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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(16)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 .
故选：C
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】设 ，代入 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以 的虚部为 .
故选：D
3．已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 .
故选：A
4．设等比数列 的各项均为正数，前 项和 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. 15 D. 31
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，
当 时， ， ，所以 .
所以 ， ，
由于 且 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .
故选：D
5．函数 和 均为 上的奇函数，若 ，则 （ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】A【解析】因为 为奇函数，所以 关于 对称，即 ，
又 关于原点对称，则 ，有 ，
所以 的周期为4，故 .
故选：A
6．已知直线 与抛物线 相切于M点，则M到C的焦点距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设抛物线 的焦点为 ，联立 ，消 可得 ，
因为直线与抛物线相切，则 ，
， ，
.
故选：B.
7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排
列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白点为阳数，黑点
为阴数.若从这10个数中任取3个数，已知3个数中至多有1个阴数，则取出的3个数之和是5的倍数
的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，白点为阳数，黑点为阴数，阳数为 ，阴数为
若从这10个数中任取3个数且3个数中至多有1个阴数，
基本事件总数为 ，
取出的3个数之和是5的倍数，基本事件包括
，
共有12个，
取出的3个数之和是5的倍数的概率是 .
故选：A.8．已知函数 的定义域为 ，且 ，若关于 的方程
有4个不同实根 ，则 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，
若 ，则 ，可得 ，
所以 ,
若 ，则 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，其函数图象如下图，
要使 有4个不同实根 ，则 ，
由图知： ，故 ，且 ，
所以 的范围为 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩（单位：环），得到如下数据：运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则（ ）
A. 甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B. 甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C. 甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D. 甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
【答案】BC
【解析】甲的极差 ，乙的极差 ，A错．
甲的平均数 ，乙的平均数 ，B对．
甲的中位数90，乙的中位数90，C对．
甲的标准差 ，乙的标准差 ，D错.
故选：BC．
10．已知 ，则（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称
C. 函数 在区间 上单调递减
D. 若 ，则
【答案】ACD
【解析】由 ，得 ，
对于 ：最小正周期为 ，所以 正确；
对于 ：将函数 的图象上所有点向右平移 ，
所得图象的函数解析式为 ，
而 为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以 错误；
对于 ：令 ， ，化简得 ，
当 时， ，又因为 ，所以函数在 单调递减，所以 正确；
对于 选项：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即得 ，也就是 ，
所以 正确.
故选：ACD．
11．已知点 ， ，动点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 直线 截圆 所得的弦长为
B. 的面积的最大值为15
C. 满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ， ，所以直线 的方程为 ，圆心 到
直线 的距离为 ，又因为圆 的半径 ，
所以直线 截圆 所得的弦长为 ，A错误．
对于B，易知 ，要想 的面积最大，只需点 到直线 的距离最大，而点 到直线
的距离的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 ，B正确．
对于C，当点 在直线 上方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，由对
称性可知，此时满足到直线 的距离为 的 点位置有2个．
当点 在直线 下方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，此时满足到直
线 的距离为 的 点位置只有1个．
综上所述，满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个，C正确．对于D，由题意知 ．
又因为 ， ， ，所以 ， ，
故 ， ．
设点 满足 ，
则 ，故 解得 即 ， ．
所 以
．
又因为 ，
所 以 ， 即 的 取 值 范 围 为 ，
，D正确．
故选：BCD
12．已知 ， ， 则（ ）
A. 当 时， 为奇函数
B. 当 时，存在直线 与 有6个交点
C. 当 时， 在 上单调递减
D. 当 时， 在 上有且仅有一个零点
【答案】ACD
【解析】当 时， ，可以说是奇函数，故A正确；
当 时， 在 上单调递增，与 最多一个交点，故B错误；
因为 ，所以 .
对C： 在 上递减，需有 （ ）恒成立.当 时， ，又 ，且当 时， ，所以
.
当 时， .
设 ，则 ，由 ，所以 在 上递减，
在 上递增，
所以 的最小值为 ，所以 .
所以 且 ，即 .故C正确；
对D：设 ，则 .因为 ，所以当 时，
；当 时， .
所以 在 上递增，在 上递减，所以 的最大值为 ，
又 ，所以 只在 有一解，设为 即 ，
所以 在 上递增，在 上递减.
且 ，且当 时， ，所以 在
上有且仅有一个零点.故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量 ，若 ，则向量 在向量 上的投影向量为______
【答案】
【解析】由 ，
向量 在向量 上的投影向量为
，故D正确.
故答案为：
14.基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键.其中数学学
科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思
想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年
至多选三门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的
不同选修方式种数为______种.【答案】210
【解析】若 年学完， ，则选修方式有 种.
若 年学完，
① 时，则选修方式有 种.
② 时， 种.
所以总的方法数有 种.
故答案为：210
15.已知双曲线 的左右焦点分别为F，F，若C与直线 有交点，且
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双曲线上存在不是顶点的P，使得 ，则双曲线离心率取值范围范围为
___________.
【答案】
【解析】双曲线C与直线 有交点，则 ， ，解得 ，
双曲线上存在不是顶点的P，使得 ，则 点在右支上，
设 与 轴交于点 ，由对称性 ，所以 ，
所以 ，
，
所以 ，由 得 ，所以 ，
又 中， ， ，
所以 ，即 ，
综上， ．
故答案为： ．
16．如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为 ，则上层的最高点
离平台的距离为______.
【答案】
【解析】依次连接四个球的球心 ，则四面体 为正四面体，且边长为 ，
正 外 接 圆 半 径 ， 则 到 底 面 的 距 离
，
所以最高点到平台的距离为 .
故答案为：
