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2024 届大题强化训练及变式训练（6）
1．如图，在四棱台 中，下底面 是平行四边形， ，
， ， ， ， 为 的中点．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角 的正弦值．
变式：如图，圆台上底面圆 半径为1，下底面圆 半径为 为圆台下底面的一条直径，圆
上点 满足 是圆台上底面的一条半径，点 在平面 的同侧，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若圆台的高为2，求直线 与平面 所成角的正弦值.2．已知数列 满足， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若对任意 ，求 的最小整数值．
变式：已知数列 前n项和为 ， ，且 ．
的
(1)求数列 的通项；
(2)设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求
的范围．
3． 某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个
标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的
谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为 ．
（1）求盒中2号球的个数；
（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺
序（猜对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
变式：某公司生产某种出口商品，为严把质量关，对每件商品请 3位专家进行质量把关，质量把关程
序如下：（i）若一件商品 位专家都认为质量过关，则该商品质量为 级；（ii）若仅有 位专家认
为质量不过关，再由另外 位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这 位专家都认为质量过
关，则该商品质量为 级，若第二次质量把关这 位专家中有 位或 位认为质量不过关，则该商品质
量为 级；（iii）若有 位或 位专家认为质量不过关，则该商品质量为 级．已知每一次质量把关
中一件商品被 位专家认为质量不过关的概率为 ，各商品质量是否过关相互独立．
（1）对两件商品进行质量把关，求两件商品质量均为 级的概率；
（2）若一件商品质量为 级，则该商品可出口外销，且利润分别为 元， 元， 元，
若一件商品质量为 级，则不能出口外销，利润记为 元．记 件商品的利润为 元，求 的分布
列与数学期望．
4．已知矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心
为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线
上的动点 满足 .（1）求直线 与直线 交点 的轨迹方程；
（2）当 时，过点 的直线 （与 轴不重合）和点 轨迹交于 两点，过点 作直线
的垂线，垂足为点 .设直线 与 轴交于点 ，求 面积的最大值.
变式：已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且 垂直于 轴．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 斜率存在，交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于
对称．
（ⅰ）证明：直线 过定点；
（ⅱ）求 面积的最大值．
5．已知函数 ．
（1）若函数 有3个不同的零点，求a的取值范围；
（2）已知 为函数 的导函数， 在 上有极小值0，对于某点 ，
在P点的切线方程为 ，若对于 ，都有 ，则称P为好点．
①求a的值；
②求所有的好点．
变式：帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数
m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， ．（注：
， ， ， ，…； 为
的导数）已知 在 处的 阶帕德近似为 ．
（1）求实数a，b的值；（2）比较 与 的大小；
（3）若 在 上存在极值，求 的取值范围．
