专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】.........................................................................................................3
【题型2 正、余弦齐次式的计算】..........................................................................................................................5
【题型3 诱导公式的简单应用】..............................................................................................................................6
【题型4 三角函数式的化简、求值】......................................................................................................................7
【题型5 三角恒等式的证明】..................................................................................................................................8
【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】.......................................................................................................10
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解同角三角函数的基本关
系式，
，
(2)掌握诱导公式，并会简单应
用
2023 年全国甲卷（文数）：第
14 题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：第
13 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第4 题，5
分
2024 年全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
2025 年全国二卷：第8 题，5
分
2025 年北京卷：第13 题，5 分
同角三角函数关系式与诱导公式
是三角函数化简求值的基础，是高考
数学的热点和必考内容之一.从近几年
的高考情况来看，主要考察“弦切互
化”、同角三角函数关系式与诱导公
式综合等内容，考查较为灵活，一般
以选择题、填空题的形式出现，试题
难度中等或偏下.
知识点
1 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α 的正弦、余弦的商等于角α 的正
切.
2．基本关系式的变形公式
知识点
2 同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
可以实
现角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点
3 诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进行
运算.如
.
知识点
4 同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π)，sinα +cosα = 2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
【答案】A
【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sinα cosα =−17
25 ，结合α范围可判断sin α ,cosα的符号，
再利用同角三角函数基本关系可即求得sinα −cosα.
【解答过程】(sinα +cosα )
2=1+2sinα cosα = 8
25 ⇒2sinα cosα =−17
25，
故(sinα −cosα )
2=1−2sinα cosα = 42
25，
又∵sinα cosα <0且α ∈(0,π)⇒sinα >0，故cosα <0，
∴sinα −cosα >0，故sinα −cosα =
❑√42
5
.
故选：A.
【变式1-1】（2025·甘肃金昌·二模）若sinα =cosα + 3
5，则tanα +
1
tanα =（ ）
A．8
25
B．16
25
C．25
8
D．25
16
【答案】C
【解题思路】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解.
【解答过程】因为sinα −cosα = 3
5，所以sin
2α +cos
2α −2sinα cosα = 9
25 ,sinα cosα = 8
25.
因为tanα +
1
tanα =sinα
cosα +cosα
sinα =sin
2α +cos
2α
sinα cosα
=
1
sinα cosα ，所以tanα +
1
tanα = 25
8 .
故选：C.
【变式1-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知sinα +cosα = 3
4 sinα cosα，则sinα +cosα =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
4
C．−
❑√3
3
D．−1
3
【答案】D
【解题思路】由题意得sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2−1
2
，解一元二次方程即可得解.
【解答过程】因为sinα cosα = (sinα +cosα )
2−1
2
，所以sinα +cosα = 3
4 × (sinα +cosα )
2−1
2
，
化简得3(sinα +cosα )
2−8(sinα +cosα )−3=0，
解得sinα +cosα =−1
3或sinα +cosα =3（舍去，因为sinα +cosα ≤1+1=2，且等号不能成立）．
故选：D．
【变式1-3】（2025·广东汕头·模拟预测）设1+sin x
cos x
= 22
7 ，则1+cos x
sin x
=（ ）
A．3
2
B．3 ❑√2
2
C．29
15
D．31❑√3
17
【答案】C
【解题思路】依题意可得cos x = 7(1+sin x)
22
(cos x≠0)，根据平方关系求出sin x，即可求出cos x，再
代入计算可得.
【解答过程】因为1+sin x
cos x
= 22
7 ，显然cos x≠0，则cos x = 7(1+sin x)
22
，
又sin
2 x +cos
2 x =1，所以sin
2 x + 49(1+sin x)
2
484
=1，
即533sin
2 x +98sin x−435=0，解得sin x =−1或sin x = 435
533 ；
当sin x =−1时cos x =0，不符合题意；
所以sin x = 435
533 ，则cos x =
7(1+ 435
533)
22
= 308
533
，
所以1+cos x
sin x
=
1+ 308
533
435
533
= 29
15.
故选：C.
【题型2 正、余弦齐次式的计算】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知tan α =−2，则sin α −cosα
3cosα +sin α =（ ）
A．−3
B．−1
3
C．1
3
D．3
【答案】A
【解题思路】利用弦化切方法即可直接求解.
【解答过程】由tan α =−2得sin α −cosα
3cosα +sin α = tan α −1
3+ tan α = −2−1
3+(−2) =−3.
故选：A.
【变式2-1】（2025·贵州黔南·三模）若cosα
cosα −sinα =
❑√3
3 ，则tanα =（ ）
A．1−
❑√3
3
B．1−❑√3
C．
❑√3
3
D．1+ ❑√3
【答案】B
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可.
【解答过程】因为cosα
cosα −sinα =
❑√3
3 ，所以
1
1−tanα =
❑√3
3 ，解得tanα =1−❑√3.
故选：B.
【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知tan α = 1
2，则sin α −cosα
sin α +3cosα =（ ）
A．2
3
B．−1
7
C．1
2
D．−1
2
【答案】B
【解题思路】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.
【解答过程】由于tan α = 1
2，故sin α −cosα
sin α +3cosα = tan α −1
tan α +3 =
1
2 −1
1
2 +3
=−1
7 .
故选：B.
【变式2-3】（24-25 高三上·山西运城·期末）已知角α的始边为x 轴非负半轴，终边经过点(2,−1)，则
sinα +cosα
sinα −cosα =（ ）
A．3
B．1
3
C．−1
3
D．−3
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的定义，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即
可求解.
【解答过程】由三角函数的定义可得tanα =−1
2，
所以sinα +cosα
sinα −cosα =tanα +1
tanα −1 =
−1
2 +1
−1
2 −1
=−1
3.
故选：C.
【题型3 诱导公式的简单应用】
【例3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角α满足sin(α −10
∘)= 1
5，则cos(α +260
∘)=（ ）
A．−2❑√6
5
B．2❑√6
5
C．−1
5
D．1
5
【答案】D
【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可.
【解答过程】因为sin(α −10
∘)= 1
5，
所以cos(α +260
∘)=cos[(α −10
∘)+270
∘)=sin(α −10
∘)= 1
5.
故选：D.
【变式3-1】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）sin990
°cos660
°tan330
°=（ ）
A．
❑√3
6
B．−
❑√3
6
C．1
2
D．−1
2
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【解答过程】sin990
°cos660
°tan330
°=sin(720
°+270
°)cos(720
°−60
°)tan(360
°−30
°)
=sin270
°cos(−60
°)tan(−30
°)=sin270
°cos60
°(−tan30
°)=−1× 1
2 ×(−
❑√3
3 )=
❑√3
6 .
故选：A.
【变式3-2】（2025·河南·三模）已知∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，则sin(π−φ)=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式化简sin(2 x−π
3 )=cos(2 x−5π
6 )，再根据
∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，可得φ=−5π
6 +2k π(k ∈Z)，从而得所求.
【解答过程】由诱导公式可知sin(2 x−π
3 )=cos(
π
2 −2 x +π
3 )=cos(−2 x + 5π
6 )=cos(2 x−5π
6 )
，
又∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，
所以φ =−5π
6 +2k π(k ∈Z)，
所以sin(π−φ)=sinφ =sin(−5π
6 )=−1
2.
故选：B.
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．−3
5
B．−4
5
C．3
5
D．4
5
【答案】B
【解题思路】根据三角函数值的定义求sin α，再结合诱导公式运算求解.
【解答过程】因为角α的终边经过点P(−3,4)，则sin α =
4
❑√(−3)
2+ 4
2 = 4
5 ，
所以cos(
π
2 +α)=−sin α =−4
5 .
故选：B.
【题型4 三角函数式的化简、求值】
【例4】（2025·山东烟台·一模）已知tanα =−2，则
cos(
π
2 +α)
sin(π−α )−sin(
3π
2 −α)
=（ ）
A．−2
3
B．2
3
C．−2
D．2
【答案】C
【解题思路】由诱导公式和商数关系计算即可.
【解答过程】原式=
−sin α
sin α −(−cosα ) =
−sin α
sin α +cosα = −tan α
tan α +1 =
2
−2+1 =−2.
故选：C.
【变式4-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知sin(
2π
7 +α)= 1
5，那么tan(
3π
14 −α)=（ ）
A．−1
5
B．±2❑√6
C．2❑√6
5
D．2❑√6
【答案】B
【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为sin(
2π
7 +α)= 1
5，
所以cos(
3π
14 −α)=cos[
π
2 −(
2
7 π+α))=sin(
2
7 π+α)= 1
5，
则sin(
3π
14 −α)=± ❑√
1−cos
2(
3π
14 −α)=± 2❑√6
5
，
所以tan(
3π
14 −α)=
sin(
3π
14 −α)
cos(
3π
14 −α)
=±2❑√6.
故选：B.
【变式4-2】（2024·山东·一模）已知tan (3π−α )=3，且α是第二象限角，则sin α等于（ ）
A．
❑√10
10
B．−
❑√10
10
C．3 ❑√10
10
D．−3 ❑√10
10
【答案】C
【解题思路】根据诱导公式和同角三角函数关系得到方程组，解出即可.
【解答过程】tan (3π−α )=−tan α =3，则tan α = sin α
cosα =−3，
又因为sin
2α +cos
2α =1，且α是第二象限角，所以sin α = 3 ❑√10
10
.
故选：C.
【变式4-3】（2025·全国·一模）已知tan
2 β sin
2 β =3，则tan
2 β −2sin
2 β −sin
2 β
tan
2 β
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3
【答案】B
【解题思路】应用同角三角函数关系得出sin
4 β +3sin
2 β =3，再代入计算求解即可.
【解答过程】因为tan
2 β sin
2 β =3，所以(sin
2 β)
2=3(1−sin
2 β)，
所以(sin
2 β)
2+3sin
2 β −3=0，即sin
4 β +3sin
2 β =3，
则tan
2 β −2sin
2 β −sin
2 β
tan
2 β
=
3
sin
2 β
−2sin
2 β −sin
2 β
3
sin
2 β
=
3
sin
2 β
−2sin
2 β −sin
4 β
3
= 9−6sin
4 β −sin
6 β
3sin
2 β
= 3sin
4 β +9sin
2 β −6sin
4 β −sin
6 β
3sin
2 β
= −3sin
2 β +9−sin
4 β
3
= −3sin
2 β +3sin
4 β +9sin
2 β −sin
4 β
3
=2sin
4 β +6sin
2 β
3
= 2×3
3
=2.
故选：B.
【题型5 三角恒等式的证明】
【例5】（24-25 高一上·上海·课堂例题）证明：
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x
．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用诱导公式化简即可.
【解答过程】左边= −tan x (−sin x)cos x (−cos x)
−cos xsin x
=tan xcos x =sin x =右边，
所以
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x
．
【变式5-1】（24-25 高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)1−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
= 1−tan x
1+ tan x ；
(2)sin
4 x +cos
4 x =1−2sin
2 x cos
2 x.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【解答过程】（1）证明：左边=cos
2 x +sin
2 x−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
=
(cos x−sin x)
2
(cos x−sin x)(sin x +cos x)
= cos x−sin x
sin x +cos x = 1−tan x
tan x +1 =右边.
（2）证明：左边= (cos
2 x +sin
2 x)
2−2cos
2 x sin
2 x =1−2cos
2 x sin
2 x=右边.
【变式5-2】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）求证：
tan(2π −α )sin(−2π −α )cos(6 π −α )
sin(α + 3 π
2 )cos(α + 3 π
2 )
=−tan α；
（2）设tan(α + 8 π
7 )=m，求证
sin( 15 π
7
+α )+3cos(α −13 π
7
)
sin( 20 π
7
−α )−cos(α + 22π
7
)
= m+3
m+1.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题思路】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【解答过程】（1）左边=
tan(−α )sin(−α )cos(−α )
sin[2π −( π
2 −α )]cos[2π −( π
2 −α )]
=
(−tan α )(−sin α )cosα
sin[−( π
2 −α )]cos[−( π
2 −α )]
=
sin
2α
−sin( π
2 −α )cos( π
2 −α )
=
sin
2α
−cosα sin α =−sin α
cosα =−tan α=右
边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边=
sin[ π +( 8 π
7 +α )]+3cos[(α + 8 π
7 )−3 π ]
sin[ 4 π −(α + 8 π
7 )]−cos[2π +(α + 8 π
7 )]
=
−sin( 8 π
7 +α )−3cos(α + 8 π
7 )
−sin(α + 8 π
7 )−cos(α + 8 π
7 )
=
tan(α + 8 π
7 )+3
tan(α + 8 π
7 )+1
=m+3
m+1=右边，所以原等式成立.
方法2：由tan(α + 8 π
7 )=m，得tan(α + π
7 )=m，
所以，等式左边=
sin[2π +( π
7 +α )]+3cos[(α + π
7 )−2π ]
sin[2π + π −(α + π
7 )]−cos[2π + π +(α + π
7 )]
=
sin( π
7 +α )+3cos(α + π
7 )
sin(α + π
7 )+cos(α + π
7 )
=
tan(α + π
7 )+3
tan(α + π
7 )+1
= m+3
m+1=右边，等式成立.
【变式5-3】（24-25 高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)sin
2α +sin
2 β −sin
2α sin
2 β +cos
2α cos
2 β =1；
(2)2(1−sin α )(1+cosα )=(1−sin α +cosα )
2．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【解题思路】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；
（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.
【解答过程】（1）左边=sin
2α (1−sin
2 β)+sin
2 β +cos
2α cos
2 β
=sin
2α cos
2 β +sin
2 β +cos
2α cos
2 β
=cos
2 β(sin
2α +cos
2α)+sin
2 β
=cos
2 β +sin
2 β =1=右边.
则恒等式成立.
（2）右边=sin
2α +cos
2α +1−2sin α +2cosα −2sin α cosα
=2−2sin α +2cosα −2sin α cosα
=2(1−sin α +cosα −sin α cosα )
=2(1−sin α )(1+cosα )=左边.
则恒等式成立.
【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】
【例6】（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin(
3π
2 +α)=
❑√3
2 且π
2 <α <π，则tan α =（ ）
A．−❑√3
B．−
❑√3
3
C．
❑√3
3
D．3
【答案】B
【解题思路】由诱导公式可得cosα =−
❑√3
2 ，根据平方关系sin α = 1
2，再根据商数关系得tan α = sin α
cosα .
【解答过程】由诱导公式得sin(
3π
2 +α)=sin(π+π
2 +α)=−sin(
π
2 +α)=−cosα =
❑√3
2 ，
所以cosα =−
❑√3
2 ，
又因为α ∈(π
2 ,π)，
所以sin α = 1
2，
所以tan α = sin α
cosα =−
❑√3
3 .
故选：B.
【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知cos(30
∘+α)= 1
3，且0
∘<α <90
∘，则
tan(30
∘+α)sin
2(60
∘−α)−cos(150
∘−α)=（ ）
A．3+ ❑√2
9
B．3+2❑√2
9
C．3−❑√2
9
D．3−2❑√2
9
【答案】B
【解题思路】先根据α的范围，求sin(30
∘+α)，再利用诱导公式化简sin(60
∘−α)、cos(150
∘−α)，即
可求得.
【解答过程】因0
∘<α <90
∘，则30
∘<30
∘+α <120
∘，
因cos(30
∘+α)= 1
3，则sin(30
∘+α)= 2❑√2
3
，
因sin(60
∘−α)=sin[90
∘−(30
∘+α))=cos(30
∘+α)，
cos(150
∘−α)=cos[180
∘−(30
∘+α))=−cos(30
∘+α)，
则tan(30
∘+α)sin
2(60
∘−α)−cos(150
∘−α)
=tan(30
∘+α)cos
2(30
∘+α)+cos(30
∘+α)
=sin(30
∘+α)cos(30
∘+α)+cos(30
∘+α)
= 2❑√2
3
× 1
3 + 1
3 = 2❑√2+3
9
故选：B.
【变式6-2】（2024·辽宁·三模）已知tanα = 1
2，则sin(α +π
2 )−cos(
3π
2 −α)
cos(−α )−sin(π−α )
=（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
【答案】D
【解题思路】由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得.
【解答过程】
sin(α +π
2 )−cos(
3π
2 −α)
cos(−α )−sin(π−α )
= cosα +sin α
cosα −sin α = 1+ tan α
1−tan α =
1+ 1
2
1−1
2
=3，
故选：D.
【变式6-3】（24-25 高二上·云南昆明·阶段练习）已知角 θ 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点
P(1,2) ，则 sin(π−θ)
sinθ+cosθ
的值为（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．−2
3
D．2
3
【答案】D
【解题思路】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanθ 的值，再利用诱导公式、同角三角函数的基本
关系求得要求式子的值．
【解答过程】∵角θ 的始边为x 轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，
∴tanθ =2，
则sin(π−θ)
sinθ+cosθ =
sinθ
sinθ+cosθ =
tanθ
tanθ+1 =
2
2+1 = 2
3.
故选：D.
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin α +cosα
sin α −cosα = 1
2，则tan(α +π)=（ ）
A．−3
B．−1
3
C．3
D．1
3
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【解答过程】因为sin α +cosα
sin α −cosα = 1
2，所以tan α +1
tan α −1 = 1
2，解得tan α =−3，
于是tan(α +π)=tanα =−3，
故选：A．
2．（2025·河南信阳·模拟预测）若tanα =2，α ∈(0,π )，则2sinα +cosα =（ ）
A．❑√5
B．−❑√5
C．4
5
❑√5
D．−4
5
❑√5
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数的关系，已知tanα =2，α ∈(0,π )，可求sinα ,cosα，然后代入计算即
可.
【解答过程】由题知{
tanα = sin α
cosα =2
sin
2α +cos
2α =1)
，α ∈(0,π )，解得sin α = 2❑√5
5
,cosα =
❑√5
5 ，
则2sinα +cosα =2× 2❑√5
5
+
❑√5
5 = ❑√5，
故选：A.
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
【答案】D
【解题思路】利用二倍角余弦公式得cosα =−3
5，则sin α = 4
5 ，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答
案.
【解答过程】cosα =2cos
2 α
2 −1=2×(
❑√5
5 )
2
−1=−3
5，
因为0<α <π，则π
2 <α <π，则sin α =
❑√1−cos
2α = ❑√
1−(−3
5)
2
= 4
5
，
则sin(α −π
4)=sin α cos π
4 −cosα sin π
4 = 4
5 ×
❑√2
2 −(−3
5)×
❑√2
2 = 7 ❑√2
10 .
故选：D.
4．（2025·安徽·模拟预测）计算：tan20°+(1+ ❑√3tan20°)
❑√3cos20°−sin20°
cos20°+ ❑√3sin20° =（ ）
A．
❑√3
3
B．❑√3
C．2❑√3
3
D．1
【答案】B
【解题思路】根据同角三角函数关系切化弦，再化简计算求值.
【解答过程】tan20°+(1+ ❑√3tan20°)
❑√3cos20°−sin20°
cos20°+ ❑√3sin20°
=sin20°
cos20° +(1+ ❑√3sin20°
cos20° )
❑√3cos20°−sin20°
cos20°+ ❑√3sin20°
=sin20°
cos20° +(
cos20°+ ❑√3sin20°
cos20°
)
❑√3cos20°−sin20°
cos20°+ ❑√3sin20°
=sin20°
cos20° +
❑√3cos20°−sin20°
cos20°
=
❑√3cos20°
cos20°
= ❑√3.
故选：B.
5．（2025·湖北孝感·三模）已知x∈(−π
2 ，0)，sin
4 x +cos
4 x = 1
2，则sin x−cos x =（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【答案】B
【解题思路】利用sin
4 x +cos
4 x = 1
2及角的范围变形得到sin x cos x =−1
2，从而得到
sin x −cos x =−
❑√(sin x −cos x)
2=−❑√2.
【解答过程】sin
4 x +cos
4 x =(sin
2 x +cos
2 x)
2−2sin
2 x cos
2 x =1−2sin
2 x cos
2 x，
又sin
4 x +cos
4 x = 1
2，所以1−2sin
2 x cos
2 x = 1
2，
所以sin
2 x cos
2 x = 1
4 ，
又x∈(−π
2 ，0)，所以sin x<0,cos x>0，sin x−cos x<0，
所以sin x cos x =−1
2，
故sin x−cos x =−
❑√(sin x−cos x)
2=−❑√1−2sin x cos x =−❑√
1−2×(−1
2)=−❑√2．
故选：B.
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负
半轴重合，终边经过点P(t ,1)，sin(α +π
2 )=−
❑√5
5 ，则t =（ ）
A．-2
B．−1
2
C．1
2
D．2
【答案】B
【解题思路】利用三角函数的定义求出cosα，再结合诱导公式可得.
【解答过程】由题意可得，cosα =
t
❑√t
2+1
，
则sin(α +π
2 )=cosα =
t
❑√t
2+1
=−
❑√5
5 ，解得t =−1
2（1
2舍去）.
故选：B.
7．（2025·广东茂名·模拟预测）已知sin(
π
3 −x)= 1
3，且0< x<π
2
，求sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)的值
为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．2❑√2
3
C．0
D．−2❑√2
3
【答案】A
【解题思路】由sin(
π
3 −x)= 1
3，结合π
3
−x的范围求出cos(
π
3 −x)的值，再利用诱导公式将
sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)化简，即可得解.
【解答过程】∵0< x<π
2
,∴−π
6 <π
3 −x<π
3
，
∵ sin(
π
3 −x)= 1
3，∴cos(
π
3 −x)= ❑√1−sin
2(
π
3 −x)= 2❑√2
3
．
∴sin(
π
6 + x)−cos(
2π
3
+ x)=sin[
π
2 −(
π
3 −x))−cos[π−(
π
3 −x))
=cos(
π
3 −x)+cos(
π
3 −x)=2cos(
π
3 −x)= 4 ❑√2
3
．
故选：A.
8．（24-25 高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的顶点与坐标原点重
合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别是射线OA和射线OB，若射线OA与单位圆的交点为A(m, 4
5)
，射线OB与单位圆的交点为B，且OA ⊥OB，则3sinα +2cos β
2cosα −3sin β 的值是（ ）
A．4
3
B．3
4
C．−3
4
D．−4
3
【答案】A
【解题思路】先根据题意求出m，再根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求出
sin α ,cosα ,sin β ,cos β的值，然后代入计算即可.
【解答过程】由题意得m
2+(
4
5)
2
=1，且m<0，解得m=−3
5，所以A(−3
5 , 4
5)，
所以sin α = 4
5 ,cosα =−3
5，
因为β =α +π
2
，所以sin β =sin(α +π
2 )=cosα =−3
5 ,cos β =cos(α +π
2 )=−sin α =−4
5 ，
所以3sinα +2cos β
2cosα −3sin β =
3× 4
5 +2×(−4
5)
2×(−3
5)−3×(−3
5)
= 4
3 .
故选：A.
二、多选题
9．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角α的终边过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )，则角α的集合是{α|α =π
3 +2k π),k ∈Z)
B．若cos(α +π
6 )= 3
5，则sin(α + 2π
3 )= 3
5
C．若tanα =2，则sin
2α +sinα cosα = 6
5
D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm
【答案】ABC
【解题思路】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，
根据扇形弧长公式求解判断D.
【解答过程】因为角α的终边过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知tan α = ❑√3，所以角α的终边与π
3 终边相同，
所以角α的集合是{α|α =π
3 +2k π),k ∈Z)，故A 选项正确；
因为sin(α + 2π
3 )=sin(α +π
6 +π
2 )=cos(α +π
6 )= 3
5，所以B 选项正确；
因为sin
2α +sinα cosα =sin
2α +sinα cosα
sin
2α +cos
2α
=tan
2α +tanα
tan
2α +1
= 4+2
4 +1 = 6
5，所以C 选项正确；
设扇形的半径为r，圆心角为α，因为扇形所对的弧长为l =αr =2r，
所以扇形周长为l+2r =2r +2r = 4 r =8，故r =2cm，所以D 选项不正确．
故选：ABC.
10．（2025·云南大理·模拟预测）已知角α的终边经过点P(3,−4)，则（ ）
A．sinα =−4
5
B．tanα = 4
3
C．cos(π+α )=−3
5
D．cos(
π
2 +α)=−4
5
【答案】AC
【解题思路】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可.
【解答过程】由角α的终边经过点P(3,−4)，得点P到原点O的距离r =|OP)=5，
对于A，sinα =−4
5 ，A 正确；
对于B，tanα =−4
3 ，B 错误；
对于C，cos(π+α )=−cosα =−3
5，C 正确；
对于D，cos(
π
2 +α)=−sinα = 4
5 ，D 错误.
故选：AC.
11．（24-25 高一上·吉林通化·期末）已知sinθ+cosθ = 1
5，θ∈(0,π)，则下列等式正确的是（ ）
A．sinθcosθ =−12
25
B．sinθ−cosθ = 7
5
C．tanθ =−3
4
D．sin
2θ−cos
2θ = 7
25
【答案】ABD
【解题思路】对A，将条件式平方化简得解；对B，利用sinθ−cosθ与sinθ⋅cosθ的关系，结合cosθ<0
求解判断；对C，由选项B，结合条件求出sinθ ,cosθ得解；对D，由平方差公式结合选项B 求解.
【解答过程】对于A，由sinθ+cosθ = 1
5，则(sinθ+cosθ)
2= 1
25，化简得sinθ⋅cosθ =−12
25，故A 正
确；
对于B，由sinθ⋅cosθ =−12
25 <0，θ∈(0,π)，则sinθ>0,cosθ<0，即sinθ−cosθ>0，
∵(sinθ−cosθ)
2=1−2sinθcosθ =1+ 24
25 = 49
25，∴sinθ−cosθ = 7
5，故B 正确；
对于C，由{
sinθ+cosθ = 1
5
sinθ−cosθ = 7
5)
，解得{
sinθ = 4
5
cosθ =−3
5)
，所以tanθ =−4
3 ，故C 错误；
对于D，sin
2θ−cos
2θ =(sinθ+cosθ)(sinθ−cosθ)= 1
5 × 7
5 = 7
25，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．（2025·辽宁·二模）已知tan
2α −sin
2α =2，则tan
2α sin
2α = .
【答案】2
【解题思路】根据题意结合同角三角关系可得tan
2α −sin
2α = tan
2α sin
2α，即可得结果.
【解答过程】因为tan
2α −sin
2α = sin
2α
cos
2α
−sin
2α =sin
2α(
1−cos
2α
cos
2α )=sin
2α sin
2α
cos
2α
= tan
2α sin
2α，
所以tan
2α sin
2α =2,
故答案为：2.
13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知α是第一象限角，且cos(α +π
6 )= 5
13，则tan(α −π
3 )= .
【答案】−5
12
【解题思路】利用诱导公式和同角三角函数关系求解即可.
【解答过程】由题意可得cos(α +π
6 )=cos(α −π
3 +π
2 )=−sin(α −π
3 )= 5
13，即sin(α −π
3 )=−5
13
，
因为α是第一象限角，所以2k π<α <π
2 +2k π，−π
3 +2k π<α −π
3 <π
6 +2k π，k ∈Z，
所以cos(α −π
3 )>0，cos(α −π
3 )= ❑√
1−sin
2(α −π
3 )= 12
13，
所以tan(α −π
3 )=
sin(α −π
3 )
cos(α −π
3 )
=−5
12，
故答案为：−5
12.
14．（2025·北京石景山·一模）如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标
为3
5，则sin(
π
2 +α)的值为 .
【答案】3
5/0.6
【解题思路】先根据三角函数的定义可得cosα = 3
5，进而结合诱导公式求解即可.
【解答过程】由题意，点P的横坐标为3
5，则cosα = 3
5，
则sin(
π
2 +α)=cosα = 3
5.
故答案为：3
5.
四、解答题
15．（24-25 高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知α是第二象限角，sinα =
❑√10
10 ，
(1)求cosα ,tanα；
(2)求
1
2sinα cosα +cos
2α
．
【答案】(1)cosα =−3 ❑√10
10
,tanα =−1
3
(2)10
3
【解题思路】(1)根据同角三角函数关系，由平方关系求出余弦，再由商数关系求出正切.
(2)把分子1 转换为sin
2α +cos
2α,在由弦化切,求出结果.
【解答过程】（1）已知α是第二象限角，sinα =
❑√10
10 ,
∴cosα =−
❑√1−sin
2α =−3 ❑√10
10
,tanα = sin α
cosα =
❑√10
10
−3 ❑√10
10
=−1
3.
（2）
1
2sinα cosα +cos
2α
=
sin
2α +cos
2α
2sinα cosα +cos
2α
=
sin
2α +cos
2α
cos
2α
2sinα cosα +cos
2α
cos
2α
= tan
2α +1
2tan α +1,
∴tanα =−1
3,∴
1
2sinα cosα +cos
2α
= tan
2α +1
2tan α +1 =
1
9 +1
−2
3 +1
= 10
3 .
16．（24-25 高一下·河北保定·期末）已知tan(π+α )=−2．
(1)若α是第二象限角，求cosα的值；
(2)求
2sin(π+α )cos(−2π−α )
sin
2(−α )−sin
2( 3π
2 −α ) 的值．
【答案】(1)cosα =−
❑√5
5 ；
(2)4
3 .
【解题思路】（1）利用诱导公式及同角公式列式计算得解.
（2）利用诱导公式化简，再利用齐次式法计算得解.
【解答过程】（1）依题意，tan α = tan(π+α )=−2，由α是第二象限角，得sin α >0,cosα <0，
又{
sinα =−2cosα
sin
2α +cos
2α =1)，解得sin α = 2❑√5
5
,cosα =−
❑√5
5 ，所以cosα =−
❑√5
5 .
（2）
2sin(π+α )cos(−2π−α )
sin
2(−α )−sin
2( 3π
2 −α )
= −2sin α cosα
sin
2α −cos
2α
= −2tan α
tan
2α −1
= −2×(−2)
4−1
= 4
3 ．
17．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知角θ的终边经过点P(−5
13 , 12
13).
(1)求sinθ，cosθ的值；
(2)求sin(
7 π
2 +θ)⋅tan(2π −θ)+sin(π −θ)
cos(−θ)
的值.
【答案】(1)sinθ = 12
13，cosθ =−5
13
(2)−24
5
【解题思路】（1）根据三角函数的定义可求出sinθ，cosθ的值；
（2）运用诱导公式进行化简，然后求值即可.
【解答过程】（1）角θ的终边经过点P(−5
13 , 12
13).
由三角函数的定义得sinθ =
12
13
❑√(−5
13)
2
+(
12
13)
2 = 12
13，cosθ =
−5
13
❑√(−5
13)
2
+(
12
13)
2 =−5
13.
（2）由（1）知：sinθ = 12
13，cosθ =−5
13，所以tanθ =sinθ
cosθ =−12
5 ，
故sin(
7 π
2 +θ)⋅tan(2π −θ)+sin(π −θ)
cos(−θ)
= −cosθ⋅(−tanθ)+sinθ
cosθ
=2tanθ =−24
5
.
18．（24-25 高一上·天津·阶段练习）计算：
(1)已知α为第二象限角，tanα =−2，求sinα ,cosα
(2)tanα =2
（i）求sinα −cosα
2sinα +cosα 的值
（ii）求sin
2α +sinα cosα的值
【答案】(1)sinα = 2❑√5
5
,cosα =−
❑√5
5
(2)（i）1
5；（ii）6
5.
【解题思路】（1）利用同角公式列出方程求解.
（2）（i）（ii）利用齐次式法求解.
【解答过程】（1）由α为第二象限角，得sinα >0,cosα <0，由tanα =−2，得{
sin α =−2cosα
sin
2α +cos
2α =1)，
所以sinα = 2❑√5
5
,cosα =−
❑√5
5 .
（2）由tanα =2，得（i）sinα −cosα
2sinα +cosα = tan α −1
2tan α +1 =
2−1
2×2+1 = 1
5；
（ii）sin
2α +sinα cosα =sin
2α +sinα cosα
sin
2α +cos
2α
= tan
2α + tan α
tan
2α +1
= 2
2+2
2
2+1
= 6
5.
19．（24-25 高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非
负半轴重合，终边经过点P(3, λ)，且sin α = λ
5.
(1)求实数λ及相应cosα的值；
(2)当λ>0时，化简
sin (α +π)+cos(α + 5π
2 )
sin(
π
2 −α)−cos(α +3π)
并求值.
【答案】(1)答案见解析
(2)−4
3
【解题思路】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案；
（2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案.
【解答过程】（1）根据三角函数的定义得sin α =
λ
❑√3
2+ λ
2 = λ
5 ，解得λ =0或λ =± 4，
当λ =0时，P(3,0)，cosα =1，
当λ =± 4时，cosα =
3
❑√3
2+ λ
2 =
3
❑√3
2+ 4
2 = 3
5.
（2）由λ>0可知λ = 4，此时sin α = 4
5 ，cosα = 3
5，
原式=
sin (α +π)+cos(α + 5
2 π)
sin(
π
2 −α)−cos(α +3π)
=
−sin α +cos(α +π
2 )
cosα −cos(α +π)
= −sin α −sin α
cosα +cosα =−sin α
cosα =−
4
5
3
5
=−4
3 .
