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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(19)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．若复数 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，故 ，
故选：D.
2．设集合 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ，即 ，则 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ，从而 .
故选：D.
3．从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（ ）
A. 33 B. 45 C. 84 D. 90
【答案】B
【解析】 .
故选：B
4．已知向量 ， 为单位向量，且满足 ，则向量 在向量 方向的投影向
量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 为单位向量，则 ， ，所以向量 在向量 方向的投影向量为 .
故选：C.
5．设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】对于A， 可能平行，相交或异面，故A错误，对于B， 可能相交或平行，故B错误，
对于D， 可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，
故选：C
6．已知等边 的边长为 ，P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图构建平面直角坐标系，且 ， ， ，
所以 在以 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为 ，
而 ，故
，综上，只需求出定点 与圆 上点距离平方 范围即可，
的
而圆心 与 的距离 ，故定点 与圆上点的距离范围为
，
所以 .
故选：B
7．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩
形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】如图
令 ，则 ，则 ，
，则
周长
，
故选：D．
8．已知双曲线 的右焦点为 ，以坐标原点 为圆心、 为 半径作圆与双
曲线 的渐近线在第一象限交于点 ，设 为 的垂心，恰有 ，则双曲线 的离心率
应满足（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
连接 交 于 ，由题意知， ， ， ， ， ，
在 中， ， ， ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ，
， ，所以 ，整理得 ，即
，整理得 ，
设 ， ，则 ，对称轴为 ，所以 在
单调递增，又 ，所以当 时， ，即 在 上单调递增，
又 ， ，所以 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A. 函数 为偶函数B. 曲线 的对称轴为
C. 在区间 单调递增
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
，
即 ，
对于A， ，易知为偶函数，所以A正确；
对于B， 对称轴为 ，故B错误；
对于C， ， 单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D， ，则 ，所以 ，故D错误；
故选：AC
10．过抛物线 ： 的焦点 作直线 交 于 两点，则（ ）
A. 的准线方程为
B. 以 为直径 的圆与 的准线相切
C. 若 ，则线段 中点的横坐标为
D. 若 ，则直线 有且只有一条
【答案】BCD
【解析】对于选项A:由抛物线 ： ，可得 解得 ，故准线方程为 ，故选项A错误；
对于选项B:设 的中点为 ,且 在准线上的投影为 ，
由抛物线的定义可知： ,
易知四边形 为直角梯形，所以 ,
故以 为直径的圆与 的准线相切，故选项B正确；
对于选项C:设 ，
因为 ，
所以 ，所以线段 中点的横坐标为 ，故选项C正确；
对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得 ，要使 ，
则线段 为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D正确.
故选：BCD.
11．欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数（公约数
只有1的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则（ ）
A. B. 当n为奇数时，
C. 数列 为等比数列 D. 数列 的前 项和小于
【答案】ACD
【解析】对于A，因为 ， ， ，所以 ，故A正确；
对于B，由于 ，故B错误；对于C，因为小于 的所有正奇数与 均互质，且小于 的所有正奇数有 个，
所以 ，因此数列 为等比数列，故C正确；
对于D，同理小于 的所有3的倍数与 均不互质，共有 个，
因此小于 的所有与 互质的数共有 个，即 ，
所以 ，令 ，
则 ，故D正确，
故选：ACD.
12．在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A. 直线 与 所成的角为60°
B. 过空间中一点有且仅有两条直线与 所成的角都是60°
C. 过 ， ， 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为
D. 过直线 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形
【答案】ACD
【解析】对于A，如图所示，连接 ，
因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，
由 可知，四边形 是平行四边形，所以 ，所以 ，
所以 与 所成的角即为 与 所成的角，即 或其补角，
因为 是等边三角形，所以 ，
所以 与 所成的角为60°，故A正确；
对于B，因为直线 ， 所成角是90°，且两条直线相交于 ，
所以过点 与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误；
对于C，易知平面 为过 ， ， 三点的截面，该截面为梯形，
显然 ，
所以截面图形的周长为 ，故C正确；
对于D，如图所示，分别取 ， 的靠近 ， 的三等分点 ， ，
连接 ， ， ， ，易知 ， ，故点 ， ， ， ， 共面，该截面图形为五边形，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为________
【答案】16
【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故答案为：16
14.已知 ，则 ________
【答案】
【解析】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故答案为：
15.动点 与两个定点 ， 满足 ，则点 到直线 ： 的
距离的最大值为______.
【答案】
【解析】令 ，则 ，整理得 ，
所以 的轨迹是圆心为 ，半径为2的圆上，又直线 ： 可化为 ，易知过定点 ，
由 ，故点 在圆 外，
则圆心与定点所在直线与直线 垂直，圆心与直线 距离最大，
所以点 到直线 距离的最大值为 .
故答案为：
16．设函数 ，若关于 的函数 恰好有四个零点，
则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】作出函数 的图象如图，
令 ，函数 恰好有四个零点．
则方程 化为 ，
设 的两根为 ，
因为 ，所以两根均大于0，且方程的一根在区间 内，另一根在区间 内．
令
所以 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围为
故答案为：
