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2026 年高考数学一轮复习
专题4：函数的基本性质
知识点一 函数的单调性
1、函数的单调性
2、单调性与单调区间
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f ( x)的定义域为I，区间D
I,如果∀x1，x2∈D，当
时，都有
＜
＞
函数f ( x)在区间D 上是增函数
函数f ( x)在区间D 上是减函数
图像
特征
函数f ( x)在区间D 的图像从左到右是上升的
函数f ( x)在区间D 的图像从左到右是下降的
图像
如果函数y＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调
性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
3、函数单调性的性质
若函数f ( x)与g( x)在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质：
（1）f ( x)与f ( x)+C （C 为常数）具有相同的单调性.
（2）f ( x)与−f ( x)的单调性相反.
（3）当a>0 时，af (x)与f ( x)单调性相同；当a<0 时，af (x)与f ( x)单调性相反.
（4）若f ( x)≥0，则f ( x)与√f ( x)具有相同的单调性.
（5）若f ( x)恒为正值或恒为负值，则当a>0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相反的单调性；
当a<0 时，f ( x)与
a
f ( x) 具有相同的单调性.
（6）f ( x)与g( x)的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗+ ↗=↗;（2）↘+ ↘=↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
（7）复合函数的单调性：同增异减
对于复合函数y＝f[g(x)]，
若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数
若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”．
知识点二 函数的奇偶性
1、函数的奇偶性（定义域关于原点对称！！）
偶函数
奇函数
定
条件
对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝-f(x)
义
结论
函数f(x)叫做偶函数
函数f(x)叫做奇函数
图象特征
图象关于y 轴对称
图象关于原点对称
2、函数奇偶性的几个重要结论
（1）
为奇函数⇔
的图象关于原点对称；
为偶函数⇔
的图象关于y 轴对称．
（2）如果函数
是偶函数，那么
．
（3）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即
，x∈D，其中定义域D 是关于原点对称的
非空数集．
（4）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（5）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关
于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
知识点三 函数的周期性
1、周期函数的定义
对于函数
，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有
，
那么就称函数
为周期函数，称T 为这个函数的周期．
2、最小正周期：如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
的最小正周期．
知识点四 函数的对称性
1、关于线对称
若函数
满足
，则函数
关于直线
对称，特别地，当a＝b＝
0 时，函数
关于y 轴对称，此时函数
是偶函数．
若函数
为偶函数，则函数
关于
对称．
2、关于点对称
若函数
满足
2
2
f
a
x
b
f x ，则函数
关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0
时，
，则函数
关于原点对称，此时函数
是奇函数．
若函数
为奇函数，则函数
关于点
对称．
知识点五 周期性与对称性的重要结论
1、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
2、周期性技巧
一、单调性定义的等价形式:
1、函数
x
f
在区间
b
a,
上是增函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
2、函数
x
f
在区间
b
a,
上是减函数:
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，都有
0
2
1
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
x
x
f
x
f
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
；
任取
b
a
x
x
,
,
2
1
，且
2
1
x
x
，
0
2
1
2
1
x
f
x
f
x
x
.
二、定义法证明函数单调性的步骤
①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2
②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符
号的方向变形
③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论
④判断：根据定义做出结论。
三、判断函数单调性的方法
1、定义法：定义法的一般步骤为取值→作差变形→定号→得出单调性；
2、导数法：对函数求导→确定导数的符号→得出结论（导数大于零，函数为增；导数小于零，函数为
减）；
3、图像法：根据函数图象的升降趋势判断函数的单调性（一般用于客观题）；
4、特殊指法：若已知函数在某区间上单调，可以通过带入一些特殊值的方法来判断函数的单调性（一般
用于客观题）；
5、性质法：根据基本初等函数的单调性推出由这些基本初等函数经过运算（加、减、乘、除、复合等）
得来的函数单调性（一般用于客观题）。
四、判断函数奇偶性的常用方法
1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函
数的定义域是关于原点对称的，再判断
(
)
f
x
与
( )
f x
之一是否相等.
2、验证法：在判断
(
)
f
x
与
( )
f x 的关系时，只需验证
(
)
f
x
( )
f x
=0 及
(
)
1
( )
f
x
f x
是否成立.
3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.
4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个
偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
5、分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断
方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断
(
)
f
x
与
( )
f x 的关系.首先要特别注意x 与
x
的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，
( )
f x 与
(
)
f
x
对应不同的表达式，而它们的结果按
奇偶函数的定义进行比较.
五、常见奇、偶函数的类型
1、
（
）为偶函数；
2、
（
）为奇函数；
3、
（
）为奇函数；
4、
（
）为奇函数；
5、
（
）为奇函数；
6、
为偶函数；
7、
为奇函数；
考点一 函数的单调性
【例1-1】下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【例1-2】已知函数
的定义域为
，
的图象关于点
对称，
，且对任意的
，
，满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的图象关于点
对称，
的图象关于点
对称，
是定义在
上的奇函
数，
对任意的
，
，
，满足
，
在
上单调递减，所以
在
上也单调递减，又
所以
，且
，所以当
时，
；当
时，
，所以由
可得
或
或
，
解得
或
，即不等式
的解集为
．故选：C.
【例1-3】已知函数
，满足对任意的实数
，
且
，都有
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】对任意的实数
，都有
,即
成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：
，解得
，
【例1-4】已知函数
.
（1）求
的解析式;
（2）判断并证明函数
在
上的单调性.
【答案】（1）
；（2）单调递增，证明见解析【解析】（1）由题意得
,解得
,
.（2）
在
上单调递增,证明如下:设任意
,
则
由
,得
,
,即
,故
在
上单调递增.
【变式1-1】已知
是定义在
上的奇函数，
，若
，
且
满足
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【解析】因为
，
且
满足
，则
在
上单调递增，
因为
是定义在R 上的奇函数，且
，则
，
在
上单调递增，
由
，得
，当
时，由
，得
，当
时，由
，得
，所以原不等式的解集为
.故选：A
【变式1-2】已知函数
是定义在区间
上的函数，且在该区间上单调递增，则满足
的x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】因为函数
是定义在区间
上的增函数，满足
，
所以
，解得
.故选：D
【变式1-3】已知函数
(
且
)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】因为
(
且
)是R 上的单调函数，若
是R 上的
单调递增函数，则
，解得
；若
是R 上的单调递减函数，则
，解得
；综上，a 的取值范围是
.故选：B
考点二 函数的奇偶性
【例2-1】下列函数中，是奇函数且在
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【解析】A 选项：
，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：
，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为
的定义域为
，
且
，∴
是奇函数．设
，因为
在
上单调递减，
在
上单调递
增，
由复合函数单调性知，
在
上单调递减，故C 选项正确；D 选项：
，因为
在
上都单调递增，所以
在
上单调递增，故D 选项错误，故选：C．
【例2-2】若函数
为奇函数，则实数
的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
由
为奇函数，所以
，所以
，可
得
，解得
，当
时，
的定义域为
，符合题意，当
时，
的定义域为
符合题意，故选：D
【变式2-1】函数
的奇偶性为（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】C
【解析】由函数
的定义域可得
，则
，
由于定义域不关于原点对称，故
为非奇非偶函数.故选：C.
【变式2-2】“
”是“函数
是奇函数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当函数
为奇函数，则
，解得
.所以“
”是“函数
为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.
【变式2-3】若函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．
由已知，
，所以
，函数
为偶函数，所以
，所以
，整理得：
，所以
.故选：
C.
【变式2-4】
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且
，则下列
说法错误的是（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
的最小值为1
【详解】由题，将
代入
得
，
因为
分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以可得
，将该
式与题干中原式联立可得
.对于A：
，故A 正确；对于B：
，所以
不可能单调递减，故B 错误；对于C：根据偶函数定义可得
，所以
为偶函数，
表示
向右平移1101 个单位，故
关于
对称，故C 正确；对于D：根据基本不等式
，当且仅当
时取等，
故D 正确；选：B
【变式2-5】已知定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
.
(1)求
和
的值；
(2)求
在
上的解析式.
【答案】(1)
满足
，
，
.
(2)由题意知，
.当
时，
.由
是奇函数，
，综上，在
上，
考点三 函数的对称性与周期性
【例3】定义在R 上的函数
满足
，且当
，则
＝ ．
【答案】
/0.25【解析】由
可得
，所以
，
故
为周期函数，且周期为8，
，故答案为：
【变式3-1】已知定义在R 上的函数
满足
，且
是奇函数，则
（ ）
A．
是偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
是奇函数
D．
的图象关于点
对称
【详解】由
可得2 是函数
的周期，因为
是奇函数，所以函数
的图象
关于点
对称，所以
，
，所以
是奇函数，故选：C.
【变式3-2】已知函数
的定义域为R，且
对任意
恒成立，又函数
的图象关于点
对称，且
，则
（ ）
A．2021
B．
C．2022
D．
【详解】因为函数
的图象关于点
对称，则函数
的图象关于点
对称，即函
数
为奇函数；因为对任意
，都有
，令
，得
，又函数
为奇函数，故
，解得
，则
，即
，所以4 是函数
的一个周期；所以
.
故选：C.
【变式3-3】已知函数
是
上的奇函数，且
，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为
，所以
，因此函数的周期为，所以
，又函数
是
上的奇函数，所以
，所以
，即
，所以原式
，又当
时，
，可得
，
因此原式
.故选：B．
1.已知函数
，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】解：因为
，所以
，所以
在
上单调递减，则
等价于
，解得
，即原不等式的解集为
.故选：B.
2.若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】因为分段函数
在
上的单调函数，由于
开口向上，故在
上单调递增，故分
段函数
在在
上的单调递增，所以要满足：
，解得：
选：B
3.已知函数
在区间
的最大值是M，最小值是m，则
的值等
于( )
A．0
B．10
C．
D．
【详解】令
，则
，∴f(x)和g(x)在
上单调性相同，∴设
g(x)在
上有最大值
，有最小值
.∵
，∴
，∴g(x)在
上为奇函数，∴
，∴
，∴
，
.故选：
C.
4.已知函数
满足
对任意
恒成立，又函数
的图象关于点
对
称，且
则
（ ）
A．2025
B．-2025
C．2026
D．-2026
【详解】因为对任意
，都有
令
得
解得
则
即
所以函数
的图象关于直线
对称.
又函数
的图象关于点
对称，则函数
的图象关于点
对称，即函数
为奇函数，
所以
所以
所以8 是函数
的一个周期，
所以
故选：D.
5.（多选题）下面关于函数
的性质，说法正确的是（ ）
A．
的定义域为
B．
的值域为
C．
在定义域上单调递减
D．点
是
图象的对称中心
【详解】解：
由
向右平移
个单位，再向上平移
个单位得到
，因为
关于
对称，所以
关于
对称，故D 正确；函数
的定义域为
，值域为
，故A 正确，B 错误；函数
在
和
上单调递减，
故C 错误； 故选：AD
6.（多选题）已知定义在R 上的偶函数
的图像是连续的，
，
在区间
上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
在区间
上单调递减
C．
的图像关于直线
对称
D．
在区间
上共有100 个零点
【详解】因为
，取
，得
，故
，又
是偶函
数，所以
，所以
，故
，即
的一个周
期为12，故A 项错误；又
在区间
上是增函数，所以
在区间
上为减函数，由周期性
可知，
在区间
上单调递减，故B 项正确；因为
是偶函数，所以
的图像关于y 轴对
称，由周期性可知
的图像关于直线
对称，故C 项正确；因为
在区间
上是增函数，
所以
在区间
上为减函数，
，由周期性可知，在区间
上，
，
而区间
上有168 个周期，故
在区间
上有336 个零点，又
，所以
在区间
上有337 个零点，由
为偶函数，可知
在区间
上有674 个零点，
故D 项错误．故选：BC 项．
7.已知函数
的图象关于原点对称，若
，则
的取值范围为________．
定义在R 上函数
的图象关于原点对称，则
，解之得
，经检验符
合题意
均为R 上增函数，则
为R 上增函数，又
，
则不等式
等价于
，解之得
故答案为：
