专题4.4 三角函数的图象与性质（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 三角函数图象的识别及应用】..................................................................................................................3
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】.........................................................................................................4
【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】.................................................................................................5
【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】.........................................................................................................5
【题型5 三角函数的周期性问题】..........................................................................................................................6
【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】.....................................................................................................6
【题型7 根据三角函数的单调性求参数】..............................................................................................................7
【题型8 三角函数的零点问题】..............................................................................................................................7
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】.....................................................................................................8
1、三角函数的图象与性质
考点要求
真题统计
考情分析
(1)能画出三角函数的图象
(2) 了解三角函数的周期
性、奇偶性、最大（小）
值
(3) 借助图象理解正弦函
数、余弦函数在
上
的性质及正切函数在
上的性质
2023 年新课标I 卷：第15 题，5
分
2023 年天津卷：第6 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第7 题，5 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第9 题，6 分
2024 年全国甲卷（文数）：第13
题，5 分
2025 年全国一卷：第4 题，5 分
2025 年全国二卷：第15 题，13 分
2025 年北京卷：第8 题，5 分
三角函数的图象与性质是高考的
重点、热点内容，其中三角函数的周
期性、对称性、奇偶性与单调性之间
的关系则是高考考察的重心.从近几年
的高考情况来看，比较注重对三角函
数的几大性质之间的逻辑关系的考
查，试题多以选择题、填空题的形式
呈现，有时也会在解答题中考查，难
度中等或偏下，复习时要加强这方面
的训练.
知识点
1
三角函数的定义域与值域的求解策略
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式
( 组
) ，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c 的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c 的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c 的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c 的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
知识点
2
三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=
kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)
（或令ωx+φ=
kπ(k∈Z)），求x 即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=
(k∈Z)），
求x 即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若
y=0 则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
kπ(k∈Z).
知识点
3
三角函数的单调性问题的解题策略
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只
需把ωx+φ 看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择
题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
个周期，相邻的对称中心与对称轴
之间的距离是
个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是
个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=
(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
【题型1 三角函数图象的识别及应用】
【例1】（2025·甘肃白银·模拟预测）函数f (x)=sinπ x + sin3π x
3
+ x
2−x的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2025·天津·二模）函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
【变式1-2】（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数f (x)= 5 xcos x
e|x)
+sin x的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2025·四川·一模）函数f (x)= 1
4 cosπ x⋅(e
x−e
−x)，x∈(−4,4)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型2 三角函数的定义域、值域与最值】
【例2】（2024·广东湛江·二模）函数f (x)= 4 sin(5 x−π
6)在[0,π
5 )上的值域为（ ）
A．[−2,2)
B．[−2,4)
C．[−2❑√3,4)
D．[−2❑√3,2)
【变式2-1】（24-25 高一下·北京海淀·期中）函数y = tan(x + π
4)的定义域为（ ）
A．{x|x∈R , x≠3 π
4 + k π ,k ∈Z))
B．{x|x∈R , x≠π
4 +k π ,k ∈Z))
C．{x|x∈R , x≠3 π
4 +2k π ,k ∈Z))
D．{x|x∈R , x≠π
4 + k π
2 ,k ∈Z))
【变式2-2】（2025·山西·模拟预测）设函数f (x)=sin2 x在区间[
π
6 , 7π
12 )的最小值和最大值分别为m和
M，则M −m=（ ）
A．2
B．3
2
C．2−❑√3
2
D．1+ ❑√3
2
【变式2-3】（2025·河南·三模）函数f ( x)=2sin(2 x +φ)(0<φ<π
2 )的图象关于直线x =π
12对称，则
f ( x)在[
π
2 ,π)上的最小值为（ ）
A．−2
B．−❑√3
C．−1
D．−❑√2
【题型3 根据三角函数的值域（最值）求参数】
【例3】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f ( x)=2cos(2 x +π
6 )在区间[0,a)上的值域为[−2,❑√3)，
则a的取值范围为（ ）
A．[
5π
12 , 5π
6 ) B．[
5π
12 , 11π
12 )
C．[
2π
5 , 5π
12 )
D．[
5π
12 ,π)
【变式3-1】（24-25 高三上·山西·期末）已知函数f (x)=sin(ωx + π
6)(ω>0)在区间[0, π
2)内有最大值，
但无最小值，则ω的取值范围是（ ）
A．(
2
3 , 10
3 )
B．(
4
3 , 10
3 )
C．(
2
3 , 8
3)
D．(
4
3 , 8
3)
【变式3-2】（2024·河南郑州·一模）已知函数f ( x)=2sin(ωx −π
6 )(ω>0)在[0,π
2 )上的值域为[−1,2)
，则ω的取值范围为（ ）
A．[
4
3 ,2)
B．[
4
3 , 8
3)
C．[
2
3 , 4
3)
D．[
2
3 , 8
3)
【变式3-3】（2025·上海闵行·二模）已知函数y =cos(
π
6 x +π
3 )在区间[a,a+9)上既有最大值1 又有最
小值−1，则关于实数a的取值，以下不可能的是（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【题型4 三角函数的奇偶性与对称性问题】
【例4】（2025·河北保定·模拟预测）已知函数f ( x)=sinω( x +π)为奇函数且ω>0，则f (π)=（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．±1
【变式4-1】（2025·全国一卷·高考真题）若点(a,0)(a>0)是函数y =2tan(x−π
3 )的图像的一个对称中
心，则a 的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．4π
3
【变式4-2】（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数f (x)=5cos[2(x +φ)+π
6 )+1是偶函数，则|φ)的最小值
是（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
【变式4-3】（2025·山东烟台·三模）若函数f (x)=sin(ωx +π
6 )(0<ω<2)图象的一个对称中心为(
π
2 ,0)
，则ω的值为（ ）
A．2
3
B．3
4
C．1
D．5
3
【题型5 三角函数的周期性问题】
【例5】（2025·天津红桥·模拟预测）函数f (x)=sin (2 x)，x∈R的最小正周期是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
【变式5-1】（2025·重庆·三模）已知函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)在[0,2π)上恰有2 个零点，则
f ( x)的最小正周期的最小值为（ ）
A．2π
3
B．π
C．4π
3
D．3π
2
【变式5-2】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数f ( x)=cos(x +π
4 )的最小正周期是（ ）
A．π
4
B．π
2
C．π
D．2π
【变式5-3】（2025·重庆·模拟预测）若函数f (x)=cos(2ωx +π
12)(ω>0)的最小正周期为1
3
，则ω=
（ ）
A．1
3
B．3
C．π
3
D．3π
【题型6 求三角函数的单调区间、比较大小】
【例6】（2025·广东深圳·二模）奇函数f (x)=2cos(2 x +φ)(0<φ<π )的单调减区间可以是（ ）
A．[−π
4 , π
4)
B．[−π
2 ,−π
4)
C．[0, π
2)
D．[
π
4 , π
2)
【变式6-1】（2025·天津南开·二模）函数f (x)= ❑√2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的部分图象如图所示，
则f (x)的单调递增区间为（ ）
A．[k π−5π
12 ,k π+π
12),k ∈Z
B．[2k π−5π
12 ,2k π+π
12),k ∈Z
C．[k π−π
2 ,k π+π
4 ),k ∈Z
D．[2k π−π
2 ,2k π+π
4 ),k ∈Z
【变式6-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知a=ln0.3
ln0.4 ,b=
1
log1.5e ,c =sin 5π
24 ，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A．a>b>c
B．c>a>b
C．c>b>a
D．a>c>b
【变式6-3】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知π
3
为曲线y =cos x与y =sin(2 x +φ)(0≤φ<π)的一个
交点的横坐标，则函数f ( x)=sin(2 x +φ)的一个单调增区间为（ ）
A．[−π
3 ,π
4 )
B．[
2π
3 , 7π
6 )
C．[−π
6 ,π
3 )
D．[−π,−2π
3 )
【题型7 根据三角函数的单调性求参数】
【例7】（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx −π
3 )(ω>0)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称，
且在(0,π
2 )上为增函数，则ω的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【变式7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )，f (−π
4 )=0，
x =π
4 为f ( x)图象的对称轴，且f ( x)在(π
18 , 5π
36 )上单调，则ω的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【变式7-2】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数f ( x)=sin ωx + ❑√3cosωx(ω>0)，设甲：函数f (x)在
区间(−π
6 ,π
3 )上单调递增，乙：ω的取值范围是(0, 1
2)，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式7-3】（2025·黑龙江·模拟预测）函数f (x)=2❑√3cos(ωx −π
2 )⋅cosωx −2sin
2ωx +1图象如图
所示，若函数f (x)在[m,π
4 )单调增，则m的取值范围是（ ）
A．(−14π
9
,π
4 )
B．[−14π
9
,π
4 )
C．[−8π
9
,π
4 ) D．(−8π
9
,π
4 )
【题型8 三角函数的零点问题】
【例8】（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且
f ( x)在[0,π
4 )上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【变式8-1】（2024·湖南·模拟预测）已知函数f (x)=cos(ωx +π
4 )在(0,π
12)上单调递减且其最小正周期
为π，则函数f (x)的一个零点为（ ）
A．π
4
B．3π
8
C．π
2
D．5π
8
【变式8-2】（2025·青海西宁·模拟预测）设函数f ( x)=sin(ωx −π
6 )(ω>0)，若f ( x)在(0,π
2 )上有且
只有2 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(
7
3 ,3)
B．(
7
3 ,3)
C．(
7
3 , 13
3 )
D．(
7
3 , 13
3 )
【变式8-3】（2025·四川绵阳·模拟预测）函数f (x)=sin(ωx +φ)（ω>0且φ∈R在(
5π
18 , 2π
3 )上单调，
且f(
π
3 )+ f(
5π
9 )=0，若f (x)在(
2π
9 ,π)上恰有2 个零点，则ω的取值最准确的范围是（ ）
A．[
27
13 , 63
26)
B．(
9
5 , 9
4)
C．(
9
5 , 18
5 )
D．(
9
4 , 18
7 )
【题型9 三角函数的图象与性质的综合应用】
【例9】（2025·天津·模拟预测）已知函数f ( x)=2sin(ωx −π
6 )(ω>0)和
g( x)=3cos(2 x +φ)+1(|φ|<π
2 )的图象的对称轴完全相同，令ℎ( x)=sin(ωx −φ)，则下列结论错误
的是（ ）
A．ℎ(x)的一个周期为−2π
B．ℎ(x)的图象关于直线x = 5π
12
对称
C．ℎ( x +π)的一个零点为x =π
6
D．ℎ(x)在(
π
2 ,π)单调递减
【变式9-1】（2025·天津北辰·三模）记max {a,b)为a,b中的较大值，则关于函数
f (x)= max{sin x + ❑√3cos x ,sin x−❑√3cos x)有如下四个命题：
①f (x)的最小正周期为2π；
②f (x)的图象关于直线x = 3π
2
对称；
③f (x)的值域为[−2,2)；
④f (x)在区间(
π
6 ,π
4 )上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式9-2】（24-25 高一下·辽宁抚顺·期中）已知函数f (x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π
2 )的最小正周
期为π，且f (x)的图象关于直线x =π
6
对称．
(1)求f (x)的解析式；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)求f (x)在[−π
6 , 3π
8 )上的值域．
【变式9-3】（2024·广东佛山·一模）记T为函数f (x)=sin(ωx +φ)的最小正周期，其中ω>0,0<φ<π，
且f (0)=
❑√3
2
，直线x = 1
12 T为曲线y = f (x)的对称轴.
(1)求φ；
(2)若f (x)在区间[π,2π)上的值域为[−1,
❑√3
2 )
，求f (x)的解析式.
一、单选题
1．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数y =3tan(
π
6 −x
4)的最小正周期是（ ）
A．2π
B．6π
C．4π
D．π
2
2．（2025·河北·模拟预测）函数y =cos x +ln x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·山东青岛·三模）已知函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )+b的图象关于点(
π
2 ,2)中心对称，则f (2π )=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．（2025·湖南邵阳·三模）下列区间中，函数f (x)=3tan(−2 x +π
6 )单调递减的区间是（ ）
A．(−π
6 ,π
3 )
B．(−π
2 ,π
3 )
C．(−π,−π
6 )
D．(0,π)
5．（2025·海南·模拟预测）函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ< 3π
2 )，若f ( x)的一个单调递增区间
为[−2
3 , 4
3 ]，且f (0)=−1
2
，下面说法正确的是（ ）
A．ω=π
B．φ = 2π
3
C．f ( x)在(0,π)上有2 个零点
D．f (−1)=−1
2
6．（2025·辽宁·模拟预测）设ω>0，已知函数f (x)=sin (ωsin x)在区间(0,π)内恰有2025 个零点，则
ω=（ ）
A．1010π
B．1011π
C．1012π
D．1013π
7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为2π
3
，则f (x)在
[−π
6 ,π
6 )上的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数f (x)=sin (π−cos x)，则下列结论不正确的是（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的单调递增区间为[2k π−π,2k π)(k ∈Z)
C．f (x)是周期为π的周期函数
D．f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)对称
二、多选题
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知函数f (x)=cos(2 x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(−π
3 , 0)中心对
称，则（ ）
A．f (x)在区间(−π
3 , 0)上单调递增
B．f (x)在区间(−π
6 , π
6 )上的最大值为1
C．直线x = 2π
3
是曲线y = f (x)的对称轴
D．当x ≤0时，函数y =−2
π x +1的图象恒在函数f (x)的图象上方
10．（2025·四川巴中·二模）已知函数f (x)=cos(ωx +π
3 )(ω>0)在区间在区间[0,π)上有且仅有3 条对
称轴，给出下列四个结论，正确的是（ ）
A．f (x)在区间(0,π)上有且仅有2 个不同的零点；
B．f (x)的最小正周期可能是3π
4
；
C．ω的取值范围是[
10
3 , 13
3 )；
D．f (x)在区间(0,π
12)上单调递增
11．（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数f (x)=sin2 x|sin x)，则（ ）
A．π为f (x)的周期
B．f (x)的图象关于x =π
2
对称
C．f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)对称
D．f(x +π
2 )是奇函数
三、填空题
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）若函数f ( x)=2sin(ωx −π
6 )(ω>0)在区间(0,π
4 )上单调，则ω的取值
范围为
.
13．（2025·甘肃白银·模拟预测）函数f (x)=sin(2 x + 2π
3 +φ)是偶函数，则φ的最小正值为
．
14．（2025·上海黄浦·二模）设a、b为常数，f (x)=|a+sin x)+|a−sin x)，若对任意的b∈(1,2)，函数
y = f (x)−b在区间[0,2π)上恰有4 个零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)=cos(2 x +φ)(0≤φ<π),f (0)= 1
2
．
(1)求φ;
(2)设函数g( x)= f ( x)+ f(x−π
6 )，求g( x)的值域和单调区间．
16．（2024·浙江·模拟预测）已知函数f (x)=sin x−❑√3cos x.
(1)求f(
π
6 )的值，
(2)求函数y = f (x)⋅sin x的单调递增区间.
17．（2024·上海·模拟预测）已知f ( x)=sin(ωx +π
3 )，ω>0
(1)设ω=1，求解:y = f (x), x∈[0,π)的值域;
(2)a>π(a∈R),f ( x)的最小正周期为π，若在x∈[π,a)上恰有3 个零点，求a的取值范围.
18．（2024·上海普陀·一模）设函数y = f (x)的表达式为f (x)=sin (ωx)，其中ω>0.
(1)设ω=1，m∈R，若有且只有一个x0∈(0,m)，使得函数y = f(x +π
4 )取得最小值，求m的取值范
围；
(2)若对任意的x∈R，皆有f (x)+ f(
2π
3 −x)=0成立，且函数y = f (x)在区间(−π
8 ,0)上是严格增函数，
求函数y = f (x)的最小正周期.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)≤π
2 ).
(1)若f (x)的图象经过点A(
3π
4 ,0)，B(
π
4 ,2)，且点B恰好是f (x)的图象中距离点A最近的最高点，试
求f (x)的解析式；
(2)若f (0)=−1，且f (x)在(
5π
9 ,π)上单调，在(0, 3π
4 )上恰有两个零点，求ω的取值范围.
