
❑√5
5 ，
则sin α =2sin α
2 cos α
2 =2× 2❑√5
5
×
❑√5
5 = 4
5 ，cosα =1−2sin
2 α
2 =1−8
5 =−3
5，
所以tan α = sin α
cosα =−4
3 ，则tan(α +π
4 )= tan α +1
1−tan α =
−4
3 +1
1−(−4
3 )
=−1
7 .
故选：D.
19．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知α ∈(0, 3 π
2 )，sin α +cosα = 7
17，则tan α
2 =（ ）
A．3
5
B．5
3
C．−1
4
D．4
3
【答案】B
【解题思路】利用同角三角函数关系式，结合已知条件求得tan α，根据二倍角的正切公式，结合α
2 的取值
范围，求得tan α
2 .
【解答过程】由sin α +cosα = 7
17 ，得(sin α +cosα )
2=1+2sin α cosα = 49
289，所以
2sin α cosα =−240
289 <0.
α ∈(0, 3 π
2 )，所以α ∈(
π
2 ,π)，所以sin α >0,cosα <0.
所以1−2sin α cosα = 529
289，(sin α −cosα )
2= 529
289，所以sin α −cosα = 23
17.
所以sin α = 15
17，cosα =−8
17 所以tan α = sin α
cosα =−15
8 .
所以
2tan α
2
1−tan
2 α
2
=−15
8 ，化简得：(5 tan α
2 +3)(3 tan α
2 −5)=0，解得：tan α
2 =−3
5，或tan α
2 = 5
3.
因为α ∈(
π
2 ,π)，所以α
2 ∈(
π
4 , π
2)，所以tan α
2 = 5
3
故选：B.
20．（2025·山西·模拟预测）若cos(α + β)cos β = 1
m，tan(α + β)= 3cos β
sin β ，则cos2α =（ ）
A．32
m
2 −1
B．16
m
2 −1
C．4
m
2 −1
D．2
m
2 −1
【答案】A
【解题思路】由同角三角函数的商数关系得到sin(α + β)sin β = 3
m，由α =(α + β)−β及两角和的余弦公式
得到cosα = 4
m，由二倍角公式求得cos2α.
【解答过程】由cos(α + β)cos β = 1
m得cos(α + β)=
1
mcos β ，
由tan(α + β)= sin(α + β)
cos(α + β) = sin(α + β)
1
mcos β
=mcos β sin(α + β)= 3cos β
sin β ，
得sin(α + β)sin β = 3
m，
cosα =cos[(α + β)−β)=cos(α + β)cos β +sin (α + β)sin β = 1
m + 3
m = 4
m，
所以cos2α =2cos
2α −1=2(
4
m)
2
−1= 32
m
2 −1，
故选：A.
【题型6 与解三角形有关的化简问题】
21．（2025·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边为a,b,c．若a=2，cos A =−3
5，则
6b+5c的最大值为（ ）
A．不存在最大值B．11❑√5
2
C．25
2
D．11❑√5
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将6b+5c转化为25
2 sin (C +φ)，根据C ,φ的
范围即可得解.
【解答过程】∵A ∈(0,π)，cos A =−3
5，∴sin A = 4
5 ，∴
b
sin B =
c
sinC =
a
sin A = 2
4
5
= 5
2，
∴b= 5
2 sin B，c = 5
2 sinC，
∴6b+5c =15sin B+ 25
2 sinC =15sin ( A +C)+ 25
2 sinC
=15sin A cosC +15cos A sinC + 25
2 sinC =12cosC + 7
2 sinC = 25
2 sin (C +φ)（其中sin φ= 24
25 ，
cosφ= 7
25，0<φ<π
2 ），
∵−
❑√2
2 <cos A <−1
2，∴A ∈(
2π
3 ,3π
4 )，∴C ∈(0,π
3 )，
又sin φ>
❑√3
2 ，0<φ<π
2 ，∴φ∈(
π
3 ,π
2 )，∴C +φ∈(
π
3 ,5π
6 )，
∴ sin(C +φ)≤1，
∴6b+5c≤25
2 ，∴6b+5c最大值为25
2 .
故选：C.
22．（2025·湖北黄冈·三模）已知锐角三角形ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a= ❑√3，
❑√3cos B+ 1
2 b=c．则b
c 的取值范围为（ ）
A．( 1
2 , 2)
B．( 1
2 ,+∞)
C．(0,2)
D．(❑√3,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos A的值，结合角A的取值范围可得出角A的
值；再由△ABC为锐角三角形求出角C的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出b
c 的取值范围，
【解答过程】因为a= ❑√3，
❑√3cos B+ 1
2 b=c，则acos B+ 1
2 b=c，
由正弦定理得sin A cos B+ 1
2 sin B =sinC =sin ( A + B)，
sin A cos B+ 1
2 sin B =sin A cos B+cos A sin B，所以，cos A sin B = 1
2 sin B，
因为A、B∈(0,π
2 )，则sin B>0，
所以，cos A = 1
2，即A =π
3
．
在锐角△ABC中，由{
0<C <π
2
0<B =2π
3
−C <π
2 )
，可得π
6 <C <π
2 ，
则b
c = sin B
sinC =
sin(C +π
3 )
sinC
=
1
2 sinC +
❑√3
2 cosC
sinC
= 1
2 +
❑√3
2tanC
，
又tanC > 1
❑√3，则0<
1
tanC <❑√3，
所以，b
c 的取值范围为(
1
2 ,2)，
故选：A.
23．（2025·福建泉州·模拟预测）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos B =
❑√5
5 ，且
3c cos A =acosC，tan A =（ ）
A．1
B．3
C．−1
D．−3
【答案】B
【解题思路】应用正弦边角关系及已知并整理得tan A =3 tanC，再结合三角形内角性质、诱导公式和角
正切公式，且tan B =2，进而得到关于tan A的方程，求解并验证即可.
【解答过程】由题设及正弦边角关系，有3sinC cos A =sin A cosC，0< A ,C <π，
所以tan A =3 tanC =3 tan[π−( A + B)]=−3 tan( A + B)=−3× tan A + tan B
1−tan A tan B ，
由cos B =
❑√5
5 ，0<B<π，则sin B = 2❑√5
5
，可得tan B =2，
所以tan A =−3× tan A +2
1−2tan A ，整理得tan
2 A −2tan A −3=0，
可得tan A =−1或tan A =3，
若tan A =−1，则cos A <0，结合3c cos A =acosC，故cosC <0，三角形有两个钝角，不符合；
所以tan A =3.
故选：B.
24．（2025·安徽·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
❑√3asin A + B
2
=csin A，则（ ）
A．C =π
6
B．c
2=a
2+b
2+ab
C．C = 5π
6
D．c
2=a
2+b
2−ab
【答案】B
【解题思路】利用正弦定理化边为角，根据诱导公式和二倍角公式化简求出角C，最后通过余弦定理确定
选项.
【解答过程】由
❑√3asin A + B
2
=csin A和正弦定理，可得
❑√3sin A sin A + B
2
=sinC sin A，
因0< A <π，则sin A >0，故得
❑√3sin(
π
2 −C
2)=sinC，即
❑√3cos C
2 =2sin C
2 cos C
2 ，
因0< C
2 <π
2 ，则cos C
2 ≠0，故得sin C
2 =
❑√3
2 ，解得C
2 =π
3 ，故C = 2π
3 ，故A，C 错误；
由余弦定理可得c
2=a
2+b
2−2abcosC =a
2+b
2+ab，故B 正确，D 错误.
故选：B.
【题型7 三角恒等变换的综合应用】
25．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数f (x)=2cos x(❑√3sin x−cos x)的图象关于直线x =m对称，则
tan2m=（ ）
A．❑√3
B．−
❑√3
3
C．-1
D．−❑√3
【答案】D
【解题思路】利用辅助角公式化简得f (x)=2sin(2 x−π
6)−1，根据正弦型函数的对称性，求得m的表达
式，进而求得tan2m的值.
【解答过程】函数f (x)=2❑√3sin xcos x−2cos
2 x +1−1= ❑√3sin2 x−cos2 x−1=2sin(2 x−π
6)−1.
令2 x−π
6 =π
2 +k π(k ∈Z)，则2 x = 2π
3 + k π(k ∈Z)，
则tan2m=tan 2π
3 =−❑√3.
故选：D.
26．（2025·河北·一模）将函数 f (x)=sinωx + ❑√3cosωx(ω>0)的图象向右平移π
3 个单位长度，得到
的图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．7
2
B．5
2
C．3
2
D．1
2
【答案】B
【解题思路】化简f (x)=2sin(ωx +π
3 )，由三角函数的图象变换，得到g(x)=2sin(ωx +π
3 −ωπ
3
)，
结合y = g(x)的图象关于y轴对称，求得ω=−1
2 −3k ,k ∈Z，进而得到答案.
【解答过程】由函数f (x)=sinωx + ❑√3cosωx =2sin(ωx +π
3 )，
将函数f (x)的图象向右平移π
3 个单位长度，
得到g(x)=2sin[ω( x−π
3 )+π
3 ]=2sin(ωx +π
3 −ωπ
3
)，
因为y = g(x)的图象关于y轴对称，可得π
3 −ωπ
3
=π
2 +k π,k ∈Z，
解得ω=−1
2 −3k ,k ∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为5
2.
故选：B.
27．（2025·山东·三模）已知函数f ( x)=sin
2 x −cos
2 x，则（ ）
A．f ( x)在(−π
2 ,π
6 )上单调递减
B．f ( x)在(−π
4 ,π
12 )上单调递减
C．f ( x)在(0,π
3 )上单调递增
D．f ( x)在(π
4 , 7π
12 )上单调递减
【答案】C
【解题思路】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐项分析判断.
【解答过程】依题意，函数f ( x)=−cos2 x，
对于A，因为f (0)=−cos0=−1，f (π
12 )=−cosπ
6 =−
❑√3
2 ，则f (0)<f (π
12 )，
所以f ( x)在(−π
2 ,π
6 )上不是单调递减函数，A 错误；
对于B，因为f (0)=−cos0=−1，f (π
24 )=−cosπ
12 >−1，则f (0)<f (π
24 )，
所以f ( x)在(−π
4 ,π
12 )上不是单调递减函数，B 错误；
对于C，当x∈(0,π
3 )时，2 x∈(0,2π
3 )，余弦函数y =cos x在(0,2π
3 )上单调递减，
因此f ( x)在(0,π
3 )上单调递增，C 正确；
对于D，因为f (π
3 )=−cos2π
3 = 1
2，f (π
2 )=−cosπ=1，则f (π
3 )<f (π
2 )，
所以f ( x)在(π
4 , 7π
12 )上不是单调递减函数，D 错误.
故选：C.
28．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx +a⋅cosωx(a>0,ω>0)的最小正周期为π，最小值
为−❑√2，则（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =−π
4 对称
B．f (x)的图象关于点(−π
4 ,0)对称
C．先将y = ❑√2sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移π
8 个单位可得
到f (x)的图象
D．先将y = ❑√2sin x向左平移π
8 个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可
得f (x)的图象
【答案】C
【解题思路】先利用辅助角公式化简函数解析式，根据周期与最值求出ω,a的值，即得函数解析式
f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )，根据正弦函数的图象对称性和平移伸缩变换的规律即可对各选项逐一判断.
【解答过程】f (x)=sinωx +a⋅cosωx =
❑√a
2+1sin(ωx +φ)，其中tanφ =a，
因为函数的最小正周期为π，ω>0，则2π
ω =π，解得ω=2，
又函数的最小值为−❑√2，所以❑√a
2+1= ❑√2，因a>0，则可得a=1，
所以f (x)=sin2 x +cos2 x = ❑√2sin(2 x +π
4 )．
对于A，因为f (−π
4 )= ❑√2sin(−π
4 )=−1≠± ❑√2，即函数图象不关于直线x =−π
4 对称，故A 错误；
对于B，因为f (−π
4 )= ❑√2sin(−π
4 )=−1≠0，即函数图象不关于点(−π
4 ,0)对称，故B 错误；
对于C，将y = ❑√2sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y = ❑√2sin2 x的图象，
再将图象向左平移π
8 个单位可得到y = ❑√2sin2( x +π
8 )= ❑√2sin(2 x +π
4 )即函数f (x)的图象，故C 正
确；
对于D，将y = ❑√2sin x向左平移π
8 个单位，可得y = ❑√2sin( x +π
8 )的图象，再将图象上点的横坐标变
为原来的一半，
纵坐标不变，可得y = ❑√2sin(2 x +π
8 )的图象，而不是函数f (x)的图象，故D 错误.
故选：C．
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2025·四川自贡·一模）若tanθ =−2，则1−sin2θ
1−sin
2θ
=（ ）
A．1
B．3
C．9
D．10
【答案】C
【解题思路】先利用二倍角和同角的三角函数关系将1−sin2θ
1−sin
2θ 齐次化，转化为正切的表示式再代值计算
即可.
【解答过程】1−sin 2θ
1−sin
2θ
= sin
2θ+cos
2θ−2sinθcosθ
cos
2θ
= tan
2θ−2tanθ+1=(tanθ−1)
2=(−2−1)
2=9.
故选：C.
2．（2025·湖南永州·模拟预测）
❑√3tan10
∘−1
sin10
∘
的值为（ ）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
【答案】D
【解答过程】先将❑√3tan10
∘−1进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算
即可．
【解题思路】
❑√3tan10
∘−1
sin10
∘
=
❑√3sin10
∘
cos10
∘
−1
sin10
∘
=
❑√3sin10
∘−cos10
∘
sin10
∘cos10
∘
= 2sin(10
∘−30
∘)
1
2 sin 20
∘
=−2sin 20
∘
1
2 sin 20
∘=−4
.
故选：D.
3．（2025·四川凉山·一模）已知3
2 sin 2α =cos(
π
2 +α)，α ∈(
π
2 ,π)，则tan α =（ ）
A．−2❑√2
B．−❑√2
C．−2
D．−3 ❑√2
【答案】A
【解题思路】利用二倍角正弦公式和诱导公式化简等式，结合角的范围求解tan α.
【解答过程】原等式3
2 sin 2α =cos(
π
2 +α)可化为3
2 ×2sin α cosα =−sin α，即3sin α cosα =−sin α，
因为α ∈(
π
2 ,π)，所以sin α >0，所以cosα =−1
3，
sin α =
❑√1−cos
2α = ❑√
1−(−1
3)
2
= ❑√1−1
9 = ❑√
8
9 = 2❑√2
3
，
tan α =
2❑√2
3
−1
3
=−2❑√2.
故选：A.
4．（2025·湖南长沙·二模）设θ是锐角，sinθcos(θ−π
4 )=cosθcos(θ+π
4 )，则tanθ =（ ）
A．❑√2+1
B．❑√2−1
C．
❑√2+1
2
D．
❑√2−1
2
【答案】B
【解题思路】先利用三角恒等变换化简得到2sinθcosθ+sin
2θ−cos
2θ =0，两边同除cos
2θ得到
tan
2θ+2tanθ−1=0，因为θ是锐角，所以tanθ>0，所以tanθ = ❑√2−1.
【解答过程】由题可得sinθ(
❑√2
2 cosθ+
❑√2
2 sinθ)=cosθ(
❑√2
2 cosθ−
❑√2
2 sinθ)，
即sinθcosθ+sin
2θ =cos
2θ−sinθcosθ
即2sinθcosθ+sin
2θ−cos
2θ =0，
两边同除cos
2θ得到tan
2θ+2tanθ−1=0，所以tanθ =−1± ❑√2
因为θ是锐角，所以tanθ>0，所以tanθ = ❑√2−1；
故选B.
5．（2025·吉林长春·模拟预测）已知tanα = ❑√2，则cos2α −2sin
2α =（ ）
A．−5
3
B．−1
3
C．1
3
D．5
3
【答案】A
【解题思路】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可.
【解答过程】因为tanα = sin α
cosα = ❑√2，所以cosα ≠0，又sin
2α +cos
2α =1，
所以cos2α −2sin
2α =cos
2α −sin
2α −2sin
2α =cos
2α −3sin
2α
sin
2α +cos
2α
=
cos
2α −3sin
2α
cos
2α
sin
2α +cos
2α
cos
2α
= 1−3 tan
2α
tan
2α +1
= 1−3×(❑√2)
2
(❑√2)
2+1
=−5
3.
故选：A.
6．（2025·湖北·模拟预测）若cos95
∘=a，则sin100
∘的值为（ ）
A．1−a
2
B．1−2a
2
C．2a
2−1
D．a
2−1
【答案】B
【解题思路】先由诱导公式求得sin5°，再用诱导公式和二倍角公式求解sin100°.
【解答过程】由cos95
∘=cos(90
∘+5
∘)=−sin5
∘=a知：sin5
∘=−a，
因此sin100
∘=sin(90
∘+10
∘)=cos10
∘=1−2sin
25
∘=1−2a
2.
故选：B.
7．（2025·广东江门·模拟预测）已知tanθ =sinθ+3cosθ
sinθ−cosθ
，0<θ<π
2 ，则tan2θ =（ ）
A．−4
3
B．4
3
C．−3
4
D．3
4
【答案】C
【解题思路】将弦化切，即可求出tanθ，再由二倍角公式计算可得.
【解答过程】因为tanθ =sinθ+3cosθ
sinθ−cosθ
，所以tanθ =tanθ+3
tanθ−1 ，解得tanθ =3或tanθ =−1，
又0<θ<π
2 ，所以tanθ>0，则tanθ =3，
所以tan2θ = 2tanθ
1−tan
2θ
= 2×3
1−3
2 =−3
4 .
故选：C.
8．（2025·广西柳州·模拟预测）已知tan(α +π
4 )=−2，则cosα
cosα −sinα =（ ）
A．1
2
B．−2
C．2
D．−1
2
【答案】D
【解题思路】先应用两角和正切公式计算得出tan α =3，再弦化切得出齐次式的值.
【解答过程】因为tan(α +π
4 )=−2，所以tan(α +π
4 )=tanα +1
1−tanα =−2，
所以tanα =3，则cosα
cosα −sinα =
1
1−tanα =
1
1−3 =−1
2.
故选：D.
二、填空题
9．（2025·青海·模拟预测）已知tan(α +π
4 )= 4，则tan α =
．
【答案】3
5
【解题思路】根据两角和与差的正切公式即可求解.
【解答过程】已知tan(α +π
4 )= tan α +1
1−tan α = 4，解得tan α = 3
5．
故答案为：3
5.
10．（2025·云南·三模）已知角α的终边过点P(−2,4)，则2+sin α cosα
2sin
2α +cos
2α
= ．
【答案】8
9
【解题思路】由三角函数的定义求出tan α的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.
【解答过程】因为α的终边过点P(−2,4)，根据三角函数的定义，可得tan α = 4
−2 =−2，
2+sin α cosα
2sin
2α +cos
2α
= 2sin
2α +sin α cosα +2cos
2α
2sin
2α +cos
2α
= 2tan
2α + tan α +2
2tan
2α +1
= 2×(−2)
2−2+2
2×(−2)
2+1
= 8
9.
故答案为：8
9.
11．（2025·陕西榆林·模拟预测）若tanθ = ❑√2，则
1−sin2θ
sinθcosθ−cos
2θ
= .
【答案】❑√2−1
【解题思路】利用平方关系和二倍角公式对式子进行化简即可求出答案.
【解答过程】
1−sin2θ
sinθcosθ−cos
2θ
=sin
2θ+cos
2θ−2sinθcosθ
cosθ(sinθ−cosθ)
=
(sinθ−cosθ)
2
cosθ(sinθ−cosθ) =sinθ−cosθ
cosθ
=tanθ−1= ❑√2−1.
故答案为：❑√2−1.
12．（2025·山东·三模）已知tan(α +π
6 )
tan α
=−2，则sin(2α +π
6 )=
.
【答案】1
6
【解题思路】化切为弦得sin(α +π
6 )cosα =−2cos(α +π
6 )sin α，根据两角差的正弦公式求得
cos(α +π
6 )sin α =−1
6 ，然后利用两角和的正弦公式计算即可．
【解答过程】因为tan(α +π
6 )
tan α
=−2，所以
sin(α +π
6 )cosα
cos(α +π
6 )sin α
=−2，即
sin(α +π
6 )cosα =−2cos(α +π
6 )sin α，
又sinπ
6 =sin[(α +π
6 )−α) =sin(α +π
6 )cosα −cos(α +π
6 )sin α
=−2cos(α +π
6 )sin α −cos(α +π
6 )sin α =−3cos(α +π
6 )sin α = 1
2，
所以cos(α +π
6 )sin α =−1
6 ，
所以sin(2α +π
6 )=sin[(α +π
6 )+α) =sin(α +π
6 )cosα +cos(α +π
6 )sin α
=−cos(α +π
6 )sin α = 1
6 ．
故答案为：1
6.
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·河南·模拟预测）已知角α的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点(1,−2)，则
cos
2α +sin α cosα
sin 2α
=（ ）
A．3
4
B．1
4
C．−1
4
D．−3
4
【答案】B
【解题思路】由三角函数的定义得到tan α =−2，再结合同角三角函数商的关系弦化切即可求解.
【解答过程】由角α终边经过点(1,−2)，得tan α =−2，
所以cos
2α +sin α cosα
sin 2α
= cosα (sin α +cosα )
2sin α cosα
= sin α +cosα
2sin α
= tan α +1
2tan α = 1
4 ，
故选：B.
2．（2025·河北沧州·一模）已知(cosα +cos β)(cosα −cos β)=−1
12 ,sin(α −β)= 1
4 ，则tanα
tan β =
（ ）
A．−7
B．−6
C．6
D．7
【答案】D
【解题思路】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简(cosα +cos β)(cosα −cos β)=−1
12，可得
sin(α + β)sin(α −β)= 1
12，结合条件求得sin(α + β)= 1
3，再利用和差角的正弦公式求得
sinα cos β = 7
24 ,cosα sin β = 1
24 ，进而求得答案.
【解答过程】因为(cosα +cos β)(cosα −cos β)=cos
2α −cos
2 β = 1+cos2α
2
−1+cos2 β
2
= 1
2
(cos2α −cos2 β)= 1
2 cos[(α + β)+(α −β))−1
2 cos[(α + β)−(α −β))
= 1
2 [cos(α + β)cos(α −β)−sin (α + β)sin (α −β))−1
2 [cos(α + β)cos(α −β)+sin (α + β)sin (α −β))
=−sin(α + β)sin(α −β)=−1
12，
所以sin(α + β)sin(α −β)= 1
12，又sin(α −β)= 1
4 ，所以sin(α + β)= 1
3，
又sin(α −β)=sinα cos β −cosα sin β = 1
4 ,sin(α + β)=sinα cos β +cosα sin β = 1
3，
解得sinα cos β = 7
24 ,cosα sin β = 1
24 ，所以tanα
tan β =sinα cos β
cosα sin β =7.
故选：D.
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知α , β ∈(0,π
2 ),sinα sin β = 2❑√2
5
,cos(α −β)= 7 ❑√2
10 ，则
tan(α + β)=（ ）
A．7
B．1
7
C．−1
7
D．−7
【答案】D
【解题思路】利用余弦的两角和差公式，先求出cos(α + β)=−
❑√2
10 ，再用同角公式即可求解.
【解答过程】由cos(α −β)=cosα cos β +sin α sin β = 7 ❑√2
10 ，
因为sinα sin β = 2❑√2
5
，所以cosα cos β = 7 ❑√2
10 −2❑√2
5
= 3 ❑√2
10 ，
则cos(α + β)=cosα cos β −sin α sin β = 3 ❑√2
10 −2❑√2
5
=−
❑√2
10 ，
又因为α , β ∈(0,π
2 ),可得α + β ∈(0,π),由cos(α + β)=−
❑√2
10 <0，
可知α + β ∈(
π
2 ,π),即sin(α + β)=
❑√1−cos
2(α + β)= ❑√1−2
100 = 7 ❑√2
10 ，
所以tan(α + β)= sin (α + β)
cos(α + β) =
7 ❑√2
10
−
❑√2
10
=−7.
故选:D.
4．（25-26 高三上·湖北武汉·月考）已知△ABC内角A，B，C 满足sin A =−6cos BcosC，
cos A =3sin BsinC，则tan A =（ ）
A．2
B．4
C．8
D．9
【答案】B
【解题思路】根据三角形内角和为π，把sin A转化为sin A =sin (B+C)，把cos A转化为
cos A =−cos(B+C)，利用两角和的正余弦公式展开整理，再进行弦切互化，结合两角和的正切公式求解
即可.
【解答过程】在△ABC中，A + B+C =π,
故有sin A =sin[π−(B+C ))=sin (B+C )=sin B cosC +cos B sinC，
cos A =cos[π−(B+C ))=−cos(B+C )=−cos B cosC +sin B sinC，
又∵ sin A =−6cos BcosC，
∴−6cos BcosC =sin BcosC +cos BsinC，两边同除以cos BcosC，
可得tan B+ tanC =−6;
∵ cos A =3sin BsinC,
∴3sin BsinC =−cos BcosC +sin BsinC，
可得tan B tanC =−1
2
根据两角和的正切公式可得
tan (B+C)= tan B+ tanC
1−tan B tanC = −6
1+ 1
2
=−4
因为在△ABC中，A + B+C =π，
故A =π−(B+C)，
则tan A = tan[π−(B+C))=−tan (B+C)= 4，
故选：B.
5．（2025·四川自贡·一模）若函数f ( x)= ❑√3sin ωx +cosωx(ω>0)满足f ( x +π)= f ( x)，且在(0,π
6 )
没有零点，则ω的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用辅助角公式化简函数f ( x)，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解.
【解答过程】函数f ( x)= ❑√3sin ωx +cosωx =2sin(ωx +π
6 )，当x∈(0,π
6 )时，
ωx +π
6 ∈(π
6 , ωπ+π
6
)，
由函数f ( x)在(0,π
6 )没有零点，得ωπ+π
6
≤π，解得ω≤5，
由f ( x +π)= f ( x)，得π是函数f ( x)的周期，则π=k ⋅2π
ω ,k ∈N
∗，
解得ω=2k ,k ∈N
∗，所以当k =2时，ω取得最大值4.
故选：A.
6．（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
【答案】A
【解题思路】结合已知，引入∠DEB =θ来表达∠FEC ,∠BDE ,∠CFE，且据勾股定理可求出EF =1，
则在△BDE和△ECF中，分别用正弦定理可表达BC，即可表达面积，从而分析最值.
【解答过程】设∠DEB =θ，
∴∠FEC =π
2 −θ ,∠BDE = 2π
3 −θ ,∠CFE =π
6 +θ，
∵∠≝=π
2 , DF =2, DE = ❑√3，
∴EF =1，
在△BDE中，
DE
sin ∠DBE =
BE
sin ∠BDE ，即
❑√3
sinπ
3
=
BE
sin(
2π
3 −θ)
，
∴BE =2sin(
2π
3 −θ)= ❑√3cosθ+sinθ，
同理，在△ECF中，EC = 2❑√3
3
sin(
π
6 +θ)=
❑√3
3 cosθ+sinθ，
∴△ABC的边长BC = BE + EC = ❑√3cosθ+sinθ+
❑√3
3 cosθ+sinθ = 2❑√21
3
sin(θ+φ)，
其中tan φ = 2❑√3
3
，
∵θ∈(0, π
2)∴θ+φ =π
2 时，BC取得最大值为2❑√21
3
，
∴S△ABC =
❑√3
4 BC
2≤
❑√3
4 × 28
3 = 7 ❑√3
3
.
故选：A.
二、解答题
7．（2025·江苏·模拟预测）设△ABC的内角A ,B ,C所对应的边分别是a,b,c，且
bcosC + ❑√3bsinC =a+c．
(1)求角B的值．
(2)a= 4，sin A = ❑√2cos B，求△ABC的面积．
【答案】(1)π
3 ；
(2)6+2❑√3
【解题思路】（1）由正弦定理得到sin BcosC + ❑√3sin BsinC =sin A +sinC，再由三角恒等变换化简得
2sin(B−π
6 )=1，即可求得B；
（2）由题给关系求得A =π
4 ，C = 5π
12 ，再由正弦定理得b，再由三角形面积公式即可求解.
【解答过程】（1）因为bcosC + ❑√3bsinC =a+c，
所以由正弦定理得sin BcosC + ❑√3sin BsinC =sin A +sinC，
所以sin BcosC + ❑√3sin BsinC =sin BcosC +cos BsinC +sinC，
即❑√3sin BsinC =cos BsinC +sinC，
由B ,C ∈(0,π)可得sinC ≠0，所以
❑√3sin B−cos B =2sin(B−π
6 )=1，
所以B =π
3 ；
（2）因为sin A = ❑√2cos B，B =π
3 ，所以sin A =
❑√2
2 ，所以A =π
4 ，
所以C =π−π
4 −π
3 = 5π
12 ，sinC =sin(
π
4 +π
3 )=sinπ
4 cosπ
3 +cosπ
4 sinπ
3 =
❑√6+ ❑√2
4
，
由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B ，即
4
❑√2
2
= b
❑√3
2
= 4 ❑√2
，所以b=2❑√6，
所以S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×4×2❑√6×
❑√6+ ❑√2
4
=6+2❑√3.
8．（2025·重庆·模拟预测）已知函数 f (x)= ❑√6sin(ωx +π
4 )−❑√2sin(ωx −π
4 )的最小正周期为π，
其中 ω>0 .
(1)求ω，并求曲线y = f (x)的对称中心；
(2)若f (θ)=2❑√2，求tan2θ.
【答案】(1)ω=2，( k π
2 −5π
24 ,0),k ∈Z；
(2)2−❑√3
【解题思路】（1）利用三角恒等变换公式化简f (x)的表达式，结合函数的最小正周期，求出ω，再结合正
弦函数的对称中心，即可求得答案；
（2）由f (θ)=2❑√2可求出2θ =2k π+π
12 ,k ∈Z，利用三角函数诱导公式以及两角差的正切公式，即可
求得答案.
【解答过程】（1）f ( x)= ❑√6sin(ωx +π
4 )−❑√2sin(ωx +π
4 −π
2 )
= ❑√6sin(ωx +π
4 )+ ❑√2cos(ωx +π
4 )
=2❑√2[
❑√3
2 sin(ωx +π
4 )+ 1
2 cos(ωx +π
4 ))
=2❑√2sin(ωx +π
4 +π
6 )=2❑√2sin(ωx + 5π
12 )，
因为函数的最小正周期为π，ω>0，所以2π
ω =π，则有ω=2，
所以f (x)=2❑√2sin(2 x + 5π
12 )；
由2 x + 5π
12 =k π,k ∈Z，可得x = k π
2 −5π
24 ，k ∈Z，
所以函数f ( x)的对称中心为( k π
2 −5π
24 ,0),k ∈Z；
（2）由于f (θ)=2❑√2sin(2θ+ 5π
12 )=2❑√2，所以sin(2θ+ 5π
12 )=1，
则有2θ+ 5π
12 =2k π+π
2 ,k ∈Z，即2θ =2k π+π
12 ,k ∈Z，
所以tan 2θ = tan(2k π+π
12 )= tanπ
12 = tan(π
3 −π
4 )=
tanπ
3 −tanπ
4
1+ tanπ
3 tanπ
4
=
❑√3−1
1+ ❑√3 =2−❑√3．
