小学数学四年级上册第六单元《除法》

📖 本单元目录（6个站点）

🧮 第1站 · 买文具——除数是整十数的除法

先看前两位，不够看三位；商要写在个位

🎯 学习目标

① 会用"想乘法算除法""看几个十"两种办法口算整十数相除；② 会笔算三位数除以整十数，说清商为什么写在个位；③ 会用"商×除数+余数=被除数"验算。

💡 知识引入：80元能买几个书包？

每个书包20元，淘气有80元，能买几个？列式是 80÷20。这道题有三个想头，随便用哪个都对：
想法一（想乘法）：20乘几得80？20×4=80，所以能买4个。
想法二（看几个十）：80是8个十，20是2个十，8÷2=4，所以能买4个。
想法三（圈一圈）：8张10元，每2张买一个，能圈4次。
三种想法算出的都是4——这就是除法的意思：80里面有几个20。

📐 先认一认：除法竖式长什么样

竖式其实就是一座小房子，一共四样东西：
① 一竖：除数右边那条竖线，是房子的左墙。
② 一横：被除数上方那条横线，是房子的屋顶——这条横线一定要画，而且要盖住整个被除数，不能漏。
③ 被除数：住在房子里（横线下面）。
④ 商：住在横线上面的阁楼里，除到哪一位，商就站在哪一位的头顶上。
所以横线不是装饰：它是"商住的阁楼地板"，少了它，商就没地方站了。

🔍 核心原理拆解：160÷30 竖式五步

✍️ 老师带你一步步算（160÷30）

第1步 定位置：160 → 16被除数是三位数160，从高位看起，先取出前两位"16"。
第2步 比一比：16＜3016比30小 → 不够除；那就多看一位，改看"160"。
第3步 试商：30×5=150＜16030×6=180＞160想"30乘几不超过160又最接近160"，所以商是5。
第4步 定商位：商5 → 个位因为5表示5个"一"（160里面能拿出5个30），不是5个"十"。
第5步 乘：5×30=150把150对齐写在160的下面。
第6步 减：160−150=10
第7步 比余数：10＜30余数合格 ✔（如果余数比除数大，说明商算小了）。
第8步 答：160÷30=5……10能买5个计算器，还剩10元。
第9步 验算：5×30+10=150+10=160正好等于被除数 ✔

✍️ 再看商是两位数的（900÷30）

第1步 看：900 → 90先看被除数的前两位"90"。
第2步 比：90＞30够除 → 说明商是两位数。
第3步 除十位：90÷30=3商3写在十位上；3×30=9090−90=0
第4步 落个位：0÷30=0把被除数个位上的0落下来，商位写0占位。
第5步 答：900÷30=30验算30×30=900✔

0÷30=0 也要老老实实把 0 写上，落下来的 0 不写，商就从30变成了3！

🔍 把这两道题的竖式也画出来：900÷30 和 900÷300

两张图放在一起看就清楚了：竖式的"一竖一横"始终不变，变的只是"往右看几位"。900÷30前两位 90 就够了，商是两位数，个位上的 0 是"占位小兵"，不写它商就少了一位；900÷300前两位 90 不够除，得请出前三位 900，商只有一位，写在个位上。

📘 课本原句大白话

课本说："除数是整十数，先看被除数的前两位，前两位不够除，就看前三位。"——大白话：前两位是"先锋队"，打不过（比除数小）就把前三位这支"主力军"请出来。
课本说："除到被除数的哪一位，商就写在那一位上面。"——大白话：商的家住在"被除到的那一位"头顶上，除到个位就住个位，绝不许乱搬。
补充一招：括号里最大填几（如 30×( )＜220）：挨个试，30×7=210＜220 ✔，30×8=240＞220 ✘，所以最大填7。这就是试商的基本功。

⚖️ 易混辨析

🔗 知识网位置

三年级学过"除数是一位数的除法"（先看最高位，不够除看前两位）→ 本站把除数换成整十数，规则照用→ 第2站把除数换成任意两位数（要试商）→ 五年级的小数除法，竖式框架和"商、乘、减、落"四步完全一样。

📌 第1站小结

整十数做除数最好办：前两位不够除就看前三位，商住哪一位、乘出来的积就对齐哪一位。余数永远要比除数小。

口诀：整十数去除，先看前两位；不够看三位，商就写个位；余数要比除数小，商乘除数加余数等于被除数。

🌸 第2站 · 参观花圃——除数是两位数的除法

试商三步骤：看 → 猜 → 验

🎯 学习目标

① 会用"四舍五入"把除数看成整十数来试商；② 会笔算三位数除以两位数（商可能是一位数，也可能是两位数）；③ 会一眼判断商是几位数。

💡 知识引入：22盆一份，怎么分？

花圃里有154盆牡丹花，要平均栽到22个花坛里，每个花坛栽多少盆？列式 154÷22。
麻烦来了：22不是整十数，"154里有几个22"不能一眼看出。
数学家的办法很聪明：把22先"看成"20去猜一个商，猜完再用真正的22检验一下。这个"先猜后验"的本事，就叫试商。

🔍 核心原理拆解：用什么办法"看成整十数"

✍️ 老师带你一步步算（154÷22）

第1步 看：22 → 20除数是22，个位是2（属于1~4）→ 用"四舍" → 把22看成20。
第2步 猜：20×7=140＜15420×8=160＞154猜商是7。
第3步 验（最关键的一步）：22×7=154用真正的除数乘一乘，积没有超过被除数 ✔ 说明商7可以。
第4步 定商位：商7 → 个位154里只有7个22，7是"个"。
第5步 乘：7×22=154对齐写在154下面。
第6步 减：154−154=0没有余数。
第7步 答：154÷22=7每个花坛栽7盆牡丹花。

✍️ 换一道有余数的（120÷18）

120盆月季花，每18盆摆一个图案，能摆几个？还剩几盆？列式：120÷18
第1步 看：18 → 2018的个位是8（属于5~9）→ 用"五入" → 把18看成20。
第2步 猜：20×6=120正好 → 猜商是6。
第3步 验：18×6=108＜120没有超过被除数，商6可以 ✔
第4步 乘：6×18=108对齐写在120下面。
第5步 减：120−108=12
第6步 比：12＜18余数比除数小，合格 ✔
第7步 答：120÷18=6……12能摆6个图案，还剩12盆。
第8步 验算：6×18+12=108+12=120✔

✍️ 商是两位数的情况（768÷24）

第1步 判断商有几位：76＞24被除数前两位比除数大 → 商是两位数（心里先有数，就不容易写错商位）。
第2步 除十位：24 → 2020×3=60＜7620×4=80＞76十位试商3。
第3步 验十位：24×3=72＜7676−72=4商3可以 ✔
第4步 落个位：4 与 8 → 48把个位上的8落下来，和4拼成48。
第5步 除个位：20×2=4024×2=4848÷24看成40，先猜2，再用真除数验：24×2=48 ✔ 商2写个位。
第6步 收尾：48−48=0除尽。
第7步 答：768÷24=32验算32×24=768✔

判断商的位数（考试必考）：被除数前两位≥除数 → 商是两位数；被除数前两位＜除数 → 商是一位数。例：274÷34，前两位27＜34 → 商一位数；912÷38，前两位91＞38 → 商两位数。

📘 课本原句大白话

课本说："试商时，先用四舍五入法把除数看作与它接近的整十数。"——大白话：除数穿上"整十数"的戏服先演一遍，正式上场还得把它换回原来的数。
课本说："除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。"——大白话：除到十位商住十位，除到个位商住个位。
课本说："每次除后余下的数必须比除数小。"——大白话：余数比除数大，说明你分少了，后面一定还有商。

⚖️ 易混辨析

🔗 知识网位置

第1站会算"整十数做除数" → 本站学会把"两位数除数"转化成"整十数"再试商→ 第3站解决"猜不准怎么办" → 五六年级小数除法、分数约分，试商的思路一直在用。

📌 第2站小结

除数是两位数，用四舍五入把它看成整十数去猜商，再用真除数检验。猜出来的只是"备选"，检验过关才是"正式"。

口诀：除数两位不要慌，四舍五入看成十；猜个商来真数乘，没超就写余数小；前两位大商两位，前两位小商一位。

🍂 第3站 · 秋游——试商不准就调商

两个警报：积超了要调小，余数大了要调大

🎯 学习目标

① 明白试商不一定一次成功，这是正常的，不是自己笨；② 会用两个"警报"判断商该调小还是调大；③ 会做有余数除法的验算（商末尾的0也要会写）。

💡 知识引入：192比172还大，这怎么减？

秋游分组：一共172人，每24人一组，可以分成几组？列式 172÷24。
24看成20，试着猜一个8，可24×8=192，192比172还大，根本没法减！
别急——这说明商猜大了。把8改小成7：24×7=168，168＜172 ✔ 可以了。
这种"猜了不合适就改一改"的动作，就叫调商。高手做题也会调商，区别只是他调得快。

🔍 核心原理拆解：什么时候调小，什么时候调大

为什么"四舍"容易猜大、"五入"容易猜小？把除数看小了，商自然显得大；把除数看大了，商自然显得小。心里记住这条，调商就不会瞎调。

✍️ 老师带你一步步算（172÷24，商偏大）

第1步 看：24 → 2024的个位是4 → 四舍 → 看成20。
第2步 猜：20×8=160＜17220×9=180＞172先猜8。
第3步 验：24×8=192
第4步 警报响：192＞172积比被除数还大 → 商8太大了。
第5步 调小：8−1=724×7=168＜172重新验，这次可以了 ✔
第6步 乘：7×24=168对齐写在172下面。
第7步 减：172−168=4
第8步 比：4＜24余数合格 ✔
第9步 答：172÷24=7……4能分成7组，还剩4人。
第10步 验算：7×24+4=168+4=172✔

✍️ 老师带你一步步算（116÷38，商偏小）

第1步 看：38 → 4038的个位是8 → 五入 → 看成40。
第2步 猜：40×2=80＜11640×3=120＞116先猜2。
第3步 验：38×2=76＜116积没超，先别高兴。
第4步 减：116−76=40
第5步 警报响：40≥38余数比除数还大 → 说明还能再拿出一个38，商2太小了。
第6步 调大：2+1=338×3=114＜116重新验，这次可以了 ✔
第7步 减：116−114=2
第8步 比：2＜38余数合格 ✔
第9步 答：116÷38=3……2
第10步 验算：3×38+2=114+2=116✔

✍️ 商末尾要写 0 的情况（570÷19）

第1步 看：19 → 2019的个位是9 → 五入 → 看成20。
第2步 猜：20×2=40＜5720×3=60＞5757÷20先猜2。
第3步 验：19×2=3857−38=19
第4步 警报响：19≥19余数和除数一样大 → 商2太小，调大成3。
第5步 再验：19×3=5757−57=0✔
第6步 落：0÷19=0把被除数末尾的0落下来，商位上写0占位。
第7步 答：570÷19=30末尾有0，商是30不是3。
第8步 验算：30×19=570✔

📘 课本原句大白话

课本让学生"先想一想商是几位数，再计算"，并提醒"如果商大了就调小，商小了就调大"。大白话：试商像试鞋——先拿一双猜猜，挤脚（积超了）就换小一码，太松（余数太大）就换大一码。
另外课本特别强调验算：有余数的除法，被除数 = 商 × 除数 + 余数。算完随手验一下，比重新做一遍还快。

⚖️ 易混辨析

🔗 知识网位置

第2站会"四舍五入猜一次" → 本站学会"猜不准就调"，这才是除法真正的成熟 → 商中间有0、末尾有0的除法都在这一步打通 → 五年级小数除法（商里出现小数点）用的还是这一套"试—验—调"。

📌 第3站小结

试商一次就准是好运气，会调商才是真本事。两个警报记牢：积超了调小，余数大了调大。

口诀：四舍商偏大，往回减一个；五入商偏小，往上加一个；积超被除数，商大要调小；余数大过除数，商小要调大。

🔒 第4站 · 商不变的规律

被除数和除数一起变，商站着不动

🎯 学习目标

① 发现并说清商不变的规律；② 会用规律把算式"变简单"再算；③ 分清"商不变"和"商变化"两种情况；④ 知道有余数时余数会跟着变。

💡 知识引入：苹果和人数都变大10倍，每人还分几个？

先算三组算式，把答案写下来对比：
8÷2=4　　80÷20=4　　800÷200=4——商都是4，一点没变！
再看一组：48÷24=2　　24÷12=2　　12÷6=2——商还是没变！
为什么？用分苹果想一想：8个苹果分给2个人，每人4个；现在苹果和人数都变成原来的10倍（80个分给20人），每人还是4个——因为"总量"和"人数"一起变大了，每一份的大小当然不变。
这就是商不变的规律。

🔍 核心原理拆解：三个关键词，一个陷阱

✍️ 规律怎么用：一步一步变简单

第1题：350÷50 → 35÷5=7被除数和除数末尾各有一个0 → 同时除以10。答案7（验算：7×50=350 ✔）
第2题：4800÷600 → 48÷6=8末尾各有两个0 → 同时除以100。答案8（验算：8×600=4800 ✔）
第3题：25×4=100600×4=24002400÷100=2425不是整十数，硬算麻烦 → 让25变成100：除数乘4，被除数也要跟着乘4。答案24（验算：24×25=600 ✔）
第4题：50×2=1001200×2=24002400÷100=24除数乘2，被除数也乘2。答案24（验算：24×50=1200 ✔）

注意："末尾去掉几个0"其实就是"同时除以10、100"的说法，看起来像在擦零，道理是商不变的规律在帮忙。

✍️ 余数陷阱，一步步算给你看（830÷40）

正规算法（老老实实竖式）：
① 83＞40先判断：前两位83比40大 → 商是两位数。
② 40×2=80＜8383−80=3除十位：40乘2不超过83 → 十位商2；余3。
③ 3 与 0 → 30落个位：把0落下来，和3拼成30。
④ 30＜40除个位：30÷40不够商1 → 个位商0占位；30就是余数。
⑤ 830÷40=20……30验算20×40+30=800+30=830✔

用规律简化（更快）：
① 830÷40 → 83÷4被除数和除数同时除以10（各去掉一个0）。
② 83÷4=20……3
③ 商20不变，余数3×10=30余数是缩小10倍算出来的，必须还原。
④ 830÷40=20……30和竖式算的完全一样 ✔
一句话：擦零算余数，余数要"乘回来"。

🔍 顺带记住："商变化"的两种规律

情况一：除数不变，被除数变。120÷30=4240÷30=8被除数换成240（乘2），除数还是30。被除数乘2，商也乘2。
情况二：被除数不变，除数变。120÷30=4120÷60=2除数换成60（乘2），被除数还是120。除数乘2，商反而除以2。
对比着记：被除数变大，商跟着变大（同一方向）；除数变大，商反而变小（反方向）。只有两个同时变、变的倍数又相同的时候，商才站在原地不动。

📘 课本原句大白话

课本让学生在表格里算一算、比一比，然后总结出规律。大白话：这就像"同时放大镜"——被除数和除数一起放大，商是"形状"，形状不会因为放大而改变。
课本强调"0除外"：因为除以0没有意义（0个东西分给0个人，谁也说不清每人分几个）。
课本还有一句很重要的话：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数会变。

⚖️ 易混辨析

🔗 知识网位置

三年级学过"除法各部分之间的关系" → 本站发现商不变的规律，把大数除法变简单→ 五年级"分数的基本性质""比的基本性质"就是这条规律的亲兄弟 → 中学的约分、化简比、通分，用的还是它。

📌 第4站小结

被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；有余数时，商不变而余数跟着一起变。做题顺手验算，就不会被余数坑。

口诀：被除除数一起变，同乘同除同一个数；商儿稳稳不动摇，余数跟着倍数跑；零不能作除数，这条底线不能丢。

🚗 第5站 · 路程、时间与速度

一个母公式，带出三个式子

🎯 学习目标

① 明白"速度"就是单位时间内行的路程；② 记住并会用速度、时间、路程三个公式；③ 会读会写"千米/时"这样的复合单位。

💡 知识引入：谁更快？

小明骑车，2小时骑了30千米；小红走路，3小时走了15千米。谁快？
只看路程：30＞15，好像小明"走得多"；但两人用的时间不一样，这样比不公平。
公平的比法是把两人都换成"每1小时走多少"：
小明：30÷2=15（千米）；小红：15÷3=5（千米）。
15＞5，所以小明快。
这个"每1小时走的路程"，就叫速度。求速度，用的正是除法。

🔍 核心原理拆解：三个公式 + 速度单位

✍️ 三个方向，各带你算一题

第1题（求速度）：一辆汽车2小时行了160千米，平均每小时行多少千米？列式：160÷2
① 路程 160千米｜时间 2小时找已知。
② 速度 = 路程 ÷ 时间求的是"速度" → 用这条公式。
③ 160÷2=80列式计算。
④ 80千米/时带上单位（读作"80千米每时"）。
⑤ 答：平均每小时行80千米
⑥ 80×2=160验算 ✔

第2题（求时间）：速度是80千米/时，行240千米需要几小时？列式：240÷80
① 路程 240千米｜速度 80千米/时找已知。
② 时间 = 路程 ÷ 速度求的是"时间" → 用这条公式。
③ 240÷80=3列式计算。
④ 3小时单位是时间，带上"时"。
⑤ 答：需要3小时
⑥ 80×3=240验算 ✔

第3题（求路程）：速度是80千米/时，行5小时能行多少千米？列式：80×5
① 速度 80千米/时｜时间 5小时找已知。
② 路程 = 速度 × 时间求的是"路程" → 用这条公式。
③ 80×5=400列式计算。
④ 400千米单位是路程，带上"千米"。
⑤ 答：能行400千米
⑥ 400÷5=80验算 ✔

🔍 同款三兄弟：单价、数量、总价

这组和"速度三公式"是同一个道理——先把每一份的大小求出来，再乘份数：
单价 × 数量 = 总价总价 ÷ 数量 = 单价总价 ÷ 单价 = 数量
例：一盒彩笔25元，买4盒要多少钱？25×4=100（元）。
反过来：100元买25元一盒的彩笔，能买几盒？100÷25=4（盒）。

📘 课本原句大白话

课本说："速度是指单位时间内所行的路程。"——大白话：把路程平均分给每一小时（每一分、每一秒），分到的那一份就是速度。
课本说："速度的单位是复合单位，如千米/时。"——大白话：速度的单位里必须有两个单位：上面是路程，下面是时间，中间用斜杠隔开。
课本让学生比较"谁走得快"——大白话：比快慢不能只比路程，也不能只比时间，要换成同一个时间标准才公平。

⚖️ 易混辨析

🔗 知识网位置

二年级的"每份数×份数=总数" → 本站把它安到"路程"上，就变成了速度三公式→ 五年级的相遇问题、追及问题都从这里出发 → 中学物理的 v=s÷t，就是这条公式换了身衣服。

📌 第5站小结

速度是"每一小时（每一分、每一秒）走的路程"，用除法把路程平均分给时间就得到它。三个公式记一个母公式就够，另外两个能倒推。

口诀：路程除时间得速度，路程除速度得时间，速度乘时间得路程；速度单位带斜杠，比快慢前先统一。

🗺️ 末站 · 全景串联：一图看懂"除法"

五个板块，全部收进一张知识地图

🧠 单元知识地图

🧭 三条主线，串起整个单元

主线一 · 一条竖式走到底：所有除法算式的骨架都是"商 → 乘 → 减 → 落"四步。第1站把它用在整十数上，第2、3站把它用在两位数上。除数变了、试商难了，但"四步"一步没变。

主线二 · 试商就是"把新问题变成老问题"：22不好除？那就先"看成20"——把"除以两位数"暂时变成"除以整十数"，这就是数学里最聪明的招数。猜不准就调，调一次两次很正常，会调商才是真会除法。

主线三 · 算得对，还要算得巧："商不变的规律"让大数变小数（350÷50 变成 35÷5），"速度三公式"让除法走进生活。数学不只是算出来，更是找到最省力的那条路。

💌 写给小朋友的话

学完这个单元，你就把加、减、乘、除四则运算全部集齐了！而且你还学会了两件了不起的本事：一件叫"化难为易"——22不好除就看成20，先把难题变成做过的题；另一件叫"回头检查"——商乘除数加余数，对得上才放心。以后拿到任何一道除法，你就按老规矩来：先看前两位、再试一个商、试完验一验，再大的数也跑不出你的掌心。下个单元，我们去认识一个新朋友——《生活中的负数》，它会带你看看"零以下"的世界长什么样子！

⭐ 必背清单 · 12 条一次记牢

明月海棠笔记 · 小学数学图解系列

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