专题5.1 同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换（举一反三
复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、同角三角函数关系式、诱导公式与三角恒等变换
三角函数是高考的重点、热点内容，同角三角函数关系式、诱导公式
与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考数学的必考内容之
一。从近几年的高考情况来看，主要考察“弦切互化”、三角函数的化简
求值等内容，一般以选择题、填空题的形式出现，试题难度中等或偏下；
但在有关三角函数、解三角形的解答题中有时也会涉及到三角恒等变换、
合并化简等内容，此时试题难度中等，需要灵活求解。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
同角三角函
全国乙卷（文数）：
新课标I 卷：第4
全国二卷：第8 题，
数基本关系
式及诱导公
式
第4 题，5 分
全国乙卷（文数）：
第14 题，4 分
全国甲卷（理数）：
第7 题，5 分
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第13
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第9 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第8 题，5 分
5 分
三角恒等变
换
新课标I 卷：第8
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第7
题，5 分
全国乙卷（文数）：
第4 题，5 分
新课标I 卷：第4
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第13
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第9 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第8 题，5 分
全国一卷：第11
题，6 分
全国二卷：第8 题，
5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，本节内容的考情将继续维持稳定态
势。同角三角函数基本关系式、三角恒等变换依旧是考查核心，大概率仍
然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳定在5 分左右。核心考点聚焦
同角三角函数关系式与三角恒等变换的结合考查，难度不大；也可能结合
解三角形模块在选择题、解答题中考查，涉及到同角三角函数基本关系
式、三角恒等变换的化简，此时难度中等，要学会灵活求解。
知识点
1
同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
可以实
现角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点
2
诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进行
运算.如
.
知识点
3
同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
知识点
4
三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如
和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓
展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx 化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”.
(3) 常见的角变换：
，
，
，
，
等.
知识点
5
三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给角求值型问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间
总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得
解.
2．给值求值型问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相
应角的三角函数值，代入即可.
3．给值求角型问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解
决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．降幂公式：
，
.
4．
，
，
.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2025·甘肃武威·模拟预测）若sin
2α
1−cosα = 2
3，则tanα =（ ）
A．2❑√2
B．−2❑√2
C．±2❑√2
D．± ❑√2
【答案】C
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出cosα，从而求出sin α，即可得解.
【解答过程】因为sin
2α
1−cosα = 1−cos
2α
1−cosα =1+cosα = 2
3，则cosα =−1
3，
所以sinα =±
❑√1−cos
2α =± 2❑√2
3
，则tanα = sin α
cosα =±2❑√2.
故选：C.
【变式1-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知tanθ =6，则2cosθ−sinθ
cosθ+sinθ
=（ ）
A．7
4
B．−7
4
C．4
7
D．−4
7
【答案】D
【解题思路】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以cosθ转化为tanθ的表达式，代入求解即可.
【解答过程】因为cosθ≠0，分子分母同除cosθ，
2cosθ−sinθ
cosθ+sinθ
= 2−tanθ
1+ tanθ = 2−6
1+6 =−4
7 ，
故选：D.
【变式1-2】（2025·河南信阳·模拟预测）若tanα =2，α ∈(0,π )，则2sinα +cosα =（ ）
A．❑√5
B．−❑√5
C．4
5
❑√5
D．−4
5
❑√5
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数的关系，已知tanα =2，α ∈(0,π )，可求sinα ,cosα，然后代入计算即
可.
【解答过程】由题知{
tanα = sin α
cosα =2
sin
2α +cos
2α =1)
，α ∈(0,π )，解得sin α = 2❑√5
5
,cosα =
❑√5
5 ，
则2sinα +cosα =2× 2❑√5
5
+
❑√5
5 = ❑√5，
故选：A.
【变式1-3】（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π)，sinα +cosα = 2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
【答案】A
【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sinα cosα =−17
25 ，结合α范围可判断sin α ,cosα的符号，
再利用同角三角函数基本关系可即求得sinα −cosα.
【解答过程】(sinα +cosα )
2=1+2sinα cosα = 8
25 ⇒2sinα cosα =−17
25，
故(sinα −cosα )
2=1−2sinα cosα = 42
25，
又∵sinα cosα <0且α ∈(0,π)⇒sinα >0，故cosα <0，
∴sinα −cosα >0，故sinα −cosα =
❑√42
5
.
故选：A.
【题型2 诱导公式的应用
化简、求值】
——
【例2】（2025·广东·模拟预测）设π <α < 3
2 π，且sin(2α + π
4)=cosα，则α =（ ）
A．7 π
6
B．5 π
4
C．17 π
6
D．17 π
12
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式cosα =sin(
π
2 −α)化成同名三角函数值，再利用
sin (π−α )=sin α ,sin (α +2k π)=sin α，结合α的范围即可得解.
【解答过程】诱导公式有sin(2α + π
4)=sin(
π
2 −α)，
故2α + π
4 =(
π
2 −α)+2kπ或2α + π
4 = π −(
π
2 −α)+2kπ，其中k ∈Z，
分别解得α = π
12 + 2kπ
3 或α = π
4 +2kπ ,k ∈Z．
由于π <α < 3 π
2 ，故只能是α = π
12 + 2kπ
3 取k =2的情形，即α = 17 π
12 ．
故选：D．
【变式2-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）若sin α =
❑√3
3 ，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．
❑√6
3
B．−
❑√6
3
C．
❑√3
3
D．−
❑√3
3
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式直接求解即可.
【解答过程】cos(
π
2 +α)=−sin α =−
❑√3
3 ．
故选：D.
【变式2-2】（2025·四川绵阳·一模）已知cos(α −5π
4 )= 2❑√2
3
，则sin(
π
4 +α)=（ ）
A．1
3
B．−2❑√2
3
C．2❑√2
3
D．± 1
3
【答案】B
【解题思路】由cos(α −5π
4 )=cos(
π
4 +α −3π
2 )，应用诱导公式及已知即可求解.
【解答过程】由cos(α −5π
4 )=cos(
π
4 +α −3π
2 )=cos[ 3π
2 −(π
4 +α )]=−sin(π
4 +α )= 2❑√2
3
，
所以sin(
π
4 +α)= −2❑√2
3
.
故选：B.
【变式2-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角α满足sin(α −10
∘)= 1
5，则cos(α +260
∘)=（ ）
A．−2❑√6
5
B．2❑√6
5
C．−1
5
D．1
5
【答案】D
【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可.
【解答过程】因为sin(α −10
∘)= 1
5，
所以cos(α +260
∘)=cos[(α −10
∘)+270
∘)=sin(α −10
∘)= 1
5.
故选：D.
【题型3 同角三角函数关系式与诱导公式的综合应用】
【例3】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知α为第二象限角，且tan (α −π)=k，则sin α =（ ）
A．
−k
❑√k
2+1
B．
k
❑√k
2+1
C．
−1
❑√k
2+1
D．
1
❑√k
2+1
【答案】A
【解题思路】利用诱导公式可得tan α =k，根据同角三角关系运算求解即可.
【解答过程】因为tan (α −π)= tan α =k，则sin α
cosα =k，即sin α =k cosα
且sin
2α +cos
2α =1，即k
2cos
2α +cos
2α =1，可得cos
2α =
1
k
2+1，
且α为第二象限角，则cosα <0,sin α >0,k <0，
可得cosα =
−1
❑√k
2+1
，sin α =
−k
❑√k
2+1
.
故选：A.
【变式3-1】（2025·吉林长春·模拟预测）已知tanα =−3，则
sinα −sin
3α
sin(
π
2 +α)
=（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．3
10
D．−3
10
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式及sin
2α +cos
2α =1、弦化切，把所给式子化简，将tanα =−3代入可得答案.
【解答过程】
sinα −sin
3α
sin(
π
2 +α)
=sinα (1−sin
2α)
cosα
=tanα cos
2α =tanα cos
2α
sin
2α +cos
2α
=tanα
tan
2α +1
=−3
10.
故选：D.
【变式3-2】（2025·浙江温州·一模）若θ∈(0,π
2 )，tan(
π
2 −θ)= 1
2，则sinθ−cosθ =（ ）
A．−
❑√5
5
B．
❑√5
5
C．−2❑√5
5
D．2❑√5
5
【答案】B
【解题思路】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【解答过程】由tan(
π
2 −θ)= 1
2，可得
sin(
π
2 −θ)
cos(
π
2 −θ)
= 1
2，所以cosθ
sinθ = 1
2，所以sinθ =2cosθ，
又因为sin
2θ+cos
2θ =1，所以4 cos
2θ+cos
2θ =1，所以cos
2θ = 1
5，
又因为θ∈(0,π
2 )，所以cosθ =
❑√5
5 ，所以sinθ = 2❑√5
5
，
所以sinθ−cosθ = 2❑√5
5
−
❑√5
5 =
❑√5
5 .
故选：B.
【变式3-3】（2025·广东茂名·模拟预测）已知sin(
π
3
−x)= 1
3，且0< x<π
2
，求
sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)的值为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．2❑√2
3
C．0
D．−2❑√2
3
【答案】A
【解题思路】由sin(
π
3 −x)= 1
3
，结合π
3 −x的范围求出cos(
π
3 −x)的值，再利用诱导公式将
sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)化简，即可得解.
【解答过程】∵0< x<π
2
,∴−π
6 <π
3 −x<π
3
，
∵ sin(
π
3 −x)= 1
3，∴cos(
π
3
−x)= ❑√1−sin
2(
π
3
−x)= 2❑√2
3
．
∴sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)=sin[
π
2 −(
π
3 −x))−cos[π−(
π
3 −x))
=cos(
π
3 −x)+cos(
π
3 −x)=2cos(
π
3 −x)= 4 ❑√2
3
．
故选：A.
【题型4 三角恒等变换的化简问题】
【例4】（2025·广东佛山·一模）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则tan(α −π
4)=（ ）
A．7
2
B．2
7
C．1
7
D．7
【答案】D
【解题思路】结合角α的范围，根据二倍角公式计算出角α的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式
计算.
【解答过程】∵α ∈(0,π)，∴α
2 ∈(0,π
2 ).
又∵cos α
2 =
❑√5
5 ，sin
2 α
2 +cos
2 α
2 =1，
∴sin α
2 = 2❑√5
5
.
∴sin α =2sin α
2 cos α
2 = 4
5 ，cosα =2cos
2 α
2 −1=−3
5，tan α = sin α
cosα =−4
3 .
∴tan(α −π
4 )= tan α −1
1+ tan α =
−7
3
−1
3
=7.
故选：D.
【变式4-1】（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）sin15
∘cos45
∘−cos165
∘sin 45
∘=（ ）
A．−1
2
B．−
❑√3
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】D
【解题思路】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案.
【解答过程】sin15
∘cos45
∘−cos165
∘sin 45
∘=sin15
∘cos45
∘−cos(180
∘−15
∘)sin 45
∘
=sin15
∘cos45
∘+cos15
∘sin 45
∘=sin(15
∘+ 45
∘)=
❑√3
2 .
故选：D.
【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知tan(α −π
4 )=2，则tan2α =（ ）
A．−3
4
B．3
4
C．−4
3
D．4
3
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用差角的正切公式及二倍角的正切公式求解.
【解答过程】由tan(α −π
4 )=2，得tan α −1
1+ tan α =2，解得tan α =−3，
所以tan 2α = 2tan α
1−tan
2α
= 2×(−3)
1−(−3)
2 = 3
4 .
故选：B.
【变式4-3】（2025·山西吕梁·模拟预测）已知cos(α −π
6 )−1
2 =sinα，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．3
4
D．−3
4
【答案】B
【解题思路】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的cos(α −π
6 )，通过移项化简得到cos(α +π
6 )的
值，再利用余弦的二倍角公式即可求解.
【解答过程】由题知cos(α −π
6 )−1
2 =cosα cosπ
6 +sin α sinπ
6 −1
2 =
❑√3
2 cosα + 1
2 sin α −1
2 =sin α，
所以
❑√3
2 cosα −1
2 sin α = 1
2，即cos(α +π
6 )= 1
2，
所以cos(2α +π
3 )=cos2(α +π
6 )=2cos
2(α +π
6 )−1=2×(
1
2)
2
−1=−1
2.
故选：B.
【题型5 同角三角函数关系式与三角恒等变换的综合应用】
【例5】（2025·四川资阳·一模）已知cosθ =−3
5，θ∈(0,π)，则tan(θ+π
4 )=（ ）
A．−7
B．−1
7
C．1
7
D．7
【答案】B
【解题思路】先根据同角三角函数的基本关系求得tanθ =−4
3 ，再根据两角和的正切公式求解即可.
【解答过程】由cosθ =−3
5，θ∈(0,π)，则sinθ =
❑√1−cos
2θ = 4
5 ，
所以tanθ = sinθ
cosθ =−4
3 ，
则tan(θ+π
4 )=
tanθ+ tanπ
4
1−tanθ tanπ
4
=
−4
3 +1
1+ 4
3
=−1
7 .
故选：B.
【变式5-1】（2025·海南·一模）已知α ∈(0,π
2 ),sin α = 3 ❑√10
10
，则tan 2α =（ ）
A．−2
B．−1
2
C．−4
3
D．−3
4
【答案】D
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出tan α =3，再根据二倍角公式求得答案.
【解答过程】因为α ∈(0,π
2 ),sin α = 3 ❑√10
10
，
所以cosα =
❑√1−sin
2α =
❑√10
10 ,tan α = sin α
cosα =3，
故tan 2α = 2tan α
1−tan
2α
=−3
4 ，
故选：D.
【变式5-2】（25-26 高三上·山东临沂·期中）若sin (α −β)= 1
2，tan α
tan β =11，则sin (α + β)=（ ）
A．−12
25
B．12
25
C．3
5
D．−1
2
【答案】C
【解题思路】利用两角差的正弦公式和切化弦可求得cosα sin β = 1
20，sin α cos β = 11
20，进而利用两角和
的正弦公式可求得值.
【解答过程】因为tan α
tan β =
sin α
cosα
sin β
cos β
= sin α cos β
cosα sin β =11，
所以sin α cos β =11cosα sin β，
又sin (α −β)=sin α cos β −cosα sin β = 1
2，
所以10cosα sin β = 1
2，
所以cosα sin β = 1
20，sin α cos β = 11
20，
所以sin (α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 11
20 + 1
20 = 12
20 = 3
5，
故选：C.
【变式5-3】（2025·湖南永州·模拟预测）已知
α ∈(0,π
4 ), β ∈(0,π
2 ),sin(2α + β)= 3
5 ,
1
tanα −tanα =
1
tan β ，则sin(2α −β)=（ ）
A．−1
5
B．1
5
C．2
5
D．−2
5
【答案】B
【解题思路】由条件
1
tan α −tan α =
1
tan β 利用同角关系化简可得sin2α cos β =2cos2α sin β，由条件
sin(2α + β)= 3
5，结合两角和正弦公式可得sin2α cos β +cos2α sin β = 3
5，再根据两角差的正弦公式
求出结果即可.
【解答过程】由题意得cosα
sinα −sinα
cosα =cos β
sin β ，即cos
2α −sin
2α
sinα cosα
=cos β
sin β ，即2cos2α
sin2α
=cos β
sin β ，
得sin2α cos β =2cos2α sin β，又因为sin(2α + β)=sin2α cos β +cos2α sin β = 3
5，
所以sin2α cos β = 2
5 ,cos2α sin β = 1
5，
因此sin(2α −β)=sin2α cos β −cos2α sin β = 1
5.
故选：B.
【题型6 与解三角形有关的化简问题】
【例6】（2025·河南·模拟预测）在△ABC中，内角A、B满足tan A tan B =3，则△ABC为（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】A
【解题思路】分析可知A、B都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出tanC >0，由此可得出结论.
【解答过程】在△ABC中，内角A、B满足tan A tan B =3，
由于△ABC中至少有两个锐角，则A、B中至少有一个锐角，
不妨设A为锐角，则tan A >0，从而tan B>0，故B为锐角，
tanC = tan[π−( A + B))=−tan ( A + B)=−tan A + tan B
1−tan A tan B = tan A + tan B
2
>0，
故角C为锐角，从而可知△ABC为锐角三角形，
故选：A.
【变式6-1】（2025·云南·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，则“sin A =cosB
”是“acos A =bcosB”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解题思路】根据正弦定理边化角，结合二倍角公式、诱导公式，可得角A 和角B 的关系，结合充分、必
要条件的定义，即可得答案.
【解答过程】在三角形ABC中，由acos A =bcosB，根据正弦定理得sin A cos A =sin Bcos B，
所以sin2 A =sin2B，
因为A ,B∈(0,π)，A + B∈(0,π)，所以A = B或2 A +2B =π，
即A = B或A + B =π
2 ；
由sin A =cosB，因为A ∈(0,π)，所以sin A >0，
则cos B>0，所以B∈(0,π
2 )，
由sin A =cos B =sin(
π
2 −B)，可得A =π
2 −B或A +π
2 −B =π，
解得A + B =π
2 或A =π
2 + B，
故“sin A =cosB”是“acos A =bcosB”的既不充分也不必要条件，
故选：D.
【变式6-2】（2025·四川成都·一模）已知在△ABC中，sin A +cos A = ❑√2，sin B+cos2C =0.
(1)求A，B；
(2)若BC =2，求△ABC的面积.
【答案】(1)A =π
4 ，B =π
3 ；
(2)3+ ❑√3
2
.
【解题思路】（1）应用辅助角公式有sin(A +π
4 )=1得A =π
4 ，再由三角形内角和的性质、诱导公式、
二倍角公式得sin B (1−2cos B)=0，即可得；
（2）由（1）知C = 5π
12 ，再由正弦定理求边长，最后应用三角形面积公式求△ABC的面积.
【解答过程】（1）由sin A +cos A = ❑√2，得
❑√2sin(A +π
4 )= ❑√2，即sin(A +π
4 )=1，
因为A ∈(0,π)，所以A +π
4 ∈(
π
4 , 5π
4 )，所以A +π
4 =π
2 ，所以A =π
4 ，
由sin B+cos2C =0，且2C =2(π−A −B)= 3π
2 −2B，得sin B+cos(
3π
2 −2B)=0，
则sin B−sin2B =0，即sin B (1−2cos B)=0，
因为B∈(0,π),sin B>0，则cos B = 1
2，所以B =π
3 ；
（2）由（1）可得C = 5π
12 ，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
由sinC =sin 5 π
12 =sin( π
6 + π
4 )=sin π
6 cos π
4 +cos π
6 sin π
4 =
❑√2+ ❑√6
4
，
因为a=2，由正弦定理
a
sin A =
c
sinC ，得c =
❑√6+ ❑√2
4
×2❑√2= ❑√3+1，
所以S△ABC = 1
2 ac sin B = 3+ ❑√3
2
.
【变式6-3】（2025·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a
cos A +
b
cosB =
a+b
sin A +sin B
.
(1)证明：cos( A −B)=sinC +sin A sin B；
(2)若cos A =3cos(A −π
2 ),b= ❑√10，求△ABC的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)9
4
【解题思路】（1）利用正弦定理和两角差的余弦公式即可得证；
（2）利用诱导公式得tan A = 1
3，进而得sin A ,cos A，又tan A +tan B =1，即得tan B = 2
3，进而得
sin B ,cos B，又由sinC =cos A cosB结合正弦定理得a，最后利用三角形的面积公式即可求解.
【解答过程】（1）证明：因为
a
cos A +
b
cosB =
a+b
sin A +sin B ，
由正弦定理有：sin A
cos A +sin B
cosB =sin A +sin B
sin A +sin B =1，即tan A + tan B =1，
所以sin A cos B+cos A sin B
cos A cos B
=1，所以sin ( A + B)=cos A cos B，又A + B = π −C，
所以sinC =cos A cos B，
所以cos( A −B)=cos A cosB+sin A sin B =sinC +sin A sin B.
（2）因为cos A =3cos(A −π
2 )=3sin A，所以tan A = 1
3，
所以tan A = sin A
cos A = 1
3，即cos A =3sin A，又sin
2 A +cos
2 A =1，
所以sin A =
❑√10
10 ,cos A = 3 ❑√10
10
，
由（1）知sin A
cos A +sin B
cosB =tan A +tan B =1，
所以tan B = 2
3，所以tan B = sin B
cos B = 2
3，即sin B = 2
3 cos B，
又sin
2B+cos
2B =1，B∈(0,π
2 ),
所以sin B = 2❑√13
13
，cosB = 3 ❑√13
13
，
所以sinC =cos A cosB = 3 ❑√10
10
× 3 ❑√13
13
= 9 ❑√130
130
，
由正弦定理得a= bsin A
sin B
=
❑√10×
❑√10
10
2❑√13
13
=
❑√13
2
，
所以△ABC的面积为1
2 absinC = 1
2 ×
❑√13
2
×❑√10× 9 ❑√130
130
= 9
4 .
【题型7 三角恒等变换的综合应用】
【例7】（2025·河北·模拟预测）设函数f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx −
❑√3
2 在区间(0,π
2 )恰有三个
极值点、两个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）
A．[
5
3 , 13
6 )
B．[
5
3 , 19
6 )
C．(
13
6 , 8
3)
D．(
13
6 , 19
6 )
【答案】C
【解题思路】先利用倍角公式以及辅助角公式化简f (x)=sin(2ωx +π
3 )，再求出
2ωx +π
3 ∈(
π
3 ,ωπ+π
3 )，结合正弦函数图象即可得出.
【解答过程】f (x)=sinωx cosωx + ❑√3cos
2ωx −
❑√3
2 = 1
2 sin2ωx +
❑√3
2 cos2ωx =sin(2ωx +π
3 )，
又ω>0，x∈(0,π
2 )，所以2ωx +π
3 ∈(
π
3 ,ωπ+π
3 )，
又y =sin x，x∈(
π
3 ,3π)的图象如下图所示：
要使函数f (x)在区间(0,π
2 )恰有三个极值点、两个零点，
即使得y =sin x在区间(
π
3 ,ωπ+π
3 )恰有三个极值点、两个零点，
则5π
2 <ωπ+π
3 ≤3π，解得13
6 <ω≤8
3.
则正实数ω的取值范围是(
13
6 , 8
3).
故选：C.
【变式7-1】（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)=2❑√3sin xcos x +2cos
2 x，则下列选项不正确的是
（ ）
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．函数f (x)关于点(−π
12 ,1)中心对称
C．函数y = f (x)的图象向左平移π
6 个单位，得到的函数图象关于y轴对称
D．函数g(x)= f (x)−ax在(
π
12 , 2π
3 )上不单调，则a的取值范围为(−4，2)
【答案】D
【解题思路】由三角恒等变换化简函数f (x).求出函数的周期判断A 选项；求出函数对称中心判断B 选项；
由函数的平移得到平移后的函数解析式，从而知道函数的对称性判断C 选项；求出其导函在对应区间上的
值域，由题意建立不等式组，解得a的取值范围判断D 选项.
【解答过程】函数f (x)= ❑√3sin2 x +cos2 x +1=2sin(2 x +π
6 )+1，
对于A 选项：∵ω=2，∴T = 2π
ω =π，A 选项正确；
对于B 选项：令2 x +π
6 =k π(k ∈Z)，解得x =−π
12 + k π
2
(k ∈Z)，∴(−π
12 ,1)是函数的一个对称中
心，B 选项正确；
对于C 选项：平移后的函数h(x)= f(x +π
6 )=2sin(2 x +π
2 )+1=2cos2 x +1，函数h(x)图象关于y轴对
称，C 选项正确；
对于D 选项：g
' (x)= f
' (x)−a= 4 cos(2 x +π
6 )−a，当x∈(
π
12 , 2π
3 )时，2 x +π
6 ∈(
π
3 ,3π
2 )，
∴g
′ (x)∈[−4−a,2−a)，要想函数g(x)不单调，则−4−a<0<2−a，∴a∈(−4,2)，D 选项不正确.
故选：D.
【变式7-2】（2025·四川泸州·一模）已知函数f (x)=asin2 x +2cos
2 x的图象经过点(−π
6 ,0).
(1)求a；
(2)求函数f (x)的单调递减区间.
【答案】(1)a= ❑√3
(2)[k π+π
6 ,k π+2π
3 ),k ∈Z
【解题思路】（1）根据题意代入点(−π
6 ,0)运算求解即可；
（2）利用三角恒等变换可得f (x)=2sin(2 x +π
6 )+1，以2 x +π
6 为整体，结合正弦函数单调性运算求解.
【解答过程】（1）因为函数f (x)=asin2 x +2cos
2 x的图象经过点(−π
6 ,0)，
则f(−π
6 )=asin(−π
3 )+2cos
2(−π
6 )=−
❑√3
2 a+ 3
2 =0，解得a= ❑√3.
（2）由（1）可知：f (x)= ❑√3sin2 x +2cos
2 x = ❑√3sin2 x +cos2 x +1=2sin(2 x +π
6 )+1，
令2k π+π
2 ≤2 x +π
6 ≤2k π+3π
2 ,k ∈Z，解得k π+π
6 ≤x ≤k π+2π
3 ,k ∈Z，
所以函数f (x)的单调递减区间为[k π+π
6 ,k π+2π
3 ),k ∈Z.
【变式7-3】（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=2sin xcos x +2❑√3cos
2 x−❑√3.
(1)求函数f (x)的对称轴方程；
(2)若f(
x0
2 )= 6
5，x0∈(−π,0)，求f(x0+π
6 )的值．
【答案】(1)x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z
(2)48
25
【解题思路】（1）根据降幂公式及辅助角公式化简，再整体代入法求对称轴方程即可；
（2）由f(
x0
2 )= 6
5 ，得到sin(x0+π
3 )= 3
5，结合角的范围求得cos(x0+π
3 )= 4
5 ，再利用正弦倍角公式
求解即可．
【解答过程】（1）f (x)=sin2 x +2❑√3× 1+cos2 x
2
−❑√3=sin2 x + ❑√3cos2 x =2sin(2 x +π
3 )，
令2 x +π
3 =π
2 + k π,k ∈Z，
解得x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z，
故函数f (x)的对称轴为直线x =π
12 + k π
2 ,k ∈Z.
（2）因为f(
x0
2 )=2sin(x0+π
3 )= 6
5，即sin(x0+π
3 )= 3
5，
且x0∈(−π,0)，则x0+π
3 ∈(−2π
3 ,π
3 )，
可得x0+π
3 ∈(0,π
3 )，则cos(x0+π
3 )= ❑√
1−sin
2(x0+π
3 )= 4
5 ，
则f(x0+π
6 )=2sin[2(x0+π
6 )+π
3 )=2sin[2(x0+π
3 ))
= 4sin(x0+π
3 )cos(x0+π
3 )= 4× 3
5 × 4
5 = 48
25 ，
所以f(x0+π
6 )= 48
25 ．
点
同角三角函数基本关系式
诱导公式
考
一
及
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα −sinα = ❑√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2❑√3+1
B．2❑√3−1
C．
❑√3
2
D．1−❑√3
【答案】B
【解题思路】先将
cosα
cosα −sin α 弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解答过程】因为
cosα
cosα −sin α = ❑√3，
所以
1
1−tan α = ❑√3，⇒tan α =1−
❑√3
3 ，
所以tan(α + π
4)= tan α +1
1−tan α =2❑√3−1，
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：sin
2α +sin
2 β =1，乙：sin α +cos β =0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解题思路】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【解答过程】当sin
2α +sin
2 β =1时，例如α =π
2 , β =0但sin α +cos β ≠0，
即sin
2α +sin
2 β =1推不出sin α +cos β =0；
当sin α +cos β =0时，sin
2α +sin
2 β =(−cos β)
2+sin
2 β =1，
即sin α +cos β =0能推出sin
2α +sin
2 β =1.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
二、填空题
3．（2023·全国乙卷·高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ−cosθ =
．
【答案】−
❑√5
5
【解题思路】根据同角三角关系求sinθ，进而可得结果.
【解答过程】因为θ∈(0,π
2 )，则sinθ>0,cosθ>0，
又因为tanθ = sinθ
cosθ = 1
2，则cosθ =2sinθ，
且cos
2θ+sin
2θ = 4 sin
2θ+sin
2θ =5sin
2θ =1，解得sinθ =
❑√5
5 或sinθ =−
❑√5
5 （舍去），
所以sinθ−cosθ =sinθ−2sinθ =−sinθ =−
❑√5
5 .
故答案为：−
❑√5
5 .
4．（2023·上海·高考真题）在△ABC中，已知a= 4，b=5，c =6，则sin A =
．
【答案】
❑√7
4
【解题思路】先利用余弦定理求得cos A，再利用同角三角函数关系式求得sin A.
【解答过程】cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 25+36−16
60
= 45
60 = 3
4 ，
∵A 为△ABC的内角，
∴ sin A =
❑√1−cos
2 A = ❑√1−9
16 =
❑√7
4
.
故答案为:
❑√7
4 .
三、解答题
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC的面积.
【答案】(1)
❑√21
14 ；
(2)
❑√3
10
.
【解题思路】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC = ❑√7，然后由余弦定理可得cos B = 5 ❑√7
14 ，最后由
同角三角函数基本关系可得sin B =
❑√21
14 ；
(2)由题意可得S△ABD
S△ACD
= 4，则S△ACD= 1
5 S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.
【解答过程】（1）由余弦定理可得：
BC
2=a
2=b
2+c
2−2bc cos A
= 4+1−2×2×1×cos120
∘=7，
则BC = ❑√7，cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
= 7+ 4−1
2×2×❑√7 = 5 ❑√7
14 ，
sin ∠ABC =
❑√1−cos
2B = ❑√1−25
28 =
❑√21
14
.
（2）由三角形面积公式可得S△ABD
S△ACD
=
1
2 × AB× AD×sin 90
∘
1
2 × AC × AD×sin30
∘= 4，
则S△ACD= 1
5 S△ABC = 1
5 ×(
1
2 ×2×1×sin120
∘)=
❑√3
10 .
点
三角恒等变换
考
二
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
【答案】D
【解题思路】利用二倍角余弦公式得cosα =−3
5，则sin α = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答
案.
【解答过程】cosα =2cos
2 α
2 −1=2×(
❑√5
5 )
2
−1=−3
5，
因为0<α <π，则π
2 <α <π，则sin α =
❑√1−cos
2α = ❑√1−(−3
5)
2
= 4
5
，
则sin(α −π
4)=sin α cos π
4 −cosα sin π
4 = 4
5 ×
❑√2
2 −(−3
5)×
❑√2
2 = 7 ❑√2
10 .
故选：D.
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α −β)=（ ）
A．−3m
B．−m
3
C．m
3
D．3m
【答案】A
【解题思路】根据两角和的余弦可求cosα cos β ,sin α sin β的关系，结合tan α tan β的值可求前者，故可
求cos(α −β)的值.
【解答过程】因为cos(α + β)=m，所以cosα cos β −sin α sin β =m，
而tan α tan β =2，所以sin α sin β =2cosα cos β，
故cosα cos β −2cosα cos β =m即cosα cos β =−m，
从而sin α sin β =−2m，故cos(α −β)=−3m，
故选：A.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcos A =c
，且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
【答案】C
【解题思路】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得∠A的值，最后利用
三角形内角和定理可得∠A的值.
【解答过程】由题意结合正弦定理可得sin A cos B−sin Bcos A =sinC，
即sin A cos B−sin Bcos A =sin ( A + B)=sin A cos B+sin Bcos A，
整理可得sin Bcos A =0，由于B∈(0,π)，故sin B>0，
据此可得cos A =0, A =π
2 ，
则B =π−A −C =π−π
2 −π
5 = 3π
10 .
故选：C.
4．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+ ❑√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3−❑√5
8
B．−1+ ❑√5
8
C．3−❑√5
4
D．−1+ ❑√5
4
【答案】D
【解题思路】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【解答过程】因为cosα =1−2sin
2 α
2 = 1+ ❑√5
4
，而α为锐角，
解得：sin α
2 = ❑√
3−❑√5
8
=
❑√
(❑√5−1)
2
16
=
❑√5−1
4
．
故选：D．
5．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6 ，则cos(2α +2 β)=（ ）
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin(α + β)，再利用二倍角的余弦公式计算
作答.
【解答过程】因为sin(α −β)=sin α cos β −cosα sin β = 1
3，而cosα sin β = 1
6，因此sin α cos β = 1
2，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β = 2
3，
所以cos(2α +2 β)=cos2(α + β)=1−2sin
2(α + β)=1−2×( 2
3 )
2
= 1
9.
故选：B.
二、多选题
6．（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4 ，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4 ，则（ ）
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB = ❑√2
C．sin A +sin B =
❑√6
2
D．A C
2+ BC
2=3
【答案】ABC
【解题思路】对cos2 A +cos2B+2sinC =2由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较A + B
和π
2 的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础
上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cos A cos BsinC = 1
4 算出A ,B取值，最后利用三角
形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【解答过程】cos2 A +cos2B+2sinC =2，由二倍角公式，1−2sin
2 A +1−2sin
2B+2sinC =2，
整理可得，sinC =sin
2 A +sin
2B，A 选项正确；
由诱导公式，sin( A + B)=sin (π−C)=sinC，
展开可得sin A cos B+sin Bcos A =sin
2 A +sin
2B，
即sin A(sin A −cos B)+sin B(sin B−cos A )=0，
下证C =π
2 .
方法一：分类讨论
若A + B =π
2 ，则sin A =cos B ,sin B =cos A可知等式成立；
若A + B<π
2 ，即A <π
2 −B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin A <cos B，同理sin B<cos A，
又sin A >0,sin B>0，于是sin A(sin A −cos B)+sin B(sin B−cos A )<0，
与条件不符，则A + B<π
2 不成立；
若A + B>π
2 ，类似可推导出sin A(sin A −cos B)+sin B(sin B−cos A )>0，则A + B>π
2 不成立.
综上讨论可知，A + B =π
2 ，即C =π
2 .
方法二：边角转化
sinC =sin
2 A +sin
2B时，由C ∈(0,π)，则sinC ∈(0,1]，
于是1×sinC =sin
2 A +sin
2B≥sin
2C，
由正弦定理，a
2+b
2≥c
2，
由余弦定理可知，cosC ≥0，则C ∈(0,π
2 ]，
若C ∈(0,π
2 )，则A + B>π
2 ，注意到cos A cos BsinC = 1
4 ，则cos A cos B>0，
于是cos A >0,cos B>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A ,B∈(0,π
2 )，
结合A + B>π
2 ⇔A >π
2 −B，而A ,π
2 −B都是锐角，则sin A >sin(
π
2 −B)=cos B>0，
于是sinC =sin
2 A +sin
2B>cos
2B+sin
2B =1，这和sinC ≤1相矛盾，
故C ∈(0,π
2 )不成立，则C =π
2
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由sinC =sin
2 A +sin
2B，结合正弦定理可得，c =asin A +bsin B，由射影定理可得c =acos B+bcos A
，于是asin A +bsin B =acos B+bcos A，
则a(sin A −cos B)+b(sin B−cos A )=0，可同方法一种讨论的角度，推出A + B =π
2 ，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
a(sin A −cos B)+b(sin B−cos A )=0，可知sin A −cos B ,sin B−cos A同时为0或者异号，即
(sin A −cos B)(sin B−cos A )≤0，展开可得，
sin A sin B−sin A cos A −cos Bsin B+cos A cos B≤0，
即cos( A −B)−1
2
(sin2 A +sin2B)≤0，结合和差化积，cos( A −B)(1−sin( A + B))≤0，由上述分析，
A ,B∈(0,π
2 )，则A −B∈(−π
2 ,π
2 )，则cos( A −B)≥0，则1−sin( A + B)≤0，即sinC ≥1，于是
sinC =1，可知C =π
2 .
由cos A cos BsinC = 1
4 =cos A cos B，由A + B =π
2 ，则cos B =sin A，即sin A cos A = 1
4 ，
则sin2 A = 1
2，同理sin2B = 1
2，由上述推导，A ,B∈(0,π
2 )，则2 A ,2B∈(0,π)，
不妨设A <B，则2 A =π
6 ,2B = 5π
6 ，即A =π
12 ,B = 5π
12 ，
由两角和差的正弦公式可知sinπ
12 +sin 5π
12 =
❑√6−❑√2
4
+
❑√6+ ❑√2
4
=
❑√6
2 ，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，tan5π
12 =2+ ❑√3，
设BC =t , AC =(2+ ❑√3)t，则AB =(❑√2+ ❑√6)t，
由S△ABC = 1
2 (2+ ❑√3)t
2= 1
4 ，则t
2= 4−2❑√3
4
=(
❑√3−1
2 )
2
，则t =
❑√3−1
2
，
于是AB =(❑√6+ ❑√2)t = ❑√2，B 选项正确，由勾股定理可知，A C
2+ BC
2=2，D 选项错误.
故选：ABC.
三、填空题
7．（2025·上海·高考真题）已知tan α =1，则cos(α +π
4 )= ．
【答案】0
【解题思路】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【解答过程】由tan α = sin α
cosα =1可得sin α =cosα，
所以cos(α +π
4 )=cosα cosπ
4 −sin α sinπ
4 =
❑√2
2
(cosα −sin α )=0，
故答案为：0.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x−❑√3cos x在[0,π)上的最大值是
．
【答案】2
【解题思路】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【解答过程】f (x)=sin x−❑√3cos x =2sin(x−π
3 )，当x∈[0,π)时，x−π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 )，
当x−π
3 =π
2 时，即x =5π
6 时，f (x)max =2.
故答案为：2.
9．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α + tan β = 4，
tan α tan β = ❑√2+1，则sin(α + β)=
.
【答案】−2❑√2
3
【解题思路】法一：根据两角和与差的正切公式得tan (α + β)=−2❑√2，再缩小α + β的范围，最后结合同
角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【解答过程】法一：由题意得tan (α + β)= tan α + tan β
1−tan α tan β =
4
1−(❑√2+1)
=−2❑√2，
因为α ∈(2k π,2k π+π
2 ), β ∈(2mπ+π,2mπ+ 3π
2 )，k ,m∈Z，
则α + β ∈((2m+2k )π+π,(2m+2k )π+2π)，k ,m∈Z，
又因为tan (α + β)=−2❑√2<0，
则α + β ∈((2m+2k )π+ 3π
2 ,(2m+2k )π+2π)，k ,m∈Z，则sin (α + β)<0，
则sin (α + β)
cos(α + β) =−2❑√2，联立 sin
2(α + β)+cos
2(α + β)=1，解得sin (α + β)=−2❑√2
3
.
法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα >0,cos β <0,
cosα =
cosα
❑√sin
2α +cos
2α
=
1
❑√1+ tan
2α
，cos β =
cos β
❑√sin
2 β +cos
2 β
=
−1
❑√1+ tan
2 β
，
则sin(α + β)=sin α cos β +cosα sin β =cosα cos β(tan α + tan β)
= 4 cosα cos β =
−4
❑√1+ tan
2α
❑√1+ tan
2 β
=
−4
❑√(tan α + tan β)
2+(tan α tan β −1)
2 =
−4
❑√4
2+2
=−2❑√2
3
故答案为：−2❑√2
3
.
四、解答题
10．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）记△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
sinC = ❑√2cos B，a
2+b
2−c
2= ❑√2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+ ❑√3，求c．
【答案】(1)B =π
3
(2)2❑√2
【解题思路】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cosC ,sinC，最后结合已知sinC = ❑√2cos B得cos B
的值即可；
（2）首先求出A ,B ,C，然后由正弦定理可将a,b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方
程求解.
【解答过程】（1）由余弦定理有a
2+b
2−c
2=2abcosC，对比已知a
2+b
2−c
2= ❑√2ab，
可得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
=
❑√2ab
2ab =
❑√2
2 ，
因为C ∈(0,π)，所以sinC >0，
从而sinC =
❑√1−cos
2C =
❑√
1−(
❑√2
2 )
2
=
❑√2
2
，
又因为sinC = ❑√2cos B，即cos B = 1
2，
注意到B∈(0,π)，
所以B =π
3 .
（2）由（1）可得B =π
3 ，cosC =
❑√2
2 ，C ∈(0,π)，从而C =π
4 ，A =π−π
3 −π
4 = 5π
12 ，
而sin A =sin(
5π
12 )=sin(
π
4 +π
6 )=
❑√2
2 ×
❑√3
2 +
❑√2
2 × 1
2 =
❑√6+ ❑√2
4
，
由正弦定理有
a
sin 5π
12
=
b
sinπ
3
=
c
sinπ
4
，
从而a=
❑√6+ ❑√2
4
⋅❑√2c =
❑√3+1
2
c ,b=
❑√3
2 ⋅❑√2c =
❑√6
2 c，
由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ⋅
❑√3+1
2
c⋅
❑√6
2 c⋅
❑√2
2 = 3+ ❑√3
8
c
2
，
由已知△ABC的面积为3+ ❑√3，可得3+ ❑√3
8
c
2=3+ ❑√3，
所以c =2❑√2.
11．（2023·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b
2+c
2−a
2
cos A
=2．
(1)求bc；
(2)若acosB−bcos A
acosB+bcos A −b
c =1，求△ABC面积．
【答案】(1)1
(2)
❑√3
4
【解题思路】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出sin A即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【解答过程】（1）因为a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以b
2+c
2−a
2
cos A
= 2bc cos A
cos A
=2bc =2，解得：bc =1．
（2）由正弦定理可得acos B−bcos A
acos B+bcos A −b
c = sin A cos B−sin Bcos A
sin A cos B+sin Bcos A −sin B
sinC
= sin ( A −B)
sin ( A + B) −
sin B
sin ( A + B) = sin ( A −B)−sin B
sin ( A + B)
=1，
变形可得：sin ( A −B)−sin ( A + B)=sin B，即−2cos A sin B =sin B，
而0<sin B≤1，所以cos A =−1
2，又0< A <π，所以sin A =
❑√3
2 ，
故△ABC的面积为S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 ×1×
❑√3
2 =
❑√3
4 ．
