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2026 年高考数学百日冲刺基础全通关（上海专用）
专题08 解三角形与三角函数
考点01：任意角及其度量
1. 2 弧度的角所在的象限是第 象限．
【答案】二
【分析】根据象限角的定义判断.
【详解】解：因为
，
所以2 弧度的角所在的象限是第二象限，
故答案为：二
2．已知角
第二象限角，且
，则角
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】A
【分析】写出象限角
的取值范围，可求出
是第一象限角或第三象限角，再由
可得出选项.
【详解】因为角
第二象限角，所以
，
所以
，所以角
是第一象限角或第三象限角．
又因为
，即
，所以角
是第一象限角，
故选：A．
3.（2023 闵行区三模）已知扇形的半径为2，圆心角为
，则其弧长为_________.
【答案】
/
【分析】根据扇形弧长公式进行求解
【详解】若扇形的圆心角为
，半径为
，
则扇形弧长公式
，代入
，
得：
.
故答案为：
.
4．一个扇形的面积是
,它的周长是
,则圆心角为 弧度；弧长为 cm．
【答案】2,2
【解析】假设圆心角为
，弧长为
，则半径
。则由题意，得
故 扇形的圆心角为2 弧度，弧长为2 厘米
5.圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环
的内圆弧
的长为
，外圆弧
的长为
，圆心角
，则该扇环的面积为_________
【分析】根据扇形面积公式计算即可得解.
【详解】由扇形面积公式
（其中为扇形弧长，
为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环
面积
.
考点02：任意角的三角与诱导公式
6.已知
角的终边经过点
，则
_______
【分析】先求出角
的终边上的点
到原点的距离为，再利用任意角的三角函数的定义
求出结
果，再用倍角公式求解．
【详解】解：
角
的终边经过点
，
，
，
，
，
．
7．（2024·上海闵行·二模）始边与
轴的正半轴重合的角
的终边过点
，则
= .
【答案】
/
【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
【详解】始边与
轴的正半轴重合的角
的终边过点
，
则
，
故
．
故答案为：
．
8.已知角
的终边经过点
，则
_______
【分析】根据三角函数的定义求出
，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为角
的终边经过点
，所以
，
所以
.
故选：D．
9. 已知
，则
= .
【答案】
【分析】根据角所在的象限判断
符号，然后求出
【详解】
又因为
，则
故答案为：
10. 已知
，则
_______
【分析】首先求出
，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为
，显然
，所以
，
所以
.
故选：C
11.已知＝5，则cos2α＋sin 2α 的值是________
【解析】由＝5 得＝5，可得tan α＝2，则cos2 α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝..
12.已知
，则
.
【答案】3
【分析】利用诱导公式化简得到
，化弦为切，代入求值求出答案.
【详解】
，
.
故答案为：3
13.已知
，
，则
______．
【答案】7
【分析】由已知条件利用同角三角函数关系式求出
，从而得出
，再利用诱导公式，弦化切即可得
结果.
【详解】因为
，且
，
所以
，
所以
．
所以
．
故答案为：7.
考点03：常用三角公式与三角变换
14．（2024·上海虹口·一模）若
，则
．
【答案】
【分析】直接利用二倍角公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
15.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据辅助角公式求得
，再用诱导公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
故选：B
16.已知
为三角形的两个内角，
，则
=（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到
、
，再用凑角求解.
【详解】∵
为三角形的两个内角，且
，
∴
，
，
∵
，
，
，
，
，
，∴
．
故选：B
17.已知
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小
与
的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公
式求得
的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为
所以
则
所以
则
，
因为
，所以
，
又
则
，
所以
故
因为
所以
则
.
故选：A.
18.已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意
，
，
所以
，
，解得
，负根舍去.
故选：B
考点04：正弦定理与余弦定理
19．（2024·上海嘉定·一模）在
中，若
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得.
【详解】在
中，由余弦定理得
，
而
，所以
.
故答案为：
20．（2024·上海静安·一模）在
中，已知
，则
的值为 .
【答案】
/0.625
【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.
【详解】在
中，由正弦定理得
，而
，
因此
，即
，所以
.
故答案为：
21．（2024·上海徐汇·二模）在
中，
，
，
，则
的外接圆半径为 .
【答案】
【分析】由正弦定理求解．
【详解】由已知
，设三角形外接圆半径为
，则
，所以
．
故答案为：1.
22．（2024·上海青浦·一模）在
中，已知
，若
，则
的面积为
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出
，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在
中，
，
，
由余弦定理得
，
解得
，
所以
的面积为
.
故答案为：
23. （2021·上海·模拟预测）已知
的三内角A、B、C 所对的边长分别为a、b、c，若
，则内角A 的大小是___________
【答案】
或
或
【分析】利用余弦定理以及二倍角的正弦公式即可求解.
【解析】因为
，
所以由余弦定理可得，
，
从而
，即
或
，
又因为
，所以
或
或
.
故答案为：
或
或
.
24. 已知
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，，若
，且
，那么
是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】将
化简并结合余弦定理可得
的值，再对
结合正、余
弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.
【详解】由
，得
，
整理得
，则
，
因为
，所以
，
又由
及正弦定理，得
，化简得
，
所以
为等边三角形，
故选：B
考点05：解三角形
25.（2023·上海奉贤·统考一模）在
中，设角
、
、
所对边的边长分别为
、
、，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)当
，
时，求边长和
的面积.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合
及两角和的正弦公式计算化简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出
，结合
可求出
，再试用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得
到面积.
【详解】（1）由正弦定理得
，
由于
，则
，
展开得
，
化简得
，
则
，
所以
；
（2）由正弦定理，得
，即有
，
因为
，所以
是锐角，即
，
因为
，
所以
，
，
所以
.
26．（2023 上·上海浦东新·高三上海中学东校校考期中）在
中，角
所对应的边分别为
，
且
，
，
．求：
(1)a 的值；
(2)
和
的面积．
【答案】(1)
(2)故
，
的面积为
【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；
（2）由同角三角函数平方关系求
，应用正弦定理求
，三角形面积公式求
的面积.
【详解】（1）因为
，
，
，
所以，由余弦定理得：
，解得
．
故
.
（2）由
，则
，
由正弦定理得
，
又
，得
，
．
故
，
的面积为
.
27．（2024·上海杨浦·一模）已知
的内角
所对边的长度分别为
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合题设及余弦定理可得
，进而结合三角形面积公式求解即可；
（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得
，进而结合平方关系求解即可.
【详解】（1）由
，得
，
由余弦定理得
，即
，
所以
，即
，
所以
的面积为
.
（2）由
，由正弦定理得
，
可得
，
则
，
因为
，所以
，
则
，又
，
所以
.
28．（2023·上海奉贤·一模）在
中，设角
、
、
所对边的边长分别为
、
、，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)当
，
时，求边长和
的面积.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合
及两角和的正弦公式计算化简即可得；
（2）根据正弦定理即可计算出
，结合
可求出
，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得
到面积.
【解析】（1）由正弦定理得
，
由于
，则
，
展开得
，
化简得
，
则
，
所以
；
（2）由正弦定理，得
，即有
，
因为
，所以
是锐角，即
，
因为
，
所以
，
，
所以
.
29. (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin C.
【答案】①A＝60°②
【解析】①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可
得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
考点06：解三角形的最值与范围问题
30．（2024·上海·三模）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可得
；
（2）由余弦定理结合重要不等式可得
取值范围，再由三角形的面积公式
可求出面积的
最大值.
【解析】（1）由题意可知，
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
即
.
（2）由（1）可知
，
所以
或
.
在
中，由余弦定理得
，
当
时，
，
，
当且仅当
时取等号，即
，
故
的面积
.
当
时，
，
，
当且仅当
时取等号，即
，
故
的面积
.
综上所述，
的面积最大值为
.
31．（2024·上海宝山·一模）在
中，已知
.
(1)若
且
，求
的面积；
(2)若
求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解；
（2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得
，又
，从而
，
由
得
，
从而
，
所以
的面积
.
（2）由
，
又
，当且仅当
时取等号，
从而
，所以
，
又因为
中，
，从而
，
所以
的范围是
.
32 已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理,将角化边,即可得到三边关系,进而转化成余弦定理形式求解.
（2）用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，根据角的范围求解.
【详解】（1）
及
，
，化简得
，
，又
，
.
（2）由（1）可得
为锐角三角形，
且
，
，
.
，
，
故
的取值范围为
.
33.．（2024·上海嘉定·二模）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，
．
(1)求角
，并计算
的值；
(2)若
，且
是锐角三角形，求
的最大值．
【答案】(1)
或
；当
时，
；当
时，
(2)
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得
，求出B，进而求出
即可；
（2）由题意可得
，求出C 的范围，根据正弦定理可得
，利用三角恒等变换化简
计算得
（
），结合
的范围和正弦函数的性质即可求解.
【解析】（1）由
，得
，则
，
又
，所以
或
.
当
时，
；
当
时，
.
（2）若
为锐角三角形，则
，
有
，解得
.
由正弦定理，得
，则
，
所以
，
其中
，又
，所以
，
则
，故当
时，
取到最大值1，
所以
的最大值为
.
34.．（24-25 高三上·上海·期中）设
的内角A，B，C 的对边分别为
，
且B 为钝角.
(1)若
,
，求
的面积；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和同角三角函数关系得到
，结合
为钝角得到
，
，利用正弦定理得到
，由三角形面积公式得到答案；
（2）由（1）知，
，变形得到
，求出
，故得到
.
【解析】（1）
，
因为
，
，故
，
因为
为钝角，所以
，
，
由正弦定理得
，故
，
其中
，
所以
，解得
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
因为
为钝角，所以
，
且
，
解得
，
所以
，
.
考点07：解三角形的实际应用
35．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东
的方向，甲乙两人间的距离为
2km，丙在乙北偏西
的方向，甲丙两人间的距离为
，则乙丙两人间的距离为 km.
【答案】1
【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解.
【详解】如图，在
中，
，
.
由余弦定理
，可得
，
即
，
解得
，即乙丙两人间的距离为1km.
故答案为：1.
36．（24-25 高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O 是圆心，直径MN 为
400 米，P 是弧MN 的中点．一个急救中心A 在栈桥OP 中点上，计划在弧NP 上设置一个瞭望台B，并在
AB 间修建浮桥．已知
越大，瞭望台B 处的视线范围越大，则B 处的视线范围最大时，AB 的长度为
米．（结果精确到1 米）
【答案】
【分析】令
，
，在
中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，
即可得答案.
【详解】令
，
，且
，
在
中，
，
当且仅当
米时，
取最小值，此时
最大.
故答案为：
37．（2024·上海静安·一模）如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在
层，小宁家位于小明家正上方的
层，已知
.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为
，小宁在家测得
东方明珠塔尖的仰角为
，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离
.
【答案】
【分析】根据正切函数的定义得到方程，解出即可.
【详解】分别过点
作
的垂线，垂足分别为
，
则根据正切函数的定义得
，
，
则
，解得
.
故答案为：
.
38．（24-25 高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空
地进行美化，如图，长方形的边
为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
，现要将此空地规
划出一个等腰三角形区域
（底边
）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设
，
．
(1)当
时，求
的面积；
(2)求三角形区域
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数表达出
的长，再由面积公式即可求解.
（2）用
的三角函数表达出三角形区域
面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域
面积
的最大值.
【详解】（1）设
与
相交于点
，则
，
则
，
，
易知
等于
到
的距离，
所以
（2）过点
作
于点
，则
，
而
，
则三角形区域
面积为
，
设
，因为
，所以
，
故
，而
，
则
，故当
时，
取得最大值，
故三角形区域
面积的最大值为
考点08：求三角函数的定义域、值域与最值
39．（2024·上海虹口·二模）已知集合
，则
.
【答案】
【分析】先求出集合
，再根据交集的定义即可得解.
【详解】
，
，
所以
.
故答案为：
.
40. 函数
定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由根式、分式及对数函数的性质列不等式组，结合三角函数的性质即可求定义域.
【详解】由函数式知：
，
∴
，即
.
故选：B.
41．（2025·上海青浦·模拟预测）函数
的值域是 .
【答案】
【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可.
【详解】
，
其中
，
则其值域为
故答案为：
.
42.已知
，求函数
的最值．
【答案】
，
．
【分析】令
，将问题转化为二次函数
在
上的最值问题，利用二次
函数的性质求解即可．
【详解】因为
，
令
，
则
．
因此，当
时，该函数取得最小值
；
当
时，该函数取得最大值
．
43. 已知y＝2sinθcosθ＋sinθ－cosθ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值
解：设t＝sinθ－cosθ＝√2 sin(θ－
π
4 )
∴2sinθcosθ＝1－ｔ2 ∴y＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－
1
2 )2＋
5
4
又∵t＝√2 sin(θ－
π
4 )，0≤θ≤π ∴－
π
4 ≤θ－
π
4 ≤
3 π
4
∴－1≤t≤√2 当t＝
1
2 时，ymax＝
5
4 当t＝-1 时，ymin＝－1
说明：此题在代换中，据θ 范围，确定了参数t∈［－1，√2 ］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ
＝
1
2 时有最大值而无最小值的结论
考点09：三角函数的图象
44.要得到函数
的图象，只需将
的图象（ ）
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得..
【解析】由题意可得
的图象向右平移个单位可得
，故B 正确.
故选：B.
45.将函数
的图象向右平移φ 个单位长度得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【详解】因为
，其中
，
因为
的图象向右平移φ 个单位长度得到函数
，
所以
，所以
.
故选：A.
46.已知函数
，为了得到函数
的图象，只需把
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向右平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】D
【分析】根据图象平移变换知识对各选项进行辨析即可.
【详解】对于A，把
的图象向左平移
个单位长度，可以得到
，故选项A 不正确；
对于B，把
的图象向右平移
个单位长度，可以得到
，故选项B 不正确；
对于C，把
的图象向右平移
个单位长度，可以得到
，故选项C 不正确；
对于D，把
的图象向左平移
个单位长度，可以得到
，故选项D 正确.
故选：D.
考点10：三角函数的周期性与单调性
47．（2024·上海宝山·一模）函数
的最小正周期为 .
【答案】
【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可.
【详解】因为函数
，所以
,
即函数
的最小正周期为
.
故答案为：
.
48.下列函数中，既是偶函数又是周期为
的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.
【详解】对A，
是偶函数，周期为
，故A 错误；
对B，设
，定义域为
，且
，则其为偶函数，
因为
周期为
，则
的周期为
，故B 正确；
对C，
是奇函数，周期为
，故C 错误；
对D，
是奇函数，周期为
，故D 错误.
故选：B.
49.函数
的最小正周期为________
【分析】由已知结合正切函数的周期公式即可求解.
【详解】根据正切函数的性质可知，
的最小正周期
.
51.已知函数
，则函数
的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用整体代入法求单调递减区间，然后结合定义域可得答案.
【详解】由
解得
，
因为
，所以
的单调递减区间为
.
故答案为：
52．函数
的单调递增区间为 .
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、求cosx 型三角函数的单调性
【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可.
【详解】设
，则
在
上是单调递减的，
因为
，所以
，
即
①.
要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数
的单调递减区间.
当
时，
单调递减，
此时
，结合①式，可得
.
所以原函数的单调递增区间为
.
故答案为：
.
53．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】令
，解得
，
依题意，需满足
，解得
.
因为
在
上单调递减，所以
，解得
.
当
时，
，不符合题意；当
时，
，符合题意；
当
时，
，符合题意；当
时，
，不符合题意.
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
考点11：三角函数的奇偶性与对称性
54．若
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0 或
D．
【答案】A
【详解】若
为偶函数，又
，则
或
，解得
或
，
若
，则
，
若
，则
，所以
.
故选：A
55.已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据奇函数可得
与
.
【详解】由
，
又函数为奇函数，
则
，
，
解得
，
，
所以
，
故选：D.
56．（23-24 高二上·陕西榆林·阶段练习）函数
的图象的一条对称轴是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性性质计算即可.
【详解】令
，得
，显然当
时
，
所以A 正确；其余选项均不存在整数
满足条件．
故选：A
57.将函数
的图象向左平移1 个单位长度后，再将所得图象向上平移1 个单位长度，得到
函数
的图象，求出
图象的一个对称中心的坐标 ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据函数图像平移法则可得出
的解析式，再由余弦函数的对称中心可得出答案.
【详解】由题可知
则函数
图象的一个对称中心的横坐标满足，
所以
则函数
的对称中心为
．
故答案为：
（答案不唯一）
58．已知函数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【详解】因为
，可知
为
的对称中心，
则
，可得
，
解得
，
且
，可知：当
时，
取到最小值
.
故答案为：
59．设函数
，对
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意
都有
，可知函数
的图象的对称中心为
，
由函数
可得
，
解得
，又
，
，
.
故选：A
考点12：三角函数零点与方程的根
60.已知函数
，则
在
上的零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案.
【解析】∵
∴
设
，画出图像
可得在图像上的零点的个数为3.
故选：C.
61.函数
的零点个数为（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．6 个
【答案】D
【解析】由题意可知：
的定义域为
，
且
，可知
为偶函数，
令
，
，可得
，
由图象可知
与
在
内有3 个交点，
即
在
内有3 零点，
结合对称性可知
在定义域内有6 个零点.
故选：D.
62.已知函数
的最大值为．
（1）求函数
的单调递增区间；
（2）将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若方程
-
＝0 在
∈
上有
解，求实数
的取值范围．
【解析】（1）
[来源:学科网ZXXK]
，
由
，解得
，
所以函数的单调递增区间
( )
2 3sin(
)cos(
)
sin 2
4
4
f x
x
x
x
a
1
( )
f x
( )
f x
6
( )
g x
( )
g x
[0,
]
2
a
x
x
a
x
x
x
f
2
sin
2
cos
3
2
sin
2
2
sin
3
a
x
3
2
sin
2
1
2
a
1
a
k
x
k
2
2
3
2
2
2
k
x
k
12
12
5
Z
k
k
k
,
12
,
12
5
当
时，
，
取最小值-3．
方程
在
∈
上有解，即 -3≤
≤
【点评】(1)本题就是先分离参数
，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调
性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.学@科网
考点13：三角函数
的范围问题
63．（2024·上海长宁·一模）已知函数
在区间
上单调递增，则ω 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得
，其中
，在
上单调递增，然后结合函数
的
单调性及
可得答案.
【详解】
，
因
在
（其中
）上单调递增，
则
，
.
2
3
3
2
2
x
1
3
2
2
sin
x
x
g
[0,
]
2
1
3
又因
，则取
，则
.
故选：A
64. 已知函数
，（
）在区间
上恰好有两条对称轴，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
.
C．
D．
【答案】A
【分析】求出函数的对称轴方程为
，
，原题等价于
有2 个整数k 符合，
解不等式
即得解.
【详解】因为
，
令
，
，则
，
，
函数
在区间
上有且仅有2 条对称轴，即
有2 个整数k 符合，
又在区间
上恰好有两条对称轴，
由
，得
，
若
，则
，∴
；
若
，则
，∴
.
故选：A.
65. 已知函数
（
）在区间
上有且仅有3 个极值点，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】由
的取值范围求出
的取值范围，将问题转化为函数
在区间
上的极值点个数问题，计算求解即可.
【详解】因为
且
，
所以
，
又因为函数
在区间
上有且仅有3 个极值点，
所以满足
，即
，
故答案为：
66．（2024·上海崇明·一模）已知
，若函数
在区间
上有且仅有
3 个零点和1 个极小值点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据零点个数和极小值点的个数可得关于
的不等式，故可求其取值范围.
【详解】当
时，
，
因为函数
在区间
上有且仅有3 个零点和1 个极小值点，
所以
，故
，
故答案为：
67.已知函数
在
内有且仅有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为
，由
，得
，结合正弦函数的图像求得
的范围，从而求得
的范围.
【详解】
当
时，
在
有且仅有3 个零点，结合正弦函数图像可知，
解得：
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为
形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题
考点14：三角函数综合题
68．（23-24 高三上·上海静安·期末）记
，其中
为实常数．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)若函数
的图像经过点
，求该函数在区间
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；
（2）求出
，再整体换元
，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【解析】（1）
．
∴函数
的最小正周期为
．
（2）
，
，则
．
令
，因为
，则
．
当
或
，即
或
时，
．
当
，即
时，
．
69．（23-24 高三上·上海嘉定·期中）已知函数
，
．
(1)求函数
的严格减区间；
(2)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换化简得出
，由
可求出
的取值范围，
再由正弦型函数的单调性可求出函数
的减区间；
（2）求出
的取值范围，由参变量分离法可得出
，求出函数
的最大值，即可得出实数
的取值范围.
【解析】（1）解：因为
，
因为
，则
，由
可得
，
所以，函数
的严格减区间为
.
（2）解：由（1）可知，
，则
，
所以，
，即
，
所以，
，
由
可得
，
所以，
，所以，
，
因此，实数
的取值范围是
.
70．（2024·上海·模拟预测）已知函数
．
(1)求函数
的在
上单调递减区间；
(2)若函数
在区间
上有且只有两个零点，求m 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质
求出递减区间.
（2）由
的取值范围求出
的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.
【解析】（1）依题意，
，
当
时，
，由
，得
，
所以函数
的在
上的单调递减区间为
.
（2）当
时，
，又函数
在区间
上有且只有两个零点，
即函数
在
只有两个零点，
因此
，解得
，
所以
的取值范围为
.
71．（2024·上海松江·二模）设
，函数
图象的两条相邻对
称轴之间的距离为
．
(1)求函数
的解析式；
(2)在
中，设角
、
及
所对边的边长分别为
、
及，若
，
，
，求角
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简
，再根据
图象的两条相邻对称轴
之间的距离为
求出
即可；
（2）由
得出
，过点
作
于点
，得出
，分别求出
的长，结合
即可得出
，进而得出
，根据
即可求得答案．
【解析】（1）
，
因为函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
所以
, 则
，解得
，
所以
．
（2）由
得，
，
因为
，所以
，即
，
，解得
(舍负)，
过点
作
于点
，如图所示，
由
得，
，则
，
所以
，则
，
所以
，则
．
72．（24-25 高三上·上海虹口·阶段练习）已知
，
.
(1)若函数
在区间
上是严格增函数，求实数
的取值范围；
(2)设
的三边分别是
，若
，
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简函数解析式为
，由
可求得
的取值范围，根据已知
条件可得出
关于的不等式组，由此可解得
的取值范围. （2）先求出C，再用正弦定理边角互化，转化
为三角函数求值域即可.
【解析】（1）
所以
所以
即
，由于
，
即
，故
，而
，故
.
又由于
，所以
.
（2）
，所以
，即
或
，
由于
为
的内角，故
.
所以由正弦定理，
，
.
所以
，
.
所以
的取值范围是
.
1. （2025 上海秋季高考）函数
在
上的值域为_________．
【答案】
【分析】利用余弦函数的单调性可得.
【详解】由函数
在
上单调递增，在
单调递减，
且
，
故函数
在
上的值域为
.
故答案为：
.
2. （2025 上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两
根长为1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，
阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长
度为0.45 米．则斜面的底角
_________．（结果用角度制表示，精确到
）
【答案】
【分析】先根据在
处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合
处的旗杆算出斜面角.
【详解】如图，在
处，
，在
处满足
，
（其中
水平面，
是射过
处杆子最高点的光线，光线交斜面于
），
故设
，则
，
由勾股定理，
，解得
，
于是
故答案为：
3.（2025·全国一卷·高考真题）若点
是函数
的图像的一个对称中心，则a 的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，
即
，
又
，则
时最小，最小值是，
即
.
故选：B
4.（2025·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式得
，则
，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【详解】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
5.（2025·北京·高考真题）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数
，
设函数
的最小正周期为T，由
可得
，
所以
，即
；
又函数
在
上存在零点，且当
时，
，
所以
，即
；
综上，的最小值为4.
故选：C.
6.（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
7．【2024 年上海市高考数学第14 题】下列函数的最小正周期是
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对A，
，周期
，故A 正确；
对B，
，周期
，故B 错误；
对于选项C，
，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；
对于选项D，
，周期
，故D 错误，
故选：A．
8.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求
的关系，结合
的值可求前者，故可求
的值.
【详解】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
9.（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在
上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】
，当
时，
，
当
时，即
时，
.
故答案为：2
10.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，
，
，则
.
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得
，再缩小
的范围，最后结合同角的平
方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【详解】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
11.（2024·全国甲卷·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先将
弦化切求得
，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B.
12.（2023·北京·高考真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
.
故选：B.
13.（2023·全国乙卷·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得
的值，最后利用三角形
内角和定理可得
的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，由于
，故
，
据此可得
，
则
.
故选：C.
14.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在
上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数
的最小正周期为
，
函数
的最小正周期为
，
所以在
上函数
有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C
15.（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，角与角均以
为始边，它们的终边关于原点对称.
若
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】首先得出
，结合三角函数单调性即可求解最值.
【详解】由题意
，从而
，
因为
，所以
的取值范围是
，
的取值范围是
，
当且仅当
，即
时，
取得最大值，且最大值为
.
故答案为：
.
16.（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，
,存在点A 满足
，则
(精确到0.1 度)
【答案】
【分析】设
，在
和
中分别利用正弦定理得到
，
，两式
相除即可得到答案.
【详解】设
，
在
中，由正弦定理得
，
即
’
即
①
在
中，由正弦定理得
，
即
，即
，②
因为
，
得
，
利用计算器即可得
，
故答案为：
.
17．【2023 年上海市高考数学第4 题】已知tanα＝3，则tan2α＝ ．
【答案】4
【解答】解：∵tanα＝3，
∴tan2α
．
故答案为：
．
18．【2023 年上海市高考数学第8 题】已知△ABC 中，角A，B，C 所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sinA＝
．
【答案】
．
【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，
由余弦定理得，cosA
，
又∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，
∴sinA
．
故答案为：
．
19.（2023·上海·高考真题）已知
，函数
在区间
上最小值为，在区间
上的最小
值为
变化时，下列不可能的是（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答.
【详解】因为函数
的最小正周期是
，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即
可，
当
时，
，
，而
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，A 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，B 可能；
当
时，
，
，
因此
在
上的最小值
，在
上的最小值
，D 可能；
对于C，若
，则
，
若
，则区间
的长度
，并且
且
，
即
且
与
矛盾，所以C 不可能.
故选：C
【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值.
20.（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
21.（2023·全国乙卷·高考真题）若
，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求
，进而可得结果.
【详解】因为
，则
，
又因为
，则
，
且
，解得
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
22.（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
23.（2023·全国甲卷·高考真题）函数
的图象由函数
的图象向左平移个单位长度得
到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得
，再作出
与
的部分大致图像，考虑特
殊点处
与
的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为
向左平移个单位所得函数为
，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为.
故选：C.
24.（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出
，最后结合已知
得
的值即可；
（2）首先求出
，然后由正弦定理可将
均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求
解.
【详解】（1）由余弦定理有
，对比已知
，
可得
，
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，
所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，
由已知
的面积为
，可得
，
所以
.
25.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三
角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
