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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(12)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则A∩B＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，得 ，即 ，
，得 ，即 ，
所以 .
故选：C
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意， ，
，
∴ ，
故选：D.
3．已知 ， 是两个不共线 向量，命题甲：向量 与 共线；命题乙： ，则甲是乙
的
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】向量 与 共线等价于 .
因为 ， 是两个不共线的非零向量，所以 ，解得： .
所以甲是乙的充要条件.
故选：C.
4．设函数 .若 对任意的实数 都成立，则 的最小值为
（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】由 可知 时函数取得最大值,所以 ，解得： ，
因为 ，所以 的最小值为 .
故选: C.
5．设抛物线 的焦点为 ，准线为 是 上一点， 是 与 轴的交点，若
，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】D
【解析】如图所示，作 ，
由抛物线定义可知， ，
在 中， ，
则 在抛物线 上，
所以 ，即 ，则 .
故选：D
6．如图，实心正方体 的棱长为 ，其中上､下底面的中心分别为 ．若从该正
方体中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以 为顶点，以正方形 的内切圆为底面，另一个圆锥
以 为顶点，以正方形 的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，挖去的两个圆锥是底面圆半径相等，半径为 ，高也相等的圆锥，
两圆锥相交于位于正方体的高中间处的一个小圆，小圆半径为 ，
则正方体剩余的部分体积即正方体体积减去两个上底重合对在一起的圆台的体积，
即剩余几何体的体积为 .
故选：D.
7．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级 的概率分别是 和 ，且三人的
测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没
有达优秀等级的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件 ，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事
件D，
， ， ，
，
，
.
故选：A.
8．若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，所以，则
，
，所以 ，
即 恒为递增函数，
则 ，即 ，所以 ，
综上： ，
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，
9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ）
A. 甲、乙的第70百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
【答案】AB
【解析】对于A，因为 ，所以甲的环数的70百分位数是 ，乙的环数的70百
分位数是 ，故A正确；
对于B，甲的极差为 ，乙的极差为 ，故B正确；
对于C，甲的平均数为 ，乙的平均数为
，所以甲的平均数比乙的平均数小，故C错误；
对于D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D
错误.
故选：AB
10．已知函数 的图象的一个对称中心为 ，则下列结
论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 在 上单调递增
D. 图象向右平移 个单位长度后关于 轴对称
【答案】ABD
【解析】因为函数 的图象的一个对称中心为 ，所以函数 图象向下平移 个单位，得到函数 图象的
的
一个对称中心为 ，
即 的一个对称中心为 ，因此
，
因为 ，所以令 ，即 .
A： 的最小正周期为 ，因此本选项正确；
B： ，因此本选项正确；
C：当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，因此本选项不正确；
D： 图象向右平移 个单位长度后得到函数的解析式为
，
显然函数 是偶函数，其图象关于 轴对称，因此本选项正确，
故选：ABD
11．已知双曲线 ： 的右焦点为F，动点M，N在直线 ： 上，且 ，线段
， 分别交C于P，Q两点，过P作 的垂线，垂足为 .设 的面积为 ， 的面
积为 ，则（ ）
A. 的最小值为 B.
C. 为定值 D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】对于A，易得 ，设 ，则 ，设 ， ，由三角形相似可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故A错误；
对于B，设 ，则 ，由 ，得 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，由 ，可得 ，所以 ，
整理得 ，为定值，故C正确；
对于D，易知 ，设 ，
则 ， ，
设 ，则 ，解得 ，
同理可得 ，
所以 ，
令 ，
则 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，故 的最小值为 ，故D错误.
故选：BC
12．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在四面体 中，
是直角三角形， 为直角，点 ， 分别是 ， 的中点，且 ，
， ， ，则（ ）
A. 平面
B. 四面体 是鳖臑
C. 是四面体 外接球球心
D. 过A、 、 三点的平面截四面体 的外接球，则截面的面积是
【答案】ABD
【解析】因为 ， 为 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，A正确；
因为 平面 ，所以 ， 为直角三角形，
由勾股定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 为直角三角形，所以四面体 是鳖臑，B正确；
由上知， ，所以 ，故 不可能为四面体 外接球球心，C错误；
记 的中点为O，由上知， 和 都是以 为斜边的直角三角形，
所以， ，即O为四面体 外接球球心，
因为 分别为 的中点，
所以 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
记点O到平面 的距离为d，则 ，得 ，
所以 的外接圆半径 ，
所以，过A、 、 三点的平面截四面体 的外接球的截面的面积为 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，若每个
小区至少分配一名志愿者，则有_______________ 种分配方法（用数字作答）；
【答案】
【解析】先把 名志愿者分成 共 组，然后再进行排列，有 种不同的分配
方法，
故答案为：
14.已知点 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则
__________；点 到直线 的距离为__________.【答案】 ①. ②. ##
【解析】以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意 ，所以 ，
而直线 的表达式为 ，即 所以点 到直线 的距离为 .
故答案为： ， .
15.若 ，则 __________
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为:
16．牛顿迭代法又称牛顿—拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的
一种方法，具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，过点
作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；
过点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值，
过点 作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称
为 的 次近似值，设 的零点为 ，取 ，则 的2次近似值为
__________；设 ，数列 的前 项积为 ．若任意的 恒成
立，则整数 的最小值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】 ，则 ， ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为
，即 ，
由题意可知点 在直线 上，
所以， ， ，则 ， ，
， ，
因为函数 的零点近似值为r，且函数 在 上为增函数，
因为 ， ，由零点存在定理可知 ，
由题意可知， ，故整数 的最小值为2.
故答案为: ；2
