文档内容
六年级数学·上 新课标[人教]
第 3 单元 分数除法
本单元的主要教学内容包括:倒数的认识、分数除以整数、一个数除以分数、分数四
则混合运算、解决实际问题。本单元的内容和前面学习的很多知识具有比较直接的联系。
学生已经学习了整数乘、除法、解简易方程及分数乘法的知识,这些都为学生学习分数除
法打下了基础,特别是分数除法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系,因此,教
材借助各种直观图示和操作活动,引导学生探索并理解分数除法的计算方法。通过本单元
的学习,学生一方面完成了分数加、减、乘、除的学习任务,比较系统地掌握了分数的四则
运算,掌握了解决相关实际问题的方法;另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解,体
会数学知识方法的内在联系,为解决有关分数的实际问题提供了更多帮助。同时也为后面
学习比和比例、百分数打下坚实的基础。
1.通过探究活动,理解倒数的意义,掌握求一个数的倒数的方法,能熟练地写出一个数
的倒数。
2.使学生理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法
的计算。
3.结合解决问题的过程,理解与掌握分数四则混合运算的计算顺序,能正确进行计算。
体会并掌握模型、方程、数形结合、转化等数学思想,提高学生综合运用知识的能力。六年级数学·上 新课标[人教]
会分析除法问题中的数量关系,并用线段图帮助分析问题,学会用分数除法解决相关的
实际问题。
培养迁移、类推的能力,体会数学知识之间的联系,使学生体会到数学与生活的密切联
系。
【重点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
1.引导学生进行知识的迁移、类推
教材中设计了不少类比推理的材料,要善于利用这些材料,激活学生已有的知识和经验。
引导他们进行类比,促进学习的正向迁移。分数除法是分数乘法的进一步延伸,分数除
法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系。如在进行分数除以分数的计算方法教
学时,教师可以放手让学生进行自主探究,利用知识的迁移类推,掌握分数除以分数的方法。
2.加强直观教学,结合实际操作和图形语言,探索、理解计算方法
同分数乘法的教材设计一样,分数除法中,也有折纸与画图的教学活动。教师要用好这
些直观手段,为学生充分提供动手的机会和时间,让学生在更多的操作、观察活动中,凭借
直观感受,理解算理,发现算法。教师还要进行适当的引导,通过数形结合,学生边操作,边
思考,并借助讨论、交流等形式,在理解的基础上总结和掌握算法。在解决实际问题的教学
中,更多地运用线段图帮助理解题意,分析解题方法,建立思维模型。
3.注重拓展学生的思维能力,寻找多种方法解决问题六年级数学·上 新课标[人教]
教材中有很多实际问题的解决方法都不止一种,教师在教学中要善于运用这些好的题
目,给予学生思考的空间和时间,鼓励学生用多种方法解决问题,并通过交流,让学生有更多
的思维方式,更多的解题策略。
1 倒数的认识
教材P28例1及练习六第1~5题。
本节课的内容包括倒数的意义和求一个数的倒数等。教材通过观察、比较、发现来引
出倒数的意义,并用实例帮助理解倒数的意义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什
么特点,通过比较、归纳,为求一个数的倒数打下基础。教材中的例1给予了一个开放的流六年级数学·上 新课标[人教]
程,即先找一找,再通过观察发现三种情况:一是求分数的倒数;二是求整数的倒数;三是1
和0的倒数问题。最后归纳总结出求一个数的倒数的方法。
1.通过观察、比较、分类、讨论等探究活动,让学生理解和掌握倒数的意义。
2.在合作探究中掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
3.让学生亲身参与探究活动,体验数学学习的乐趣,激发他们学习的积极性,养成合作
探究问题的习惯。
【重点】
使学生掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
【难点】
让学生理解和掌握倒数的意义,会求小数的倒数。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:同学们,你们有好朋友吗?
预设 生:有。
师:你的好朋友是谁?
预设 生:我的好朋友是……
师:大家能用一句话描述这两位同学的关系吗?
预设 生1:甲和乙是好朋友。
生2:甲是乙的好朋友,乙是甲的好朋友。
师:能说甲是朋友,乙是朋友吗?为什么?还可以怎样描述得既清晰又简便?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:甲和乙互为朋友。
2.师:这些似乎与我们数学知识没有多大关系,其实,它能引导我们今天的学习呢!(出
示课题:倒数的认识)
师:看到课题,你们有什么问题?
预设 生1:什么是倒数?
生2:它们有什么特点?
生3:怎样可以得到倒数?
……
师:看来同学们对未知的知识有很浓厚的兴趣,现在我们进入倒数的学习。
3.师:请先计算下面的几道题,再说说你的发现。(板书题目)
3 8 7 15
× ×
8 3 15 7
1 1
5× ×12
5 12
4.学生独立计算上面的题目。
5.全班交流。
预设 生1:我最后的计算结果是它们都等于1。
生2:我的也是。
3 8
生3:我发现第1题的前面一个因数是 ,后面一个因数把它的分子和分母交换了,是 。
8 3
第2题也是一样。
1
生4:第3题的前一个因数是整数5,后一个因数是 ,这个整数刚好是它的分母,而它的
5
分子是1。第4题和第3题的特点一样。
……
师:同学们观察得很仔细,表述得也非常清晰。像这样乘积是1的两个数就互为倒数。
[设计意图] 由日常生活中的情景导入,增加知识的生活气息,使学生能体会到数学与
生活的紧密联系。看似不同的几件事,却有相同的地方,即两个量之间的相互关系,为倒数
意义的理解做好铺垫。六年级数学·上 新课标[人教]
方法二
1.师:在前面我们学习了分数乘法,大家掌握得怎么样了?
预设 生:很好。
师:很有自信!那就试试计算下面的这些题。(课件出示题目)
3 8 3 7 15
× 8× ×
8 3 8 15 7
1 1 5 5
5× ×12 ×
5 12 7 7
师:计算过程中,请观察这些算式。如果将它们分成两类,可以怎样分呢?
2.学生独立计算。
3.汇报交流。
师:说说你的想法。
预设 生:第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:为什么?
预设 生1:因为第1,3,4,5题的计算结果都是1,第2,6题的计算结果不是1。
生2:老师,我想把它们分成三类,行不行?
师:好,说说你的分法。
预设 生:第1,3题分为一类,第4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:说说你的理由。
预设 生:我是从算式的特点来分的。
师:好的。我们一起来观察算式的特点,再看怎样分合理。
4.观察发现,交流算式特点。
3 8 7 15
师:说一说 × 和 × 的特点。
8 3 15 7
预设 生1:第一个因数和第二个因数的分子分母交换了位置。
生2:它们进行约分后,积是1。
1 1
师:说说5× 和 ×12的特点。
5 12六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:其中一个因数是整数,另一个因数是几分之一,这个整数刚好是几分之一的
分母。
生2:它们最后的积也是1。
3 5 5
师:说说8× 和 × 为什么分为一类。
8 7 7
预设 生:它们最后的积不是1。
师:如果把这些算式分为两类,可以把第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类,那么
分的标准是什么?
预设 生:前一类题的积都是1,后一类题的积不是1。
师:刚才的那个同学分得更仔细,在后面的学习中,我们会进一步学习。
师:乘积是1的两个数互为倒数。今天我们一起来探讨倒数的知识。(板书课题:倒数的
认识)
[设计意图] 让学生通过计算、观察、分类、讨论等活动,由分数乘法的学习顺势迁
移到倒数的认识,即考虑两个数的积的问题。在分类过程中要允许学生有不同的分类方法,
这样能培养学生思维的拓展性。
一、倒数的意义
师:乘积是1的两个数互为倒数。(板书倒数的定义)如何来理解呢?
3 8 3 8 3 8 8 3
师:观察 和 ,它们的积是1,我们可以说 和 互为倒数, 的倒数是 , 的倒数是 。
8 3 8 3 8 3 3 8
师:你来说一说其他三个算式中哪两个数互为倒数,谁是谁的倒数。
7 15 7 15 15 7
预设 生1: 和 互为倒数, 是 的倒数, 是 的倒数。
15 7 15 7 7 15
1 1 1
生2:5和 互为倒数,5是 的倒数, 是5的倒数。
5 5 5
1 1 1
生3: 和12互为倒数, 是12的倒数,12是 的倒数。
12 12 12
师:说得很清晰,很准确。六年级数学·上 新课标[人教]
1
师:对于5和 互为倒数,你是怎样理解的?5的分子是几?分母是几?
5
预设 生:5的分子是5,分母是1。
师:整数可以看成分母是1的分数。
师:为什么乘积是1的两个数不直接说是倒数,而要说“互为”倒数呢?怎么理解这两个
字?
预设 生:我认为,就是你是我的,我是你的,不能说你是倒数,我是倒数,它们是相互并
存的。
师:相互并存,说得好,谁也离不了谁。
师:倒数是表示两个数之间的关系,它们是相互依存的,所以必须说一个数是另一个数
的倒数,而不能单独地说某一个数是倒数。
师:说一说,定义倒数的关键要素有哪些?(板书:定义倒数的关键要素)
预设 生1:乘积是1。
生2:两个数。
生3:互为。
师:很正确。数学语言要严谨,不然就会漏洞百出。那么如何求一个数的倒数呢?
二、求一个数的倒数
课件出示例1。
下面哪两个数互为倒数?
3 7 5 1 2
6 1 0
5 2 3 6 7
1.师:仔细观察数的特点,说一说哪两个数互为倒数。
3 5 1 7 2
预设 生: 和 ,6和 , 和 。
5 3 6 2 7
师:小组同学交流,想一想,怎样求一个数的倒数?
2.汇报交流,讲解。
预设 生1:交换分子和分母的位置就可以了。(板书)
3 5 3 5
× =1
5 3 5 3六年级数学·上 新课标[人教]
7 2 7 2
× =1
2 7 2 7
生2:如果是一个整数,那么它的倒数就是几分之一。
师:因为整数可以看成分母是1的分数,所以也可以说交换分子和分母的位置。(板书)
6 1 1
6= 6× =1
1 6 6
3.巩固练习。(课件出示)
说出下面各数的倒数。
3 1 9 1
7 16
8 10 23 2000
3 8 1 1 9 23
【参考答案】 的倒数是 ; 的倒数是10;7的倒数是 ; 的倒数是 ;16的倒
8 3 10 7 23 9
1 1
数是 ; 的倒数是2000。
16 2000
4.思考特例。
师:对于例1中的数,还有1和0,你们没有说出它们的倒数。它们没有倒数吗?请各小
组对这两个数的倒数展开讨论。
小组讨论,再交流:1的倒数是几?0有倒数吗?为什么?
预设 生:1的倒数是1,因为1×1=1,乘积是1的两个数互为倒数,所以我认为1的倒数
是1。
师:理由很充分,并且能用倒数的定义来加以说明,活学活用,真不错。(板书:1的倒数
是1)
预设 生:我没有找到0的倒数,因为0乘任何数都得0,得不到1,所以我认为0没有倒
数。
师:你们找到0的倒数没有?
预设 生:没有。
师:是不是和刚才这位同学的想法一样?
师:确实,因为0乘任何数都得不到1,所以0没有倒数。(板书)六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 在探究求一个数的倒数的方法时,利用到学生的分类,把求一个数的倒数
的三种情况分别展示,并且给予学生思考的时间,让学生通过小组讨论、交流,熟练掌握求
一个数的倒数的方法。
5.求小数、带分数的倒数。
师:同学们已经会求一个分数和一个整数的倒数了。想一想,我们还学过哪些数?
预设 生:小数、带分数。
师:那么怎么样求小数、带分数的倒数呢?请选择一种,自己举例,在小组内探究。
(1)小组内探究,教师巡视指导。
(2)汇报交流,总结方法。
1
预设 生:我们研究的是求小数的倒数。举的例子是0.5。我们先把0.5化成分数,即 ,
2
再交换分子、分母的位置,就是2。(板书)
师:求一个小数的倒数,可以把小数先化成分数,再交换分子与分母的位置。
2 2
预设 生:我们研究的是求带分数的倒数。举的例子是3 。我们先把3 化成假分数,
5 5
17 5
即 ,再交换分子、分母的位置,就是 。(板书)
5 17
师:求一个带分数的倒数,我们可以先把带分数化成假分数,再交换分子与分母的位置。
6.巩固练习。
(教材第28页“做一做”)
独立完成,注意书写的规范。汇报交流,说一说你是怎样找出它们的倒数的。
11 9 1 8 15
【参考答案】
4 16 35 7 4
教材第29页练习六第1,2,3题。
(1)第1题。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。六年级数学·上 新课标[人教]
独立完成,汇报交流。
指名同学说一说判断的理由是什么,其他同学补充说明。
预设 生1:第1题是对的。
生2:第2题是错的。因为倒数是指两个数之间的关系,这道题是三个数的积为1。
生3:第3题是错的。因为0乘任何数都得0,0是没有倒数的。
17 5 5 17
生4:第4题是错的。比如 的倒数是 ,而 小于 。又比如1的倒数是1,它们相
5 17 17 5
等。所以根本无法确定一个数的倒数比这个数小,还是比这个数大。
(3)第3题。
指名同学到黑板上完成,其他同学独立完成,集体订正。
【参考答案】
1.
62 3 1 23 1 7
2.(1)√ (2)✕ (2)✕ (4)✕ 3.9
51 8 5 12 102 16
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我认识了倒数,知道乘积是1的两个数互为倒数。
生2:我知道了1的倒数是1,0没有倒数。
生3:求一个数的倒数前,都要先把这个数化成分数,如整数要看做分母是1的分数,小
数要先化成分数,带分数要先化成假分数等等。
生4:求一个数的倒数的方法是交换分子、分母的位置。
……六年级数学·上 新课标[人教]
作业1
教材第29页练习六第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
5 7
×( )=1 ×( )=1
9 4
1 3
×( )=1 ×( )=1
2 4
8
5×( )=1 ( )× =1
9
2.(基础题)找朋友。(把互为倒数的两个数用线连起来)
【提升培优】六年级数学·上 新课标[人教]
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)真分数的倒数都比1大。 ( )
(2)假分数的倒数都比1小。 ( )
(3)0的倒数是0。( )
(4)1的倒数是它本身。 ( )
3 8
(5) 是倒数, 也是倒数。 ( )
8 3
4.(重点题)求下列各数的倒数。
5 4 1
(1)0.25 (2) (3) (4) (5)7
6 21 2
【思维创新】
5.(难点题)看一看,选一选。
(1)任何真分数的倒数都是( )。
A.真分数 B.假分数 C.不确定
11
(2)a× =1,a等于( )。
12
11 12
A. B. C.1
12 11
(3)最小的质数的倒数是( )。
1 2
A.2 B. C. D.0
2 3
(4)假分数的倒数都( )1。
A.大于 B.小于
C.小于或等于 D.大于或等于
【参考答案】
1 9 1 9
作业1:4.(横着填) 3 3 = = = 5.小红说得对。只要两个数的乘积是
8 4 8 4
1,这两个数就互为倒数,这两个数可以是整数、分数或小数。
作业2:六年级数学·上 新课标[人教]
9 4 4 1 9
5 7 3 5 8
1. 2 2. 3.(1)√
6 21 1
(2)✕ (3)✕ (4)√ (5)✕ 4.(1)4 (2) (3) (4)2 (5) 5.(1)B (2)B
5 4 7
(3)B(4)C
倒数的认识
3 8 7 15 1 1
× =1 × =1 5× =1 ×12=1
8 3 15 7 5 12
乘积是1的两个数互为倒数。
定义倒数的关键要素:乘积是1;两个数;互为。
1的倒数是1,0没有倒数。
3 5 3 5
分数: × =1
5 3 5 3
7 2 7 2
× =1
2 7 2 7
6 1 1
整数:6= 6× =1
1 6 6
1 1
小数:0.5= 2 ×2=1
2 2
2 17 5 17 5
带分数:3 = × =1
5 5 17 5 17
1.导入方式贴近学生的生活。六年级数学·上 新课标[人教]
本节课一开始创设“让学生找朋友”的情景,这是离学生最近的生活情景,一方面可以
让学生感受到数学与生活的紧密联系,另一方面通过此活动帮助学生理解“互为”的含义,
从而为构建新知识扫清语言理解障碍。
2.多次让学生进行小组讨论、交流,自主探究求一个数的倒数的方法。
只有学生经历过才有理解和熟练的基础,所以教学中让学生通过小组的讨论、交流,得
出各种情况下求倒数的方法,既能拓展学生的思维空间,又能培养学生合作的能力和听取别
人意见,完善自己的能力。
3.数学语言的严谨性和准确性。
在教学中多次强调表达的准确性,引导学生在与他人的交流中,运用数学语言清晰地、
有条理地表述自己的思考过程,进行讨论与质疑。
引导过程中,步子有点小,没有完全放开。
再教这个内容时,把所有可能的情况全部展示出来,让学生进行小组分工,各自探究出
求一个数的倒数的方法,最后进行交流,补充认识,形成完整的知识结构。
【做一做·28页】
11 9 1 8 15
4 16 35 7 4
【练习六·29页】
1.如下图所示。六年级数学·上 新课标[人教]
2.(1)对,因为乘积是1的两个数互为倒数。(2)不对,因为乘积是1的两个数互为倒数,题
中是三个数,所以不对。 (3)不对,因为0没有倒数,所以此题不对。 (4)不对。因为真
62 3 1 23 1
分数的倒数比它本身大,1的倒数等于它本身,所以不对。 3.9
51 8 5 12 102
7 1 1
4.(竖着填)
16 8 8
9 9
= 3 3 = = 5.小红说得对。
4 4
m是一个整数,它的倒数是( )。
[名师点拨] 由m是一个整数可以说明m有可能等于0,因为0没有倒数,所以当m是不
1
为0的整数时,m的倒数是 。
m
1
[解答] (m≠0)
m
【知识拓展】 由倒数的意义可知乘积是1的两个数互为倒数,但是0没有倒数,因为
0作为分母时,这个分数没有意义,所以0没有倒数。六年级数学·上 新课标[人教]
数字趣联
宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试,他们到达试院时为时已晚,考官说:
“我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场。”考官的上联是:一叶孤舟,
坐了二三个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟。
苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书,考了
三番两次,今日一定要中。
考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读书人的艰辛与刻苦情况描写得
淋漓尽致。
找规律填数
有6个不同的自然数,它们的倒数之和为1,求这6个自然数。
1 1 1 1 1 1
+ + + + + =1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
【参考答案】 (答案不唯一) + + + + + =1。
2 3 9 27 81 162
2 分数除法
本节的内容有:分数除法、分数混合运算以及解决有关分数除法的问题。通过第一小
节倒数的认识的学习,为分数除法的计算方法的学习做好了铺垫。分数除法的学习主要是
通过折一折、画一画、涂一涂等活动来理解算理,掌握方法。教师在教学中要给学生操作六年级数学·上 新课标[人教]
的空间和时间。分数的混合运算实际上是分数的加减乘除四则混合运算,在分数乘法单元
中学过分数混合运算,但没有分数除法参与。这里再一次学习,实际上既是分数混合运算的
巩固,更是拓展与加深。解决有关分数除法的问题可分为:已知一个数的几分之几是多少,
求这个数;已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数;和倍及差倍问题;工程问题
等,这几类问题是学生掌握的难点,教师要让学生经历解决问题的全过程,掌握分析方法,寻
求最合适的解决方法。
1. 引导学生在具体的情景中和动手操作活动中理解分数除法的意义和计算方法,并能
正确进行计算。
2. 理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并学会解决相
关的实际问题。
3.学会用线段图或其他方法分析各类除法问题中的数量关系,掌握各类除法实际问题
的解决方法,能熟练地列方程解答这类问题。
4.培养学生的动手能力、分析并解决问题的能力等。体会算法的多样化,提升发散思
维。
【重点】
1.掌握分数除法的计算方法和分数混合运算的计算顺序,会正确进行分数除法计算和
分数混合运算。
2.掌握解决各类分数除法问题的方法,能解决这类实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的算理,正确进行计算。
2.用线段图帮助分析实际问题中的数量关系,熟练运用方程解决问题。
第 课时 分数除以整数六年级数学·上 新课标[人教]
1.引导学生在具体的情景中借助已有的经验理解分数除法的意义。
2.经历动手操作,利用数形结合的思想理解分数除以整数的计算方法,并能正确进行计
算。
3.在教学中渗透转化思想,让学生充分感受转化的好处与魅力。
【重点】
分数除法意义的理解,分数除以整数算法的探究。
【难点】
分数除以整数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 长方形纸、彩笔
方法一
1.师:前面我们认识了倒数,现在回忆一下,说说有关倒数的知识。
预设 生1:乘积是1的两个数互为倒数。
生2:求一个数的倒数的方法是交换分子和分母的位置。
生3:1的倒数是1,0没有倒数。
生4:倒数是相互依存的,不能单独说一个数是倒数。
……
师:请说出下面各数的倒数。
1 3
6 5 4
3 5六年级数学·上 新课标[人教]
1 1 1 1 3 5
预设 生:6的倒数是 , 的倒数是3,5的倒数是 ,4的倒数是 , 的倒数是 。
6 3 5 4 5 3
2.填一填。(课件出示)
( ) 1
①把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的 ,求10个练习本的 ,列
( ) 2
式为 。
( ) 1
②把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的 ,求8 m的 是多少,
( ) 4
列式为 。
师:同学们,请你来填一填,并说一说你的思路。
1 1
预设 生1:把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的 ,求10个练习本的 ,
2 2
1
列式为10× =5(个)。
2
1 1
生2:把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的 ,求8 m的 是多少,列式
4 4
1
为8× =2(m)。
4
生3:求一个数的几分之一是多少,就用这个数乘几分之一。其实我们可以换个角度来
想,就是用这个数除以几份。
师:真聪明,能把乘法和除法联系起来。
师:今天,老师就要带着大家用这些我们已经掌握的知识去学习新知识,解决新问题。
[设计意图] 由倒数的认识及平均分的应用引入分数除以整数的教学,可以让学生进
行知识的回顾,为新知识的学习做好铺垫,并且能让学生进行知识的迁移和类推,降低自主
学习的难度。
方法二
口算,看谁算得又对又快。(课件出示口算题)
3 1 4 1 5 1
× × ×
5 3 7 6 8 10六年级数学·上 新课标[人教]
师:前面我们学习了分数乘法的计算,看看谁算得又对又快,开始抢答。
3 1 1
预设 生1: × = 。
5 3 5
4 1 2
生2: × = 。
7 6 21
5 1 1
生3: × = 。
8 10 16
3 1 3 1
师:同学们解答得又快又对。老师有个小疑问, × 表示 的 是多少,还可以怎样理
5 3 5 3
解?
1
师:哦,摸不着头脑了。那好,说说 的意义是什么。
3
预设 生:把一个整体平均分成3份,表示其中的1份。
3 1 3
师:那我们是否可以这样理解 × ,即把 平均分成3份,取其中的1份呢?
5 3 5
预设 生:是的。
师:还能用其他的算式表示吗?
3
预设 生: ÷3。
5
师:任何事物有时可以换个角度来思考。我们已经学过分数乘法,今天,我们来探索有
关分数除法的知识。
[设计意图] 由分数乘法的巩固进入分数除以整数的学习,把乘法与除法的互逆关系
紧密联系起来。并且提醒学生思考问题可以转换角度,为分数除法的探究学习起到暗示作
用。
方法三
师:前面我们学习了分数乘法的计算,今天我们要一起探索分数除法的有关知识。你想
知道什么?(板书课题)
预设 生:我想知道分数除法的计算方法。
……
师:好的。我们今天就一起来探究分数除法的计算方法。六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 由学生抛出问题,能激发学生的求知欲和探究精神。
一、课件出示例1,分数除以整数的计算方法
4
把一张纸的 平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?自己试着折一折,算一算。如果
5
4
把这张纸的 平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
5
1.读题,理解题意。
师:你知道了什么?
4
预设 生:把一张纸的 平均分成2份。
5
师:解决的问题是什么?
预设 生:求每份是这张纸的几分之几。
师:怎样列式?为什么?
4
预设 生: ÷2,要用除法计算,因为是“平均分”。
5
4
师:分数除法的计算方法,我们还没有学过。请你们大胆猜猜 ÷2最后的结果是多少。
5
2
预设 生:等于 。
5
……
2.动手操作,探究算法。
师:究竟最后的正确结果是多少呢?我们可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算
一算,同桌之间利用我们学过的知识或方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。
学生进行操作,教师巡视指导。
3.汇报交流。(请同学上台展示并交流)
师:请上台来展示你的做法和计算结果。六年级数学·上 新课标[人教]
1
预设 生1:(方法一)我们把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把4个 平均分成
5
1 2
2份,每份是2个 ,也就是 。
5 5
4
生2:(方法二)我们是把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把 平均分成两份,每
5
4 1 4 1 2
份就是 的 ,也就是 × = 。
5 2 5 2 5
4.更加深入地分析这两种方法。
师:你们的方法都展现了你们的聪明才智。现在我们更加深入地分析一下这两种方法。
1 1 4 2
第一种方法是将4个 平均分成2份,每份是2个 ,即用 的分子4除以整数2,得 。
5 5 5 5
4 4÷2 2
计算过程为: ÷2= = 。(板书)
5 5 5
4 4 1 2 4 4 1 2
第二种方法是把 平均分成2份,每份就是 的 ,得 。计算过程为: ÷2= × =
5 5 2 5 5 5 2 5
。(板书)
[设计意图] 通过学生的操作活动,直观地展示分数乘法的算理,突破重难点,帮助学
生掌握和理解正确的算理。
二、应用、比较计算方法
师:这是我们探索出的分数除法的计算方法,尝试选择一种方法来解决下面这个问题,
并加以验证。六年级数学·上 新课标[人教]
4
1.师:如果把这张纸的 平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
5
学生独立计算,再在小组内说一说。
2.汇报交流。
师:展示你的计算过程和验证方法。
4 4 1 4 1 4 4 4
预设 生1:把 平均分成3份,每份就是 的 ,用 × = ,也可以用 ÷3= 。(板
5 5 3 5 3 15 5 15
书)
可以用折纸的方法进行验证。
生2:我也是这样想的。
师:有用第一种方法计算的吗?
预设 生:没有。
师:为什么你们都没有选择用分数的分子直接除以整数呢?
预设 生:因为分子4除以3得不到整数。
师:不是每一种方法都适用任何题目的解决,有些方法有它的局限性,比如第一种方法
就只能在分子能被整数整除时用。所以我们要仔细思考,选择合适的方法计算。
[设计意图] 通过动手操作、尝试、观察等活动,使学生更深刻地理解第一种方法的
局限性,从而理解和掌握第二种方法。
3.巩固练习。
4
师:如果是把这张纸的 平均分成5份、6份,求其中的一份呢?
5
独立计算,集体订正。
4 4 1 4
预设 生1: ÷5= × = 。
5 5 5 25六年级数学·上 新课标[人教]
1 1
师:观察思考,计算过程中的5和 、6和 是什么关系?
5 6
预设 生:它们分别互为倒数。
师:我们可以怎样整理第二种算法?
预设 生:乘除数的倒数。
师:嗯,还比较简洁。
4.观察与整理。
师:同学们,观察我们这节课学的算式有什么特点。
预设 生:都是分数除以整数。
师:归纳、整理一下分数除以整数的计算方法吧!
5.共同小结。
分数除以整数有两种计算方法,第一种可以用分子除以整数,但分数的分子一定要能被
整数整除;第二种用分数乘这个整数的倒数,无论分数的分子能否被整数整除都可以进行计
算。
师:哪种方法更适合一般情况?
预设 生:第二种。
师:对这个整数有特别要说明的吗?
预设 生:这个整数不能是0,因为除数不能是0。
6.归纳总结。
一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。(板书)
师:下面我们一起做做练习,以巩固我们探究出来的计算方法。
1.教材第30页“做一做”。(板书)
指名板演,其他同学独立完成,集体订正。六年级数学·上 新课标[人教]
2.教材第34页练习七第1,2,3题。
(1)第1题。
说一说乘法算式中各数的关系。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。
根据乘法算式中各部分的关系完成。
开火车形式口答。
(3)第3题。
独立完成,集体订正。
9 9 1 3 3 3 1 3
【参考答案】 1.(教材第30页“做一做”) ÷3= × = ÷2= × =
10 10 3 10 8 8 2 16
15 3 15 3 6 3 2 6 2 3 5 1 5
2.(教材第34页练习七)1. ÷5= ÷ =5 ÷ = ÷ = 2.
4 4 4 4 35 7 5 35 5 7 7 7 8
5 7
7
16 15
8 4 4 1 1
4 3. ÷8= × = (m)
9 5 5 8 10
师:通过这节课的探究活动,我们知道了分数除以整数的计算方法,回顾一下。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:这个方法是否适用于分数除法中的任意情况呢?比如分数除以分数。下节课我们会
继续探讨这个问题。
作业1
教材第34页练习七第4题。
作业2
【基础巩固】六年级数学·上 新课标[人教]
1.(基础题)我会填。
3
(1) ÷9表示把( )平均分成( )份,每份是( ),也就是求( )的( )是多
4
少。
3
(2)把 米长的丝带平均剪成4段,每段长( )米,每段是这根丝带的( )。
4
3 3 ( )
(3) ÷6= × =( )。
5 5 ( )
2.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
2 2
÷4○ ×2
3 3
9 1
÷3○ ×2
10 10
7 7
÷1○ ×1
8 8
【提升培优】
3.(重点题)我会计算。
4 10 6
÷40 ÷5 ÷4
9 13 7
2
4.(难点题)工程队修一段路,12天修了全长的 ,平均每天修这段路的几分之几?
7
1 1
5.(重点题)如果a是一个大于0的自然数,那么 ÷a与 ÷6哪个大?为什么?
6 a
【思维创新】
1
6.(竞赛题)小马虎计算A÷5时,把除号写成乘号,结果是 ,正确的结果应该是多少?
3
【参考答案】
1 2 3 4 5 8
作业1:4.
5 7 8 15 21 27
3 1 3 1 3 1
作业2:1.(1) 9 (2)
4 12 4 9 16 4六年级数学·上 新课标[人教]
1 1 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1
(3) 2.< > = 3. 4. ÷12= 5. ÷a= × = , ÷6=
6 10 90 13 14 7 42 6 6 a 6a a
1 1 1 1 1 1 1 1 1
× = ,所以 ÷a与 ÷6一样大。 6.A= ÷5= ,正确结果是 ÷5= 。
a 6 6a 6 a 3 15 15 75
分数除以整数
4 4÷2 2
=
5 5 5
方法一: ÷2=
4 4 1 2
× =
5 5 2 5
方法二: ÷2=
4 4 1 4
× =
5 5 3 15
÷3=
归纳总结:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
9 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( )
÷3= × = ÷2= ○ =
10 ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) ( )
1.让学生充分进行操作活动,直观理解算理。
在整个计算方法的探究过程中,都是让学生进行折纸、画图的活动,然后进行小组交流,
全班交流,交流自己的折纸方法、计算过程及其算理。在这各种的活动中,学生是学习的主
体,教师只是起到指导作用。由折一折、画一画等活动更能帮助学生直观理解算理。
2.大胆猜测,小心求证,引导学生主动学习。六年级数学·上 新课标[人教]
4
在进入计算方法的探究前,让学生大胆猜测“ ÷2最后的结果是多少”。学生或许会
5
根据分数乘法来有理有据地猜测,也许会想当然。接着教师引导“究竟最后的正确结果是
多少呢”。可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算一算,同桌之间利用学过的知识或
方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。激发学生的求知欲和好奇心。
提问过于细化,致使教学中时间不够,条理不够清晰。
再教这个内容时,要注意给予学生更多表述的机会。六年级的学生已具备一定的自学
能力,教师要肯定学生,创造更多的活动,给予更多交流的时间。
【做一做·30页】
9 9 1 3 3 3 1 3
÷3= × = ÷2= × =
10 10 3 10 8 8 2 16
2
红星面粉厂将1 吨面粉平均分给5个学校食堂,每个食堂分得多少吨?
3
2 2
[名师点拨] 1 吨面粉平均分给5个食堂,就是把1 吨面粉平均分成5份,每个食堂
3 3
( 2 )
应得 1 ÷5 吨。
3
2 5 1 1
[解答] 1 ÷5= × = (吨)。
3 3 5 3六年级数学·上 新课标[人教]
【知识拓展】 一个带分数除以整数(0除外),要先把带分数化成假分数,再按照分数
除以整数的计算方法进行计算。
算数书
1984年初,在湖北江陵张家山的一座汉墓中出土了一批数学竹简,约有2000余支完好,
其中一支背面有“算数书”三字。学术界因此将其定名为《算数书》。它的成书年代在公
元前2世纪或更早一点,绝大多数内容和题目产生于秦或先秦,可归纳为算术和几何两大类。
其中对于分数除法,《算数书》有明确的颠倒相乘法。公元9世纪,印度数学家摩珂毗罗才
提出了分数除法法则,这比《算数书》晚了1000多年。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年7月1日~1716年
11月14日),德意志哲学家、数学家。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在
数学上,他和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,
而是发明了微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。
莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。1716年11月14日莱布尼茨于汉诺威逝世。2006
年7月1日莱布尼茨360周年诞辰之际,汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。
莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数):
1
第一行:
1
1 1
第二行:
2 2
1 1 1
第三行:
3 6 3
1 1 1 1
第四行:
4 12 12 4
1 1 1 1 1
第五行:
5 20 30 20 5
……六年级数学·上 新课标[人教]
根据前五行的规律,可以知道第六行的数依次是: 。
1 1 1 1 1 1
【参考答案】
6 30 60 60 30 6
第 课时 一个数除以分数
1.通过具体的问题情景,探索并理解一个数除以分数的计算方法。
2.掌握一个数除以分数的推理过程,运用转化思想理解计算方法的由来,能正确地进行
分数除法的计算。
3.让学生通过探索知识,体验成功的乐趣,树立学习的自信心。
【重点】
理解一个数除以分数的算理,并抽象概括出分数除法的计算法则。
【难点】
一个数除以分数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
口算。(课件出示)
5 4 5 2
18× × ×0
6 5 7 9六年级数学·上 新课标[人教]
8 3 6
÷4 ÷4 ÷2
9 7 11
口答。
4 2 3 3
【参考答案】 15 0
7 9 28 11
师:说一说怎样计算分数除以整数。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:如果把除数变成一个分数,我们该如何计算呢?今天我们就继续研究分数除法的其
他内容。(板书课题:一个数除以分数)
[设计意图] 由复习分数除以整数导入新知,是想运用顺势迁移和类比推理,理解和掌
握一个数除以分数的计算方法。
方法二
(课件出示题目)
一架飞机3小时飞行1800 km,这架飞机每小时飞行多少千米?
口头列式计算。
师:说一说题中存在什么数量关系?
预设 生:路程÷时间=速度。
师:生活中许多时候都是会用到这个数量关系来解决问题的。看看下面的情景图,你会
怎样来解决这个问题?
[设计意图] 由数量关系导入新知,减少列式上的难度。
方法三
师:生活中我们随处都会遇到实际的数学问题,看看图中,你会发现什么信息?(课件出
示主题图)
[设计意图] 直接导入情景图,不给学生提供任何暗示,那么学生在学习新知识时,就
会出现多种解题策略,有助于学生思维空间的拓展。
课件出示教学例2,一个数除以分数的计算方法六年级数学·上 新课标[人教]
2 5 5
小明 小时走了2 km,小红 小时走了 km。谁走得快些?
3 12 6
1.读题,理解题意。
2.列出算式,学生口答。
师:怎么理解“谁走得快些?”
预设 生:就是比较他们俩的速度,即谁每小时走的路程多。
师:如何解决?
2
预设 生1:小明平均每小时走:2÷ 。
3
5 5
生2:小红平均每小时走: ÷ 。
6 12
3.师:说出你列式的根据。
预设 生:我是根据数量关系式:速度=路程÷时间。
师:谁会计算出这两个算式的结果?
预设 生1:我们似乎没有学过。
生2:第一个算式是整数除以分数,第二个算式是分数除以分数。
2
4.师:观察很仔细。我们先尝试着算一算2÷ ,看看能不能找到整数除以分数的计算
3
方法。老师建议你们画个线段图帮助自己。
(1)学生计算,同桌互议。教师巡视指导。
(2)汇报交流。
师:谁能说一说你是怎样算的?
2 3
预设 生:老师,我是根据分数除以整数的计算方法模仿的,2÷ =2× =3(km),但是我
3 2
不太理解,为什么要这样做?六年级数学·上 新课标[人教]
师:你很聪明,会利用旧知识来解决新知识的问题。但是这个结果是否正确?实际的计
算方法是否真是这样?我们一起来解决这些难题。
(3)教师引导探究。
师:根据题意先画线段图,可以帮助我们更清晰地展现题目意思。
2
师:先画一条线段表示1小时走的路程,再思考如何表示 小时走了2千米。(板书)
3
2
预设 生:“ 小时走了2 km”就是把1小时所走的路程平均分成3份,其中的2份的路
3
程是2 km。(板书图)
师:仔细看图,思考一下,老师理解的对吗?
预设 生:是对的。
师:看图想一想,小组讨论,要求1小时走了多少千米,我们可以怎样做?小组讨论。汇报
交流。
2
预设 生:已知 小时走了2 km,要求1小时走了多少千米,我们可以先算出其中的一份
3
1
是多少,即 小时走了多少千米。再乘3,就是1小时走的路程。
3
根据学生回答,把线段图补充完整。(板书图)六年级数学·上 新课标[人教]
1
师:要求 小时走了多少千米,也就是求什么?
3
1
预设 生:就是求2 km的 是多少。
2
1 1 1
师:求 小时走了多少千米,也就是求2 km的 。再求3个 小时,即1小时走了多少千
3 2 3
米。(板书思路)
2 1
2÷ =2× ×3
3 2
2 1 3
(板书:小明平均每小时走:2÷ =2× ×3=2× =3(km))
3 2 2
1
师:再来巩固一下思考的过程。说出2× ×3中每一步的意义。
2
1 1 1
预设 生1:2× 是表示2 km的 是多少,也就是 小时走了多少千米。
2 2 3
1
生2:“×3”,1小时里面有3个 小时,就是求1小时走了多少千米。师完善计算过程。
3
(板书)
2 1 3
2÷ =2× ×3=2× =3(km)
3 2 2
师:为什么老师要回转过来写成“2×”,而不是直接约分计算出结果?
2 3
预设 生1:为了引导我们发现 和 是什么关系?
3 2
2 3
生2:我发现 和 互为倒数。
3 2六年级数学·上 新课标[人教]
2 3
师:从2÷ =2× 可以得出什么结论?
3 2
预设 生:整数除以分数可以用整数乘这个分数的倒数来计算。
(4)师:你们的结论很正确。我们再试着算一算。(出示计算题)
2 6
5÷ 12÷
3 7
学生上台板演,再全班交流。
15
【参考答案】 14
2
5.拓展延伸。
5 5
(1)尝试计算 ÷ 。
6 12
师:请尝试计算,再找出分数除以分数的计算方法。
(2)学生独立计算,教师巡视。
(3)汇报交流,师生研讨。
5 5 5 12
预设 生1: ÷ = × =2(km)。
6 12 6 5
生2:我画了线段图。(板书线段图)
1 5 1
要求1小时走了多少千米,先要求出 小时走了多少千米,即 km的 是多少。再求
12 6 5
1
12个 小时是多少千米。(板书思路)
12
5 5 5 1 5 12
÷ = × ×12= × =2(km)
6 12 6 5 6 5六年级数学·上 新课标[人教]
5 5 5 12
(板书:小红平均每小时走: ÷ = × =2(km))
6 12 6 5
师:第二位同学的分析和思维过程十分清晰,值得学习。
师:归纳一下分数除以分数怎么计算?
预设 生:分数除以分数可以用分数乘这个分数的倒数计算。
(4)巩固练习。
师:试着计算下面两道题。
8 4 5 3
÷ ÷
9 7 12 8
学生独立计算,再交流。
14 10
【参考答案】
9 9
[设计意图] 对于分数除以分数的计算方法的探究,要全方位地放手让学生自主探索。
因为前面学过整数除以分数,这里的新知识可以进行迁移和类推,有利于学生思维能力的提
高。
6.师:把我们所探讨的两种情况的计算方法一起用一句话概括一下。
预设 生:分数除以分数和整数除以分数的计算方法一样,计算时都是乘这个分数的倒
数。
师:还可以简洁一些吗?整数、分数都可以说成“一个数”。
预设 生:一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数。
师:可以把前面学的分数除以整数和今天的一个数除以分数总结成一个计算方法吗?
预设 生:一个数除以另一个数,等于乘它的倒数。
师:嗯,概括性很强。老师把它记录下来。(板书)
除以一个数,等于乘这个数的倒数。
师:这句话中有需要特别说明的地方吗?
预设 生1:一个数可以是整数,也可以是分数。
生2:除数不能是0。
生3:被除数不变。
生4:除号变为乘号。六年级数学·上 新课标[人教]
生5:除数变成它的倒数。
师:怎样说?
预设 生:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
完善计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。(板书)
7.解决问题。
师:回到例题情景,现在你能回答出“谁走得快些”了吗?
预设 生:小明走得快些。
教材第32页“做一做”第1,2,3题。
(1)第1题。
学生独立完成,注意按照计算法则做,能够口算的,要用口算。集体订正。
(2)第2题。
学生独立完成,指名学生板演,要求写出具体的计算过程。集体订正,回顾算理。
(3)第3题。
①读题,理解题意。
②不计算,独立判断。想一想判断的依据是什么。
③计算验证。
④归纳小结:一个数(大于0)除以比1小的数(0除外),商比原数大;一个数(大于0)除
以比1大的数,商比原数小。
8 9 7 4 7 5 35 2 3 39 9
【参考答案】 1.24÷ =24× =27 ÷ = × = 2.
9 8 16 5 16 4 64 9 26 2 28
3 1 2 14 7 4 4 6 15 5
3.商大于被除数:9÷ ÷ ÷ ÷ 商小于被除数: ÷3 ÷2 6÷
4 2 3 9 30 5 5 7 8 4
5 5
÷
7 2
师:通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:我学会用线段图来分析和理解题目。
生2:我知道了一个数除以一个不为0的数,等于乘它的倒数。
……
作业1
教材第34页练习七第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
2 8 2
(1) ÷ = ×( )=( )。
3 15 3
1 3
(2) ×( )=15,( )千克的 是30千克。
8 10
1
(3)有一根长5米的绳子,每段截成 米,则可以截成( )段;如果把它平均截成10段,每
5
段长( )米。
2.(基础题)算一算。
25 5 13 39
÷ = ÷ =
16 48 22 44
7 27 1
× = 0÷ =
27 14 2
3.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
5 5
÷5○
6 6
3 2 3
÷ ○
4 3 4
4 4
12÷ ○12×
5 5六年级数学·上 新课标[人教]
5 5
÷1○ ×1
12 12
4.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)两个真分数相除,商大于被除数。 ( )
(2)一个数除以假分数,商一定小于被除数。 ( )
【提升培优】
4 1
5.(情景题)把 L果汁分装在容量是 L的小瓶里,可以装几瓶?
5 5
9 1
6.(情景题)两个修路队合修一段公路。甲队3天修了 km,乙队2天修了 km。甲队每
10 2
天比乙队多修多少千米?
【思维创新】
1 2 3
7.(竞赛题)一个分数连续除以 , , 的商是自然数,这个分数最小是多少?
2 3 4
【参考答案】
5 3 4 3 5 5 4 3 3 1 3
作业1:5. 6. ÷ = ×4=3(瓶) 7.1分钟=60秒 60
12 2 9 4 7 8 3 7 4 4 4
1 1 1 1 1
÷ =60×25=1500(个) 8.0.5÷ =0.5×24=12(张)或 ÷ = ×24=12(张) 1分钟
25 24 2 24 2
1
=60秒 60÷ =60×24=1440(张)
24
15 5 1 2 1
作业2:1.(1) (2)120 100 (3)25 2.15 0 3.< > > = 4.
8 4 2 3 2
4 1 9 1 1
(1)√ (2)✕ 5. ÷ =4(瓶) 6. ÷3- ÷2= (km) 7.大于0的自然数最小是1,
5 5 10 2 20
1 2 3 1
所以当这分数最小时,商是1,这个分数就是1× × × = 。
2 3 4 4
一个数除以分数六年级数学·上 新课标[人教]
1 1 1
思路:先求 小时走了多少千米,也就是求2 km的 。再求3个 小时,即1小时走了多少
3 2 3
千米。
2 1 3
小明平均每小时走:2÷ =2× ×3=2× =3(km)
3 2 2
1 5 1 1
思路:先求 小时走了多少千米,也就是求 km的 。再求12个 小时,即1小时走了多
12 6 5 12
少千米。
5 5 5 12
小红平均每小时走: ÷ = × =2(km)
6 12 6 5
归纳小结:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
数学问题教学来源于生活,而又应用于生活。因此在本节课的设计上我从现实生活的
情景中引入,让学生经历“复习问题——解决问题——归纳方法——运用方法”的过程。
为了突破教学的重点与难点,教学过程中主要借助线段图,引导学生探索并理解分数除法的
计算方法,真正使学生理解算理,学会方法与技巧。六年级数学·上 新课标[人教]
2
在尝试计算2÷ 时,出现了冷场现象,学生有些不知从何开始分析理解。
3
再教这个内容时,我会省掉此环节,直接引导学生用线段图来分析,当然,引导时,要放
手让学生根据步骤独立画图,而不是由教师画图。
【做一做·32页】
8 9 7 4 7 5 35 2 3 39 9 6 6 15
1.24÷ =24× =27 ÷ = × = 2. 3. ÷3< , ÷2<
9 8 16 5 16 4 64 9 26 2 28 7 7 8
15 5 5 5 5
,6÷ <6, ÷ < 。一个数除以大于1的数,商
8 4 7 2 7
3 1 2 1 14 7 14 4 4 4
小于被除数。9÷ >9, ÷ > , ÷ > , ÷ > 。一个数除以小于1的数(0除
4 2 3 2 9 30 9 5 5 5
外),商大于被除数。总结规律:一个数(大于0)除以小于1的数(0除外),商大于被除数;除
以1,商等于被除数;除以大于1的数,商小于被除数。
4 1
一堆苹果重 吨,装入一些纸箱中,每个纸箱能装 吨,需要多少个这样的纸箱?
5 40六年级数学·上 新课标[人教]
1 4
[名师点拨] 已知每个纸箱能装 吨,苹果一共重 吨,得知纸箱的数量×每个纸箱装
40 5
1 4
的质量=这堆苹果的质量。列出等量关系式:纸箱的数量× 吨= 吨,已知两个因数的积
40 5
4 1
和其中一个因数 ,求另一个因数的运算用除法列算式。
5 40
4 1 4
[解答] ÷ = ×40=32(个)。
5 40 5
【知识拓展】 分数除以整数(0除外)、整数除以分数或分数除以分数,都可以把它看
成是甲数除以乙数(0除外)的形式,把除法转化成乘法,把乙数转化成其倒数的形式。
河边洗碗
我们现在只要打开自来水龙头,就可以接到水洗碗了,非常方便。
古时候没有自来水,吃过饭要洗碗,只能提一只大篮子,装着碗、筷、瓢、盆到河边去
洗。大家都到河边去,见面要说话,有问有答,题目就多了。下面是中国古代数学书《孙子
算经》里的一道关于洗碗的算术题。
妇女在河边洗碗。有人问她,为什么要洗这么多碗?妇女答,家里来了客人。那个人又
问,有多少客人?妇女反问道,二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉,共用碗六
十五个,你说有多少人?
“二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉”,平均分配,每个人能分到几大
碗饭?几大碗汤?几大碗肉?每个人共计分用几个大碗?
1 1 1 13
利用分数,容易算出每个人用的大碗个数是 + + = (个)。
2 3 4 12
13
用大碗总数除以每人所用大碗数,即65÷ =60,得到客人总数是60人。
12
线段图
线段图是由几条线段组合在一起,用来表示应用题中的数量关系,帮助人们分析题意、
解答问题的一种平面图形。特点:从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程。线段图六年级数学·上 新课标[人教]
以其形象、直观的特点,在数学教学中广泛应用。在数学教学中,注重让学生运用线段图来
解决实际问题,有效地提高了学生的自我学习能力和创新能力。
第 课时 分数混合运算
1.理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算。
2.根据生活情景,使学生经历解决实际问题的过程,理解分数混合运算的运算顺序,培
养学生的理解能力和解决问题的能力。
3.使学生经历小组合作、问题探究的过程,体验合作学习和探究学习的方法。
【重点】
理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并能用分数乘除混
合运算解决实际问题。
【难点】
理解分数连除和分数乘除混合运算相互转化的算理。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.口算。(课件出示)
1 1
÷5 6÷
3 3六年级数学·上 新课标[人教]
5 5 7 4 2
÷ × ×
6 9 8 7 5
师:口答,说一说怎样计算。
预设 生1:分数除法的计算方法是:除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。
生2:分数乘法计算时,能约分的要先约分,再分子和分母分别相乘。
1 3 1
【参考答案】 18
15 2 5
2.不计算,说一说计算顺序。
18+12×20 125÷5×18
180÷9÷2 289-18×(2.5+6.8)
师:说一说整数、小数四则混合运算的运算顺序是怎样的?(答案略)
预设 生1:没有括号的,是同一级运算,就按照从左到右的顺序计算;含有两级运算,就
先乘除,后加减。
生2:有小括号的,就先算小括号里面的。
师:我们已经学习过分数乘法、除法,如何进行分数的四则混合运算呢?今天我们一起
来研究。(板书课题:分数混合运算)
[设计意图] 先复习有关的旧知识,唤起学生的记忆,为新知识的学习做好铺垫。
方法二
师:你生病了,会怎么做?
预设 生1:会去看医生。
生2:普通的病,会要爸爸妈妈给药吃。
生3:有些病,我是自己找药吃。
……
师:我建议你们生病后最好先找医生看看再服药。
师:吃药时,要注意什么?
预设 生1:要注意吃的药是否正确。
生2:要看看使用说明书或听医生的交代,弄清楚如何服药。
生3:有些药在吃的时候还需要注意饮食,哪些东西能吃,哪些东西不能吃。
……六年级数学·上 新课标[人教]
师:你们的生活经验很丰富。看看下面的图,你知道了什么?(出示课件)
[设计意图] 从贴近学生的生活情景出发,一是感受到数学与生活的紧密联系,二是体
会到知识之间的关系,三是丰富学生的生活经验。
方法三
师:小丽生病了,妈妈带她去看医生,医生给她一盒药,并交代了一些事。看图,你知道
了什么?(课件出示不完整的主题图)
预设 生:知道了这盒药有12片,每次吃半片,每天吃3次。
师:你能提出什么问题?
预设 生:这盒药可以吃多少天?
师:试着解决这个问题。
[设计意图] 从情景图直接进入新知识的学习,让学生更主动、注意力更加集中。
课件出示教学例3,分数的混合运算
1.师:观察图,说一说从图中你可以得到哪些信息?
预设 生1:这盒药共12片,每次吃半片,每天吃3次。六年级数学·上 新课标[人教]
生2:要解决的问题是“可以吃几天?”。
2.讨论解决问题的方法。
师:怎样解决这一问题呢?尝试列式解答。学生独立解题,再全班交流。
3.汇报交流。
师:说一说你的解题思路是什么。
1 3 3
预设 生1:我是先算每天吃多少片, ×3= (片),再算可以吃多少天,12÷ =8(天)。
2 2 2
(板书)
1
生2:我是先算一盒药可以吃几次,12÷ =24(次),再算可以吃多少天,24÷3=8(天)。
2
(板书)
4.写出综合算式,理清混合运算的计算顺序。
师:请写出这两种解法的综合算式,并尝试计算。
(1)学生独立列式计算。
(2)汇报交流。
(1 ) 1 3 3
预设 生1:我的解法的综合算式是:12÷ ×3 ,先算 ×3 = ,再算12÷ =8(天)。
2 2 2 2
(板书)
1 1
生2:我的解法的综合算式是:12÷ ÷3,先算12÷ =24,再算24÷3=8(天)。(板书)
2 2
师:想一想,第2个算式是分数连除,还可以怎么算?
预设 生:可不可以一次性地把除法转化成乘法,变成连乘再计算?
师:你们可以试一试他的这种提议。
学生再次计算。
师:感觉怎么样?
预设 生:计算比较简单,可以直接约分。六年级数学·上 新课标[人教]
师:看来解决问题时,要多进行尝试,寻求多种解题途径,不能固守一种方法。
5.小结计算顺序。
师:通过刚才的计算,你们对分数的混合运算有哪些要概括的知识点?
预设 生1:有小括号的要先计算小括号里面的,再计算小括号外面的。
生2:没有小括号的分数乘除混合运算,要按从左到右的顺序计算。
生3:计算分数连除或乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的
方法进行计算。
师:大家总结得很好。其实分数四则混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。
6.尝试计算。(课件出示并板书)
3 5 1 3 (1 3) 3
× + ÷ - ÷
20 6 4 8 2 8 4
(1)师:同桌互相说一说这两题的计算顺序,再独立计算。
(2)独立计算,指名两位学生板演。
(3)集体交流,说一说在计算中应注意什么。
预设 生1:注意按正确的计算顺序进行计算。
生2:计算过程中要注意分数加、减、乘、除的计算方法要正确,别弄混了。
生3:计算过程中,计算要认真。
生4:有括号的,先算括号里面的。
……
7.归纳算法。
分数四则混合运算,先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的。六年级数学·上 新课标[人教]
2 8
1.出示课件:一艘客船 小时航行了18 km,照这样的速度,它 小时航行了多少千米?
3 9
(1)学生读题,理解题意。
(2)说一说题中存在哪几种量?它们之间是什么关系?
速度×时间=路程
路程÷时间=速度
路程÷速度=时间
(3)根据关系式独立完成,再集体订正。
2.教材第33页“做一做”。
(1)学生读题,理解题意。
(2)师:求玻璃的面积也就是求什么的面积?
预设 生:求梯形的面积。
师:还记得梯形的面积公式吗?
(3)独立完成,汇报交流。
3.教材第35页练习七第9,10题。
(1)第9题。
先说一说运算顺序,再独立完成,指名学生板演,最后集体订正。
(2)第10题。六年级数学·上 新课标[人教]
学生读题,理解题意,独立完成,交流解题思路。
2 8 (3 4) 3 21
【参考答案】 1.18÷ × =24(km)2. + × ÷2= (m2) 3.(教材第35页练
3 9 5 5 4 40
1 14 6 5 1 1
习七)9. 0 10.2÷ ×6=24(分钟)或6÷ ×2=24(分钟)
14 3 5 16 2 2
通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
作业1
教材第35页练习七第11,12题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)算一算。
3 3
12× ÷
4 5
( 1) 7
1- ÷
8 9
1 4 1 3 1 2
× + × + ×
2 9 2 9 2 9
2.(易错题)判断正误,若错误,请改正过来。
2 ( 9 1) 1 5
× - + ×
3 16 4 3 16
2 5 1 5
= × + ×
3 16 3 16
(2 1) ( 5 5 )
= + + +
3 3 16 16六年级数学·上 新课标[人教]
10
=1+
16
13
= ( )
8
【提升培优】
3.(重点题)计算,能简算的要简算。
1 [(5 1) ]
÷ - ×3
12 6 2
8
8÷9×
9
(12 3 3) 25
- ÷ ÷
7 14 4 49
9 3
4.(情景题)一块地有 公顷,用2台拖拉机耕种, 小时可以耕完。平均每台拖拉机每小
10 4
时耕地多少公顷?
2
5.(难点题)小强去外婆家玩,去时平均每小时行12千米, 小时到了外婆家。返回时只用
3
1
了 小时,返回时平均每小时比去时多行多少千米?
2
【参考答案】
1 3
作业1:11.50÷15×(7-1)=20(m)或(7-1)÷15×50=20(m) 12.240÷ × =720(袋)或
4 4
3 1
240× ÷ =720(袋)
4 4六年级数学·上 新课标[人教]
3 3 3 5 ( 1) 7 7 7 7 9 9
作业2:1.12× ÷ =12× × =15 1- ÷ = ÷ = × =
4 5 4 3 8 9 8 9 8 7 8
1 4 1 3 1 2 1 (4 3 2) 1 1
× + × + × = × + + = ×1= 2.✕ 改正:
2 9 2 9 2 9 2 9 9 9 2 2
2 ( 9 1) 1 5 2 5 1 5 (2 1) 5 5
× - + × = × + × = + × = 3.
3 16 4 3 16 3 16 3 16 3 3 16 16
1 [(5 1) ] 1 [(5 3) ] 1 1 8 8 8 64 12
÷ - ×3 = ÷ - ×3 = ×1= 8÷9× = × = -
12 6 2 12 6 6 12 12 9 9 9 81 7
3 3 25 12 3 4 49 12 2 49 10 49 14
÷ ÷ = - × × = - × = × =
14 4 49 7 14 3 25 7 7 25 7 25 5
2 1
÷
3 2
(公顷) 5.12× =16(千米) 16-
12=4(千米)
10
返回时平均每小时比去时多行4千米 6.
9六年级数学·上 新课标[人教]
1.运用教材情景图,感受数学与实际生活的联系。
本节课设计了两种复习题,让学生感受旧知识与新知识的联系,借助具体情景,让学生
感受到分数四则混合运算在生活中的实际应用,并通过具体情景,让学生自主参与到新知识
的学习过程中来。让学生通过多种形式的练习,在数学学习过程中发现运算顺序,掌握运算
顺序,并合理地进行计算。
2.引导学生自主探索,并适当指导。
本节课的内容因为有整数四则混合运算为基础,学生学习起来并不是很难,所以放手给
学生自主探索的空间和时间。这节课中,学生自己独立尝试的次数较多,交流的次数也多,
学生能主动进行学习。在教学过程中,教师并没有脱离开学生,总是适时地给予引导和提示,
这样避免学生学习中走弯路。
练习的量略有不足,主要是没有分出层次,出现了优等生吃不饱的现象。六年级数学·上 新课标[人教]
再教这个内容时,要设计有层次的练习,并且适当有所提高和拓展,给优等生发展的空
间。
【做一做·33页】
(3 4) 3 1 21
+ × × = (m2)
5 5 4 2 40
【练习七·34页】
15 3 15 3 6 2 3 6 3 2 5 1 5 5 7 8
1. ÷5= ÷ =5 ÷ = ÷ = 2. 7 43.
4 4 4 4 35 5 7 35 7 5 7 7 8 16 15 9
4 4 1 1 1 2 3 4
÷8= × = (m) 4.
5 5 8 10 5 7 8 15
5 8 5 3 4 3 5 5 4 3
5.
21 27 12 2 9 4 7 8 3 7
3 1 3 1 1 1
6. ÷ = ×4=3(瓶) 7.1分=60秒 60÷ =1500(个) 8. ÷ =12(张) 1分=60
4 4 4 25 2 24
秒
1 1 14 6 5 1
60÷ =1440(张) 9. 0 10.6÷ ×2=24(分) 11.50÷15×(7-
24 14 3 5 16 2
1 3 3 18 3
1)=20(m) 12.240÷ × =720(袋) 13. 70
4 4 44 5 4
7 9 3 3 7 3 9
14.x= x= x= x=
72 10 4 19 10 7 2六年级数学·上 新课标[人教]
6 3 9 7 7
÷
15. =100(小时) 16.3分=180秒 180÷ =2000(个) 17.
5 250 100 15 10
14 7 2 3 1
,我发现得数等于原来的数。因为 , 的倒数与 的积正好是1。也就是除以
15 15 3 4 2
2 3 1
, ,再乘 ,实际上相当于除以或乘1。
3 4 2
1 4 1
计算 ÷3+ × 。
5 5 3
1 1 1 1 1 4 1
[名师点拨] 先把 ÷3写成 × 的形式,变成了 × + × 。根据乘法分配律,把
5 5 3 5 3 5 3
1 (1 4)
算式变成 × + 再计算。
3 5 5
1 4 1 1 1 4 1 1 (1 4) 1 1
[解答] ÷3+ × = × + × = × + = ×1=
5 5 3 5 3 5 3 3 5 5 3 3
【知识拓展】 分数的乘除混合运算中,乘法的三条运算定律同样适用。
9 10
计算8.4× +1.6÷ 。
10 9
[名师点拨] 在算式中,如果有小数,可以把小数化成分数再计算。题中先把除号转化
10 9 9
成乘号,乘 的倒数 ,然后把各自式子中公有的 提出来,再计算。
9 10 10
9 10
[解答] 8.4× +1.6÷
10 9六年级数学·上 新课标[人教]
9 9
=8.4× +1.6×
10 10
9
=(8.4+1.6)×
10
9
=10×
10
=9
古代的分数除法
世界上系统叙述分数最早的著作是我国的《九章算术》,它给出了相当完整的分数运
算法则,基本上和现在的算法一致。该书介绍分数除法(称之为“经分”)表示为
a c ad bc ad
÷ = ÷ = 。分数除法的
b d bd bd bc
颠倒相乘法过去人们认为是公元3世纪刘徽创造的。
分数的起源——破碎数
在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人叫做是
“破碎数”。
在数的历史上,分数几乎与自然数同样古老,在各个民族最古老的文献里,都能找到有
关数的记载,然而,分数在数学中传播并获得自己的地位,却用了几千年的时间。
在欧洲,这些“破碎数”曾经令人谈虎色变,视为畏途。7世纪时,有个数学家算出了一
道8个分数相加的习题,竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里,欧洲
数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为许多学生遇到分数后,
就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。直到17世纪,欧洲的许多学校不得不派最好的教
师去讲授分数知识。以致到现在,德国人形容某个人陷入困境时,还常常引用一句古老的谚
语,说他“掉进分数里去了”。六年级数学·上 新课标[人教]
一些古希腊数学家干脆不承认分数,把分数叫做“整数的比”。古埃及人更奇特,他们
1
表示分数时,一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点,表示这个数是 ;
5
1 2 1
在7上面加一个小圆点,表示这个数是 。那么,要表示分数 怎么办呢?古埃及人把 和
7 7 4
1 2
摆在一起,说这就是 。
28 7
1 1 2
和 怎么能够表示 呢?原来,古埃及人只使用单分子分数。也就是说,他们只使用
4 28 7
1 1
分子为1的那些分数,遇到其他的分数,都得拆成单分子分数的和。 和 都是单分子分
4 28
2
数,它们的和正好是 ,于是就用其来表示。那时还没有加号,相加的意思要由上下文显示
7
1 1 2
出来,看上去就像把 和 摆在一起表示了分数 。
4 28 7
第 课时 已知一个数的几分之几是多少,求这个数
1.使学生掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,能熟练地列方
程解答这类问题。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.感悟分数乘、除法应用题之间的内在联系,培养推理能力,提高分析问题、解决问题
的能力。
【重点】六年级数学·上 新课标[人教]
掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段
图帮助分析数量关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
1.说出下面各题中是把哪个量看做单位“1”,再说出数量关系。(课件出示)
1
(1)男生人数是女生人数的 。
2
2
(2)灰兔只数的 是白兔只数。
3
3
(3)小华的体重是妈妈体重的 。
5
师:口答这些题目。
1
预设 生1:男生人数是女生人数的 中,把女生人数看做单位“1”。数量关系是:女生
2
1
人数× =男生人数。
2
2
生2:灰兔只数的 是白兔只数中,把灰兔的只数看做单位“1”。数量关系是:灰兔只
3
2
数× =白兔只数。
3六年级数学·上 新课标[人教]
3
生3:小华的体重是妈妈体重的 中,把妈妈的体重看做单位“1”。数量关系是:妈妈
5
3
的体重× =小华的体重。
5
4
2.小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的 ,小明体内有多少千克水分?
5
(1)学生读题,说一说题中的条件与问题。
(2)找出题中的单位“1”,说出数量关系。
4
预设 生1:题中的条件是小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的 ,所求的
5
问题是小明体内有多少千克水分?
生2:单位“1”是小明的体重。
4
生3:数量关系是:小明的体重× =小明体内水分的质量。
5
4
生4:列式是:35× ,计算结果是28(千克)。
5
师:刚才我们解决的是分数乘法的实际问题。说一说解答分数乘法实际问题的关键是
什么。
预设 生:找单位“1”和数量关系。
师:今天这节课我们来学习“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法。
(板书课题)
[设计意图] 由相关的旧知识的复习导入,一方面可以巩固学生对旧知识的掌握,另一
方面对新知识的学习做好知识铺垫,让学生能通过知识迁移和类比推理理解和掌握新知识。
方法二
师:前面我们已经学习了分数除法的计算方法,今天我们来学习用分数除法解决实际问
题。(板书课题:已知一个数的几分之几是多少,求这个数)
[设计意图] 由相关的分数除法过渡到新知识的学习,一是可以让学生感受到知识之
间的内在联系,二是给学生提示学习的内容还是与分数除法有关的,学生可以用相关的知识
解决问题。六年级数学·上 新课标[人教]
方法三
师:人体是一个非常奇妙的物体,隐藏着许多的秘密。(课件出示情景图的一部分)
2 4
预设 生:成人体内的水分约占体重的 ,儿童体内的水分约占体重的 。(出示完整的
3 5
情景图)
师:你能求出小明重多少千克吗?
[设计意图] 由学生感兴趣的知识入手,既能吸引学生注意力,激发求知欲,又能让学
生感受到各学科之间的联系。
课件出示教学例4,已知一个数的几分之几是多少,求这个数
小明重多少千克?
1.阅读与理解。
师:你能收集到什么信息?
2 4
预设 生1:成人体内的水分约占体重的 ,儿童体内的水分约占体重的 。
3 5
生2:小明体内有28 kg水分。
师:解决“小明重多少千克”这一问题,需要哪些条件?(课件出示阅读与理解的内容)
请根据提示独立完成对题目的理解。学生独立解决,全班交流。六年级数学·上 新课标[人教]
4
预设 生:小明体内有28 kg水分。儿童体内的水分约占体重的 。
5
师:在解决问题时,有些条件是多余的,要认真审题,筛选与问题相关的条件。
2.分析与解答。
(1)师:找出题中的单位“1”,分析数量关系。
师:你能用线段图表示出它们的关系吗?
学生独立画出线段图,小组交流。
(2)汇报交流,讲解线段图的画法。
预设 生:先画一条线段表示小明的体重(单位“1”),把这条线段平均分成5份,其中的
4份表示体内的水分,正好是28 kg,再标出要求的问题。(板书图)
(3)发现数量关系。
[设计意图] 画线段图本是难点,但此处却让学生自己来操作。一是教师的引导不要
过细,适当增加难度,可以增强学生的进取精神和钻研精神。二是锻炼学生的分析能力和小
组合作意识。
师:你们的线段图现在越画越精准了,真不错。观察上面的线段图,你从中可以得出什
么数量关系?
4
预设 生:小明的体重× =小明体内水分的质量。(板书)
5
(4)列式解答。
师:请同学们以小组为单位尝试列式解答。
学生小组合作解决问题,再交流。教师巡视指导。
师:小组选派代表上台展示,并阐述解题思路。
预设 生1:我们小组是根据等量关系列方程来解答的。小明的体重是一个未知量,我们
就把它设成未知数x。(板书)六年级数学·上 新课标[人教]
解:设小明重x kg。
4
x=28
5
4
x=28÷
5
x=35
生2:我们小组是用除法算式计算的。根据除法是乘法的逆运算,一个因数等于积除以
4 4
另一个因数,上面的数量关系可以写成:小明体内水分的质量÷ =小明的体重,即28÷
5 5
=35(kg)。(板书)
[设计意图] 列方程解决问题是已学知识,但要唤起学生的记忆、灵活运用知识的能
力。学了知识,要会根据情况进行调动与应用,而不是纯粹的记忆和反复练习。所以,此处
放开学生,给他们自主活动的空间,更能激发学生的潜能,也能寻求到多种解题的策略。
师:你们的分析能力越来越强,思维也越来越清晰,并能够把所学过的知识融会贯通,真
是聪明。
师:回顾整理一下,让我们的思路更清晰。第一种解法是根据数量关系,把未知]的量设
成x,再列方程解决问题。第二种解法是根据除法是乘法的逆运算和分数除法的意义,把数
量关系进行转换,直接用除法计算,即“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”。(板书)
(5)分析、比较两种解法。
师:比较两种不同的解答方法。说一说它们各有什么优点?
预设 生1:我认为用方程解决问题是顺着数量关系进行列式的,不用像算术方法那样要
把数量关系进行转换,很直截了当。
生2:我认为算术方法计算很简单,根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”可以列
式。只是思维时是倒着想的,有点难度。
师:看来任何解法都会有优劣,同学们要根据具体的问题和自己熟悉的解法来进行选择。
3.回顾反思。
师:用方程解决问题后,如何验证结果是否正确?用你的想法先验证一下,再交流。全班
学生独自验证。六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:我是把求出来的“小明重35千克”代入原题,看结果是不是题目中小明体内
水分的质量。如果是,说明解答正确,最后写上答语。
4.比较例4与练习八第2题,说一说这两题有什么联系与区别?
预设 生1:数量关系不同,单位“1”不同,已知条件不同,问题不同。
生2:解决问题所用的方法相同。
5.巩固练习。(出示教材练习八第1题)
师:独立分析,选用合适的解法解决问题。
师:说说自己的想法。
预设 生1:我是用方程来解答的。单位“1”是南北的距离。
52
数量关系是:南北的距离× =东西的距离。
55
解:设南北相距x千米。
52
x× =5200
55
52 52 52
x× ÷ =5200÷
55 55 55
55
x=5200×
52
x=5500
答:南北相距5500 km。
生2:我是用除法来解答的。单位“1”是南北的距离。根据“数量÷对应的分率=单
52 55
位‘1’的量”,列式为5200÷ =5200× =5500(km)。
55 52
6.总结方法。
师:解简单的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法:
(1)方程解法:①找出单位“1”,设未知量为x;②找出题中的数量关系;③列出方程解
答。
(2)算术方法:①找出单位“1”;②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几;③
列出除法算式,即:数量÷对应的分率=单位“1”的量。六年级数学·上 新课标[人教]
教材第39页练习八第2,3题。
(1)第2题。
①学生读题,理解题意。说一说解这一题需要哪些条件。
②引导学生找出单位“1”,再根据数量关系进行计算。
(2)第3题。
独立完成,集体订正。
3 3 4
【参考答案】 2.解法1:设一个成年人一天大约需要x g钙质。x× = ,x= 解
8 10 5
3 3 3 8 4 40
法2: ÷ = × = (g) 3.解法1:设宇宙飞船的速度大约是x千米/秒。x×
10 8 10 3 5 57
40 40 40 57 2 40 57 2
=8,x× ÷ =8÷ ,x=8× ,x=11 解法2:8÷ =8× =11 (千米/秒)
57 57 57 40 5 57 40 5
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道可以用两种不同的方法来解决“已知一个数的几分之几是多少,求这
个数”这一类问题。
生2:列方程解决问题和算术方法解决问题都要先找到单位“1”。
生3:列方程解决问题是顺着数量关系列式的。
生4:用除法来解决这一类问题时,我们是根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”
列式的。
生5:最后都要进行检验。可以把结果代入原题进行计算,再比较,看计算的结果是不是
原题中已知的数量。
作业1
教材第39页练习八第4,5题。六年级数学·上 新课标[人教]
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)妈妈给小林一些钱,小林买毛衣花了90元,买裤子花了60元。买这两样衣物花
3
的钱数是妈妈给小林钱数的 ,妈妈给小林多少钱?
4
【提升培优】
2.(难点题)画线段图表示下面各题中的数量关系,并写出数量关系式。
2
(1)鸡的只数是鸭的只数的 。
3
3
(2)女生人数占全班人数的 。
5
【思维创新】
5 10
3.(易错题)赵老师的讲桌上有红粉笔16支,白粉笔的支数是红粉笔的 ,又是蓝粉笔的 。
4 11
蓝粉笔有多少支?
【参考答案】
2 2
作业1:4.(1)解法1:设图书馆共有x本书。 x=320 x=800 解法2:320÷ =800(本)
5 5
4 4 1
(2)解法1:设图书馆有x本故事书。 x=320,x=240解法2:320÷ =240(本) 5.
3 3 16
3 39 2 3 220 3
15 12 49
14 2 3 2 3 4六年级数学·上 新课标[人教]
3
4
作业2:1.解:设妈妈给小林x元。 x=90+60,x=200 2.(1)
2
数量关系:鸭的只数× =鸡的只数
3
3
5
(2) 数量关系:全班人数× =女生人数 3.解:设蓝粉
10 5
笔有x支。x× =16× ,x=22
11 4六年级数学·上 新课标[人教]
1.通过复习,沟通分数乘、除法之间的联系,为列方程解决问题做好铺垫。
在复习中设计了找单位“1”和解决“求一个数的几分之几是多少”的乘法问题,接着
转换问题和条件的位置,成为例题,这样,一方面巩固对旧知识的掌握,另一个方面为新知识
的学习做好铺垫。特别是让学生对分数乘、除法之间的关系有了解,对列方程解决问题起
到引导作用。
2.开放教学,重视学生能力的培养和思维品质的提高。
不管是画线段图,还是根据线段图的理解列式计算,都是全开放的教学环境,这样能激
发学生的学习潜能和不服输的精神,让学生能更积极主动地进入学习,并且有更多的解题策
略出现。
开放空间太大,教师的引导指向性不强,给学困生造成学习难度,没有掌握好分析方法。六年级数学·上 新课标[人教]
再教这个内容时,开放空间可以加大,但是要注意学困生的指导,更多地关注此类学生
的学习,把知识落到实处。
2 1
水果商店新进一批水果,橘子的重量是苹果重量的 ,梨的重量是橘子重量的 ,
5 3
梨有200千克,苹果有多少千克?
[名师点拨] 画线段图分析数量关系。
数量关系式:
2
苹果的重量× =橘子的重量}
5 2 1
苹果的重量× × =梨的重量(200千克)
1 5 3
橘子的重量× =梨的重量
3
[解法1] 算术法解答。
1
橘子的重量:200÷ =600(千克)。
3
2
苹果的重量:600÷ =1500(千克)。
5六年级数学·上 新课标[人教]
1 2
列综合算式:200÷ ÷ =1500(千克)。
3 5
答:苹果有1500千克。
[解法2] 列方程解答。
设苹果有x千克。
2 1
x× × =200
5 3
2 1
x=200÷ ÷
5 3
x=1500
答:苹果有1500千克。
【知识拓展】 有时连续的单位“1”有的是已知的,有的是未知的,所以解决分数乘
除混合运算应用题时,要注意找准哪个单位“1”是已知的,哪个单位“1”是未知的。
人体内水的含量
(1)脑部:70%~85%。
(2)血浆:91%~92%。
(3)骨质:44%~55%。
(4)肌肉:72%~80%。
苏步青的故事
苏步青,1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫,可他父母省吃
俭用,拼死拼活也要供他上学。他在读初中时,对数学并不感兴趣,觉得数学太简单,一学就
懂。可是,后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青上初三时,他就读于浙江省六十中,来了一位刚从东京留学归来的教数学课
的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学,而是讲故事。他说:“当今世界,弱肉强食,世界列
强依仗船坚炮利,都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫,振兴科学,发展实业,
救亡图存,在此一举。‘天下兴亡,匹夫有责’,在座的每一位同学都有责任。”他旁征博
引,讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是:“为了救亡图六年级数学·上 新课标[人教]
存,必须振兴科学。数学是科学的开路先锋,为了发展科学,必须学好数学。”苏步青一生
不知听过多少堂课,但这一堂课使他终生难忘。
杨老师的课深深地打动了他,给他的思想注入了新的兴奋剂。读书,不仅为了摆脱个人
困境,而是要拯救中国广大的苦难民众;读书,不仅是为了个人找出路,而是为中华民族求新
生。当天晚上,苏步青辗转反侧,彻夜难眠。在杨老师的影响下,苏步青的兴趣从文学转向
了数学,并从此立下了“读书不忘救国,救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学,不管是酷
暑隆冬,霜晨雪夜,苏步青只知道读书、思考、解题、演算,4年中演算了上万道数学习题。
现在温州一中(即当时省六十中)还珍藏着苏步青一本几何练习簿,用毛笔书写,工工整整。
中学毕业时,苏步青门门功课都在90分以上。
第 课时 已知比一个数多(少)几分之几的数
是多少,求这个数
1.明确列方程解答稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”
的实际问题的解题思路,掌握解题方法。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
掌握稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”这类问题的解
题思路和解决方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。六年级数学·上 新课标[人教]
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.读一读下面的句子,填一填,说一说你的理解。(课件出示)
1
(1)苹果有a千克,梨的质量比苹果多 。
5
梨比苹果多( )千克,梨有( )千克。
1
(2)学校图书室有科技书x本,故事书比科技书少 。
4
故事书占科技书的( ),故事书有( )本。
师:上面各题分别是把谁看做单位“1”?两个量之间存在什么样的等量关系。
预设 生1:第一题把苹果的质量看做单位“1”。数量关系是:苹果的质量+梨比苹果多
的质量=梨的质量。
生2:第一题的数量关系也可以是:苹果的质量×(1+梨比苹果多的几分之几)=梨的质量。
生3:第二题把科技书的本数看做单位“1”。数量关系是:科技书的本数-故事书比科
技书少的本数=故事书的本数。
生4:第二题的数量关系也可以是:科技书的本数×(1-故事书比科技书少的几分之几)=
故事书的本数。
2.谈话引入课题。
师:这是我们之前学过的有关分数乘法的实际问题:求比一个数多(少)几分之几的数是
多少。今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] 先复习用分数乘法解决的“求比一个数多(少)几分之几的数是多少”的
实际问题,导入“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题的解决,
是想通过分数乘、除法的对比与沟通,降低分数除法解决问题的难度。
方法二六年级数学·上 新课标[人教]
师:前面我们学习了如何解决“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,
还记得方法吗?
预设 生1:可以根据数量关系用方程解决,这种方法的优点就是顺向思维,理解起来较
简单。
生2:可以用除法解决问题。求单位“1”的量可以用“已知数量÷对应的分率”。
师:我们一般用方程解决这类问题较多。
师:今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] “已知一个数的几分之几是多少,求这个数”和“已知比一个数多(少)
几分之几的数是多少,求这个数”的解决方法基本相同,只是第二类问题稍微复杂一些。这
里先让学生回忆“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解决方法,为学习新知识的
迁移和类推做好铺垫。
一、课件出示教学例5,“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”
1.阅读与理解。
师:课件出示教材“阅读与理解”部分内容,学生口答。
阅读与理解。
小明的体重是 。
小明的体重比爸爸轻 。
要求的是 的体重。
8
预设 生:小明的体重是35 kg,小明的体重比爸爸轻 。要求的是小明爸爸的体重。
15
2.分析与解答。
(1)独立思考,理清关系。
8
师:请同学们独立思考,尝试用线段图表示出“小明体重比爸爸的体重轻 ”,并在线
15
段图上标出小明的体重35 kg以及要求的问题。
(2)汇报交流。
师:说一说怎样画线段图,应先画哪个数量?为什么?六年级数学·上 新课标[人教]
8
预设 生1:首先找出单位“1”,关键句“小明体重比爸爸的体重轻 ”中,爸爸的体
15
重是单位“1”,画出单位“1”。
生2:把爸爸的体重平均分成15份,其中8份是小明的体重比爸爸轻的那部分。
7
生3:小明的体重相当于其中的(15-8)份,也就是小明的体重相当于爸爸体重的 。
15
(板书完整的线段图)
(3)列出数量关系式。
师:说一说,从图中你能得到什么数量关系?小组讨论讨论。
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重。(板书)
( 8 )
生2:爸爸的体重× 1- =小明的体重。(板书)
15
(4)根据数量关系,分组尝试解答。
师:请同学们分成两组,分别用不同的方法来解答。
学生分组尝试解答。
(5)汇报交流。
预设 生1:我们是根据“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”,用列方程解
答的。六年级数学·上 新课标[人教]
8 7
解:设爸爸的体重为x kg。x- x=35, x=35,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。(板
15 15
书)
( 8 )
生2:我们是根据“爸爸的体重× 1- =小明的体重”,用列方程解答的。
15
( 8 ) 7
解:设爸爸的体重为x kg。 1- x=35,x=35÷ ,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。
15 15
(板书)
( 8 )
生3:根据乘、除法的关系,由数量关系“爸爸的体重× 1- =小明的体重”可得
15
( 8 )
“小明的体重÷ 1- =爸爸的体重”。(板书)
15
( 8 )
35÷ 1- =75(kg)(板书)
15
师:用“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”可以转换成算术方法来解答
吗?
预设 生:不可以。因为爸爸的体重是单位“1”,而它又是未知的,是要求的量。
(6)对比分析,优化方法。
师:上面的几种方法,大家对比分析一下,你更喜欢哪一种方法?说说你的理由。
预设 生1:我喜欢用方程解答,因为直接根据数量关系列式,思考起来简单。
生2:其实我喜欢用算术方法解答,因为计算简便,但是思维过程太复杂,并且有时还不
好列出算式。
生3:还是列方程解答比较好。
师:用哪种方法解决更好,要根据具体的问题。但列方程解答更适用于一般情况。
3.回顾反思。六年级数学·上 新课标[人教]
师:我们的结果是否合理呢?你能验证一下吗?
(1)小组交流验证方法,然后独立验证。
(2)汇报交流。
8
预设 生:把计算的结果放到原题计算,看看小明的体重是否比爸爸的体重轻 。
15
8
(75-35)÷75=
15
4.巩固练习。(课件出示)
看图列式计算。
( 4) 4 ( 1)
【参考答案】 (1) 1- x=150 x=350或x- x=150 x=350 (2) 1- x=60
7 7 5
1
x=75或x- x=60 x=75
5
5.归纳小结。
师:小组交流,这是一种什么类型的实际问题?怎样解决这种实际问题?
预设 生1:这是“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题。
生2:首先要弄清单位“1”,可利用解方程的方法,设这个数为未知数,根据数量关系列
出方程,然后解方程。也可以先计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的
意义列除法算式解答。
生3:可以画线段图帮助理解题意,分析方法。
二、巩固练习六年级数学·上 新课标[人教]
教材第40页练习八第6,7题。
(1)第6题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系。
③根据数量关系解答。
④汇报交流。
(2)第7题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系,独立解答。
③你能用不同的方法完成这一题吗?
④汇报交流。
( 3) ( 2)
【参考答案】 6.(3000+2500)× 1- =2200(元) 7.解法1:35÷ 1- =49(页)
5 7
( 2) 2
解法2:设这本课外读物一共有x页。 1- x=35,x=49或x- x=35,x=49。
7 7
师:这节课我们学习了什么内容?
预设 生:学习的是已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数。
师:你有什么收获?
预设 生1:我进一步学会用画线段图的方法来分析题意。
生2:解决这类问题,关键是找准单位“1”和数量关系。
生3:可以列方程解答,有的也可以用算术方法解答。
……
作业1六年级数学·上 新课标[人教]
教材第40页练习八第8,9,10题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)看图列式解答。
(1)
(2)
2.(基础题)根据数量关系,写出等量关系式。
2
鸡的只数是鸭的 。
5
4
3.(易错题)讲桌上有36支红粉笔,是白粉笔的 ,白粉笔有多少支?
5
【提升培优】
3
4.(难点题)一辆汽车从甲地到乙地行驶了全程的 ,还剩240千米,全程共多少千米?
7
7 7
5.(重点题)爸爸的年龄是爷爷的 ,是小明的 ,爷爷今年75岁,小明今年几岁了?
15 2
4
6.(变式题)吉祥家电城现有液晶电视260台,比笔记本电脑的台数少 ,现有笔记本电脑
17
多少台?
【思维创新】六年级数学·上 新课标[人教]
1
7.(探究题)甲、乙、丙分别用5元钱买了一种水果,甲买的水果重 千克,是乙所买水果的
2
2 3
,是丙所买水果的 ,甲、乙、丙各买了什么水果?(苹果6元/千克、葡萄4元/千克、芒
5 5
果10元/千克)
【参考答案】
( 1 ) 1 ( 1 )
作业1:8.解:设这桶水有x kg。 1- x=9,x=10或x- x=9,x=10或9÷ 1-
10 10 10
=10(kg)
2 1 ( 2) 1 1 1
9. ÷4= 1- ÷ =10(车) 10.(1)140× =28(个) (2)28÷ =140(个)或解:设
7 14 7 14 5 5
1 ( 4) ( 4)
大齿轮有x个齿。 x=28,x=140 (3)400× 1- =80(周) (4)80÷ 1- =400(周)
5 5 5
( 4)
或解:设小齿轮每分钟转x周。 1- x=80,x=400
5
3 5 ( 1) 5 4
作业2:1.(1)60÷ =60× =100(吨) (2)60÷ 1+ =60÷ =60× =48(千克) 2.鸡的
5 3 4 4 5
2 4 ( 3) 7 7
只数=鸭的只数× 3.36÷ =45(支) 4.240÷ 1- =420(千米) 5.75× ÷
5 5 7 15 2
( 4 ) 1 1 2 5
=10(岁) 6.260÷ 1- =340(台) 7.甲:5÷ =10(元/千克) 乙: ÷ = (千克)
17 2 2 5 4六年级数学·上 新课标[人教]
5 1 3 5 5
5÷ =4(元/千克) 丙: ÷ = (千克) 5÷ =6(元/千克) 甲买的是芒果,乙买的是葡
4 2 5 6 6
萄,丙买的是苹果六年级数学·上 新课标[人教]
分数除法实际问题是整个小学阶段解决问题的重、难点之一,本节课从学生已有知识
出发,抓住知识间的内在联系,使学生了解分数除法问题的特征,借助线段图分析数量关系,
通过迁移、类推、分析、比较,找出分数乘、除法问题的区别和联系以及解题规律。并在
教学过程中,让学生形成多样化思考的习惯和能力。
引导过程中,语言指向性不强。
再教这个内容时,要仔细斟酌,语言精练,指向性明确,给予学生实实在在的引导。
【练习八·39页】
52 3 3 3 8 4 40 57 57
1.5200÷ =5500(km) 2. ÷ = × = (g) 3.8÷ =8× = (千米/秒)
55 10 8 10 3 5 57 40 5
2 5 4 3 1 3 39
4.(1)320÷ =320× =800(本) (2)320÷ =320× =240(本) 5. 15
5 2 3 4 16 14 2
2 3 220 12 49 3 6.(3000+2500)×( 3)=2200(元) 7.35÷( 2)=35÷5
1- 1-
3 2 3 4 5 7 7
7 ( 1 )
1-
5 10
=35× =49(页) 8.9÷ =10(kg)六年级数学·上 新课标[人教]
( 2) 1 =10(车) 10.(1)140×1=28(个)(2)28÷1=140(个) (3)400×( 4)
1- ÷ 1-
7 14 5 5 5
4
=80(周)(4)80÷ 1- =400(周)
5
3
有两个班的同学参加植树活动,共分一批树苗,一班分得的棵数比总数的 多
10
3
100棵,二班分得的棵数比总数的 少50棵,这批树苗共有多少棵?
5
3
[名师点拨] 一班分得的棵数比总数的 多100棵,剩下的就是二班分得的棵数。从
10
3 3
题中可以知道,二班分得的不到总数的 ,比总数的 少50棵,这时可以用互补的方法考虑:
5 5
3
从一班的100棵树苗中拿出50棵给二班,这样二班的棵数正好是总数的 ,而一班只比总数
5
3
的 多(100-50)棵,用(100-50)除以它所占的单位“1”的几分之几就是这批树苗的棵数,
5
如下图。六年级数学·上 新课标[人教]
( 3 3)
[解答] (100-50)÷ 1- -
10 5
1
=50÷
10
=500(棵)
答:这批树苗共有500棵。
【知识拓展】 采用互补的方法解题,通过数据间的互补,找到具体数量占单位“1”
的几分之几,从而找到解决问题的突破口。
高 斯
高斯,1777年4月30日生于德国不伦瑞克一个普通的家庭。
高斯19岁时仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正十七边形。为流传了2000年的
欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。高斯最伟大的著作是他24岁时发
表的《算术研究》,《算术研究》翻开了数论历史的新一页。
第 课时 和倍、差倍问题
1.使学生理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
2.提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。六年级数学·上 新课标[人教]
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
【难点】
提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:说出下面题中的数量关系。(课件出示)
(1)苹果树和梨树共有50棵。
(2)苹果树比梨树多10棵。
指名学生口答。
预设 生1:苹果树的棵数+梨树的棵数=50棵。
生2:苹果树的棵数-梨树的棵数=10棵。
2.师:用含有x的式子表示。(课件出示)
3
男生有x人,女生人数是男生人数的 。
4
(1)女生有 人。
(2)男生和女生共有 人。
(3)男生比女生多 人。
指名学生口答,集体交流。
3
预设 生1:女生有 x人。
4六年级数学·上 新课标[人教]
( 3 )
生2:男生和女生共有 x+ x 人。
4
( 3 )
生3:男生比女生多 x- x 人。
4
( 3)
生4:还可以这样表示第(2)题,男生和女生共有 1+ x人。
4
( 3)
生5:还可以这样表示第(3)题,男生比女生多 1- x人。
4
师:从上面的复习内容,猜猜今天我们学习的内容可能会与什么有关?
预设 生:求两个数的和或差。
师:这节课我们就研究“和倍、差倍问题”的解决方法。(板书课题)
[设计意图] 复习的内容可以为学生学习新知识提供迁移和类推的基础。
方法二
师:学校的足球队进行了一场友谊赛,下面是一个班的赛场得分情况。从图中你知道了
什么信息?(课件出示部分主题图)
预设 生1:他们班全场得了42分。
生2:下半场得分只有上半场的一半。
1
生3:下半场得分只有上半场的 。
2
师:真不错,把自己的理解也融入了进来,这样大家也会更明白题意。
师:提出什么问题?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生1:上半场得多少分?
生2:下半场得多少分?
生3:上半场比下半场多得多少分?
……
师:有些问题比较复杂,留到下节课研究,这节课,我们解决两个问题:上半场得多少分?
下半场得多少分?
[设计意图] 直接从情景图导入,并让学生自由提问,提高学生思维的发散性,也调动
学生学习的积极性。
方法三
师:喜欢足球吗?对这种运动,你的想法有哪些?
预设 生1:喜欢。它既能体现团结,又充满了激情。特别喜欢看世界杯。
生2:不喜欢,因为不太懂这种运动。
生3:不喜欢,因为中国足球的水平太差了。我喜欢乒乓球,这是我们的国球。
……
师:提高我国的足球水平,还要从娃娃锻炼起。下面是某班在足球友谊赛上的表现。
(课件出示主题图)
[设计意图] 从足球运动引入新知识的学习中,丰富学生的课外知识,并适时进行爱国
主义教育。
一、课件出示教学例6,和倍、差倍问题
上半场和下半场各得多少分?
1.阅读与理解。六年级数学·上 新课标[人教]
(1)师:说说从图中你可以得到哪些信息?
预设 生1:他们班全场得了42分。
生2:下半场得分只有上半场的一半。
师:根据这些信息解决问题:上半场和下半场各得多少分?
学生完成书上的“阅读与理解”提示。
(2)师:说一说全场得分是怎样组成的?
2.交流汇报。
预设 生1:上半场得分+下半场得分=全场得分。
师:怎样理解“下半场得分只有上半场的一半”这句话?
3.小组讨论,汇报交流。
1
预设 生1:下半场得分是上半场得分的 。
2
1
上半场得分× =下半场得分。
2
生2:上半场得分是下半场得分的2倍。
下半场得分×2=上半场得分。
二、分析与解答
1.理解题意。
师:这道题怎样解答呢?请你根据题意画出线段图。
学生操作,教师巡视指导。交流展示。
预设 生:(板书)
2.分析理解。
师:你们能借助线段图找出等量关系吗?
预设 生1:上半场得分+下半场得分=42分。(板书)
1
生2:上半场得分× =下半场得分。(板书)
2六年级数学·上 新课标[人教]
生3:下半场得分×2=上半场得分。(板书)
师:根据关系式解决问题有难度吗?
预设 生:上半场和下半场的得分我们都不知道,怎么办?用方程都不能解答了。
师:是吗?其实我们仍旧可以用方程来解答,只是要巧妙地设未知数。那怎样设未知数
更好呢?
师:上半场和下半场的得分除了存在和的关系,还存在倍数关系,因此,我们可以根据
1
“上半场得分× =下半场得分”或“下半场得分×2=上半场得分”数量关系式中的一个
2
来设出这两个未知量。我们设其中一个未知数为x,另一个未知数用含有x的式子表示。
师:理解了吗?试着设出未知数。
1
预设 生1:设上半场得x分,那么下半场的得分是 x分。
2
生2:设下半场得x分,那么上半场得2x分。
师:你们的理解能力真强。
3.尝试解答。
师:请你们根据数量关系独立解答。
独立完成,汇报交流。
预设 生1:(板书)
1
解:设上半场得x分,则下半场得 x分。
2
1
x+ x=42
2
3
x=42
2
3
x=42÷
2
x=28
1
下半场得分:28× =14(分)
2
生2:(板书)六年级数学·上 新课标[人教]
解:设下半场得x分,上半场得2x分。
2x+x=42
3x=42
x=42÷3
x=14
上半场得分:14×2=28(分)
4.讨论、比较,说出异同。
师:比较两种方法,说一说它们有什么区别?
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:所设的x的量不一样。
生2:列式不一样,计算出的未知数x结果不一样。
师:这两种方法,它们有什么共同点?
预设 生:都是根据“上半场得分+下半场得分=全场得分”这个数量关系来列方程的。
……
三、回顾与反思
师:刚才同学们列出了两个不同的方程,分别求出了上、下半场的得分,那么对不对呢?
可以怎样检验?
小组交流检验方法,指名回答。
预设 生1:用28+14,看是不是等于全场得分42分。若是,则结果正确;若不是,则结果
错误。(板书)
生2:用上半场的分数除以下半场的分数,看是不是2倍。或用下半场的分数除以上半
1
场的分数,看是不是“一半”,即 。(板书)
2
四、巩固练习,例题变式(课件出示题目)
我们班上半场比下半场多得14分,下半场得分只有上半场的一半。上半场和下半场各
得多少分?
(1)学生读题,理解题意。
(2)师:与例6进行比较,说一说它们有什么不同?六年级数学·上 新课标[人教]
预设 生:由例题中的第一个条件“全场得了42分”,可得数量关系:上半场得分+下半
场得分=42分。由本题中的第一个条件“上半场比下半场多得14分”,可得数量关系:上半
场得分-下半场得分=14分。
(3)学生独立完成,指名上台板演。鼓励用不同的方法完成。
师:你能解决这个问题吗?独立计算。再看看你能不能用不同的方法解决这个问题。
(4)集体订正,理清思路。
1
预设 生1:解:设上半场得x分,则下半场得 x分。
2
1
x- x=14
2
1
x=14
2
x=28
1
下半场得分:28× =14(分)
2
1
生2:解:设上半场得x分,则下半场得 x分。
2
( 1)
1- x=14
2
1
x=14
2
x=28
1
下半场得分:28× =14(分)
2
生3:解:设下半场得x分,则上半场得2x分。
2x-x=14
x=14
上半场得分:14×2=28(分)
生4:解:设下半场得x分,则上半场得2x分。
(2-1)x=14六年级数学·上 新课标[人教]
x=14
上半场得分:14×2=28(分)
[设计意图] 把例题进行延伸,既能由和倍问题过渡到差倍问题的解决,又能知识迁移、
类推出差倍问题的解决方法。提升学生灵活运用知识解决问题的能力。
(5)归纳总结。
师:看这两道题,你发现一些什么特点?
预设 生1:都有两个未知量。
生2:这两个未知量的和或差是已知的。
生3:这两个未知量之间存在倍数关系。
师:所以我们把这类问题归为“和倍问题”和“差倍问题”。
教材第44页练习九第1,2题。
(1)第1题。
①学生读题,理解题意。
②分析题中的数量关系,说说怎样设未知数,再独立解答。
③汇报交流,集体订正。
(2)第2题。
学生读题,明确题意,独立解决。集体交流,汇报解决问题的方法和过程。
4
【参考答案】 1.解法1:设下半年的产量是x万台,那么上半年的产量是 x万台。x+
5
4 4 4
x=108,x=60,上半年产量:60× =48(万台)。解法2:4+5=9,上半年产量:108× =48(万
5 5 9
5 2
台),下半年产量:108× =60(万台) 2.解法1:设上衣的价钱是x元,那么裤子的价钱是
9 3六年级数学·上 新课标[人教]
2 2
x元。x+ x=300,x=180,裤子的价钱:180× =120(元)。解法2:2+3=5,上衣的价钱:300×
3 3
3 2
=180(元),裤子的价钱:300× =120(元)。
5 5
师:通过这节课的学习,你知道和倍、差倍问题的特点吗?如何解决这一类问题?
预设 生1:和倍问题是已知两个量的和和倍数关系,分别求两个量是多少。
生2:差倍问题是已知两个量的差和倍数关系,分别求两个量是多少。
生3:先设一个量为未知量,并根据其中一个数量关系表示出另一个量,再根据另一个数
量关系列出方程。
作业1
教材第44页练习九第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(容易题)看图列式计算。
(1)
(2)六年级数学·上 新课标[人教]
2
2.(综合题)新学期,妈妈给小明买了一套课桌椅,共花125元,椅子的价格是课桌价格的 ,
3
课桌和椅子各多少元?
【提升培优】
3.(难点题)新民小学四、五年级共有440名学生,已知五年级学生的人数是四年级学生人
6
数的 倍。两个年级各有多少名学生?
5
1
4.(变式题)张芳比妈妈小27岁,而今年张芳的年龄正好是妈妈年龄的 。她们两人今年的
4
年龄各是多少岁?
【思维创新】
1
5.(创新题)一头大象比一头牛重4500 kg,而这头牛的体重正好是这头大象体重的 。这
10
头大象和这头牛的体重各是多少千克?
【参考答案】
4 4
作业1:3.解法1:设航模小组有x人,那么美术小组有 x人。x+ x=45,x=25 美术小组人
5 5
4 5
数:25× =20(人)或 45-25=20(人) 解法2:4+5=9,航模小组人数:45× =25(人),美术小
5 9
4 257 257
组人数:45× =20(人)。 4.解:设正桥的长度是x m,那么引桥的长度是 x m。x+
9 578 578
x=1670,x=1156
257 3
引桥的长度:1156× =514(m) 5.解:设白昼的时间是x小时,那么黑夜的时间是 x小
578 5
3 3
时。x+ x=24,x=15 黑夜的时间:15× =9(小时)或 24-15=9(小时)。
5 5六年级数学·上 新课标[人教]
3
作业2:1.(1)x+3x=180,x=45 (2)x- x=5,x=12.5 2.解:设课桌的价格是x元,则椅子的
5
2 2 2
价格为 x元。x+ x=125,x=75 椅子:75× =50(元)。 3.解:设四年级有x人,则五年级
3 3 3
6 6 6
有 x人。x+ x=440,x=200,200× =240(人)或440-200=240(人)。 4.解:设妈妈今年x
5 5 5
1 1 1
岁,则张芳今年 x岁。x- x=27,x=36,36× =9(岁)或36-27=9(岁)。 5.解:设这头大象
4 4 4
1 1 1
的体重是x kg,则这头牛的体重是 x kg。x- x=4500,x=5000,5000× =500(kg)或
10 10 10
5000-4500=500(kg)。六年级数学·上 新课标[人教]
1.让学生经历解决问题的全过程,采用讨论交流的形式,掌握解决此类问题的方法。
本节课我本着“数学来源于生活,又服务于生活”这一教学理念,从学生的实际出发,
抓住了列方程和解方程这一双重任务。整节课自始至终关注学生想要的数学方法(如:如何
设未知数和如何找等量关系式等)来教学,使学生在轻松快乐的学习氛围中学习数学,从而
把知识转化、内化为学生的智慧和品质。
2.给学生思维的开放空间,让学生寻求多种解题途径。
在寻求解决问题的方法时,以独立解决、小组交流的方式进行。在交流中,学生能得到
多种方法,这样能拓展学生的发散思维能力。
整个教学过程中,教师的引导太细致,缺少灵动性。
再教这个内容时,有些环节提问要粗放一些,给学生发展的空间。而不是束缚太多,让
学生畏手畏脚。比如:阅读与理解过程,可以用一个问题“你怎样理解题意的”就可以了。
2
一个两位数,已知它的十位数字是个位数字的 。如果把这个两位数的十位数
3
字与个位数字调换位置,那么所得的新数比原数大27。求这个两位数是多少。
2
[名师点拨] 根据“十位数字是个位数字的 ”,可知应把个位数字看做单位“1”。
3
2 2
如果设个位数字是x,则十位数字是 x。原数的个位数字是x,表示x个一;十位数字是 x,
3 3六年级数学·上 新课标[人教]
2 2
表示 x个十,所以原数用含有x的式子可以表示为 x×10+x。同理,新数用含有x的式子
3 3
2
可以表示为10x+ x。最后根据“新数-原数=27”列方程解答。
3
2
[解答] 解:设这个两位数的个位数字是x,则十位数字是 x。
3
2 (2 )
10x+ x- x×10+x =27
3 3
2 20
10x+ x- x-x=27
3 3
3x=27
x=9
2
9× =6 6×10+9=69
3
答:这个两位数是69。
【知识拓展】 一个两位数,十位数字是a,个位数字是b,则这个两位数是10a+b。
足 球
足球运动是目前全球体育界最具影响力的单项体育运动,故有世界第一大运动的美称!
足球运动是一项古老的体育活动,源远流长,最早起源于中国古代的一种球类游戏“蹴鞠”,
后来经过阿拉伯人传到欧洲,发展成现代足球。不少国家将足球定为“国球”。
它是主要以脚支配球为主,但也可以使用头、胸部等部位触球(除守门员外,其他队员
不得用手或臂触球;守门员只能在己方禁区内,能用手或臂触球),两个队在同一场地内进行
攻守的体育运动项目。国际足联核准合格标准:周长: 68.5厘米~69.5厘米之间,质量:420
克~445克之间。
据不完全统计,现在世界上经常参加比赛的球队约80万支,登记注册的运动员约4000
万人,其中职业运动员约10万人。一场精彩的足球比赛,吸引着数以亿计的观众,它已成为六年级数学·上 新课标[人教]
电视节目中的重要内容,有关足球方面的报道,占据着世界各种报刊的篇幅,当今足球运动
已成为人们生活中不可缺少的组成部分。
第 课时 工程问题
1.通过创设情景,经历分析分数工程问题数量关系的过程,学会分析问题,会找数量关
系。
2.理解工程问题的特点,掌握解题方法,并能正确解答。
3.感受假设法,体会数学知识的逻辑之美,激发学习数学的兴趣。
【重点】
理解工程问题的特点,并能正确解决简单的工程问题。
【难点】
工作总量用单位“1”表示及工作效率所表示的含义。
【教师准备】 PPT、实物展台
方法一
1.加工一批零件,5天完成,每天完成这批零件的几分之几?(课件出示)
师:说一说题中是哪三种量之间的关系,已知什么?求什么?数量关系是什么?
预设 生1:工作总量、工作时间、工作效率。
生2:工作总量是“1”,工作时间是5天,求工作效率。六年级数学·上 新课标[人教]
生3:工作总量“1”÷工作时间=工作效率。
1
2.加工一批零件,每天加工这批零件的 ,几天可以完成?
4
师:说一说这一题的数量关系。
预设 生:工作总量÷工作效率=工作时间。
师:上面的题中都含有“工作总量、工作效率、工作时间”这三个量,我们把这一类型
题目统称为“工程问题”,这节课,我们一起来学习分数工程问题。(板书课题)
[设计意图] 由简单的工程问题,引出其中的数量关系式,为例题的展开打下基础。并
且很自然地把学生的学习注意力引导到对工程问题的理解上。
方法二
师:为了让灾区损坏的道路能早一些修好,工程队接到了一项任务。(课件出示例题情
景图)
师:从两位叔叔的对话中,你知道了什么?
预设 生1:一队单独修,12天修完。
生2:二队单独修,18天修完。
师:你能解决什么问题?
1
预设 生1:一队平均每天修多少?1÷12= 。
12
1
生2:二队平均每天修多少?1÷18= 。
18
师:这是我们以前学习过的简单的工程问题。今天我们可不能再解决这么简单的问题
了。看看我们今天会解决什么问题?(板书课题)六年级数学·上 新课标[人教]
[设计意图] 由情景图导入,先开放性地提问,让学生回顾已学知识,再用挑逗性的语
言激发学生的挑战欲望,推动学生主动地学习新知识。
一、课件出示教学例7,工程问题
如果两队合修,多少天能修完?
1.阅读与理解。
师:观看情景图,说一说从题中你知道什么?要求什么?
预设 生:一队单独修,12天修完。二队单独修,18天修完。
师:题中有不理解的信息吗?
预设 生1:没有。
生2:有,这条路有多长没告诉我们。
师:后面我们将解决这个问题。请同学们估计一下,如果两队合修,大约需要多少天能
修完?说一说是怎样估计的。(先小组交流)
预设 生1:我猜大约15天完成,因为两队合修,速度要比二队独修要快,但因为二队速
度不快,会把一队的速度拉下来,所以选择12与18之间的数15。
生2:我猜8天。他的分析不对,单独修肯定会慢一些,合修应该比两个队的速度都快,
所用的天数比12和18都要少。
生3:我猜10天。8天太少了,他们合修不会那么快吧。
……
师:你们猜的天数,哪个正确呢?我们要列式计算才能验证。
2.分析与解答。
(1)师:以小组为单位讨论下面的问题。(课件出示)六年级数学·上 新课标[人教]
①题目里没有具体的工作总量,可用什么来表示工作总量?
②甲队每天完成工程的几分之几?
③乙队每天完成工程的几分之几?
④两队合修,每天完成工程的几分之几?
⑤两队合修,需几天完成?
(2)汇报交流,展示并板书几种不同的解题方法。
①假设这条路长18千米。
36
18÷(18÷12+18÷18)= (天)
5
②假设这条路长30千米。
36
30÷(30÷12+30÷18)= (天)
5
( 1 1 ) 36
③1÷ + = (天)
12 18 5
(3)观察比较,分析各种思路。
师:通过上面的计算,你有什么发现?
36
预设 生:计算的结果都是 天。
5
师:第①,②两种方法都是怎样处理“工作总量未知”这一问题的?
预设 生:假设法。假设具体数量。
1 1
师:仔细观察第③种方法,小组交流。这里的“1”是指什么?“ , ”各表示什么?
12 18
1 1 ( 1 1 )
“ + ”代表什么?为什么用“1÷ + ”?
12 18 12 18
汇报交流,共同分析。
预设 生1:把这条道路的长看做单位“1”(工作总量)。六年级数学·上 新课标[人教]
1 1
生2:一队每天修这条道路的 (一队的工作效率),二队每天修这条道路的 (二队的
12 18
工作效率)。
1 1
生3:两队合修,每天修这条道路的 + (两队的工作效率和),用“工作总量÷工作
12 18
效率和=工作时间”。
师:哪种方法更简便?为什么?
小组交流。
预设 生1:我认为是第③种方法简便。因为数量是“1”,计算更简便。
生2:我也认为第③种方法简便。因为第①,②种方法都要假设一个具体数量,我认为这
个数量不好找。如果找的不好,计算的过程会很烦琐。
生3:我也认为第③种方法简便。因为不管这条道路有多长,它可以不受数量的限制,把
工作总量看做单位“1”就可以了。
……
[设计意图] 教学过程比较开放,以学生的自主学习和小组交流为主,这样能更大化地
发挥学生的主观能动性。在小组交流中,能培养学生的合作意识,并且体现算法的多样性。
3.回顾反思。
(1)师:怎样才能知道以上的解决方法是否正确呢?
小组交流。
预设 生1:用两队合修的工作效率和×工作时间,看是否等于工作总量“1”。
( 1 1 ) 36
+ × =1
12 18 5
生2:还可以先算出两队各修的工作总量,再合起来,看是不是等于这条道路的长
“1”。
1 36 1 36
× + × =1
12 5 18 5
……
师:通过小组交流,你们的方法真的很多。六年级数学·上 新课标[人教]
(2)师:工程问题有什么特点?怎样解这一类型的问题?
1
归纳总结:没有具体的工作总量,解题时一般工作总量用单位“1”表示,工作效率用
n
表示,解题的数量关系为:工作总量÷工作效率(和)=工作时间,或表示为:1÷
(1 1 )
+ +…… =工作时间。(板书数量关系式)
n n
1.教材第43页“做一做”。
①学生读题,理解题意。
②独立完成,集体订正。
展示学生不同的解法,说一说各自的思路。
2.拓展练习。(课件出示)
一批大米有64吨,甲车单独运8次可以运完,乙车单独运16次可以运完,两车合运,多
少次可以运完?
下面算式中,正确的在括号里画“√”,错误的在括号里号画“✕”。
(1 1 )
①64÷ + ( )
8 16
(1 1 )
②1÷ + ( )
8 16
③64÷(64÷8+64÷16)( )
④1÷(64÷8+64÷16)( )
⑤64÷(8+16)( )
小组讨论,汇报交流。说一说哪些算式是对的,你是怎样分析的?六年级数学·上 新课标[人教]
(1 1)
【参考答案】 1.1÷ + =2(次)2.①✕(工作总量不一致,前面是64,而在算各自
6 3
的工作效率时,工作总量是“1”。) ②√(工作总量“1”÷合运的工作效率和=工作时
间。) ③√ ④✕(工作总量不一致,前面是1,而在算各自的工作效率时,工作总量是
64。) ⑤✕(这里是用工作总量÷工作时间之和。题目是求工作时间,应该是用工作总量
“1”÷合运的工作效率和=工作时间。)
教师总结:在工作总量已知的情况下,工作总量也可以看做单位“1”用分数来解决,但
是工作总量要统一,若用具体量表示,就都用具体量表示,若用“1”表示,就都用“1”表示。
师:这节课,我们学习的是解决什么问题?这一类问题有什么特点?怎样解决?
预设 生1:这节课我们学习的是解决工程问题。
1
生2:工作总量用单位“1”表示,工作效率用 表示,解题的数量关系为:工作总量÷工
n
作效率(和)=工作时间。
作业1
教材第45页练习九第6,7,8,9题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)解方程。
3 1
x- x=240 x+ x=24
5 4
8 1 3
x-x=9 x- x=
5 4 16
2.(重点题)新兴小学合唱队有96名学生,其中男生人数是女生的2倍,新兴小学合唱队女
生人数是男生人数的几分之几?六年级数学·上 新课标[人教]
3.(重点题)一堆货物,甲车单独运4小时可以完成,乙车单独运6小时可以完成,现在甲、
乙两车合运这批货物,需要多少小时?
【提升培优】
2
4.(重点题)一堆煤重140吨,要两天运完。其中第一天运的煤是第二天运的 ,第一天和第
5
二天分别运了多少吨?
5 7
5.(变式题)某工厂生产零件,上半年完成计划的 ,下半年完成计划的 ,结果比全年计划
8 10
多生产650
个零件,这个工厂全年计划生产多少个零件?
【思维创新】
6.(探究题)加工一批零件,甲单独做用12小时,乙单独做用10小时,丙单独做用15小时,
甲、丙两人合作,多少小时可以完成?甲、乙、丙三人合作,多少小时可以完成?
【参考答案】
( 1 1 ) (1 1) 6 (1 1) 24
作业1:6.1÷ + =12(天) 7.1÷ + = (小时) 8.1÷ + = (小时)
20 30 2 3 5 8 6 7
40 40 (1 1 ) 40
9.解法1:300÷(300÷8+300÷10)= (天) <5,能种完。解法2:1÷ + =
9 9 8 10 9
40
(天) <5,能种完。
9
96 1
作业2:1.x=600 x= x=15 x= 2.解:设女生有x名,则男生有2x名。
5 4
1 1
x+2x=96,x=32,2x=2×32=64,32÷64= 。答:新兴小学合唱队女生人数是男生人数的 。
2 2六年级数学·上 新课标[人教]
(1 1) 5 12 2 2
3.1÷ + =1÷ = (小时) 4.解:设第二天运x吨,则第一天运 x吨。
4 6 12 5 5 5
2
x+x=140,x=100。 x=40。答:第一天和第二天分别运了40吨和100吨。5.650÷
5
(5 7 ) 13 40 1 1 9 20
+ -1 =650÷ =650× =2000(个) 6.1÷ + =1÷ = (小时) 1÷
8 10 40 13 12 15 60 3
1 1 1 1
+ + =1÷ =4(小时)
12 10 15 4
工程问题
①假设这条路长18千米。
36
18÷(18÷12+18÷18)= (天)
5
②假设这条路长30千米。
36
30÷(30÷12+30÷18)= (天)
5
( 1 1 ) 36
③1÷ + = (天)
12 18 5
工作总量÷工作效率(和)=工作时间
(1 1 )
1÷ + +…… =工作时间
n n
“工程问题”是小学阶段比较典型的数学问题。它运用分数的意义,用特殊的形式来
表示工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。在这节课的教学过程中,突出了学六年级数学·上 新课标[人教]
生自己去尝试、自己去发现、自己去感悟的过程。让学生在解题过程中自己发现工程问题
的特点,然后通过比较,感受各种方法的优势,使学生对工程问题的结构特征和解题方法印
象深刻,使学生充分体验成功的快乐,增强学习数学的信心。
没有关注学习能力较差的学生。
再教这个内容时,教学中所设计的开放环节,还是照旧,只是在此过程中要关注学习能
力较差的学生,多让他们回答问题。
【做一做·43页】
(1 1)
1÷ + =2(次)
6 3
【练习九·44页】
4 4 4
1.解:设下半年的产量是x万台,则上半年的产量为 x万台,x+ x=108,x=60→下半年,
5 5 5
4 2 2
x= ×60=48(万台)→上半年。 2.解:设上衣x元,则裤子 x元,x+ x=300,x=180→上衣,
5 3 3
2 2 4 4
x= ×180=120(元)→裤子。 3.解:设航模小组有x人,则美术小组有 x人,x+
3 3 5 5
4 4
x=45,x=25→航模小组, x= ×25=20(人)→美术小组。4.解:设正桥的长度为x m,则引桥
5 5
257 257 257 257
的长度为 x m,x+ x=1670,x=1156→正桥, x= ×1156=514(m)→引桥。 5.
578 578 578 578六年级数学·上 新课标[人教]
3 3 3 3
解:设白昼时间是x小时,则黑夜时间是 x小时,x+ x=24,x=15→白昼, x= ×15=9(小
5 5 5 5
时)→黑夜。
( 1 1 ) (1 1) 6 (1 1) 24
6.1÷ + =12(天) 7.1÷ + = (小时) 8.1÷ + = (小时) 9.
20 30 2 3 5 8 6 7
1 1 9 9
+ ×5= , >1。答:5天能种完。
8 10 8 8
【整理和复习·46页】
3 12 65 221 3 4 1 343 186 5 2
1. 2.(1)200÷ =500(只)
16 325 4 2 5 7 2 144 7 8 5
( 3) 2 2 2
(2)200÷ 1- =500(只) (3)解:设鸭有x只,则鹅有 x只,x+ x=700,x=500→鸭, x=
5 5 5 5
2
×500=200(只)→鹅。
5
【练习十·47页】
3 7 3 1 9
1.(1)✕ (2)√ (3)✕ 2.2 1 3.27÷ ==30(dm3) 4.60÷
2 30 20 9 10
( 5 ) (1 1 ) 40 (1 1 )
1- =110(千米/时) 5.(1)1÷ + = (分) (2)1÷ - =40(分)
11 8 10 9 8 10六年级数学·上 新课标[人教]
1 2
自助餐厅有一袋大米,第一周用去这袋大米的 ,第二周用去这袋大米的 ,还剩
4 5
下70千克,这袋大米重多少千克?
[名师点拨] 根据题意,我们把这袋大米看做单位“1”,画线段图,如下图。
( 1 2)
从图中可以看出:这袋大米的重量× 1- - =剩下的70千克。根据等量关系可列
4 5
1 2 1 2
出方程。设这袋大米重x千克,第一周用去 x千克,第二周用去 x千克,剩下 x- x- x
4 5 4 5
千克。
[解法1] 设这袋大米重x千克。
( 1 2) 7 7
根据题意得 1- - x=70, x=70,x=70÷ ,x=200。
4 5 20 20
答:这袋大米重200千克。
[解法2] 设这袋大米重x千克。
1 2 7
根据题意得x- x- x=70, x=70,
4 5 20
x=200。
答:这袋大米重200千克。
【知识拓展】 已知部分量和部分量对应的分率,求单位“1”的量用除法算式计算,
解题规律是分率对应量÷分率=单位“1”的量。六年级数学·上 新课标[人教]
求豆油有多重
一桶中装有豆油,油和桶共重50 kg,第一次倒出豆油的一半少4 kg,第二次倒出余下豆
3 2 1
油的 还多2 kg,这时,剩下的豆油和桶共重6 kg,那么原来桶中有豆油多少千克?
4 3 3
(1 ) [( 1 ) 3 2]
【参考答案】 解:设原来桶中有豆油x kg。 x-4 + x- x+4 × +2
2 2 4 3
1
=50-6 ,x=48。答:原来桶中有豆油48 kg。
3
工程问题
在日常生活中,做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工程等,都要涉
及工作总量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是工作效率×工作
时间=工作总量。
在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都把它们叫做“工程问题”。
一、“工程问题”的基本数量关系:
(1)工作效率×工作时间=工作总量。
(2)工作效率=工作总量÷工作时间。
(3)工作时间=工作总量÷工作效率。
二、基本特点:
1
设工作总量为“1”,工作效率= 。
工作时间
三、基本方法:
算术方法、比例方法、方程方法。
四、基本思想:
分做合想、合做分想。
第3单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)六年级数学·上 新课标[人教]
一、想一想,填一填(12分)
1.40分=( )时
20分=( )元
1
2.一桶水倒出 ,正好还剩40 kg,这桶水原重( )kg。
3
3 4 5
3.已知a× = ×b=c× ,且a,b,c均不是0,按从小到大的顺序排列a,b,c为( )<(
4 5 6
)<( )。
1
4.比8吨多 是( )吨。
2
7 5
5.长是宽的 ,应把( )看做单位“1”。松树棵数的 是柏树棵数,应把( )看
5 8
做单位“1”。
4 ( )
6.把 米长的木材锯成同样长的8段,每段是全长的 。每段长是( )米。
5 ( )
2
7.一辆汽车 小时行24千米,照这样的速度,1小时行( )千米。
5
二、看一看,选一选(8分)
1
1.一根绳子长4米,比另一根绳子短 米,另一根绳子长( )米。
4
15 17 16
A. B. C.3 D.
4 4 5
2 5
2.甲数的 和乙数的 相等(甲、乙两数均不为0),那么( )大。
5 9
A.甲数 B.乙数
C.无法比较
1 1 1
3.某商店运来两车同样重的白菜,第一车上午卖出 ,下午又卖出 吨,第二车上午卖出 吨,
5 5 5
1
下午卖出余下的 ,两车剩下的白菜相比较,( )。
5
A.第一车多 B.第二车多六年级数学·上 新课标[人教]
C.同样多 D.无法比较
4.电扇厂原计划生产电扇100万台,现在生产了120万台,增产了几分之几?列式是( )。
A.120÷100
B.1-100÷120
C.(120-100)÷120
D.(120-100)÷100
三、我是聪明的小法官(8分)
1.一个数除以真分数,商一定比这个数大。 ( )
6 6 6 6
2. × ÷ × =1。 ( )
7 7 7 7
6 6
3. ÷3表示求3的 是多少。( )
7 7
4 5 16
4.4÷ =4÷ = 。 ( )
5 4 5
四、我是小小数学家(41分)
1.直接写出得数。(10分)
3 3 1
÷3= ÷ =
5 7 2
1 3 1
÷3= ÷ =
2 4 2
1 9 3
÷2= ÷ =
3 20 4
8 2 1 1
÷ = ÷ =
25 5 3 6
9 3 5
÷ = 10÷ =
10 5 4
2.简算。(8分)
(3 1) 3
(1) - ÷
5 4 5六年级数学·上 新课标[人教]
(7 13) 13
(2) + ÷
8 16 16
4 3 7
(3)15- ÷ -
5 2 15
6 1 1
(4) × + ÷11
7 11 7
3.脱式计算。(8分)
1 2 3 3
(1) ÷ × -
2 3 4 8
4 [ (1 2)]
(2) ÷ 8× -
5 2 5
[ (1 3)] 1
(3) 1- + ÷
4 8 4
1 [2 (3 3)]
(4) ÷ × -
2 3 4 8
4.看图列式(不需要计算结果)。(6分)六年级数学·上 新课标[人教]
5.解方程。(9分)
9 3
(1) x-2=
10 5
2 3
(2)x÷ =
5 8
3 1
(3) x- x=10
4 3
五、解决问题(31分)
4
1.一批水泥,用去12吨,正好是全部的 ,这批水泥有多少吨?(6分)
9
1
2.《安徒生童话故事》降价 后,现在售价为25元,原来的售价是多少元?(6分)
6六年级数学·上 新课标[人教]
2 3
3.水果店运进一些苹果,第一天卖出总重量的 ,第二天卖出总重量的 ,第二天比第一天
7 8
多卖出75千克,水果店共运进多少千克苹果?(6分)
3
4.水果店新进一批梨和橘子,共200千克,其中梨的重量是橘子的 ,梨和橘子各有多少千
5
克?(用方程解答)(6分)
5.运一批建筑材料,甲车3天可以运完,乙车4天可以运完,现在甲、乙两车共同运,几天可
以运完这批建筑材料?(7分)
★附加题
2
新世纪电视机厂去年上半年生产电视机48万台,比下半年生产台数的 少2万台,下半年生
5
产电视机多少万台?
【参考答案】
2 1 1 1
一、1. 2.60 3.c b a 4.12 5.宽 松树棵数 6. 7.60
3 5 8 10
二、1.B 2.A 3.B 4.D
三、1.✕ 2.✕ 3.✕ 4.✕
1 6 1 3 1 3 4 3
四、1. 2 8
5 7 6 2 6 5 5 2
7 27 1 3 3 1
2.(1) (2) (3)14 (4) 3.(1) (2)1 (3) (4)2 4.(1)200÷ 1+
12 13 11 16 2 3
1 26 3
(2)60÷ 1- 5.(1)x= (2)x= (3)x=24
5 9 20
4 9 1 5
五、1.12÷ =12× =27(吨) 2.解:设原来的售价是x元。x- x=25 x=25 x=30
9 4 6 6六年级数学·上 新课标[人教]
(3 2) 3 3 3
3.75÷ - =840(千克) 4.解:设橘子有x千克,则梨有 x千克。x+ x=200,x=125,
8 7 5 5 5
3 (1 1)
x= ×125=75(千克)。答:梨和橘子分别有75千克、125千克。 5.1÷ + =1÷
5 3 4
7 12
= (天)
12 7
2 2 2
附加题 解:设下半年生产电视机x万台。 x-2=48, x-2+2=48+2, x=50,x=125。答:下
5 5 5
半年生产电视机125万台。
