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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(20)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】由已知 ，
所以 ， .
故选：C
2．已知集合 ，则 中元素个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】方程 ，表示圆心为 ，半径为 ，
则圆心 到直线： 的距离为 ，
得直线与圆相切，只有一个交点，则 中元素的个数为1.
故选：B
3．已知向量 ， ，若 与 反向共线，则 的值为（ ）
A. 0 B. 48 C. D.
【答案】C
【解析】由题意 ，得 ，
又 与 反向共线，故 ，此时 ，
故 .
故选：C
4．计算机在进行数的计算处理时，通常使用的是二进制.一个十进制数 可以表示成二进制
数 ，则 ，其中 ，当 时， .例
如 ，则十
进制数2024表示成二进制数为 .那么，二进制数 表示成十进制数为
（ ）
A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048
【答案】C
【解析】由题设，
.
故选：C
5．从正方体 的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ）
A. 每个面都是等边三角形
B. 每个面都是直角三角形
C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
【答案】D
【解析】如图，
每个面都是等边三角形，A不选；
每个面都是直角三角形，B不选；
三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D．
故选：D.
6．在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给
4个人，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 18 B. 19
C. 31 D. 37
【答案】B
【解析】设吉祥物宸宸记为 ，莲莲记为
①每人得到一张 ，一张 ，共有1种分法；
②将这八张纪念卡分为 四组，
再分给四个人，则有 种分法
③将这八张纪念卡分为 四组，
再分给四个人，则有 种分法
共有： 种.
故选：B.
7．已知抛物线 的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以 为直径的圆与y轴
交于D，E两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设 的中点为M， 轴于点N，过A，B作准线 的垂线，垂
足分别为 ，如下图：由抛物线的定义知 ，
故 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 （舍去），
故M的横坐标为 ，
设直线 ，
将 代入 ，
得 ，
则 ，
解得 ，
故直线l的方程为 ．
故选：C．
8．在直角梯形 ， ， ， ， ， ， 分别为 ，
的中点，点 在以A为圆心， 为半径的圆弧 上变动（如图所示），若 ，
其中 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，故 ，即 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若 ，则 的最大值为2
D. 若 ，则
【答案】AD
【解析】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故A正确；
因为 的等号成立条件 不成立，所以B错误；
因为 ，所以 ，故C错误；
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
10．将两组数据合并成一组数据后（可以有重复的数据），下列特征数一定介于合并前两组数据的该
种特征数之间（可以取等）的有（ ）.
A. 平均数 B. 极差 C. 标准差 D. 中位数
【答案】AD
【解析】平均数是所有数据总和除以数据个数，所以合并后的数据平均数一定介于合并前两组数据的
平均数之间，
例如：2，4，平均数为3，4，6，平均数为5，合并后平均数为4，故A正确；
极差是一组数据中最大值与最小值之差，所以合并后的数据极差不一定介于合并前两组数据的极差，
例如： ，2，8，这组数据极差为9；1，3，9，这组数据极差为8，而合并后的极差为10，故B错
误；
标准差是一组数据的离散程度，所以合并后的数据标准差不一定介于合并前两组数据的标准差，
例如：2，4，标准差为1，4，6，标准差为1，而合并后标准差为 ，故C错误；
中位数是一组数据中间位置的数，所以合并后的数据中位数一定介于合并前两组数据的中位数，
例如： ，2，8，这组数据中位数为2；1，3，9，这组数据中位数为3，合并后中位数为2.5，故D
正确.
故选：AD.
11．若函数 ，则（ ）
A. 是奇函数 B. 有且仅有2个极值点
C. 有且仅有1个零点 D. 的一条切线方程为
【答案】AC
【解析】易知函数 的定义域为R，又 ，故A正确；
令 ，故C正确；
由 ，
显然 时， ，即此时 单调递增，
又 是奇函数，故 在R上单调递增，不存在极值点，故B错误；
对于D项，设切点 ，则 ，对于 ，即函数 单调递增，且
，
所以 ，
同理，对于 ，即函数 单调递减，
且 ，
所以 ，
当 时， ，此时切线方程为 ，
当 时， ，此时切线方程为 ，故D错误.
故选：AC
12．如图，在棱长为2的正方体 中，已知M，N，P分别是棱 ， ， 的中
点，Q为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ）
A. 平面
B. 平面 截正方体所得的截面面积为
C. 点Q的轨迹长度为
D. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值
为
【答案】ABD
【解析】A选项，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，
故 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 得， ，故 ，因为 ，故 平面 ，A正确；
B选项，取 的中点 ，连接 ，
因为M，N，P分别是棱 ， ， 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，所以平面 截正方体所得的截面为正六边形 ，
其中边长为 ，故面积为 ，B正确；
C选项，Q为平面 上的动点，直线 与直线 的夹角为 ，
又 平面 ，设垂足为 ，以 为圆心， 为半径作圆，
即为点Q的轨迹，
其中 ，由对称性可知， ，
故半径 ，故点Q的轨迹长度为 ，C错误；
D选项，因为M，N，P分别是棱 ， ， 的中点，
所以平面 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，
不妨求能放入含有顶点 的空间几何体的球的半径最大值，
该球与平面 切与点 ，与平面 ，平面 ，平面 相切，
由对称性可知，球心在 上，设球心为 ，则半径为 ，
，故 ，即 ，解得 ，
故球的半径的最大值为 ，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线 的一条渐近线为 ,则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】由题意得 ，易知双曲线 ，即 的渐近线方程为
得
所以该双曲线的离心率
故答案为： .
14.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于 60就认为身体素质合格．现从全市
随机抽取 100 名高中生的身体素质指标值 ， 经计算 ，
．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布 ，则估计该市高
中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）
参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 ， 则 ，， ．
【答案】
【解析】因为100个数据 ， ， ，…， 的平均值 ，
方差 ，
所以 的估计值为 ， 的估计值为 ．
设该市高中生的身体素质指标值为X，
由 ， 得 ，
所以 ．
故答案为： .
15.已知函数 ，若 的最小值为 ，则
________．
【答案】
【解析】 ， ， 或
，
．
故答案为: .
16．已知函数 （ ， ）且 ），若 恒成立，则 的最小值
为______.
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
当 时，可得 在 上单调递增， ，不合题意；
当 时， ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 有极小值，也是最小值，又因为 且 ，所以 ，
则 ，得 ，所以 ，
设 ， ，令 ，得 ，
当 ， ，
当 ， ，
所以 在区间 单调递减， 单调递增，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
