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绝密★启用前
2024年高考考前信息必刷卷（甲卷理科专用）01
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国甲卷的使用将接近于尾声，往后会是新高考的题型。
全国甲卷的题型会相对稳定，考试题型为12（单选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良
型试题是对接新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。
2024年的对于三视图、线性规划及程序框图图的考察也将近有尾声，题目难度变化不大，但侧重于考
察学生运算能力与分析能力。
1.2023年的真题中就有开放性的题目，重在提升学生的创新能力，如本卷第15题
2.加强知识间的综合考察仍将是2024的热点，如本卷第7题，第8题，第10题
3.结合2024年九省联考试题的结构及其特点，预测 2023年新高考地区也将出现新定义问题的大题，
例如本卷第17题，以新定义为背景与数列相结合。
4.同时应特别注意以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、
方法等融为一体，注意归纳题目意思。对于数学文化的知识会结合排列组合、数列及对数（指数）函数知
识进行考察，难度不大，但计算能力为考察重点（如第9题），将中国的航天事业与排列组合有机结合，
培养数学建模的核心素养
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知集合A中元素表示被3除余1的自然数，又 ，则 ，故选A
2．设 ，其中a、b为实数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为a， ， ，所以 ， ，解得 ， ．
故选：C
3．已知流程图如图所示，该程序运行后，则输出的 值为（ ）
A．28 B．40 C．54 D．70
【答案】B
【解析】因为 ， ，第一次运行 ， ；
第二次运行 ， ；
第三次运行 ， ；
第四次运行 ， ；
第五次运行 ， .终止运行，
所以输出的 值为40，故选B.
4．已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ （提示：见模长，取平方），
∴ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ， ，
∴ ，故选C．
5．已知等比数列 的前 项和是 ，且 ，则 （ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【答案】C
【解析】因为 ，代入得： ，
即 ，解得 ，故 ，故选C.
6．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约 的人近视，而该校大约有 的学生每天玩
手机超过 ，这些人的近视率约为 ．现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超
过 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件A，且 ，从该校学生中任意调查一名
学生他每天玩手机超过 记为事件B，且由题可知， ，所以从该校近视的学生中任
意调查一名学生，则他每天玩手机超过 的概率为： .故B，C，D错误.
故选：A.7．“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即
，
或 ，
若 ，则 ，这与 矛盾，故 ，
所以 或 ，
故“ 是“ ”的必要不充分条件.
故选：C.
8．以双曲线 的一个焦点为圆心，以 为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由双曲线 可得 ，
∵双曲线的焦点 到渐近线 的距离 ，
故所得弦长 .
故选：D.
9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，
丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．
若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
【答案】C
【解析】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的4人中选取3人，剩下两人去剩下两个舱位，则
有 种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下5人中选取4人进入天和核心
舱即可，则有 种可能；
根据分类加法计数原理，共有 种可能.
故选：C.
10．将函数 的图象向左平移 单位后得到函数 的图象，则函数 在 上的
图象与直线 的交点的横坐标之和为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得函数 ，因为 ,
所以 ，由 ，得 ,解得 ， 或 ，
所以所求横坐标之和为 ，故选C.
11．在三棱锥 中， ，且 ， ，则该三棱锥的表面积
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 为等边三角形， ，
在 中，利用余弦定理得： ，
解得： ，
同理可得： ，
因为 ，
由勾股定理逆定理可得 ， ，
所以 ， ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
因为 ，所以 ，
由勾股定理得： ，
故 ，
所以四棱锥的表面积 .
故选：A
12．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，P为椭圆上一点， 的平分线与x轴交于点，作 交 于点H，则 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】如图，根据题意，有 ，且 ．
由角平分线定理和椭圆的定义，有
因此 是以 为斜边的直角三角形，
进而可得 ，因此 ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数 是偶函数，则常数 的值为 ．
【答案】
【解析】 易知函数定义域为
函数 是偶函数
对定义域内每一个 都成立，
，
对定义域内每一个 都成立
，即 .
14．已知实数x，y满足 ，则z＝3x－2y＋1的最大值为 ．
【答案】
【解析】画出线性约束条件所表示的可行域，如图，
由 ，得 ，由 ，得 ，
由图可知，目标函数所代表的直线过点 时， 的值最大，且 .
15.在 中，角A， ， 所对的分别为 ， ， ．若角A为锐角， ， ，则 的周长可
能为 ．（写出一个符合题意的答案即可）
【答案】9（答案不唯一， 内的任何一个值均可）【分析】根据题意利用余弦定理可得 ，进而可得周长的取值范围.
【详解】由余弦定理可得 ，
因为角A为锐角，则 ，可得 ，
所以 的周长 .
16．在棱长为6的正四面体 中，已知点 为该四面体的外接球的球心，则以 为球心， 为半径
的球面与该四面体的表面形成的交线长为 ．
【答案】
【解析】取 的中点 ， 的中心 ，
则 ， ， ．
因为 ，
所以 ， ．
设球面与平面 形成的交线上一点 ，
则 ，即 ，所以 ．
所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上，如图2：设此圆与 的边 交于 ，与边 交于 ， 于 ， 于 ，
由 得 同理
又 所以
所以球面与底面 形成的交线是三段圆心角为 的圆弧，
所以结合对称性可知球面与该四面体的表面形成的交线长度为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．（本小题满分12分）若数列 中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称 为“等比源数
列”．
(1)已知数列 为4，3，1，2，数列 为1，2，6，24，分别判断 ， 是否为“等比源数列”，
并说明理由；
(2)已知数列 的通项公式为 ，判断 是否为“等比源数列”，并说明理由；
【解】（1） 是“等比源数列”， 不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以 是“等比源数列”；
中“1，2，6”，“1，2，24”，“1，6，24”，“2，6，24”均不能构成等比数列，
且这四者的其他次序也不构成等比数列，
所以 不是“等比源数列”．
（2） 不是“等比源数列”．
假设 是“等比源数列”，因为 是单调递增数列，
即 中存在的 ， ， 三项成等比数列，
也就是 ，即 ，，两边时除以 得 ，
等式左边 为偶数，
等式右边 为奇数．
所以数列 中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得 不是“等比源数列”．
18．（本小题满分12分）如图， 是正方形，直线 底面 ， ， 是 的中点.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
【解】（1）连接 ，交 于 ，连接
四边形 为正方形 为 中点，又 为 中点
平面 ， 平面 平面
（2） 平面 直线 与平面 所成角即为
设 ，则
19．（本小题满分12分）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，
发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能
源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 65 35
购买时补贴不大于1.5万 45 55
(1)能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
(2)若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查
家族收入情况，记 表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求 的分布列与数学期望.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【解】（1）2×2列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
大于1.5万 65 35 100
不大于1.5万 45 55 100
合计 110 90 200
可得 ，
所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
（2）依题意，分层随机抽样的抽样比为 ，
则有 ， ，
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，
的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
故 （人），
所以 的数学期望为 人.
20．（本小题满分12分）已知抛物线 的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的
弦长为2．
(1)求抛物线N的方程；
(2)点 和点 为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，
求△ABC面积的最大值．
【解】（1）解：由题意得抛物线 的焦点为 ，
在方程 中，令 ，可得 ，
所以弦长为 ，即 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）解：由（1）知抛物线 的方程为 ，
设 ，直线AB的斜率为 ，
因为线段 的中点 在直线 上，
由 可知直线OM的方程为 ，
设 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，即得 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 ，所以 ，
所以 ，即 ，
由根据与系数的关系得 ，
则
，
又由点 到直线 的距离为 ，
所以
，
记 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以当 时， 取得最大值，即 有最大值为 .21．（本小题满分12分）已知函数 , .
(1)求f(x)的单调区间与零点；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
【解】（1）因为当 时， ．
所以f(x)在[0，+∞）单调递增，
所以当 时，
所以f(x)有唯一零点
（2）令
①若 ，则
先证明当 时，
事实上，令 ,
因为当 时， ，所以u(x)在（0，+∞）单调递增，
所以当 时， ，所以 ．
由 得 ．
因为当 时， ，v(x)单调递增
当x 时， 单调递减
所以 ，所以 ．
因此当 时，
令因为 (x)的图象是开口向下的抛物线，所以存在 ，使得 ，从而
，不合题意．
②若 ，则
令
（i）当 时，
（ii）当 时，
所以h(x)在[0，1）单调递增，所以当 时，
由（i）（ii）知当 时， ，满足题意
综上，a的取值范围为（—∞， ]．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标
系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）.
(1)写出曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 交于 两点，定点 ，求 的最小值.
【解】（1）将 代入 的极坐标方程 中,
得曲线 的直角坐标方程为 ，即 .
（2）点 在直线 上，将直线 的参数方程 （ 为参数）代入曲线 方程,
得 ，整理得 ,满足 ,
设点 对应该的参数分别为 ，则 ，
由参数 的几何意义不妨令 ,
,
当 ，即 时， .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（本小题满分12分）设函数 ，其中 .
(1)当 时，求曲线 与直线 围成的三角形的面积；
(2)若 ，且不等式 的解集是 ，求 的值.
【解】（1）解：根据题意，当 时， ，
所以， ，设 ；
直线 与 交于点 ，与直线 交于点 ，
且 ，
点 到直线 的距离 ，
所以，要求图形的面积 ；
（2）解：当 时， ， ，即 ，解可得 ，此时有 ，
当 时， ， ，即 ，解可得 ，
又由 ，则 ，此时有 ，
综合可得：不等式的解集为 ，因为不等式 的解集是
所以， ，解可得 ；
所以， .
