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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(5)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， .若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设知：2是方程 的解，将 代入方程，得 ，
所以 的解为 或 ，所以 ，
所以 ，
故选：B
2．若 ，则其共轭复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由复数 ，所以 .
故选：D
3．“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ,由于 ，所以 ，充分性成立，
当 时， 满足 ，但是 ，必要性不成立，
因此“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选：A，
4．已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
整理得 恒成立，
所以 ，则 .
故选：B.5．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（ ）
A. 140种 B. 44种 C. 70种 D. 252种
【答案】C
【解析】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为 .
故选：C.
6．若抛物线 与椭圆 的交点在 轴上的射影恰好是 的焦点，则 的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为 ，椭圆 右焦点为 ，
则根据题意得 轴，
，则 ，则 ，当 时， ，则 ，
则 ，代入椭圆方程得 ，结合 ，不妨令 ；
解得 ，则其离心率 ，
故选：C.
7．已知 ，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令 ，则 .
当 时，有 ，所以 ，所以， 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增，
所以， ，
.
所以， ，即 ，所以
令 ，则 在 时恒大于零，故 为增函数，
所以 ，而 ，所以 ，
所以 ，
故选：C
8．在平面直角坐标系 中，设 都是锐角，若 的始边都与 轴的非负半轴重合，
终边分别与圆 交于点 ，且 ，则当 最大时， 的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 且 ，则
C. 若 ， ，且 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最小值为4
【答案】AC
【解析】对于选项A：若 ，可知 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：例如 ，则 ，故B错误；
对于选项C：若 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，故C正确；
对于选项D：若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
显然 不成立，所以 的最小值不为4，故D错误；
故选：AC.
10．如图，在正方体 中，M，N，P，Q分别是线段 ， ， ，BC的中
点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（ ）
A. 平面APC B. 平面
C. A，P，M三点共线 D. 平面 平面ABCD
【答案】AB
【解析】平面APC即为平面 ， ，即 ，而 平面 ，
因此有 平面 ，所以A正确.由平面 平面 ，又 平面 ，
故 平面 ，所以B正确.平面APC即为平面 ， 共线，所以A，P，M三点不
共线；所以C不正确.
平面MNQ与平面ABCD是相交的.所以D不正确.
故选：AB
11．设M，N，P为函数 图象上三点，其中 ， ， ，已知M，N
是函数 的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若
， 的面积是 ，M点的坐标是 ，则（ ）
A. B.
C. D. 函数 在M，N间的图象上存在点Q，使得
【答案】BCD
【解析】，
而 ，故 ， ， ，A错误、B正确；
， （ ），而 ，故 ，C正确；
显然，函数 的图象有一部分位于以 为直径的圆内，当 位于以 为直径的圆内时，
，D正确，
故选:BCD.
12．今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调
动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大
小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿
球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其
放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的
是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
【答案】ACD
【解析】设 ， ， ，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，
设 表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：
，故A正确；
在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：，故B错误；
由题意可知， ，
，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
，故C正确；
因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，
则 ，
，
，
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球 的机会最小，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知平面向量 满足 ， ， ，则向量 夹角的余弦值为
__________.
【答案】 ##
【解析】由题设 ，
所以 .
故答案为：
14.若数列 满足 ， （ ），则 ______.
【答案】3268
【解析】由题意可得 ，作差得 ，
故，
故答案为：3268
15.已知 中， ， 边上的高与 边上的中线相等，则 __________.
【答案】
【解析】如下图所示，设 边上的高为 ， 边上的中线为 ，
在 中， ，所以 ，
由 ，平方得 ，
代入得， ，
化简得， ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：
16．如图所示，在三棱锥S-ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1 的正三角形，二面角A-BC-S的大小为
，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图，取线段BC的中点D，连接AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A-
BC-S的平面角，∴∠ADS= ，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS
内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连接OA，则球O的半径R=OA，由题意
知 ，连接 ，在Rt 中，
球 的表面积为 .
故答案为：
