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第 21 讲 数列通项公式的求解策略
【典型例题】
例1．（2024·高三·湖北·阶段练习）画 条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A． 部分 B． 部分
C． 部分 D． 部分
例2．（2024·高三·湖北·阶段练习）已知数列 中， ， ， ，则下列说法不正确的
是（ ）
A． B．
C． 是等比数列 D．
例3．（2024·高三·河南·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A．1056 B．1123 C．1315 D．2627
例4．（2024·黑龙江·二模）某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为 ，从第二题开始，若
甲同学前一题答错，则此题答对的概率为 ；若前一题答对，则此题答对的概率为 .记甲同学回答第 题
时答错的概率为 ，当 时， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·广东深圳·二模）已知正项数列 的前 项积为 ，且满足 ，则
.
例6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的通
项公式为 ．
例7．（2024·高三·全国·专题练习）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下
后，出现红球与绿球的概率都是 ，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 、 ；若前次出现绿球，则下一次出现红球，绿球的概率分别为 、 ，记第
次按下按钮后出现红的概率为 ．
(1)求 的值；
(2)当 ，求用 表示 的表达式；
(3)求 关于 的表达式．
例8．（2024·全国·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，且
.
求数列 的通项公式；
例9．（2024·河北·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .
例10．（2024·陕西西安·一模）已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【过关测试】
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）凸五边形有5条对角线，那么凸 边形有（ ）条对角线．
A． B． C． D．
2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，则
中最小的一项是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·高三·江苏·专题练习）已知 是数列 的前 项和，且 ， （ ），
则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 不为等比数列
C． D．
4．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和公式为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 的首项为
B．数列 的通项公式为
C．数列 为递减数列
D．数列 为递增数列
5．（2024·湖南长沙·一模）小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 的10个
小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次
抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进 步的概率为 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．小华一共前进3步的概率最大6．（2024·高三·甘肃·开学考试）已知数列 满足 ，则（ ）
A． 是等差数列
B． 的前 项和为
C． 是单调递增数列
D．数列 的最小项为4
三、填空题
7．（2024·高三·全国·专题练习）已知数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且 ， ，
， ，则 ；若对任意的 ，
恒成立，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题
8．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知 是数列 的前 项和，满足 ；正项数列 为等比数
列，数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式：
(2)令 ，数列 前 项和为 ，求 ．
9．（2024·山东菏泽·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， ，求证： ．
10．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ．
(1)求证：数列 为等比数列；(2)设 的前 项和为 ，求 ．
11．（2024·高三·全国·专题练习）在①当 时， ，②数列 与 均为等差数列这
两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知正项数列 满足 ，______．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前n项和，证明： ．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
12．（2024·全国·模拟预测）已知定义域为 的函数 满足如下条件：①对任意的 ，总有
；② ；③当 ， ， 时， 恒成立．已
知正项数列 满足 ，且 ， ，令
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求证： （ ）．
13．（2024·高三·云南·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ，且 .在数列 中， ，
.(1)求 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
14．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“
型数列”．
(1)若数列 满足 ，判断 是否为“ 型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列 为“ 型数列”， ，数列 满足 ， ， 是等比数列，公比
为正整数，且不是“ 型数列”，求数列 的通项公式．
15．（2024·四川成都·二模）已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ．
(1)确定常数 ，并求 ；
(2)求数列 的前15项和 ．
16．（2024·全国·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)给定 ，记集合 中的元素个数为 ，若 ，试求 的最小
值.
17．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前 项和 ．(1)求数列 的通项公式；
(2)在 ，与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若 ，求数列
的前 项和 ．
18．（2024·广西柳州·三模）已知数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对任意 ．将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的前m项和 ．
19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的 和 项之间插入 个数，使得这 个数成等差数列，其中 ，将所有插入
的数组成新数列 ，设 为数列 的前 项和，求 ．
20．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的首项为1，公差 ，且 成等比数列，数
列 的前 项和 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
21．（2024·四川·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， ，且当 时，.
(1)求 ；
(2)设数列 的前n项和为 ，证明： .
22．（2024·湖南·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足 ，
其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ， 成等差
数列.
（i）求 ；
（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求出所有满足条件
的 的值；若不存在，说明理由.
23．（2024·甘肃兰州·一模）若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的
多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用 表示凸 边形
对角线的条数．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前n项和为 ，求数列 的前n项和 ，并证明 ．
24．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列 ，______．在①数列 的前 项和为 ， ；②数列 的前 项之积为 这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如
果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前 项和为 ，求证： ．
25．（2024·辽宁·二模）如果数列 ，其中 ，对任意正整数 都有 ，则称数列
为数列 的“接近数列”．已知数列 为数列 的“接近数列”．
(1)若 ，求 的值；
(2)若数列 是等差数列，且公差为 ，求证：数列 是等差数列；
(3)若数列 满足 ，且 ，记数列 的前 项和分别为 ，试判断是否
存在正整数 ，使得 ？若存在，请求出正整数 的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：
）
26．（2024·高三·河南驻马店·期末）一枚质地均匀的小正四面体，其中两个面标有数字1，两个面标有数
字2.现将此正四面体任意抛掷 次，落于水平的桌面，记 次底面的数字之和为 .
(1)当 时，记 为 被3整除的余数，求 的分布列与期望；
(2)求 能被3整除的概率 .
