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习题教学记88||整体把握:让同类习题方法归一——以“数图形”习题教学为例
习题教学记88||整体把握:让同类习题方法归一——以“数图形”习题教学为例浙江省义乌市黎明湖小学虞健杨 图1为认识角教学中的一道习题，一般称为“数角”；图2为认识三角形教学中的一道习题，一般称为“数三角形”（图1图2均为人教版教科书中的习题）。 
图1 
图2 图1和图2这两道习题都要求“发现”，仔细分析不难看出，两道习题的两个“发现”其实是同一个发现，即最后的规律都可表达为“1+2+3……”。 进一步思考，如此的规律，四年级的学生是第一次遇到吗？自然不是。学生在之前还遇到过“数线段”的习题，也有过这样的发现。 如此就带来一个问题：这些看似不同的“发现”其实是同一个发现，但现在的教学却将这些发现割裂处理，缺乏前后联系和整体把握。 长期以来，我们对这类习题常常采取“就题论题”的教学方式：教数线段就只数线段，教数角就只数角，学生虽会逐一解答，却难以发现这些不同习题背后共同的方法结构。正是这种教学中的割裂，促使我思考——能否以“整体把握”的视角，把同类习题统整起来，让学生在比较中发现方法上的一致性？ 仔细思量之后，我将“数线段”“数角”“数三角形”等这样的习题统一称为“数图形”，并以此作为主题统领这一类习题教学，尝试以“整体把握”的视角引导学生理解“数图形”的数学本质。 为了更好地实现以上教学设想，我为此专门制作了一个“习题AI小助手”，然后走进了课堂。 我打开“习题AI小助手”，上面出现有一条线段。随后我又在这条线段上加了3个点。 师：这里一共有多少条线段？请你数一数，把数的方法写下来。 学生很快报出答案：10条。 师：你是怎么数的？上来指给大家看。 生：先数最短的，有4条；再数两条拼起来的，有3条；再长一点的有2条；最长的1条。4+3+2+1=10条。 生：我是这样数的，先从第一个点开始有4条，再是第二点开始有3条，第三个点开始有2条，最后还剩下1条，也是4+3+2+1=10条（图3）。 
图3 基于两位学生回答和操作，我在黑板上写下：4+3+2+1=10（条）。 师：这个方法你们以前用过吗？ 生：用过！数角的时候也是这样的。 生：数三角形也用过。 师：好，那老师现在想请大家做一件事——（我停顿了一下，学生的目光都聚了过来）——请你画一画、想一想，还有哪些数图形也能用 4+3+2+1=10 这样的方法来数？自己先独立思考，画在练习纸上，再跟小组同学说一说你的发现。 学生开始动笔画图。巡视中我发现，孩子们的思路比我预想的要开阔。有的在原先的线段上方加了几条斜线构成三角形，有的画出了长方形，有的画了梯形，甚至还有学生尝试画平行四边形。 大约三分钟后，我请了几位学生上台展示自己的作品（图4）。 生：我画的是三角形，是4+3+2+1=10个。 生：我画的是长方形，可以用4+3+2+1=10数出来。 生：我画的是梯形，也是10个。 
图4 我把三位学生的作品和线段图一起，用“习题AI小助手”同时呈现在屏幕上（图5）。 
图5 师：请大家观察这四幅图你有什么发现？ 生：为什么这些图形都不一样，但都能用4+3+2+1=10来数？ 学生小组讨论后举手。 生：因为这些图形都是从那条线段“长”出来的。三角形是把线段上的点连到上面一个顶点，长方形是竖着画上去的，梯形也一样。它们的底边都是那条线段，所以数这些图形其实就是在数底边上的线段。 师：说得好！不管上面“盖”的是什么形状，只要底边是一样的，数的结果就一样。关键不在图形长什么样，而在于——（我故意拖长声音） 生（齐）：底边上的线段！ 听到学生齐声说出答案，我知道第一个目的达到了。这个发现不是我“教”出来的，是学生自己画出来、比出来、说出来的。他们在动笔和讨论中完成了从“数线段”到“数图形”的方法迁移。 我趁热打铁，在三角形上加了一条横线，变成了双层三角形（如图6）。 
图6 师：现在有多少个三角形？ 生：上一层10个，下一层10个，一共20个！ 全班几乎异口同声。我点点头，又出示了双层长方形（如图7）。 
图7 师：这个呢？有多少个长方形？ 生：也是20个！ 生：不对，是30个！ 课堂上出现了分歧，这正是我想要的。 师：两种答案，谁来说说理由？ 生1（20个派）：刚才两层三角形就是10×2=20，长方形也是一样啊。 生2（30个派）：不对！除了上面一层、下面一层，上下合起来还有一个“大号”的长方形，所以是10×3=30。 生1听完后皱着眉头想了片刻，突然一拍桌子：“哦——我漏了那个！” 此时全班的表情很有意思：20个派的学生一脸懊恼，30个派的学生满脸得意。 师（追问生2）：你这个“×3”是怎么来的？ 生2：竖着看，两条横线把这条边分成了——（他跑到大屏幕前指着图）——上面一段、下面一段、还有整条，一共3种情况。这个……这不就是数线段吗？2+1=3！ 这一步非常关键，本来打算自己引导学生理解，横着是数线段，竖着也是数线段，没想到学生自己体会到了。在这位学生的提议下，我组织大家一起再次理解这个过程，体会这其实就是两次数线段（图8）。 
图8 板书：横数10 ×竖数3 = 30个 我让学生继续用这个方法数双层梯形（如图9），用一用两次数线段。这次全班没有争议，都得出30个。 
图9 师（指着双层三角形和双层长方形）：为什么三角形乘2就行，长方形和梯形却要乘3？ 生：因为三角形上面是尖的，下面画了横线，多出来的部分不是三角形了，所以只有两层独立的小三角形。长方形和梯形不一样，上面一层和下面一层拼起来还能组成一个新的长方形或梯形。 学生自己说出来的这番比较，比我讲十遍都管用。 师：大家看，无论是三角形、长方形还是梯形，它们“横着”都取决于底边上的线段数；不同的只是“竖着”的方向——三角形因为上层合并不出新三角形所以只需乘2，而长方形、梯形上下两层还能合并出新的，所以要乘3。所以数图形的方法万变不离其宗：横着数一次线段，竖着再数一次线段，把两次结果乘起来。 师：好，现在挑战一下。看，长方形变成3层了（如图10）。 
图10 有了前面的经验，学生很快列出算式：10×6=60个。重点请学生解释6的产生，再一次理解两次数线段，进一步体会其实就是数线段。 师：如果是4层呢？5层呢？10层呢？ 生：宽边就是4+3+2+1=10，5+4+3+2+1=15，10+9+…+1=55。反正就是数线段的方法！ 师：所以，不管多少层，不管什么图形，关键是什么？ 生（齐）：先横着数线段，再竖着数线段，乘起来就行了。 独立练习（略）。
2026年5月19日 星期二
环节一：从线段数起——旧方法能不能用在新地方？
环节二：双层图形——“简单乘2”怎么不灵了？
环节三：拓展——你能数到第几层？
课后，我翻看学生的课堂练习纸，发现有个孩子在旁边写了一行小字：“原来数图形就是数线段乘数线段。”虽然表述不够严谨，但孩子自己总结出了这个模型，不正是我课前对这道习题“整体把握”的目标追求吗！
那个孩子在练习纸上写下“原来数图形就是数线段乘数线段”，虽然表述不够严谨，却恰恰证明：当教师以“整体把握”的视角统整同类习题时，学生获得的不是一个个孤立的解题技巧，而是一类问题背后共同的方法结构。这种结构化、可迁移的认识，正是“万法归一”的意义所在——让同类习题真正成为学生建构模型、发展思维的载体，而非机械重复的负担。
经历这道习题的教学也让我感受到，作为教师，要善于抓住不同习题之间的同类因子，在适当时机可以“整体把握”的视角引领学生进行深度思考，进而找到方法上的一致性，实现“万法归一”。