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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(2)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．在复平面内，复数z，z对应的点分别是 ，则 的模是（ ）
1 2
A. 5 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】由题意知， ， ，所以
所以 ，
故选：D.
2．已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
，
所以 .
故选：A.
3．已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，则 ，但是 ，不是充分条件，
当 时，因为 ， ，所以 ，即 ，
当且仅当 等号成立，所以是必要条件，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，则 ，故 ，
在 方向上的投影向量 .
故选：D.5．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最
小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
①又因为函数 为奇函数，则 ，即
，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 最的小值为 .
故选：B.
6．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下 的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间t
分钟后的温度T满足 ，h称为半衰期，其中 是环境温度．若 ℃，现
有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，那么水温从75℃降至45℃，大约还需要（参考数据：
， ）（ ）
A. 9分钟 B. 10分钟
C. 11分钟 D. 12分钟
【答案】B
【解析】由题意， ℃，由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得
，
所以 ，
又水温从75℃降至45℃，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以水温从75℃降至45℃，大约还需要10分钟.故选：B.
7．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，M，N为双曲线一条渐近
线上的两点， 为双曲线的右顶点，若四边形 为矩形，且 ，则双曲线 的离
心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，因为四边形 为矩形，所以 （矩形的对角线相等），所以以
MN为直径的圆的方程为 .
直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为 ，
由 解得 ，或
所以 ， 或 ， .
不妨设 ， ，又 ，
所以 ， .
在△AMN中， ，
由余弦定理得 ，
即 ，
则 ，所以 ，则 ，
所以 .
故选:C.
8．已知正三棱锥 的底面边长为 ， 为棱 的中点，若 ，则三棱锥
的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】取线段 的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
因为三棱锥 为正三棱锥，则 ， 为等边三角形，
因为 为 的中点，则 ， ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， ， 、 平面 ，则 平面 ，
因为 、 平面 ，则 ， ，
因为三棱锥 为正三棱锥，则 ，
所以， 、 、 两两相互垂直，
将三棱锥 补成长方体 ，
则三棱锥 的外接球直径即为长方体 的外接球直径，
故三棱锥 的外接球直径为 ，
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中是真命题的有（ ）
A. 有 ， ， 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的 个体数为9，则样本容量为
18
B. 一组数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
【答案】ABD【解析】对于A，根据分层抽样原则可知：样本容量为 ，A正确；
对于B，由平均数、众数和中位数定义可知：该组数据平均数为 ；众数为 ；
中位数为 ；B正确；
对于C，乙组数据的平均数为 ，
则其方差 ，
乙组数据更稳定，C错误；
对于D， ， 将该组数按照从小到大顺序排列，第 个数为 ，
该组数据的 分位数为 ，D正确.
故选：ABD．
10．已知 是等比数列， 是其前n项和，满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 若 是正项数列，则 是单调递增数列
B. ， ， 一定是等比数列
C. 若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
D. 若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
【答案】AC
【解析】A选项，设公比为 ，故 ，解得 或 ，
若 是正项数列，则 ， ，故 ，故 是单调递增数列，A正确；
B选项，当 且 为偶数时， ， ， 均为0，不合要求，B错误：
C选项，若 ，则 单调递增，此时不存在 ，使 对 都成立，
若 ，此时 ，故存在 ，使得 对 都成立，
此时 为常数列，为公差为0的等差数列，C正确；
D选项，由C选项可知， ，故当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，显然 不是等差数列，D错误.
故选：AC
11．已知 是自然对数的底数，函数 的定义域为 ， 是 的导函数，且
，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC【解析】令函数 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以
，即 ，
所以 ，而 的大小不确定．
故选：AC.
12．已知直线l与抛物线E： 相交于 ， 两点，其中 ， ．分别
过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别C，D，线段 的中点到准线的距离为d，则下列命题正确的
是（ ）
A. 若直线l过抛物线的焦点F，则焦点F在以线段 为直径的圆上
B. 若直线l过抛物线的焦点F，则 的最小值为
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的面积的取值范围为
【答案】ABC
【解析】若l过焦点F，∴ ， ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴F在以CD为直径的圆上，故A正确；
对于B，若l过焦点F，则 ，
∴ ，当且仅当 即 ， ，时取“＝”，故B正确；
对于C，设 中点M在准线上 的射影为N，
设 ， ， ，
∴ ， ，
且由余弦定理得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，故C正确；
对于D，当 x轴， 位于F左侧， 时，则由焦半径公式得
，
此时 ，故D错误.
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为__________.
【答案】80
【解析】当 时， ，解得 ，则 的展开式第 项 ，
令 ，解得 ，所以 ，
故答案为：80
14.已知直线 与圆 交于 两点，则满足“ 的面积为 ”
的 的一个值为__________.
【答案】 （或 ，或 ）
【解析】由 的面积为 ，得 ，
解得 ，则 或 ，
易知圆心 到直线 的距离为 或 ，
由点到直线的距离公式可知， ，或 ，
解得 或 或 .
故答案为：1(或 ，或 )
15.已知定义在 上的奇函数 满足 ．当 时， ，则直线
与函数 的图象的交点的个数为_______．
【答案】7
【解析】 ,
的图象关于 对称，
又奇函数 满足 ，
，
，
，
即函数为 的周期函数，
又当 时， ，
作出函数 与 的图象，如图，由图可知，直线 与函数 的图象的交点的个数为7个，
故答案为：7
16．已知函数 的部分图象如图所示，且 ，
则不等式 在区间 上的解集为__________.
【答案】
【解析】由图可知， 解得 ，
由图可知， ，
又 ，所以 或 ，
当 时， ，
因为 ，所以当 时，显然有 ，
因此函数先是增函数，显然不符合图象，当 时，
因为 ，所以当 时，显然有 ，
因此函数先是减函数，符合图象特征，
令 ，或
，因为 ，
所以 ，
即 ，
由
所以有 ，
因为 ，
所以令 ，则有 ，
而 ，所以 ，
故答案为：
