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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(9)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则 ，
则
故选：A
2．已知全集 ，集合 满足 ，则下列关系一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合 满足 ，故可得 ，
故选：D.
3．“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线 ： 与直线 ： 垂直，
所以 ，解得 或 ，
所以“ ”是“直线 ： 与直线 ： 垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
4．已知向量 ，若 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，
向量 在向量 上的投影向量为
，
故选：D.
5．若函数 ， 的值域为 ，则 的取值范围是
（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知若 ，则可得 ；
显然当 时，可得 ，
由 的值域为 ，利用三角函数图像性质可得 ，
解得 ，即 的取值范围是 .
故选：D
6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数 与世代间隔 是流行病学基
本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型 来描述累计感染甲型流感病
毒的人数 随时间t， （单位：天）的变化规律，其中指数增长率 与基本再生数 和世代
间隔T之间的关系近似满足 ，根据已有数据估计出 时， ．据此回答，累计
感染甲型流感病毒的人数增加至 的3倍至少需要（参考数据： ， ）（
）
A. 6天 B. 7天 C. 8天 D. 9天
【答案】B
【解析】依题意， ，且 时， ，
即 ，所以 ， ，
令 ，两边取以 为底 对数得 ，
的
所以至少需要 天.
故选：B
7．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 得， ，
由 得， ，两式相加得， ，
则 ，
所以 ，故D正确.
故选：D.
8．设椭圆 的左，右焦点分别为 ，直线 过点 ，若点 关于 的对
称点 恰好在椭圆 上，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，
由已知可得， ，
根据椭圆的定义有 ，
又 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得，
，
即 ，
即 ，
化简得 ，则 ，
所以 ，
解得 或 （舍去），
所以 .故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知S为圆锥的顶点， 为该圆锥的底面圆 的直径， 为底面圆周上一点，
，则（ ）
A. 该圆锥的体积为
B.
C. 该圆锥的侧面展开图的圆心角大于
D. 二面角 的正切值为
【答案】AC
【解析】如图，因为 ，所以 为等腰直角三角形，
又 ，则 ，所以 ，
则 ，
所以该圆锥的体积为 正确；
易知 为直角三角形，且 ，又 ，
则 ，所以 错误；
该圆锥的侧面展开图为一扇形，其弧长为 ，
扇形半径为 ，设扇形圆心角为 ，
所以 ，所以该圆锥的侧面展开图的圆心角大于 正确；
取 的中点 ，连接 ，则 为 的中位线，
所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
易知 为直角三角形，所以 错误.故选：AC.
10．有一组样本数据 ，添加一个数 形成一组新的数据，且
，则新的样本数据（ ）
A. 极差不变的概率是 B. 第25百分位数不变的概率是
C. 平均值变大的概率是 D. 方差变大的概率是
【答案】AD
【解析】由题意得， ， ， ，
， ， ，
对于A，若极差不变，则 ，概率为 ，故A正确；
对于B，由于 ，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，
所以 ，第25百分位数不变的概率是 ，故B错误；
对于C，原样本平均值为 ，平均值变大，则 ，概率为
，故C错误；
对于D，原样本的方差为 ，
显然，当 时，新数据方差变小，当 时，新数据方差变大，
当 时，新数据的平均数为 ，
方差为 ，
同理，当 时，新数据的方差为 ，
所以方差变大的概率为 ，故D正确.
故选：AD11．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，数列 的
前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，
当 时，则 ，
对任意的 ，由 可得 ，
上述两个等式相除可得 ，
所以，数列 成以 为首项，公比为 的等比数列，则 ，
数列 成以 为首项，公比为 的等比数列，则 ，A对B错；
，则 ，
所以，数列 是等比数列，且其首项为 ，公比为 ，
所以， ，C对；
，所以， ，
所以， ，D对.
故选：ACD.
12．已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点
，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 有2个零点
B. 函数 在 上单调递增
C.
D.
【答案】BCD
【解析】A： ，当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
函数 的极大值为 ，极小值为 ，
因此当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，因此函数 只有一个零点，因此本选项不正确；
B： ，
，
当 时，根据函数单调性的性质可知函数 单调递减，
所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，本选项正确；
C： ，
因此曲线 在点 处的切线方程为：
，
，
因此曲线 相切方程为：
，
因为曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点
，所以 ，
因此 ，所以本选项正确；D：由上可知： ，
因此有
，因此本选项正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在 的展开式中，常数项为__________．（结果用数字表示）
【答案】
【解析】二项式 展开式的通项为：
（其中 且 ），
令 ，解得 ，所以 ，
即展开式的常数项为 .
故答案为：
14.设抛物线 的焦点为 ，点 .若线段 的中点 在抛物线上，则 到该抛
物线准线的距离为_____________．
【答案】
【解析】依题意可知F坐标为（ ，0）
∴B的坐标为（ ，1）代入抛物线方程得 =1，解得p= ，
∴抛物线准线方程为x=﹣
所以点B到抛物线准线的距离为 + = ，
故答案为:15.已知球 的体积为 ，其内接圆锥与球面交线长为 ，则该圆锥的侧面积为__________.
【答案】 或
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，球 的半径为 ，
则 ，所以 ，
，解得 ，
如图，为圆锥的轴截面，
由勾股定理得， ，
即 ，解得 或 ，
当 时圆锥的母线 ，
所以圆锥的侧面积为 ，
当 时圆锥的母线 ，
所以圆锥的侧面积为 ，
故答案为： 或 .
16．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是 米，左侧走廊的高度为
米，右侧走廊的宽度为 米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设可通过的最大极限长度为 米
（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为 米，则
的值是_________.
【答案】9
【解析】如图，铁管水平放置时，令 ，， ， ，
设 ， ，
.
令 ， ，解得： ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，
此时通过最大长度 ，∴ ，
∴则硬管可通过的最大极限长度 ，
∴ .
故答案为：9.
