专题5.4 复数（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 复数的概念】..............................................................................................................................................6
【题型2 共轭复数】..................................................................................................................................................7
【题型3 复数的几何意义】......................................................................................................................................8
【题型4 复数的四则运算】......................................................................................................................................9
【题型5 复数的相等】............................................................................................................................................11
【题型6 复数的模】................................................................................................................................................12
【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】...................................................................................................13
【题型8 复数范围内解方程的根】........................................................................................................................15
【题型9 复数的三角表示】....................................................................................................................................16
1、复数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)通过方程的解，认识复
数
(2)理解复数的代数表示及
其几何意义，理解两个复数
相等的含义
(3)掌握复数的四则运算，
了解复数加、减运算的几何
意义
2023 年新高考I 卷：第2 题，5 分
2023 年新高考
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
2024 年新高考I 卷：第2 题，5 分
2024 年新高考
卷
Ⅱ
：第1 题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：第1
题，5 分、（理数）：第1 题，5
分
2025 年全国一卷：第1 题，5 分
2025 年全国二卷：第2 题，5 分
2025 年北京卷：第2 题，4 分
2025 年天津卷：第10 题，5 分
2025 年上海卷：第10 题，5 分
复数是高考的热点内容，是每年
高考的必考内容之一.从近几年的高考
情况来看，高考对复数的考查比较稳
定，往往以单选题、填空题的形式考
查，考查内容、难度变化不大，主要
考查复数的概念、复数的模、复数的
运算及其几何意义，属于简单题.预测
明年高考复数依旧以单选题、填空题
形式呈现，比较简单.
知识点
1
复数的概念
1．复数的概念
(1)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复
数集.这样，方程x2+1=0 在复数集C 中就有解x=i 了.
(2)复数的表示
复数通常用字母z 表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 都有a,b∈R，其中的a 与b
分别叫做复数z 的实部与虚部.
(3)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0 时，它是实数；当且仅当a=b=0 时，它是实数0；当b≠0 时，它叫做虚数；
当a=0 且b≠0 时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R 是复数集C 的真子集，即
.
复数z=a+bi 可以分类如下：复数
.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi 与c+di 相等当且仅当a=c
且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
知识点
2
复数的几何意义
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi
有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)
平面直角
坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来表示
复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.
(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一
个复数和它对应.复数集C 中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi
复平面内的点
Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义
与
——
向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应
的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量
由点Z 唯一确定；反过来，点Z(相
对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
因此，复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0 与零向量对应)，即复数
z=a+bi
平面向量
，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量
的模r 叫做复数z=a+bi 的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi 是一个实数a，它的
模等于|a|(就是a 的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=
(r
0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两
个共轭复数也复数z 的共轭复数用
表示，即若z=a+bi，则
=a-bi.特别地，实数a 的共轭复数仍是a 本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复平
面内所对应的点重合，且在实轴上.
(3)性质
①
=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=
z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi 在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数的模
的几何意义.
(2)复数z 在复平面内对应的点为Z，r 表示一个大于0 的常数，则满足条件|z|=r 的点Z 组成的集合是以原点
为圆心，r 为半径的圆，|z|<r 表示圆的内部，|z|>r 表示圆的外部.
知识点
3
复数的运算
1．复数的四则运算
(1)复数的加法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数
x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).
根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(3)复数的乘法法则
设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+
(ad+bc)i.
可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部
分别合并即可.
(4)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)
(a,b,c,d∈R，
且c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
2．复数加法、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
在复平面内，设z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为
，
，则
=(a,b)，
=(c,d).以
，
对应的线段为邻边作平行四边形
(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得
=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ 对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i 对
应的向量.
(2)复数减法的几何意义
两个复数z1=a+bi，z2=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是
，
，那么这两个复数的差z1-z2
对应的向量是
，即向量
.
如果作
，那么点Z 对应的复数就是z1-z2(如图所示).
这说明两个向量
与
的差
就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的
减法来进行，这是复数减法的几何意义.
3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤
.
(2)常用公式
；
；
.
知识点
4
复数有关问题的解题策略
1．复数的概念的有关问题的解题策略
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b 分别是它的实部和虚部.若z 为实数，则虚部b=0，与实部a 无关；若z
为虚数，则虚部b≠0，与实部a 无关；若z 为纯虚数，当且仅当a=0 且b≠0.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作
或
，即
.
(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为
，则
，即
，若
，则
.
2．复数的运算的解题策略
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；
(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.
3．复数的几何意义的解题策略
由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解
析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.
4．复数的方程的解题策略
(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.
【方法技巧与总结】
1．(1±i)2=±2i；
；
.
2．
.
3．
.
4．复数z 的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b 表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心，r 为半径的圆.
【题型1 复数的概念】
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）(1+5i)i的虚部为（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【解题思路】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【解答过程】因为(1+5i)i=i+5i
2=−5+i，所以其虚部为1，
故选：C.
【变式1-1】（2025·吉林·模拟预测）已知复数z =m
2−1+(m+1)i为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．2
【答案】B
【解题思路】由纯虚数定义列方程和不等式即可求解.
【解答过程】由题可得{
m
2−1=0
m+1≠0)⇒m=1.
故选：B.
【变式1-2】（2025·贵州遵义·模拟预测）复数z =2−i的虚部是（ ）
A．i
B．1
C．−1
D．−i
【答案】C
【解题思路】利用复数的概念求解判断.
【解答过程】复数z =2−i的虚部是−1.
故选：C.
【变式1-3】（2025·云南曲靖·二模）已知复数z =(a+2)+(a
2−a−6)i(a∈R)，若z>0，则实数a的值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．6
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，利用复数的分类列式计算作答.
【解答过程】因为z>0,
所以{
a+2>0
a
2−a−6=0)⇒a=3，
故选：C.
【题型2 共轭复数】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知复数z满足i⋅z =3+i（其中i 为虚数单位），则z =（ ）
A．1−3i
B．1+3i
C．3−i
D．3+i
【答案】B
【解题思路】利用复数的除法运算法则求得z，进而可求得z.
【解答过程】因为i z =3+i，所以z = 3+i
i
= (3+i)i
i
2
= −1+3i
−1
=1−3i，故z =1+3i.
故选：B.
【变式2-1】（2025·甘肃白银·二模）复数z = 3−i
2025
1+2i 的共轭复数为（ ）
A．−1
5 −7
5 i
B．1
5 + 7
5 i
C．−5
3 −7
3 i
D．5
3 + 7
3 i
【答案】B
【解题思路】利用复数的乘方及复数除法求出z，进而求出其共轭复数.
【解答过程】依题意，z = 3−i
2025
1+2i = 3−i
1+2i = (3−i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = 1−7i
5
= 1
5 −7
5 i，
所以z = 1
5 + 7
5 i.
故选：B.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）复数z满足(3−❑√2i) z =11，i为虚数单位，则复数z的虚部为
（ ）
A．❑√2i
B．❑√2
C．−❑√2i
D．−❑√2
【答案】D
【解题思路】利用复数的除法运算，再结合共轭复数运算，即可求解虚部.
【解答过程】因为z =
11
3−❑√2i =
11(3+ ❑√2i)
(3−❑√2i)(3+ ❑√2i)
=3+ ❑√2i，
所以z =3−❑√2i，即复数z的虚部为−❑√2.
故选：D.
【变式2-3】（2025·湖南岳阳·三模）若复数z满足z +i
z−1 =1+i，则在复平面内，z对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解题思路】根据复数四则运算求z，再由复数的几何意义可得.
【解答过程】因为z +i
z−1 =1+i ⇒ z +i=(1+i)(z−1) ⇒ z +i=(1+i) z−(1+i)
所以1+2i=(1+i−1) z ⇒ z = 1+2i
i
= −2+i
−1
=2−i.
所以z =2+i.
所以z对应的点位于第一象限.
故选：A.
【题型3 复数的几何意义】
【例3】（2025·天津河北·模拟预测）i 是虚数单位，复数4 +3i在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解题思路】根据复数对应点判断其所在的象限.
【解答过程】由4 +3i对应点为(4,3)，即位于第一象限.
故选：A.
【变式3-1】（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数z1=−1+i与复数z2对应的点关于实轴对称，则
|z2)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】B
【解题思路】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数z2，然后再根据复数模的计算公式
求出| z2|.
【解答过程】z1=−1+i，其在复平面内对应的点为(−1,1).
因为复数z1与复数z2对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐
标互为相反数.所以z2对应的点为(−1,−1)，那么复数z2=−1−i.
由z2=−1−i，其中a=−1，b=−1，将其代入模的计算公式可得：
| z2|=
❑√(−1)
2+(−1)
2= ❑√1+1= ❑√2.
故选：B.
【变式3-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）“a<0
是
复数
”
“
2+(2−a)i在复平面内对应的点在第一象限”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据复数的在复平面内对应的点在第一象限确定a的范围，再根据充分必要条件进行判断即
可.
【解答过程】若复数2+(2−a)i在复平面内对应的点在第一象限，则2−a>0，所以a<2，
故“a<0
是
复数
”
“
2+(2−a)i在复平面内对应的点在第一象限
的充分不必要条件
”
.
故选：A.
【变式3-3】（2025·湖南长沙·二模）在复平面内，O 为坐标原点，复数1−i，−1+2i对应的向量分别是⃗
OM，⃗ON，则⃗MN对应的复数为（ ）
A．−2+3i
B．i
C．2−3i
D．−i
【答案】A
【解题思路】根据复数与复平面内的点的对应关系确定⃗MN的坐标，即可确定其对应的复数.
【解答过程】因为复数1−i，−1+2i在复平面内对应的点为M (1,−1)，N (−1,2)，
即⃗OM =(1,−1)，⃗ON =(−1,2)，
所以⃗MN =⃗ON −⃗OM =(−1,2)−(1,−1)=(−2,3)，
则⃗MN对应复数为−2+3i．
故选：A．
【题型4 复数的四则运算】
【例4】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知z1=1+2i，z2=3−4i，若1
z = 1
z1
+ 1
z2
，则z =（ ）
A．4−3i
B．2−3
2 i
C．2+ 3
2 i
D．4 +3i
【答案】C
【解题思路】利用复数的除法法则得出1
z1
、1
z2
，进而得出1
z 、z，再利用复数的除法运算化简即可.
【解答过程】由题意可得，1
z1
=
1
1+2i =
1−2i
(1+2i)(1−2i) = 1
5 −2
5 i，
1
z2
=
1
3−4i =
3+ 4i
(3−4i)(3+ 4i) = 3
25 + 4
25 i，
则1
z = 1
z1
+ 1
z2
= 1
5 −2
5 i+ 3
25 + 4
25 i= 8
25 −6
25 i，
则z =
25
8−6i =
25(8+6i)
(8−6i)(8+6i) =2+ 3
2 i.
故选：C.
【变式4-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知z =1+i，则1
z−1 =（ ）
A．−i
B．i
C．−1
D．1
【答案】A
【解题思路】由复数除法即可求解.
【解答过程】因为z =1+i，所以1
z−1 =
1
1+i−1 = 1
i =i
i
2 =−i.
故选：A.
【变式4-2】（2025·河南信阳·模拟预测）已知复数z = 1+3i
i
，则z−z =（ ）
A．−2i
B．2
C．0
D．2i
【答案】A
【解题思路】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可求解.
【解答过程】因为z = 1+3i
i
= (1+3i)⋅(−i)
i⋅(−i)
=3−i，
所以z =3+i，
所以z−z =3−i−(3+i)=−2i，
故选：A.
【变式4-3】（2025·宁夏银川·三模）已知复数z =
2
−1+i ,i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．|z)=2
B．z的虚部为−i
C．z对应的点位于复平面的第三象限
D．z⋅z =2
【答案】D
【解题思路】应用复数除法化简复数，进而求其模长、虚部，写出共轭复数并判断点所在的象限并求z⋅z.
【解答过程】z =
2
−1+i =
2(−1−i)
(−1+i)(−1−i) =−1−i，则|z)= ❑√2，虚部为−1，
z =−1+i对应点为(−1,1)在第二象限，且z⋅z =2，
所以，A、B、C 错，D 对.
故选：D.
【题型5 复数的相等】
【例5】（2025·云南红河·三模）若1−2i=a+bi（i为虚数单位），其中a，b为实数，则a+b的值为
（ ）
A．1
B．3
C．−1
D．−3
【答案】C
【解题思路】根据复数相等直接求解即可.
【解答过程】因为1−2i=a+bi，所以{
a=1
b=−2)，所以a+b=−1．
故选：C.
【变式5-1】（2025·山东·模拟预测）若复数z满足2(z + z)+2i= 4 + z−z，则z =（ ）
A．1+i
B．1−i
C．−1+i
D．−1−i
【答案】A
【解题思路】设z =a+bi(a,b∈R)，再根据复数的运算及相等的条件求解即可.
【解答过程】设z =a+bi(a,b∈R)，
则2(z + z)+2i= 4 a+2i= 4+ z−z = 4+2bi，
∴{
4 a= 4
2=2b)⇒{
a=1
b=1)，即z =1+i，
故选：A.
【变式5-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知(1−2i)a+(3+ 4i)b=2+6i，其中a,b为实数，则（ ）
A．a=1,b=−1
B．a=−1,b=1
C．a=−1,b=−1
D．a=1,b=1
【答案】B
【解题思路】根据复数相等求参数的值.
【解答过程】因为(1−2i)a+(3+ 4i)b=2+6i，
所以(a+3b)+(−2a+ 4 b)i=2+6i，
所以{
a+3b=2
−2a+ 4 b=6)，解得a=−1,b=1，
故选:B.
【变式5-3】（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数z1=m+(4−m
2)i(m∈R),
z2=2cosθ+( λ+3sinθ)i( λ ,θ∈R)，并且z1= z2，则λ的取值范围是（ ）
A．[−9
16 ,+ ∞)
B．[−9
16 ,7)
C．(−∞,7)
D．[−16
9 ,7)
【答案】B
【解题思路】根据复数相等的充要条件消去m可将λ用sinθ表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的
单调性即可得出结果.
【解答过程】∵z1= z2，∴{
m=2cosθ
4−m
2= λ+3sinθ)，化为4 sin
2θ = λ+3sinθ，
∴λ = 4(sinθ−3
8)
2
−9
16 ，
∵−1≤sinθ≤1，
当
∴
sinθ = 3
8时，λ取得最小值−9
16；当sinθ =−1时，λ取得最大值7，
∴−9
16 ≤λ≤7，
∴λ的取值范围是[−9
16 ,7)，
故选：B.
【题型6 复数的模】
【例6】（2025·山东·模拟预测）已知z为复数，z−2为纯虚数，z +i为实数，则|z)=（ ）
A．2
B．❑√5
C．2❑√2
D．3
【答案】B
【解题思路】根据研究可确定复数z，进而求|z)即可.
【解答过程】因为z为复数，z−2为纯虚数，z +i为实数，
所以z =2−i.
所以|z)=
❑√2
2+(−1)
2= ❑√5.
故选：B.
【变式6-1】（2025·湖北宜昌·二模）设复数z满足(3+ 4i) z =5i，则|z)=（ ）
A．1
25
B．1
5
C．1
D．5
【答案】C
【解题思路】由复数模的性质即可求解.
【解答过程】由题设z =
5i
3+ 4i，则|z)=|5i|
|3+ 4i| = 5
5 =1.
故选：C.
【变式6-2】（2025·青海西宁·二模）若a与b均为实数，且b−3i= 4 +ai，则|a+bi)=（ ）
A．3
B．4
C．5
D．7
【答案】C
【解题思路】根据复数相等的条件，求得a=−3,b= 4，结合复数模的计算公式，即可求解.
【解答过程】因为b−3i= 4 +ai，所以a=−3,b= 4，所以a+bi=−3+ 4i,
则|a+bi)= ❑√9+16=5．
故选：C．
【变式6-3】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数z对应的向量⃗OZ =(1,2)，则|z−3)=（ ）
A．2❑√2
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，求出复数z，进而求出模.
【解答过程】由复数z对应的向量⃗OZ =(1,2)，则z =1+2i，
所以| z−3|=|1+2i−3|=|−2+2i|=
❑√(−2)
2+2
2=2❑√2.
故选：A.
【题型7 与复数模相关的轨迹（图形）问题】
【例7】（2025·山东·模拟预测）若复数z满足|z−4 +3i)=2，则|z)的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
【答案】B
【解题思路】首先根据复数减法的模的几何意义求点Z (x , y)的轨迹，再根据点与圆的位置关系求最值.
【解答过程】设z = x + y i(x , y ∈R)，则|z−4+3i)=2⇔(x−4)
2+( y +3)
2= 4，
又|z)=
❑√x
2+ y
2表示点Z (x , y)与原点的距离，故|z)的最小值为❑√4
2+(−3)
2−2=3.
故选：B.
【变式7-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设z∈C，在复平面内对应的点为Z，则满足1≤|z−1)≤2的
点Z的集合形成的图形的面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【答案】C
【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可.
【解答过程】|z−1)表示复平面内点Z到(1,0)的距离，又1≤|z−1)≤2，所以点Z的集合形成的图形为圆
环，面积为π×2
2−π=3π，
故选：C.
【变式7-2】（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知复数z满足|z−1)=2，则|z)的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(0,3)
C．（1,3）
D．[1,3)
【答案】D
【解题思路】利用复数的模的几何意义作图，数形结合即可求得|z)的取值范围.
【解答过程】由|z−1)=2可理解为复数z表示的点Z的轨迹是以C(1,0)为圆心，半径为2 的圆，
而|z)则可理解为圆C上的点到原点的距离，作出图形如下.
如图，当点Z在Z1(3,0)时，与原点距离最大为3，当点当点Z在Z2(−1,0)时，与原点距离最小为1，
故|z)的取值范围是[1,3).
故选：D.
【变式7-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数z1, z2分别满足|z1)=1，|i z2+3+ 4i)=2，则|z1−z2)的最
大值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【解题思路】先通过模长公式求出复数z2在复平面内对应点的轨迹是以B (−4,3)为圆心，2 为半径的圆，
再利用|z1−z2)的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果.
【解答过程】设z2= x + y i(x , y ∈R)，则|i z2+3+ 4i)=|3−y +(x + 4)i)=
❑√(3−y)
2+(x + 4)
2=2，
如图，复数z2在复平面内对应点的轨迹是以B (−4,3)为圆心，2 为半径的圆，
复数z1在复平面内对应点的轨迹是以原点O为圆心，1 为半径的圆，
则|z1−z2)max=|OB)+1+2=5+1+2=8．
故选：D．
【题型8 复数范围内解方程的根】
【例8】（2025·山东青岛·三模）若1+2i是关于x的实系数方程x
2+bx +c =0的一个复数根，则b，c的值
分别为（ ）
A．b=−2，c =5
B．b=2，c =5
C．b=−2，c =−5
D．b=2，c =−5
【答案】A
【解题思路】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出b、c的值.
【解答过程】已知1+2i是实系数方程x
2+bx +c =0的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的
性质，可知方程的另一个根为1−2i.
对于方程x
2+bx +c =0，由韦达定理可得两根之和x1+ x2=−b，其中x1=1+2i，x2=1−2i，则
(1+2i)+(1−2i)=−b，即2=−b，解得b=−2.
由韦达定理可知两根之积x1 x2=c，则(1+2i)(1−2i)=c.
可得：(1+2i)(1−2i)=1
2−(2i)
2=1−4i
2=5，即c =5.
b的值为−2，c的值为5.
故选：A.
【变式8-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知1−i是关于x的实系数方程x
2+mx +n=0的一个根（i
为虚数单位），则n=（ ）
A．3
B．2
C．-2
D．-3
【答案】B
【解题思路】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案.
【解答过程】1−i是关于x的实系数方程x
2+mx +n=0的一个根，
所以1+i也是方程x
2+mx +n=0的一个根，
所以n=(1−i)(1+i)=2.
故选：B.
【变式8-2】（2025·山东济宁·二模）已知1−2i是关于x的方程x
2+ax +b=0(a,b∈R)的一个根，则
|a+bi)=（ ）
A．2
B．3
C．5
D．❑√29
【答案】D
【解题思路】将1−2i代入x
2+ax +b=0化简整理有(a+b−3)−(4 +2a)i=0，即{
a+b−3=0
4+2a=0 )解出a,b
，最后求复数的模即可.
【解答过程】将1−2i代入x
2+ax +b=0有：(1−2i)
2+a(1−2i)+b=0，
化简整理有(a+b−3)−(4 +2a)i=0，即{
a+b−3=0
4+2a=0 )，解得{
a=−2
b=5 )，
所以|a+bi)=
❑√a
2+b
2=
❑√(−2)
2+5
2= ❑√29，
故选：D.
【变式8-3】（2025·江西·二模）已知2−2i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x
2+bx +c =0的一个
根，则（ ）
A．b= 4，c =8
B．b= 4，c =−8
C．b=−4，c =8
D．b=−4，c =−8
【答案】C
【解题思路】根据虚根成对原理2+2i也是方程的一个根，利用韦达定理计算可得.
【解答过程】因为2−2i（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x
2+bx +c =0的一个根，
所以2+2i也是方程的一个根，
则{
2−2i+2+2i=−b
(2−2i)⋅(2+2i)=c)，所以b=−4，c =8.
故选：C.
【题型9 复数的三角表示】
【例9】（2024·河南信阳·模拟预测）在复平面内，把复数3−❑√3i对应的向量⃗a按顺时针方向旋转π
3 ，所
得向量在⃗a上的投影向量对应复数是（ ）
A．2❑√3−3i
B．3−2❑√3i
C．
❑√3−3i
2
D．3−❑√3i
2
【答案】D
【解题思路】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为(3−❑√3i)[cos(−π
3 )+isin(−π
3 )]
并化简 ，再结合投影向量的定义求解．
【解答过程】因为把复数3−❑√3i对应的向量⃗a=(3,−❑√3)按顺时针方向旋转π
3 ，
所以旋转后的向量所对应的复数为
(3−❑√3i)[cos(−π
3 )+isin(−π
3 )]=(3−❑√3i)( 1
2 −
❑√3
2 i)= 3
2 −3 ❑√3
2
i−
❑√3
2 i+ 3
2 i
2=−2❑√3i，
所以旋转后的向量b
→
=(0,−2❑√3)，
又因为⃗a⋅⃗b=6，|⃗a)=
❑√3
2+(−❑√3)
2=2❑√3，
所以向量⃗b在⃗a上的投影向量是a
→
⋅b
→
|a
→)
⋅a
→
|a
→)
= 1
2 a
→
=( 3
2 ,−
❑√3
2 )，即对应复数是3
2 −
❑√3
2 i.
故选：D.
【变式9-1】（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知e
iθ=cosθ+isinθ，则在下列表达式中表示sinθ的是
（ ）
A． e
iθ−e
−iθ
2i
B．e
iθ+e
−iθ
2i
C． e
−iθ−e
iθ
2i
D．−e
iθ+e
−iθ
2i
【答案】A
【解题思路】根据题设e
iθ的表达式求出e
−iθ的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【解答过程】因e
iθ=cosθ+isinθ，则e
−iθ=cos(−θ)+isin(−θ)=cosθ−isinθ，
对于A，e
iθ−e
−iθ
2i
= cosθ+isinθ−(cosθ−isinθ)
2i
= 2sinθ⋅i
2i
=sinθ，故A 项正确；
对于B， e
iθ+e
−iθ
2i
= cosθ+isinθ+(cosθ−isinθ)
2i
= 2cosθ
2i
=−cosθ⋅i，故B 项错误；
对于C，e
−iθ−e
iθ
2i
=−e
iθ−e
−iθ
2i
=−cosθ+isinθ−(cosθ−isinθ)
2i
=−2sinθ⋅i
2i
=−sinθ，故C 项错
误；
对于D，由B 项知，−e
iθ+e
−iθ
2i
=cosθ⋅i，故D 项错误.
故选：A.
【变式9-2】（2025·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式(cos x +i⋅sin x)
n=cos(nx)+i⋅sin(nx)（其中i 为
虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数
(cosπ
3 +i⋅sinπ
3 )
2
在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解题思路】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
【解答过程】(cosπ
3 +i⋅sinπ
3 )
2
=cos2π
3 +i⋅sin2π
3 =−1
2 +
❑√3
2 i，
在复平面内所对应的点为(−1
2 ,
❑√3
2 )，在第二象限.
故选：B.
【变式9-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个
复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)(r1,r2>0)，则
z1 z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)).设z =−1
2 −
❑√3
2 i，则z
2024的虚部为（ ）
A．−
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．1
D．0
【答案】B
【解题思路】变形复数z，根据题中定义进行计算，即可判定.
【解答过程】z =−1
2 −
❑√3
2 i=cos 4π
3
+isin 4π
3 ，
所以z
2024=cos 4π×2024
3
+isin 4π×2024
3
=cos 2π
3 +isin 2π
3 =−1
2 +
❑√3
2 i,
所以z
2024的虚部为
❑√3
2 .
故选:B.
一、单选题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数z =3+i−2i
3，则|z)=（ ）
A．❑√5
B．❑√6
C．❑√10
D．3 ❑√2
【答案】D
【解题思路】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可.
【解答过程】由题可知：z =3+i−2i
3=3+3i，所以|z)=
❑√3
2+3
2=3 ❑√2.
故选：D.
2．（2025·河北邢台·三模）若a+i=b+2−ai(a,b∈R)，则a+b=（ ）
A．2
B．4
C．−4
D．−2
【答案】C
【解题思路】根据复数相等的概念可得.
【解答过程】由题意得，{
a=b+2
1=−a )，解得{
b=−3
a=−1)，所以a+b=−4.
故选：C.
3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数z满足| z−3−4i|=5（i为虚数单位），则复数z在复平面上
不可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解题思路】设z = x + y i,(x , y ∈R)，由已知得z在复平面的轨迹是以(3,4)为圆心，5为半径的圆，由图
即可判断.
【解答过程】设z = x + y i,(x , y ∈R)，由|z−3−4i)=5得(x−3)
2+( y −4)
2=25，
可得z在复平面上对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，5为半径的圆，（如图）.
由图知圆(x−3)
2+( y −4)
2=5显然不经过第三象限，故复数z在复平面上不可能位于第三象限.
故选：C.
4．（2025·江苏泰州·模拟预测）若z = 2+ 4i
2−i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数z的模为（ ）
A．❑√5
B．2
C．2❑√5
D．4
【答案】B
【解题思路】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解.
【解答过程】z = 2+ 4i
2−i = (2+ 4i)(2+i)
(2−i)(2+i) =2i,
所以z =−2i，且|z)=2.
故选：B.
5．（2025·全国·二模）已知复数z满足z (1+i)=2−3i，则z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解题思路】利用复数的运算法则，求得z =−1
2 −5
2 i，结合复数的几何意义，即可求解.
【解答过程】由z (1+i)=2−3i得z = 2−3i
1+i = (2−3i)(1−i)
(1+i)(1−i) = −1−5i
2
=−1
2 −5
2 i，
则z在复平面内所对应的点为(−1
2 ,−5
2)，位于第三象限.
故选：C.
6．（2025·海南·模拟预测）已知复数z =cosπ
6 +sinπ
6 i（i为虚数单位），则z
3等于（ ）
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【答案】C
【解题思路】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【解答过程】因为复数z =cosπ
6 +sinπ
6 i，
根据复数的运算法则，可得z
3=(cosπ
6 +sinπ
6 i)
3
=cosπ
2 +sinπ
2 i=i.
故选：C.
7．（2025·广东佛山·三模）复平面上A ，B两点对应的复数分别是1＋3i，−2＋i，向量⃗AB对应的复
数为z，则|z)＝（ ）
A．17
B．❑√17
C．13
D．❑√13
【答案】D
【解题思路】根据复数的几何意义求出A ,B坐标即可得出复数z，进而求出模.
【解答过程】由题意可得，A (1,3),B (−2,1)，则⃗AB =(−3,−2)，
所以z =−3−2i，得|z)= ❑√9+ 4 = ❑√13．
故选：D.
8．（2025·北京海淀·三模）在复平面内，复数，2
1+i −i
2025对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解题思路】根据复数运算法则及复数的几何意义即可求解.
【解答过程】原式= 2
1+i ⋅1−i
1−i −i
2025=
2(1−i)
(1+i)(1−i) −(i
2)
1012⋅i=1−i−i=1−2i，
对应复平面的点为(1,−2)，在第四象限.
故选：D.
二、多选题
9．（2025·江苏南通·模拟预测）设z1, z2为复数，则（ ）
A．|z1⋅z2)=|z1)⋅|z2)
B．|z1+ z2)=|z1)+|z2)
C．|z1−z2)=|z1+ z2)
D．|z1−z2)=|z1−z2)
【答案】AD
【解题思路】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R)，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断
A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判
断D.
【解答过程】设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R).
对于A 选项，z1⋅z2=(a1+b1i)⋅(a2+b2i)=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i，
所以，|z1⋅z2)= ❑√(a1a2−b1b2)
2+(a1b2+a2b1)
2= ❑√a1
2a2
2+b1
2b2
2+a1
2b2
2+a2
2b1
2
=
❑√(a1
2+b1
2)(a2
2+b2
2)=|z1)⋅|z2)，A 对；
对于B 选项，取z1=1+i，z2=1−i，则|z1)=|z2)= ❑√2，
z1+ z2=1+i+1−i=2，则|z1+ z2)=2，即|z1+ z2)=2≠|z1)+|z2)=2❑√2，B 错；
对于C 选项，z1−z2=a1−a2+(b1−b2)i，|z1−z2)= ❑√(a1−a2)
2+(b1−b2)
2，
z1+ z2=a1+a2+(b1+b2)i，z1+ z2=a1+a2−(b1+b2)i，
|z1+ z2)= ❑√(a1+a2)
2+(b1+b2)
2，所以C 错误；
对于D 选项，|z1−z2)= ❑√(a1−a2)
2+(b1−b2)
2，
z1−z2=a1−b1i−a2+b2i=a1−a2+(b2−b1)i，|z1−z2)= ❑√(a1−a2)
2+(b2−b1)
2，
所以|z1−z2)=|z1−z2)，故D 正确.
故选：AD.
10．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知复数z =m
2−4 +(m−2)i(m∈R)，则（ ）
A．若复数z 为实数，则z =0
B．若复数z 为纯虚数，则m=±2
C．当m=1时，| z|= ❑√10
D．复数z 在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD
【解题思路】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数
的几何意义即可求解.
【解答过程】对于A，依题意可得m−2=0，即m=2，则z =0，故A 正确；
对于B，依题意可得{
m
2−4 =0
m−2≠0
⇒m=−2)，故B 错误；
对于C，依题意可得z =−3−i，所以| z|=
❑√(−3)
2+(−1)
2= ❑√10，故C 正确；
对于D，若复数z 在平面内对应的点在第二象限，则{
m
2−4<0
m−2>0
⇒m∈∅)，所以D 正确，
故选：ACD．
11．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知复数z1=1+i，z2= x + y i( x , y ∈R)，则下列说法正确的是（ ）
A．(z1−1)
2025=i
B．z2
2=|z2)
2
C．若z1
z2
=1−i，则z2为纯虚数
D．若z1，z2为实系数方程x
2−ax +b=0的两虚根，则a=b=2
【答案】ACD
【解题思路】对A，根据复数的乘方运算求解，判断；对B，根据复数的乘法运算和复数模计算判断；对
C，根据复数的除法运算求解判断；对D，根据实系数的一元二次方程的虚根成对的原理，可判断.
【解答过程】对于A，由z1=1+i，得(z1−1)
2025=i
2025=i
4×506+1=i，故A 正确；
对于B，由z2
2=(x + y i)
2= x
2−y
2+2 xy i，|z2)
2= x
2+ y
2，得z2
2≠|z2)
2，故B 错误；
对于C，由z1
z2
=1−i，得z2=
z1
1−i = 1+i
1−i =
(1+i)
2
(1+i)(1−i) = 2i
2 =i，所以z2为纯虚数，故C 正确；
对于D，若z1, z2为实系数方程x
2−ax +b=0的两虚根，则z2=1−i，
所以a=1+i+1−i=2，b=(1+i)(1−i)=2，故D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·天津·高考真题）已知i 是虚数单位，则|
3+i
i )= ．
【答案】❑√10
【解题思路】先由复数除法运算化简3+i
i
，再由复数模长公式即可计算求解.
【解答过程】先由题得3+i
i
=−i(3+i)=1−3i，所以|
3+i
i
)=
❑√1
2+(−3)
2= ❑√10.
故答案为：❑√10.
13．（2025·天津红桥·模拟预测）已知i 是虚数单位，若复数z = m+i
1+2i (m∈R)是实数，则m= .
【答案】1
2
【解题思路】由复数的乘除法运算化简复数，要使z = m+i
1+2i (m∈R)是实数，令−2m+1
5
=0,即可得出答
案.
【解答过程】z = m+i
1+2i = (m+i)(1−2i)
(1+2i)(1−2i) = m−2mi+i+2
5
= m+2+(−2m+1)i
5
= m+2
5
+ −2m+1
5
i,
若复数z = m+i
1+2i (m∈R)是实数，则−2m+1
5
=0，解得：m= 1
2.
故答案为：1
2.
14．（2025·上海·高考真题）已知复数z 满足z
2=( z)
2,| z|≤1，则| z−2−3i|的最小值是 ．
【答案】2❑√2
【解题思路】先设z =a+bi，利用复数的乘方运算及概念确定ab=0，再根据复数的几何意义数形结合计
算即可.
【解答过程】设z =a+bi(a,b∈R),∴z =a−bi，
由题意可知z
2=a
2+2abi−b
2= z
2=a
2−2abi−b
2，则ab=0，
又|z)=
❑√a
2+b
2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z (a,b)在单位圆内部（含边界）的坐标轴
上运动，如图所示即线段AB ,CD上运动，
设E (2,3)，则|z−2−3i)=|ZE)，由图象可知|BE)= ❑√10>|CE)=2❑√2，
所以|ZE)min=2❑√2.
故答案为：2❑√2.
四、解答题
15．（24-25 高一下·上海青浦·期末）已知i为虚数单位，m∈R，复数z =(m
2−8m+15)+(m
2−4 m+3)i
．
(1)若z是实数，求m的值；
(2)若z是纯虚数，求m的值．
【答案】(1)1 或3
(2)5
【解题思路】（1）由z是实数，则m
2−4 m+3=0解出即可；
（2）由z是纯虚数，则{
m
2−8m+15=0
m
2−4 m+3≠0)，解出即可.
【解答过程】（1）若z是实数，则有m
2−4 m+3=0，
解得m=1或3；
（2）若z是纯虚数，
则有{
m
2−8m+15=0
m
2−4 m+3≠0),∴{
m=3 或5
m≠3 且m≠1)⇒m=5.
16．（24-25 高一下·天津·期末）已知i 是虚数单位，复数z =(m
2−2m−3)+(m+1)i,m∈R．
(1)当m= 4时，求z 的共轭复数z；
(2)若z 是纯虚数，求m 的值：
(3)若z 在复平面内对应的点位于第四象限，求m 的取值范围，
【答案】(1)z =5−5i
(2)m=3
(3)m<−1
【解题思路】（1）代入m= 4，根据共轭复数的概念求解即可；
（2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可；
（3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得m的不等式，求解即可.
【解答过程】（1）当m= 4时，z =5+5i，
所以共轭复数z =5−5i
（2）z =(m
2−2m−3)+(m+1)i，
因为复数z 是纯虚数，所以{
m
2−2m−3=0
m+1≠0 )，
解得{
m=3 或m=−1
m≠−1
)，
所以m=3；
（3）因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限
所以{
m
2−2m−3>0
m+1<0 )，即{
(m−3)(m+1)>0
m+1<0
)
即{
m<−1或m>3
m<−1
)，所以m<−1
所以，实数m 的取值范围是(−∞,−1).
17．（24-25 高一下·广东梅州·期末）已知1−2i是关于x的方程x
2+ px +q =0的一个根，其中p,q∈R，.
(1)求p、q的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
【答案】(1)p=−2,q =5
(2)1+2i
【解题思路】（1）根据题意，化简得到(1−4 + p+q)+(−4−2 p)i=0，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，原方程为x
2−2 x +5=0，化简得到(x −1)
2=−4，进而求得原方程的另一根.
【解答过程】（1）解：因为1−2i为方程x
2+ px +q =0的一个根，可得(1−2i)
2+ p(1−2i)+q =0，
整理得(1−4 + p+q)+(−4−2 p)i=0，所以{
1−4+ p+q =0
−4−2 p=0 )，
解得p=−2,q =5.
（2）解：由（1）得，原方程为x
2−2 x +5=0，
配方得(x−1)
2=−4，于是x−1=±2i，
解得x1=1−2i或x2=1+2i，所以原方程的另一根为1+2i.
18．（24-25 高一下·辽宁·期末）已知复数z1=2−i, z2=a+ 4i(a∈R)，且z2
z1
是纯虚数.
(1)求z2；
(2)若复数z = z2+(m
2−7m+10)i在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)z2=2+ 4i
(2)(1,6).
【解题思路】（1）根据复数的除法及乘法计算，再应用纯虚数计算求参；
（2）根据共轭复数及加法计算，最后根据点在第四象限，列出不等式计算求参.
【解答过程】（1）因为z1=2−i, z2=a+ 4i，
所以
z2
z1
= a+ 4i
2−i = (a+ 4i)(2+i)
(2−i)(2+i) = 2a−4+(a+8)i
5
= 2a−4
5
+ 8+a
5
i，
由
z2
z1
是纯虚数，得{
2a−4 =0
8+a≠0 )
解得a=2，
所以z2=2+ 4i；
（2）由（1）知z2=2−4i
所以z =2−4i+(m
2−7m+10)i=2+(m
2−7m+6)i
因为z在复平面内对应的点在第四象限，
所以m
2−7m+6<0，
解得1<m<6，
所以实数m的取值范围是(1,6).
19．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）定义：复数z =a+bi（a,b∈R）的三角形式为z =r (cosθ+isinθ)
，其中r =
❑√a
2+b
2，cosθ = a
r ,sinθ = b
r ，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ<2π范围内的辐角
θ的值为辐角的主值，记作arg z.
(1)求出方程x
2+6 x +12=0的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
(2)已知z1=5(cos50°+icos320°)，z2=3(sin130°+icos 490°)，求arg(z1⋅z2).
【答案】(1)复数根分别为z
′ =−3−❑√3i，z
″ =−3+ ❑√3i，主值分别为7 π
6 ，5 π
6
(2)π
18
【解题思路】（1）根据题意，求得方程的根z
′ =−3−❑√3i，z
″ =−3+ ❑√3i，结合辐角主值的计算方法，
即可求解；
（2）根据三角恒等变换的公式，化简得到z1⋅z2=15(cos10°+isin10°)，结合辐角主值的概念，即可求
解.
【解答过程】（1）由题意，方程x
2+6 x +9=−3，即(x +3)
2=3i
2，解得x +3=± ❑√3i，即x =−3± ❑√3i
，
故方程x
2+6 x +12=0的所有复数根为z
′ =−3−❑√3i，z
″ =−3+ ❑√3i，
对于复数z
′ =−3−❑√3i，可得r1=2❑√3，所以{
cosθ1= −❑√3
2
sinθ1= −1
2 )
，又由0≤θ1<2π，则θ1= 7π
6 ；
对于z
″ =−3+ ❑√3i，可得r2=2❑√3，所以{
cosθ2= −❑√3
2
sinθ2= 1
2 )
，又由0≤θ2<2π，则θ2= 5π
6 ，
故z
′，z
″的辐角的主值分别为7π
6 和5π
6 .
（2）由题意，可得z1⋅z2=15(cos50°+isin50)⋅[cos(−40°)+isin (−40°))
=15{cos50° cos(−40°)−sin50° sin (−40°)+i[sin50° cos(−40°)+cos50° sin (−40°)))
=15(cos10°+isin10°)，
所以tanθ = tan10°，解得θ =10° =π
18，所以arg(z1⋅z2)=π
18.
