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专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 终边相同的角】..........................................................................................................................................4
【题型2 象限角及其判定】......................................................................................................................................4
【题型3 弧度制】......................................................................................................................................................4
【题型4 扇形的弧长与面积的计算】......................................................................................................................5
【题型5 扇形中的最值问题】..................................................................................................................................6
【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】.........................................................................................................7
【题型7 三角函数值符号的判定】..........................................................................................................................8
1、任意角和弧度制、三角函数的概念
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解任意角的概念和弧
度制
(2)能进行弧度与角度的互
化，体会引入弧度制的必
要性
(3)借助单位圆理解三角函
数（正弦、余弦、正切）
的定义
2023 年北京卷：第13 题，5
分
2024 年北京卷：第12 题，5
分
2025 年北京卷：第13 题，5
分
任意角和弧度制、三角函数的概念
是三角函数的基础，是高考数学的必考
内容之一.从近几年的高考情况来看，
主要考察任意角的概念、三角函数的概
念，一般以选择题、填空题的形式考
查，试题比较简单.
知识点
1 三角函数的基本概念
1．任意角
(1)角的概念
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的表示
如图：
①始边：射线的起始位置OA；
②终边：射线的终止位置OB；
③顶点：射线的端点O；
④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
2．象限角与终边相同的角
(1)终边相同的角
若角α,β 终边相同，则它们的关系为：将角α 的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β.
一般地，我们有：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合
，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
(2)象限角、轴线角
①象限角、轴线角的概念
在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几
象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称
这个角为轴线角.
②象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
3．角度制、弧度制的概念
(1)角度制
角可以用度为单位来进行度量，1 度的角等于周角的
.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度
制.
(2)弧度制的相关概念
①1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.
②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.
记法：弧度单位用符号rad 表示，读作弧度.
4．任意角的三角函数
(1)利用单位圆定义任意角的三角函数
设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x,y).
①把点P 的纵坐标y 叫做α 的正弦函数，记作
，即y=
；
②把点P 的横坐标x 叫做α 的余弦函数，记作
，即x=
；
③把点P 的纵坐标与横坐标的比值
叫做α 的正切，记作
，即
=
(x≠0).
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数
如图，设α 是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O 重合)的坐标为(x,y)，点P 与原点的距离为r.
则
=
，
=
，
=
.
知识点
2 任意角和弧度制的解题策略
1．终边相同的角的集合
利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，
然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
2．确定
，
(k∈N*)的终边位置的方法
先写出
或
的范围，然后根据k 的可能取值确定
或
的终边所在的位置.
3．应用弧度制解决问题的几大要点
应用弧度制解决问题时应注意：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
知识点
3 三角函数的定义及应用的解题策略
1．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三
角函数值.
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.
2．判定三角函数值的符号的解题策略
要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限
的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
【题型1 终边相同的角】
【例1】（24-25 高一下·广西钦州·期末）下列与20
∘角终边相同的角为（ ）
A．320
∘
B．380
∘
C．400
∘
D．−310
∘
【变式1-1】（25-26 高一上·全国·课后作业）已知角α的终边在图中阴影部分内，则角α的取值范围是
（ ）
A．{α ∣30°≤α <75°)或210°≤α <285°)
B．{α ∣−75°<α ≤30°)或105°<α ≤210°)
C．{α ∣k ⋅360°+30°≤α <k ⋅360°+105° ,k ∈Z)
D．{α ∣k ⋅180°+30°≤α <k ⋅180°+105° ,k ∈Z)
【变式1-2】（24-25 高一上·重庆·阶段练习）在0 到2π范围内，与角−4π
3
终边相同的角是 （用
弧度制表示）.
【变式1-3】（2025·北京·高考真题）已知α , β ∈[0,2π]，且sin(α + β)=sin(α −β)，
cos(α + β)≠cos(α −β).写出满足条件的一组α , β的值α = ，β = ．
【题型2 象限角及其判定】
【例2】（24-25 高一下·四川达州·阶段练习）已知α为第二象限角，则α
2
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第一或第三象限
【变式2-1】（24-25 高一上·重庆渝北·阶段练习）已知角α =1234
∘，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式2-2】（24-25 高一下·陕西汉中·阶段练习）若α是第二象限角，则90°−α是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【变式2-3】（24-25 高一下·上海·阶段练习）已知α为第三象限角，则a
2
所在的象限是（ ）
A．第一或第三象限
B．第二或第三象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
【题型3 弧度制】
【例3】（24-25 高一下·陕西·期中）将−315
°化为弧度制，正确的是（ ）
A．−5π
3
B．−5π
4
C．−7π
4
D．−π
4
【变式3-1】（24-25 高一上·重庆万州·阶段练习）将钟表的分针拨快20 分钟，则时针转过的角的弧度数为
（ ）
A．π
18
B．−π
18
C．π
3
D．−π
3
【变式3-2】（24-25 高一上·湖北武汉·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿，当
大轮转动一周时，小轮转动的角度（弧度）是（ ）
A．12π
5
B．24π
5
C．36π
5
D．48π
5
【变式3-3】（24-25 高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1 小时40 分钟，时针转过的弧度数为（ ）
A．−π
9
B．−π
6
C．−π
3
D．−5π
18
【题型4 扇形的弧长与面积的计算】
【例4】（2024·广西来宾·模拟预测）机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画
法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C 为圆心，线段AB 长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．
若线段AB 长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A．π
B．2π
3
C．π
3
D．4 π
3
【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）2024 年2 月4 日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东
孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄
玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双
龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm，AD ≈2cm，
AO≈5cm，若sin37
°≈3
5
，π≈3.14，则璜身（即曲边四边形ABCD）面积近似为（ ）
A．6.8cm
2
B．9.8cm
2
C．14.8cm
2
D．22.4cm
2
【变式4-2】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的
扇环，记´AB的长为l，´
CD的长为m，若l:m: AD =9:3:2，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A．3
B．2
C．2π
3
D．5 π
6
【变式4-3】（2025·甘肃白银·二模）已知动点P的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边
长为4 的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴
影区域的面积为（ ）
A．16−4π
B．4 +π
C．4+2π
D．12−2π
【题型5 扇形中的最值问题】
【例5】（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知扇形的周长是6cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角
的弧度数是（ ）
A．2
B．1
C．1
2
D．3
【变式5-1】（24-25 高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环
形区域（图中阴影部分），其中´AD和´BC均以O为圆心，∠AOD =θ(0<θ<π)．若OA =15，
OB = x (0< x<15)，且AB+CD +l ´AD+l ´BC = 40（l表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）
A．75
B．90
C．100
D．120
【变式5-2】（24-25 高一下·辽宁沈阳·期中）已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r．
(1)若α =150° ,r =10，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【变式5-3】（24-25 高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C 是圆O上的点．
(1)若∠ACB =π
6
，AB = 4cm，求扇形AOB 的面积和弧AB 的长；
(2)若扇形AOB 的面积为10cm
2，求扇形AOB 周长的最小值，并求出此时∠AOB的值．
【题型6 任意角的三角函数的定义及应用】
【例6】（2024·吉林·模拟预测）已知角α的终边经过点(sin 5π
6 ,cos 5π
6 )，则tan α =（ ）
A．−❑√3
B．❑√3
C．−
❑√3
3
D．
❑√3
3
【变式6-1】（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，
它们的终边关于直线y =−x对称．若sin α = 3
5
，则cos β =（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
【变式6-2】（2024·江西·二模）已知角α的终边经过点M (❑√2,1)，则cosα =（ ）
A．
❑√6
3
B．
❑√3
3
C．❑√2
D．
❑√2
2
【变式6-3】（2024·山东·模拟预测）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边
经过点P(sinπ
3 ,cosπ
3 )，则cos(α +π
6 )=（ ）
A．0
B．1
2
C．
❑√2
2
D．
❑√3
2
【题型7 三角函数值符号的判定】
【例7】（24-25 高三下·四川德阳·阶段练习）若π<θ< 3π
2
，则点M (cosθ ,tanθ)位于第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
【变式7-1】（24-25 高一下·湖北·开学考试）如果( 1
2 )
tanθ
>1，( 1
3 )
sinθ
<1，那么角θ所在象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式7-2】（24-25 高一下·山东·期中）若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【变式7-3】（24-25 高一上·四川内江·期末）已知sin α >0，cosα <0，则α
3
的终边在（ ）
A．第一、二、三象限
B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限
D．第一、二、四象限
一、单选题
1．（2025·浙江温州·二模）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于（ ）
A．1
B．3
2
C．3
D．6
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）20240128°所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点P(
3
5 ,−4
5)是角α终边上的一点，则sinα +2cosα =（ ）
A．−1
B．1
C．−2
5
D．2
5
4．（2025·安徽·模拟预测）已知a= 5
4 ,b=sin 5
4 ,c =tan 5
4
，则（ ）
A．c<b<a
B．b<c<a
C．b<a<c
D．a<b<c
5．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线
y = 1
2 x位于第三象限的图象重合，则sinθ =（ ）
A．−2❑√5
5
B．
❑√5
5
C．2❑√5
5
D．−
❑√5
5
6．（2025·福建福州·模拟预测）如图所示，两动点P ,Q在以坐标原点O为圆心，半径为1 的圆上从点
A (1,0)处同时出发做匀速圆周运动．已知点P按逆时针方向每秒钟转α弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转β
弧度(0<α < β <π)，且P ,Q两点在第2 秒末第一次相遇于点(−1
2 ,
❑√3
2 )
处，则它们从出发后到第2 次相
遇时，点P走过的总路程为（ ）
A．π
3
B．2π
3
C．4π
3
D．8π
3
7．（2025·内蒙古包头·二模）已知角α的终边经过点P(−1,❑√3)，则（ ）
A．cosα = 1
2
B．tanα =−
❑√3
3
C．sinα =−
❑√3
2
D．cosα =−1
2
8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是
△ABC的外接圆的圆弧，另一个是以AB 为直径的圆的一部分圆弧，已知∠ACB = 2π
3
，AC = BC =1，
则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．
❑√3
4 +π
24
B．
❑√3
4 −π
24
C．1
4 +π
24
D．3 ❑√3
4
−π
8
二、多选题
9．（24-25 高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（ ）
A．−45
°+ k ⋅360
°,k ∈Z
B．405
°+ k ⋅360
°,k ∈Z
C．45
°+ k ⋅360
°,k ∈Z
D．45
°+ k ⋅180
°,k ∈Z
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数f (x)=sin 2 x，设θ的始边是x轴非负半轴且θ∈(0,2π)，若关
于x的方程f(x + θ
2)= f (x +θ)在(0,π
8 )内有解，则θ的终边可能位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．（2025·吉林·二模）如图，A，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点
B 在第一象限，且∠AOB = π
6
.质点A 以π
6 rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B 同时以π
12 rad/s的
角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1s后，扇形AOB 的面积为5π
12
B．经过2s后，劣弧´AB的长为2π
3
C．经过6s后，质点B 的坐标为(−
❑√3
2 , 1
2)
D．经过22
3 s后，质点A，B 在单位圆上第一次相遇
三、填空题
12．（2025·上海崇明·三模）设α ∈(0,π
4 ),sin2α =
❑√3
2 ，则cosα =
.
13．（2025·福建漳州·模拟预测）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点
(3,−6)，则sin a+cosα =
.
14．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋
转．主动轮有20 齿，被动轮有48 齿，主动轮的转速为240r/ min（转/分），被动轮的半径为24cm，则
被动轮周上一点每1s转过的弧长是 cm．
四、解答题
15．（2025 高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度．
(1)−π
12
；
(2)3π
4
；
(3)7π
6
．
16．（24-25 高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴
影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.
(1)
(2)
17．（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知角θ的终边经过点 P(3a,−4 a)，其中a≠0.
(1)求 cosθ的值；
(2)若θ为第二象限角，求cosθ+sinθ的值.
18．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α 的始边与x 轴的非负半轴重合，
且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B 的横坐标为－4
5
，求tanα 的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α 终边相同的角β 的集合．
19．（24-25 高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
(1)若α =60
∘, R =10cm，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为20cm，面积为9cm
2，求扇形圆心角的弧度数；
(3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角α．
