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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(14)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．复平面内，复数 的对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题得 ，
所以在复平面内该复数对应的点的坐标为 ，该点在第四象限.
故选：D
2．集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，又 ，
则 .
故选：C.
3．若 ， ，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时，因为 ， ，所以 ，
即 可以推出 ，充分性成立；
当 时，比如取 ，此时有 ，但 ，
所以当 时，不能推出 ，必要性不成立；
故 是 的充分不必要条件.
故选：A
4．已知向量 在 方向上的投影向量的模为 ，向量 在 方向上的投影向量的模为 1，且
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得 所以 .
因 ，所以 ，
为
所以 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .
故选：B.
5．函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由已知 ，
为偶函数，排除D；
当 时， ， ，
令 ， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以，当 时， ，即 ，
所以，当 时， ，即
，可排除A、B.
.
故选:C
6．已知 ，则 的零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，
则 ，所以 ，
即 ，所以 或 ，
解得： 或 ，
因为 ，所以 ， 或 ，
所以 的零点之和为 ，
故选：C.
7．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反
射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一个镜面的轴截面图是
一条双曲线的部分， 是它的一条对称轴， 是它的一个焦点，一光线从焦点 发出，射到镜面上
点 ，反射光线是 ，若 ， ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在平面直角坐标系中，如图，
反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，
由 ， ，可得 ， .
则 ，
，
记双曲线的焦距为 ，长轴长为 ，
在直角三角形 中， ， ，由双曲线 定义，可得 ，所以 ，
的
即 ，
所以离心率 .
故选：A
8．已知函数 ，若方程 有5个不同的实数根，且最小的两个
实数根为 ， ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，作出函数 与 的大致图象，
若方程 有5个不同的实数根，
则 的图象与 的图象有5个不同的交点，
当 时， ， 的图象与 的图象无交点，
当 时， ， 的图象与 的图象有2个交点
所以 ，
当直线 与 的图象相切时，设切点坐标为 ，
由 可得 ，则切线斜率 ，
故 ，则 ，结合图象可得m的取值范围为 ，
由 ，得 ，则 恒成立，
设该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ，
故 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，又 ，所以 的取值范围为 ．
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 在区间 上单调递增
C. 将 图象上的所有点向右平移 个单位长度即可得到 的图象
D. 函数 的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A选项：将 代入 ，得 ，故
的图象不关于点 对称,故选项A错误;
对于B选项：在 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
根据余弦函数图象可知 在 单调递增，故选项B正确；
对于C选项：将 图象上的所有点向右平移 个单位长度,
可得到
故选项C正确；
对于D选项： ,
结合余
弦函数的性质可知： ，故选项D正确.
故选：BCD.
10．将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字，甲
表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出
的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则（ ）A. 事件甲与事件丙 是互斥事件 B. 事件甲与事件丁是相互独立事件
C. 事件乙包含于事件丙 D. 事件丙与事件丁是对立事件
【答案】AB
【解析】由题意，事件甲：第一次掷出的数字是1有： ，
事件乙：第二次掷出的数字是2有： ，
事件丙：两点数之和为8的所有可能为： ，
事件丁：两点数之和为7的所有可能为： ，
其中 ，
对于A中，事件甲与事件丙不能同时发生，所以事件甲与事件丙是互斥事件，所以A正确；
对于B中，由 ，所以 ，
所以事件甲与事件丁是相互独立事件，所以B正确；
对于C中，事件乙不包含于事件丙，所以C错误；
对于D中，根据对立事件的定义，可得事件丙与事件丁不对立，所以D错误.
故选：AB.
11．已知点 ， ，动点 在圆 ： 上，则（ ）
A. 直线 截圆 所得的弦长为
B. 的面积的最大值为15
C. 满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ， ，所以直线 的方程为 ，圆心 到
直线 的距离为 ，又因为圆 的半径 ，
所以直线 截圆 所得的弦长为 ，A错误．
对于B，易知 ，要想 的面积最大，只需点 到直线 的距离最大，而点 到直线
的距离的最大值为 ，
所以 的面积的最大值为 ，B正确．
对于C，当点 在直线 上方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，由对
称性可知，此时满足到直线 的距离为 的 点位置有2个．
当点 在直线 下方时，点 到直线 的距离的范围是 ，即 ，此时满足到直
线 的距离为 的 点位置只有1个．
综上所述，满足到直线 的距离为 的 点位置共有3个，C正确．对于D，由题意知 ．
又因为 ， ， ，所以 ， ，
故 ， ．
设点 满足 ，
则 ，故 解得 即 ， ．
所 以
．
又因为 ，
所 以 ， 即 的 取 值 范 围 为 ，
，D正确．
故选：BCD
12．如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是 ，
则（ ）
A. 这两个球体的半径之和的最大值为
B. 这两个球体的半径之和的最大值为C. 这两个球体的表面积之和的最大值为
D. 这两个球体的表面积之和的最大值为
【答案】BC
【解析】当这两个球体的表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直径作
截面，
如图所示，过点 作 ，垂足 为，过点 作 ，垂足为 ，
过点 作 ，垂足为 .
设圆 的半径为 ，圆 的半径为r， 的最大值为 ，且取最大值时， ，
所以 ， ， ， ，
.
因为 ，
所以 ①，
整理得 ，解得 .
令函数 ， ，
.令函数 ， ，所
以 是增函数.
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.因为 ，所以 ，即这两个球体的半径之和的最大值为 .
由①可得 ，
这两个球体的表面积之和为 .
令 ，函数 在 上单调递增，
所以 ，即这两个球体的表面积之和的最大值为 .
故选：BC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ，则 ______
【答案】
【解析】由题意知 的展开式的通项为 ， ， ，
所以 .
故答案为：42.
14.已知无穷等差数列 的各项均为正数,公差为 ,则能使得 为某一个等差数列 的前
项和 的一组 , 的值为 __________, __________.
【答案】 ①. 1 ②. 1（答案不唯一）
【解析】设等差数列 的前 项和为 ,则
又 是公差为 的等差数列,
即
整理得
由题知
故满足题意的一组 , 的值为 , .（答案不唯一）
故答案为：1;1（答案不唯一）
15.已知点 是椭圆 上的三点，坐标原点 是 的重心，若
点 ，直线 的斜率恒为 ，则椭圆 的离心率为___________.【答案】
【解析】设 的中点
则 ,
且 ,两式相减可得 ,
整理可得 ，则 ,
由题意可知 共线则 ,
即 ，所以 ,解得 ,
椭圆C的焦距为 ，则离心率 ,解得 .
故答案为： .
16．已知函数 ，若函数 的图象在点 和点
处的两条切线相互平行且分别交 轴于 、 两点，则 的取值范围为
______.
【答案】
【解析】当 时， ， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
因为函数 的图象在点 和点 处的两条切线相互平行，
则 ，即 ，则 ，
， ，所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 在 上单调递减，
当 时， ，此时函数 在 上单调递增，
所以， ，因此， 取值范围是 .
的
故答案为：
