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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(13)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 可知： ，即 ，故 ，
.
所以
故选：D.
2．复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 笵三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，易得该点在第四象限.
故选：D.
3．已知函数 满足 ，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】函数 ， ，
所以 .
故选：B
4．如图，在 中， ， ，若 ，则
的值为（ ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】由题意及图可得，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ , ．
∵ ，
∴ ， ，解得： ， ， ，
故选：C．
5． 已知锐角 的顶点在原点，始边在 轴非负半轴，现将角 的终边绕原点逆时针转 后，交以原
点为圆心的单位圆于点 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得角 的终边绕原点逆时针转 所得角为 ，
为锐角，故 ，且P点横坐标为 ，
则 在第二象限，则 ，
故 ，
则
，
故选：D6．翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳､哈尔滨；向南至昆明､深圳；向西至兰州､银川
的六条航线.甲､乙､丙､丁､戊､已6人各选择一条不同航线体验.已知甲不去沈阳､哈尔滨，乙和丙乘坐
同一方向的航班.则不同的体验方案有（ ）
A. 56种 B. 72种 C. 96种 D. 144种
【答案】C
【解析】由题意，
共6个城市，3个方向，
甲不去沈阳､哈尔滨，有 种方案，
乙和丙乘坐同一方向的航班，有 种方案，
剩余3人有 种方案，
故不同的体验方案有： ，
故选：C.
7．已知函数 的图象与直线 有3个交点，则实数a的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】易知直线 恒过定点 ，且 的周期为 ，也过 ；
画出函数 的图象如下图实线部分所示：
若两函数图象有3个交点可知，直线 的斜率 ；
若直线 与 相切，可得 ，
易知 ，则 ，
结合图象可知 时满足题意.
故选：D
8．已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数.令函数
若存在唯一的整数 ，使得不等式 成立，则实数 的
取值范围为（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】令 ， ，
因为 为奇函数， 为偶函数.
所以 ， ，
所以 可得 ，
同理 可得 ，
由 得 ，
所以 ，
要满足存在唯一的整数 ，使得不等式 成立，
而 ，
当 时， ，显然不成立，
当 时，要使 只有一个整数解，
因为
所以 ，即 .当 时，要使 只有一个整数解，
因为 ,
所以 ，即 .
综上所述：实数 的取值范围为 .
故选: B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A. 从50个个体中随机抽取一个容量为20的样本，则每个个体被抽到的概率为0.4
B. 数据11，19，15，16，19众数是19，中位数是15
C. 数据0，1，5，6，7，11，12，这组数据的第70百分位数为6.5
D. 对于随机事件 与 ，若 ， ，则事件 与 独立
【答案】AD
【解析】选项A：根据古典概型， ,选项正确；
选项B：根据众数、中位数概念，众数是19，从小到大排列，中位数是16，选项错误；
选项C：根据百分位数概念， ，这组数据的第70百分位数为7.选项错误；
选项D： ,即 ，选项正确；
故选：AD.
10．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A. 数列 是递增数列 B.
C. 当 取得最大值时， D.
【答案】ABC
【解析】等差数列 的前 项和为 ，
，所以 ，
，所以 ，所以 且 ，
所以等差数列 是递减数列，且当 时， 取得最大值．
故D正确，ABC错误．
故选：ABC．
11．拋物线的光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行抛物线对称轴的方向射出；反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，
为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射后，再经过
上另一个点 反射，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A.
B.C. 延长 交直线 于点 ，则 ， ， 三点共线
D. 若 平分 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意点 ，解得 ，即点 ，
抛物线焦点 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
将其代入 可得 ，
由韦达定理可得到 ，故A错误；
对于B，由知 ，因为 ，所以 ，
代入 可得 ，解得： ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，易得 的方程为 ，联立 ，故 ，
又 轴，所以 三点的横坐标都相同，则 三点共线，故C正确；
对于D，若 平分 ，所以 ，
又因为 轴， 轴，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，故 ， ，
则 ，故D正确.故选：BCD.
12．正三棱柱 中， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 为
棱 上的动点，则（ ）
A. 平面 平面
B. 点 到平面 的距离为
C. 与 所成角的余弦值的取值范围为
D. 以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
【答案】AD
【解析】对于A，取 的中点 ，连接 ， ，易知 也是 的中点，
在 中，因为 ， 为 的中点，所以 ，
在 中，因为 ， 为 的中点，所以 ，
又因为 ， 平面 ， ， 所以 平面 ．
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，A正确．
对于B，设点 到平面 的距离为 ，易知 ， ，
取 中点为 ，连接 ，因为 ，
则 ，因为 底面 ，且 面 ，则 ，
又因 为平面 ，且 ，所以 平面 ，且 ，
因为 ，所以 ，解得 ，B错误．
对于C，取 的中点 ，连接 ，易知 ．以 为坐标原点，
向量 ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则 . ，设 ， ，
， ，
设 与 所成的角为 ，则 ．
令 （ ），则 ，
当 即 时， ；
当 ，即 时， ，根据对勾函数 在 上单调递减可知 ；
当 ， 即 时 ， 同 理 根 据 对 勾 函 数 在 上 单 调 递 减 可 知
．
综上， 与 所成角的余弦值的取值范围为 ，C错误．
对于D，由A选项中的结论知 平面 ， ．
又因为球面的半径为 ，所以以 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线（圆的一部
分）的半径为 ．
如图， ， ，所以 ，解得 ，
由圆与正方形的对称性知 ，
所以球面与侧面 的交线长为 ，D正确．
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线 在点 处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由题意，
在 中， ，
当 时， ，
∴在点 处的切线方程为： ，
即： ，
故答案为： .
14.若正四棱台 的上、下底边长分别为2、4，侧面积为 ，则该棱台体积为__________.
【答案】 ##
【解析】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为 ，
可得上、下底面面积为 ，
如图所示，取上、下底面正方形的中心分别为 ，再取 分别为 的中点，
分别连接 ，过点 作 ，
因为该正四棱台的侧面积为 ，易得 为等腰梯形 的高，
所以 ，解得 ，
在 中，可得 ，
则该正四棱台的高为 ，
所以该棱台的体积为 .
故答案为： .
15.甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑
球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用 、 和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出
的球是红球的事件，则 __________
【答案】
【解析】由题意得 ， ， ，
若 发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则 ，
先 发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则 ，
先 发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则 ．
，
；
.
故答案为：
16．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，点 在 内，点 在
上，则 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由题意得 ， ，
又因为点 在 内，所以 ，解得 ，
而 ，
不妨设 ，则 ，
所以 .
故答案为： .
