文档内容
几何-直线型几何-等积变形-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
等积变形 B 1.了解等积变形的概念 少考
2.能够熟练的应用等积变形来解决
有关的几何题目
知识提要
等积变形
概念
等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等．
夹在一组平行线之间的等积变形
S =S
△ABC △BCD精选例题
等积变形
1. 如图，正方形的边长为 12，阴影部分的面积为 60，那么四边形 EFGH 的面积是
．
【答案】 6
【分析】 如图所示，设 AD 上的两个点分别为 M、N．连接 CN．
根据面积比例模型，△CMF 与 △CNF 的面积是相等的，那么 △CMF 与 △BNF
的面积之和，等于 △CNF 与 △BNF 的面积之和，即等于 △BCN 的面积．而 △BCN 的
1
面积为正方形 ABCD 面积的一半，为 122× =72．
2
又 △CMF 与 △BNF 的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了 2 个四边形
EFGH 的面积，所以四边形 EFGH 的面积为：(72-60)÷2=6．2. 如图，有三个正方形的顶点 D、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长
为 16 厘米，求阴影部分的面积．
【答案】 256 平方厘米．
【分析】 如图所示，连接 FK、GE、BD，
则这三条线互相平行，可以得到
S =S ,S =S .
△DGE △GBE △GEK △GEF
所以阴影部分的面积就等于中间正方形的面积即为
S =16×16=256(平方厘米).
阴影
3. 如图所示，ED 垂直于等腰梯形 ABCD 的上底 AD，并交 BC 于 G，AE 平行于 BD，
∠DCB=45∘，且三角形 ABD 和三角形 EDC 的面积分别是 75、45，那么三角形 AED
的面积是多少？【答案】 30
【分析】 已知的 △CDE 的底边是 ED，高是 CG；所求的 △AED 的底边是 ED，
高是 AD；它们有公共的底边 ED．另一个已知的三角形是 △ABD，如果能找到一个以
ED 为底边的三角形，它的面积等于 △ABD 的面积，那么底边 ED 就成了这三个三角形的
公共底边．
如图 1，连结 BE．由于 AE∥BD，把 △ABD 作等积变换，变成 △BDE，此时 △BDE
以 DE 为底边以 BG 为高，且面积是 75．这样一来，这 3 个三角形有相同的底边 DE．
于是来看看它们的高 BG、CG、AD 之间有什么关系．
由于四边形 ABCD 是等腰梯形，如图 2 所示，再作分别从 A、D 出发与 BC 垂直的垂
线 AH、DG．
容易看出，BH=GC，AD=HG，因此 BG=BH+HG=GC+AD．
在等式两边同时乘以 DE÷2，可得 BG×DE÷2=(GC+AD)×DE÷2．
用乘法分配律得 BG×DE÷2=GC×DE÷2+AD×DE÷2．而 S =BG×DE÷2,S =CG×DE÷2,S =AD×DE÷2，因此所求的三角形的
△BDE △DEC △AED
面积就是 75-45=30．
4. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1．D、E 分别是 AB、AC 的中点，F、G 是 BC
边上的三等分点，请问：三角形 DEF 的面积是多少？三角形 DOE 的面积是多少？
1 3
【答案】 ； ．
4 20
【分析】 注意到 D、E 分别为 AB、AC 的中点，则 DE 就是 △ABC 的中位线，
连结 CD，如图 1 所示．
则 △≝¿ 与 △CDE 面积相等，因此
S
1 1 1 1
△≝¿=S = S = × ×S = .¿
△CDE 2 △ACD 2 2 △ABC 4
OE DE
在沙漏 EDOFG 中， = （如图 2）．
OF FG1 1
而 DE= BC，FG= BC，因此
2 3
OE DE 3
= = ,
OF FG 2
即有
OE 3 3
= = ,
EF 3+2 5
S
△DOE
S
转化为面积比 3 ．而 1 ，所以
S = ¿ △≝¿= 4 ¿
△≝¿ 5
3
S = ×S
△DOE 5 △≝¿= 3 × 1 = 3 .¿
5 4 20
5. 如下图所示，三角形 AEF、三角形 BDF、三角形 BCD 都是正三角形，其中
AE:BD=1:3，三角形 AEF 的面积是 1．求阴影部分的面积．【答案】 15
【分析】 S :S =AE2:BD2=1:9，△AEF 面积是 1，那么
△AEF △BDF
S =S =9，
△BDF △BDC
因为 △AEF 与 △ACE 的高之比是 1:7，所以 S =7，因为 AD 与 BC 平行，所以
△ACE
S =S =9，所以 S :S =BI:IE=9:7．
△ABC △BCD △ABC △AEC
假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7，又知道 BF:FE=3:1，所以 BF=12,FE=4，
所以 IF=3,S :S =FE:FI=4:3，所以 S =0.75，又有
△AEF △AIF △AIF
S :S =AF2:BC2=1:9，所以 S =6.75，于是可求阴影部分面积是
△AIF △BCI △BCI
(0.75+6.75)×2=15．
6. 如下图所示，在长方形 ABCD 中，EF∥AB，GH∥AD，EF 与 GH 相交于 O，HC
与 EF 相交于 I．已知 AH:HB=AE:ED=1:3，△COI 的面积为 9 平方厘米，求长方
形 ABCD 的面积．【答案】 128 平方厘米
【分析】 如下图所示，连接 GI，显然 △GOI的面积=△COI的面积=9 平方厘
米，于是 △HOI的面积=3 平方厘米，所以 △HOC的面积=12 平方厘米．
因此 △OGC的面积=36 平方厘米，于是长方形 OFCG的面积=72 平方厘米，
从而 $\text{长方形$ HBFO $的面积}=\text{长方形$ EOGD $的面积}=24$ 平方厘米，长方形
AHOE的面积=8 平方厘米．
故长方形 ABCD 的面积为 8+24+24+72=128(平方厘米)．
