文档文本内容
备战2026 年高考数学考前仿真模拟必刷10 卷
必刷模拟卷02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
的真子集的个数为（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
【答案】D
【分析】解一元二次不等式化简集合
，解对数不等式化简集合
，即可求出
，从而确定其真子集
个数.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
由
，即
，即
，解得
，
所以
，
所以
，所以
的真子集的个数为
个.
故选：D
2．已知
为正项等比数列
的前
项和，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．15
D．63
【答案】D
【分析】由等比数列前
项和公式结合条件即可求得公比
，进而求得
的值.
【详解】因为
，且
，
所以有
，即
，
则有
，所以公比
，
所以
，
故选：D．
3．若向量
，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得
，再由二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设
，
所以
，
所以
.
故选：A
4．在三棱锥
中，
，其余棱长均为2，若三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，确定球心
的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积.
【详解】在三棱锥
中，
都是边长为2 的正三角形，取
中点
，连接
，
则
，
，
是二面角
的平面角，
又
，则
，即
，而
，
平面
，因此
平面
，令
的外心分别为
，
则
平面
，
，同理
，四边形
是矩形，
，而
，则
，
所以球
的表面积为
.
故选：A
5．已知抛物线
的焦点为
，
为
上的动点，
为直线
上的动点，设点
到
轴的距离为
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用数形结合可得
的最小值为点
到直线
的距离
【详解】由抛物线
，可得焦点
，
因为
为
上的动点，
为直线
上的动点，
所以
为
到直线
的距离，
由点
到
轴的距离为
，结合抛物线的性质可得
，
所以
结合图形，可知
的最小值为点
到直线
的距离，
又点
到直线
的距离为
，
所以
，所以
的最小值为
.
故选：B.
6．古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军
营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为
，军营所在位置为
，河岸线所在直线的方程为
，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在
河边饮马的地点坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出点
关于直线
的对称点
，求出直线
与河岸线
的交点即可得出饮
马的地点坐标.
【详解】设点
关于直线
的对称点为点
,
根据对称点的性质知
中点
在直线
上，
即
,可得
,
又直线
与直线
垂直，即
,可得
,
即可得
,即点
,
直线
的斜率为
,得直线方程
，即
,
将军在河边饮马的地点坐标为直线
与河岸线
的交点 ，
将
代入
得
,即坐标点为
.
则将军在河边的饮马地点为
.
故选：C
7．从1 至13 的整数中任取3 个不同的数
，则
能被2 整除的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意首先分析
能被2 整除时，
的取值要求，再结合排列组合及古典概型可求
解.
【详解】因为1 至13 的整数中有6 个偶数，7 个奇数，
若
能被2 整除，则只需
能被2 整除，
的取值异于
即可，
当
都为奇数时，
的取法有
种；
当
都为偶数时，
的取法有
种，
所以
能被2 整除的概率为
.
故选：B.
8．已知函数
，
的定义域为
，
是偶函数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
是偶函数可得
，结合两个已知等式，利用赋值法建立方程求解.
【详解】由
是偶函数，得
，则
，
由
，得
，则
，
由
，得
，则
，
因此
；由
，得
，
且
，于是
，
所以
.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
是方程
的两根，则
【答案】ABD
【分析】设
，
，应用复数的相关概念及共轭复数的运算判断A、B；取
，
判断C，由方程复数根的性质、韦达定理判断D.
【详解】A，设
，
，
，
，
所以
，正确；
B，设
，则
，
由
，得
，所以
，正确；
C，若
，不妨取
，
，
此时
，但
不成立，错误；
D，若
是方程
的两根，
根据韦达定理可知
，
则
，正确．
故选：ABD
10．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，
得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判
定为阴性，此检测标准的漏诊率即将患病者判为阴性的概率；误诊率即将未患病者判定为阳性的概率，以
下说法正确的是（ ）
A．某人的医学指标大于临界值c，那么他可能是患病者
B．在患病者中，其指标的中位数大于平均数
C．在未患病者中，指标的第25 百分位数为76.5
D．指标临界值c 越高，漏诊率越低，误诊率越高
【答案】ABC
【分析】根据临界值的定义，判断选项A 的正误；根据频率分布直方图的平均数和中位数的求法，判断选
项B 的正误；根据频率分布直方图的第
百分位数的算法，判断选项C 的正误；根据患病和未患病的该指
标的频率分布直方图，判断选项D 的正误；
【详解】根据临界值c 的定义，将该指标大于c 的人判定为阳性，所以A 正确；
在患病者的该指标的频率分布直方图中，
可知
，
，
则中位数为
，
平均数为
，
所以B 正确；
在未患病者的该指标的频率分布直方图中，
可知
，
，
即第25 百分位数为76.5，所以C 正确；
当
时，患病者该指标为
，
则
的患病者为漏诊，
的未患病者为误诊，
根据该指标的频率分布直方图可知，c 越高，漏诊率越高，误诊率越低，所以D 错误；
故选：ABC.
11．已知
，函数
有两个极值点
，
，则（ ）
A．
可能是负数
B．
C．曲线
在点
处的切线方程为
D．
为定值
【答案】BCD
【分析】求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C.
【详解】由
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递减，没有极值，故A 错误，
当
时，令
，得
，
不妨设
，则
，故B 正确，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
是
的极大值点，
是
的极小值点，
而
，则
，
所以
为定值，故D 正确；
对于C，由
，则
，而
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，故C 正确.
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知
，若
，则
与
的夹角为 ．
【答案】
/
【分析】利用向量垂直，数量积为零，再利用数量积求夹角余弦值，即可求解.
【详解】由
可得：
，
又因为
，所以
，
即
，
又因为
，所以
，
故答案为：
13．已知直线
与直线
平行，则实数
的值为 .
【答案】
/
【分析】根据两直线平行建立关于
的方程，解之即可.
【详解】因为
，所以
，解得
.
故答案为：
14．CBA 季后赛总决赛在甲、乙两支球队进行，总决赛采用七局四胜制（7 场4 胜），总决赛的主场优势
授予常规赛排名更高的球队，采用“
”的主客场安排（即排名高的球队先打两个主场，然后
是对手的两个主场，之后若需要，交替进行一个主场）．设甲队主场取胜的概率为
，客场取胜的概率
为
，且各场比赛结果相互独立，若甲球队常规赛排名更高，那么甲队
获胜的概率是 ．
【答案】
【分析】依题意可得甲队在前五场比赛中，赢3 场输2 场，第六场赢，分三个主场全胜、两个客场全负，
三个主场2 胜1 负、两个客场1 胜1 负，三个主场1 胜2 负、两个客场2 胜三种情况利用相互独立事件的概
率公式计算可得.
【详解】甲队在前五场比赛中，赢3 场输2 场，第六场赢．
又前五场中甲队有三个主场，两个客场，第六场为客场．
甲队三个主场全胜，两个客场全负以
获胜的概率是
；
甲队三个主场2 胜1 负，两个客场1 胜1 负以
获胜的概率是
；
甲队三个主场1 胜2 负，两个客场2 胜以
获胜的概率是
；
综上所述，甲队以
获胜的概率
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）在
中，角
对应边分别是
.已知
成等差数列，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的性质得到
的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求
值；
（2）先根据正弦定理求出
，再结合（1）中的
的关系求出
，最后根据三角形的面积公式求解.
【详解】（1）由
成等差数列知
，又
得
，
于是
，设
，则
，
所以
；
（2）由（1）知
，
由
得
，所以
，
所以
的面积
.
16．（15 分）如图，四边形
是边长为1 的正方形，四边形
是梯形，
是
上的点，且
，平面
平面
.
(1)证明：
四点共面；
(2)设
，且点
均在球
的球面上.
（i）求点
到平面
的距离；
（ii）记
为球面上到点
距离最小的点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)（i）
；（ii）
【分析】（1）结合已知条件证明
即可；
（2）（i）求证
和
都是直角三角形，即可找到球心，再以
为原点建系，利用向量计算点到
平面的距离；
（ii）先找出点
的位置，再计算平面
的法向量，利用向量计算线面角.
【详解】（1）因为四边形
是正方形，所以
，
又因为
，所以四边形
是正方形，
所以
，所以
，
所以
四点共面.
（2）（i）因为
，平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
平面
，同理可得，
平面
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
所以
和
都是直角三角形，
所以
的中点就是球心
，
如图所示，以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
则
，
设平面
的一个法向量
，
所以
，令
，所以
，
所以
，
所以点
到平面
的距离为
.
（ii）当
三点共线时，球面上点
到点
的距离最小，
因为
，所以球的半径
，分别取
中点
，
则
，
所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
由（i）知平面
的一个法向量
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
17．（15 分）已知抛物线
：
（
）经过点
.
(1)求抛物线
的方程及其准线方程；
(2)经过抛物线焦点
的直线与抛物线交于不同的两点
，
，经过点
作准线的垂线，垂足为
，求
证：直线
经过原点.
【答案】(1)
；
(2)见解析
【分析】（1）将点代入抛物线求出
即可得出抛物线方程和准线方程；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，得到
，
，进而得到
，即
，
故
三点共线．
【详解】（1）解：将
代入
可得
，解得
，
所以抛物线C 的方程为
，准线方程为
；
（2）证明：由题得
，设直线方程为
，
设
，则
，
联立方程
，可得
，
则
，
，
，
，即
，
，即
三点共线，
故直线
经过原点．
18．（17 分）已知甲乙两个盒子均装有
､
1 个白球和1 个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1 个
球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第
次操作后甲盒中白球的个数记为
.
(1)求
；
(2)证明：
是等比数列；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）列举第一次操作的所求情况和结果，利用古典概型概率的求法求
和
.
（2）先利用全概率公式探索数列
的递推公式，再利用等比数列的定义证明数列
是等比数列.
【详解】（1）初始时甲乙两盒均装有
､
1 个白球和1 个黑球，第一次操作时，从两盒中各取一球交换，共
有4 种等可能情况：
甲取白乙取白：交换后甲盒白球数为
､
1；
甲取白乙取黑：交换后甲盒白球数为
､
0；
甲取黑乙取白：交换后甲盒白球数为
､
2；
甲取黑乙取黑：交换后甲盒白球数为
､
1.
故
.
（2）记
，则
，
由全概率公式得：
①
所以
②，
③
由①和③知
，结合初始值
，
可得对任意
有
，代入
中，
得：
，④
将④代入②式得：
整理得
，
即：
，又
，
所以数列
是公比为
的等比数列.
19．（17 分）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
有且仅有三个不同零点为
，证明：
．
【答案】(1)1 (2)答案见解析 (3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，利用单调性求函数最小值；
（2）对参数
分类讨论，利用导数求函数的单调性；
（3）转化为证明
，再转化为证明不等式：
，利用函数单调性得证.
【详解】（1）函数
的定义域为
.
当
时，
；
当
时，
.
若
，当
时，
，可得
单调递减；
当
时，
，可得
单调递增，
故
的最小值为
.
（2）当
时，
，若
，
，则
单调递增，
若
，当
时，
，即
，则
单调递增；
当
时，
，即
，则
单调递减.
若
，
，则
单调递减.
当
时，若
，
，则
单调递增；
若
，
，则
单调递增；
若
，当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增.
综上所述，当
时，
在
上递增；
当
时，
在
上递增，在
上递减，在
上递增；
当
时，
在
上递减，在
上递增；
当
时，
在
上递减，在
上递增.
（3）若
有且仅有三个不同零点为
，由（2）可知，必有
，
假设
，且
，
当
时，
；当
时，
，
由
，解得
.
先证不等式：
由题意，
满足
，故
且
，
两式相减整理可得
则只需证：
，即证：
.
令
，则
，不等式转化为证明
.
令
，则
，
可得
在
上单调递减，有
，即
成立.
再证明不等式：
.
由于
，且
在
上单调递增，
则只需证：
.
令
，则
，
是单调递减函数，
而
，
则
综上，可得
