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专题4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】.........................................................................................................3
【题型2 正、余弦齐次式的计算】..........................................................................................................................3
【题型3 诱导公式的简单应用】..............................................................................................................................4
【题型4 三角函数式的化简、求值】......................................................................................................................4
【题型5 三角恒等式的证明】..................................................................................................................................5
【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】.........................................................................................................5
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解同角三角函数的基本关
系式，
，
(2)掌握诱导公式，并会简单应
用
2023 年全国甲卷（文数）：第
14 题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：第
13 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第4 题，5
分
2024 年全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
2025 年全国二卷：第8 题，5
分
2025 年北京卷：第13 题，5 分
同角三角函数关系式与诱导公式
是三角函数化简求值的基础，是高考
数学的热点和必考内容之一.从近几年
的高考情况来看，主要考察“弦切互
化”、同角三角函数关系式与诱导公
式综合等内容，考查较为灵活，一般
以选择题、填空题的形式出现，试题
难度中等或偏下.
知识点
1
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α 的正弦、余弦的商等于角α 的正
切.
2．基本关系式的变形公式
知识点
2
同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α 的正弦、余弦的互化，利用
可以实
现角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点
3
诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π 整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π 的整数倍的三角函数式中可直接将2π 的整数倍去掉后再进行
运算.如
.
知识点
4
同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1 同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2025·河北·模拟预测）已知α ∈(0,π)，sinα +cosα = 2❑√2
5
，则sinα −cosα =（ ）
A．
❑√42
5
B．−
❑√42
5
C．
❑√21
5
D．−
❑√21
5
【变式1-1】（2025·甘肃金昌·二模）若sinα =cosα + 3
5
，则tanα +
1
tanα =（ ）
A．8
25
B．16
25
C．25
8
D．25
16
【变式1-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知sinα +cosα = 3
4 sinα cosα，则sinα +cosα =（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√3
4
C．−
❑√3
3
D．−1
3
【变式1-3】（2025·广东汕头·模拟预测）设1+sin x
cos x
= 22
7
，则1+cos x
sin x
=（ ）
A．3
2
B．3 ❑√2
2
C．29
15
D．31❑√3
17
【题型2 正、余弦齐次式的计算】
【例2】（2025·广东惠州·模拟预测）已知tan α =−2，则sin α −cosα
3cosα +sin α =（ ）
A．−3
B．−1
3
C．1
3
D．3
【变式2-1】（2025·贵州黔南·三模）若cosα
cosα −sinα =
❑√3
3
，则tanα =（ ）
A．1−
❑√3
3
B．1−❑√3
C．
❑√3
3
D．1+ ❑√3
【变式2-2】（2025·吉林·模拟预测）已知tan α = 1
2
，则sin α −cosα
sin α +3cosα =（ ）
A．2
3
B．−1
7
C．1
2
D．−1
2
【变式2-3】（24-25 高三上·山西运城·期末）已知角α的始边为x 轴非负半轴，终边经过点(2,−1)，则
sinα +cosα
sinα −cosα =（ ）
A．3
B．1
3
C．−1
3
D．−3
【题型3 诱导公式的简单应用】
【例3】（2025·甘肃·模拟预测）已知角α满足sin(α −10
∘)= 1
5
，则cos(α +260
∘)=（ ）
A．−2❑√6
5
B．2❑√6
5
C．−1
5
D．1
5
【变式3-1】（2025·甘肃庆阳·模拟预测）sin990
°cos660
°tan330
°=（ ）
A．
❑√3
6
B．−
❑√3
6
C．1
2
D．−1
2
【变式3-2】（2025·河南·三模）已知∀x∈R ,cos(2 x +φ)=sin(2 x−π
3 )，则sin(π−φ)=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角α的终边经过点P(−3,4)，则cos(
π
2 +α)=（ ）
A．−3
5
B．−4
5
C．3
5
D．4
5
【题型4 三角函数式的化简、求值】
【例4】（2025·山东烟台·一模）已知tanα =−2，则
cos(
π
2 +α)
sin(π−α )−sin(
3π
2 −α)
=（ ）
A．−2
3
B．2
3
C．−2
D．2
【变式4-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知sin(
2π
7 +α)= 1
5，那么tan(
3π
14 −α)=（ ）
A．−1
5
B．±2❑√6
C．2❑√6
5
D．2❑√6
【变式4-2】（2024·山东·一模）已知tan (3π−α )=3，且α是第二象限角，则sin α等于（ ）
A．
❑√10
10
B．−
❑√10
10
C．3 ❑√10
10
D．−3 ❑√10
10
【变式4-3】（2025·全国·一模）已知tan
2 β sin
2 β =3
，则tan
2 β −2sin
2 β −sin
2 β
tan
2 β
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3
【题型5 三角恒等式的证明】
【例5】（24-25 高一上·上海·课堂例题）证明：
tan(2π−x)sin(−2π−x)cos(6π−x)cos(π−x)
sin(x + 3π
2 )cos(
π
2 −x)
=sin x
．
【变式5-1】（24-25 高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)1−2sin x cos x
cos
2 x−sin
2 x
= 1−tan x
1+ tan x ；
(2)sin
4 x +cos
4 x =1−2sin
2 x cos
2 x.
【变式5-2】（24-25 高一上·全国·课后作业）（1）求证：
tan(2π −α )sin(−2π −α )cos(6 π −α )
sin(α + 3 π
2 )cos(α + 3 π
2 )
=−tan α；
（2）设tan(α + 8 π
7 )=m，求证
sin( 15 π
7
+α )+3cos(α −13 π
7
)
sin( 20 π
7
−α )−cos(α + 22π
7
)
= m+3
m+1
.
【变式5-3】（24-25 高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)sin
2α +sin
2 β −sin
2α sin
2 β +cos
2α cos
2 β =1；
(2)2(1−sin α )(1+cosα )=(1−sin α +cosα )
2．
【题型6 同角三角函数与诱导公式的综合】
【例6】（2024·山东泰安·模拟预测）已知sin(
3π
2 +α)=
❑√3
2 且π
2 <α <π，则tan α =（ ）
A．−❑√3
B．−
❑√3
3
C．
❑√3
3
D．3
【变式6-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知cos(30
∘+α)= 1
3
，且0
∘<α <90
∘，则
tan(30
∘+α)sin
2(60
∘−α)−cos(150
∘−α)=（ ）
A．3+ ❑√2
9
B．3+2❑√2
9
C．3−❑√2
9
D．3−2❑√2
9
【变式6-2】（2024·辽宁·三模）已知tanα = 1
2
，则sin(α +π
2 )−cos(
3π
2 −α)
cos(−α )−sin(π−α )
=
（ ）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
【变式6-3】（24-25 高二上·云南昆明·阶段练习）已知角 θ 的始边为 x 轴非负半轴，终边经过点
P(1,2) ，则 sin(π−θ)
sinθ+cosθ
的值为（ ）
A．−1
3
B．1
3
C．−2
3
D．2
3
一、单选题
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）若sin α +cosα
sin α −cosα = 1
2
，则tan(α +π)=（ ）
A．−3
B．−1
3
C．3
D．1
3
2．（2025·河南信阳·模拟预测）若tanα =2，α ∈(0,π )，则2sinα +cosα =（ ）
A．❑√5
B．−❑√5
C．4
5
❑√5
D．−4
5
❑√5
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
4．（2025·安徽·模拟预测）计算：tan20°+(1+ ❑√3tan20°)
❑√3cos20°−sin20°
cos20°+ ❑√3sin20° =（ ）
A．
❑√3
3
B．❑√3
C．2❑√3
3
D．1
5．（2025·湖北孝感·三模）已知x∈(−π
2 ，0)，sin
4 x +cos
4 x = 1
2
，则sin x−cos x =（ ）
A．❑√2
B．−❑√2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负
半轴重合，终边经过点P(t ,1)，sin(α +π
2 )=−
❑√5
5 ，则t =（ ）
A．-2
B．−1
2
C．1
2
D．2
7．（2025·广东茂名·模拟预测）已知sin(
π
3 −x)= 1
3
，且0< x<π
2
，求sin(
π
6
+ x)−cos(
2π
3
+ x)的值
为（ ）
A．4 ❑√2
3
B．2❑√2
3
C．0
D．−2❑√2
3
8．（24-25 高一上·山东德州·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β的顶点与坐标原点重
合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别是射线OA和射线OB，若射线OA与单位圆的交点为A(m, 4
5)
，射线OB与单位圆的交点为B，且OA ⊥OB，则3sinα +2cos β
2cosα −3sin β
的值是（ ）
A．4
3
B．3
4
C．−3
4
D．−4
3
二、多选题
9．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角α的终边过点P(
1
2 ,
❑√3
2 )
，则角α的集合是{α|α =π
3 +2k π),k ∈Z)
B．若cos(α +π
6 )= 3
5，则sin(α + 2π
3 )= 3
5
C．若tanα =2，则sin
2α +sinα cosα = 6
5
D．若扇形的周长为8cm，圆心角为2rad，则此扇形的半径是4cm
10．（2025·云南大理·模拟预测）已知角α的终边经过点P(3,−4)，则（ ）
A．sinα =−4
5
B．tanα = 4
3
C．cos(π+α )=−3
5
D．cos(
π
2 +α)=−4
5
11．（24-25 高一上·吉林通化·期末）已知sinθ+cosθ = 1
5
，θ∈(0,π)，则下列等式正确的是（ ）
A．sinθcosθ =−12
25
B．sinθ−cosθ = 7
5
C．tanθ =−3
4
D．sin
2θ−cos
2θ = 7
25
三、填空题
12．（2025·辽宁·二模）已知tan
2α −sin
2α =2，则tan
2α sin
2α = .
13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知α是第一象限角，且cos(α +π
6 )= 5
13，则tan(α −π
3 )= .
14．（2025·北京石景山·一模）如图，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P，且点P的横坐标
为3
5，则sin(
π
2 +α)的值为 .
四、解答题
15．（24-25 高一下·海南省直辖县级单位·期中）已知α是第二象限角，sinα =
❑√10
10
，
(1)求cosα ,tanα；
(2)求
1
2sinα cosα +cos
2α
．
16．（24-25 高一下·河北保定·期末）已知tan(π+α )=−2．
(1)若α是第二象限角，求cosα的值；
(2)求
2sin(π+α )cos(−2π−α )
sin
2(−α )−sin
2( 3π
2 −α )
的值．
17．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）已知角θ的终边经过点P(−5
13 , 12
13).
(1)求sinθ，cosθ的值；
(2)求sin(
7 π
2 +θ)⋅tan(2π −θ)+sin(π −θ)
cos(−θ)
的值.
18．（24-25 高一上·天津·阶段练习）计算：
(1)已知α为第二象限角，tanα =−2，求sinα ,cosα
(2)tanα =2
（i）求sinα −cosα
2sinα +cosα
的值
（ii）求sin
2α +sinα cosα的值
19．（24-25 高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴非
负半轴重合，终边经过点P(3, λ)，且sin α = λ
5
.
(1)求实数λ及相应cosα的值；
(2)当λ>0时，化简
sin (α +π)+cos(α + 5π
2 )
sin(
π
2 −α)−cos(α +3π)
并求值.
