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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(6)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知 为虚数单位，若 是纯虚数，则 （ ）
A. B. 2 C. 5 D.
【答案】A
【解析】因为： 为纯虚数，所以 ，解得 .
所以 .
故选：A
2．设集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，即 ，则 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，从而 .
故选：D.
3．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事
件 ，“第二次取得白球”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
．
故选：A.4．函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题可知， 定的义域为 ，
又因为 ，
所以， 为偶函数．
当 时， ，当 时， ，当 时， .
故选：C．
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆 上位于第一象限
内的一点，若 ， （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，由 ， ，可得 为直角三角形，
，且 ，
解得 ， ，
再由勾股定理可得：
得 ， ．
故选：D．
6．已知等边 的边长为 ，P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图构建平面直角坐标系，且 ， ， ，
所以 在以 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为 ，
而 ，故，
综上，只需求出定点 与圆 上点距离平方 范围即可，
的
而圆心 与 的距离 ，故定点 与圆上点的距离范围为
，
所以 .
故选：B
7．已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：A
8．数列 的前n项和为 ，若 ， ，且 ，则
（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
即 ，即数列 的所有偶数项构成首项为 ，公比为3的等比数列，
令 ，则 ，
即 ，由于 ，则 ，
故
，
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高
信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均
值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是（ ）
A. 男生样本容量为100 B. 抽取的样本的方差为43
C. 抽取的样本的均值为166 D. 抽取的样本的均值为165.5
【答案】ABC
【解析】∵男生样本量 男生人数 全体学生数 总样本量 .故A正确；
样本均值 .故C正确D错误；
样本方差：
.故B正确.
故选：ABC.
10．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）A.
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在 上单调递减
D. 将函数 图象向左平移 个单位所得图象关于y轴对称
【答案】AC
【解析】由函数 的部分图象知， ，
，所以 ，
又因为 ，
所以 ；
解得
又因为 ，所以 ，
所以 ；
所以 ，选项A正确；
时， ，所以 的图象不关于 对称，选项B错误；
时 ，函数 单调递减，选项C正确；
函数 图象向左平移 个单位，得 ，所得图象不关于y轴对称，
选项D错误．
故选：AC．
11．若函数 在 处取得极值，则（ ）
A.
B. 为定值
C. 当 时， 有且仅有一个极大值
D. 若 有两个极值点，则 是 的极小值点
【答案】ABC
【解析】 的定义域为 ，则 ，
，
由题意可知， 是方程 的一个变号实数根，
则 ，故A正确；
由 得， ，故B正确；
当 时，因为 ，
所以函数 开口向下，且与 轴正半轴只有一个交点，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 有且仅有一个极大值，故C正确；
将 代入 整理得 ，则方程有不相等的实数根 与 ，即 ，
当 时， 时， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 是 的极大值点， 是 的极小值点，
当 时， 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 是 的极大值点， 是 的极小值点，故D错误，
故选：ABC.
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过左焦点 的直线与双曲线 的左支
相交于 两点（ 在第二象限），点 与 关于坐标原点对称，点 的坐标为 ），则下列
结论正确的是（ ）
A. 记直线 、 的斜率分別为 、 ，则
B. 若 ，则
C. 的最小值为6
D. 的取值范围是
【答案】BD
【解析】若直线与渐近线平行时，
根据对称性不妨取直线方程为 ，
联立 ，得 ，设 ， ， ，
由于 两点均在双曲线的左支上，所以 ， ， ，
对于A：设 ， ， ，
则， ，
均在双曲线上， ，所以 ，
所以， ，A错误.
对于B：由 知， ，
由对称性得， ，则四边形 为矩形，则 ，
设 ， ，则在 中，
由余弦定理得 ，
即 ，
即 ，
，
则 ，
则 ，B正确；
对于 ，
当 ， ， 三点共线时， ，，则直线 ，
联立 ，解得 ，与 矛盾，故C错误；
对于 ，
又 ，所以，
结合， 得， 的取值范围是 ，故D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在 （其中 ）的展开式中， 的系数为 ，各项系数之和为 ，则
__________.
【答案】5
【解析】由题意得 的展开式中 的系数为 ，即 ，
令 ，得各项系数之和为 ，则n为奇数，且 ，
即得 ，
故答案为：5
14.已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积的
比值是__________，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高 ，母线 ，
由题可知： ，所以球的半径
所以圆锥的体积为 ，
球的体积 ，
所以 ；
圆锥的表面积 ，
球的表面积 ，
所以 ，
故答案为： ； .
15.已知圆 ，过点 作两条与圆 相切的直线，切点分别为 ，则
__________.
【答案】 ##
【解析】如下图， ，又 ，
由 ， ，
所以 .
故答案为：16．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角 ，使得对于曲线G上的任意两个不
同的点 恒有 成立，则称角 为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界
角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中e是自然对数的底
数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 ____________.
【答案】1
【解析】函数 ，
因为 ，
所以该函数在 单调递减，在 单调递增.
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，则切线 的斜率为 ，
直线 过 ，
∴ ，∴ ，即 ，由函数 与 的图象在 有且只有一个交点，
且当 时满足方程，故方程有唯一解 ，则 ；
过原点作 的切线，设切点 ，
由 ，得切线 的斜率 ，
则切线 过原点 ，
则有 ，∴ ，
则 ，则有 ，
∴两切线垂直，曲线C 的相对于点O的“确界角”为 ，
则 ， .
故答案为：1.
