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【小学数学模型】11|重叠模型两张纸叠一起,重叠只算一次
数学模型 · 小学数学 · 第 11 篇
11｜重叠模型
两张纸叠一起，重叠只算一次
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们先看一个生活画面：两张彩纸叠着贴在桌面上，有一部分你压着我、我压着你。问你：被盖住的那一块有多大？这就是「重叠模型」。它的典型场景是：两个（或多个）图形叠放在一起，题目给整体覆盖面积或各图形面积，求重叠部分。小升初的几何应用里它出镜率不低，而且一旦叠到三个图形，错的同学一大片。学完这节课，两图形、三图形的重叠题你都能一刀切开。
二、知识清单：先把地基打牢
●面积的含义与基本计算：长方形面积 = 长 × 宽，圆面积 S=πr2。重叠题经常先让你算出每张纸片自己的面积，这是原材料。
●「覆盖面积」的理解：叠放后桌面上真正被盖住的部分叫覆盖总面积，重叠的地方只盖了一层桌面，所以只算一次。
●多算要减、少算要补的思想：重叠区在两张纸里各被算了一次，总共数了两次，实际只该数一次，所以要减去一次。这是全课的灵魂。
●三集合容斥的基本结构：三个图形时，两两重叠被减过头，中间三重重叠还要加回来一次。
●简单的小数四则运算：涉及 π 取 3.14 时会有小数乘减混合，计算要稳。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
先把原理掰开。重叠（容斥）原理说：两图形覆盖的总面积 = 面积之和 − 重叠部分。为什么？想象你拿两张纸分别称一称「面积」，重叠那一块在第一张里称了一次，在第二张里又称了一次，同一块地被数了两遍。可它铺在桌面上只盖住一层，只该算一遍。怎么办？把多算的那一遍减掉。所以「面积之和」比「覆盖总面积」多出来的，恰恰就是重叠部分。
反过来用也一样：已知两张纸的面积和重叠部分，覆盖总面积 = 面积之和 − 重叠。一句话——重叠算了一次却数了两次，要减去多算的。同学们注意，这个模型两头都能出题：给覆盖求重叠，或者给重叠求覆盖，公式是同一个，只是挪项。
三个图形时升级成完整容斥：总数 = 三块之和 − 两两重叠 + 三重重叠。为什么最后要加回来？三块相加时，最中间三重重叠区被数了 3 次；减去两两重叠时，它又被减了 3 次；一来一回等于一次都没算，所以要补加 1 次。记忆口诀：加、减、加，符号交替。
什么时候调用它？题干里出现「叠放」「重叠」「覆盖桌面（墙面、黑板）」这类字眼，给了单个面积和整体覆盖，或者给了人数统计中「两项都参加」的信息，就想到容斥。它常和「一半模型」「面积割补」混淆：割补是把图形切开拼走、面积守恒，重叠模型是数次数、多退少补，图形根本没动。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S总：覆盖总面积，即叠放后实际盖住的区域，只数一遍。
●S1、S2：两个图形各自的面积，可以是小数（如涉及圆）。
●S重叠：两图形叠在一起的公共部分。
●常见变形一：S重叠=S1+S2−S总（给覆盖求重叠，考得最多）。
●常见变形二（三图形）：S总=S1+S2+S3−S两两重叠之和+S三重重叠。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1先画两圈相交：中间月牙形标上斜线，写上「重叠，数了两次」。
2标三处数：左圈标 S1，右圈标 S2，斜线区标 S重叠。
3看问题选方向：求覆盖就用「和 − 重叠」；求重叠就用「和 − 覆盖」。
4三图形升级：画三圈，中心小三角标「三重，加回来」，提醒自己最后 + 三重重叠。
5收尾验算：重叠部分不能比任何一张纸还大，覆盖面积不能比面积之和大——超了就是符号错了。
六、标准解题流程
1确定各图形单独的面积。
批注 题目直接给就抄下来；给长宽、半径就先算，圆别忘了 π 取 3.14。
2求出覆盖的总面积。
批注 若题目已给覆盖面积，这步改为「把它圈出来」，别重复求。
3重叠部分 = 面积之和 − 覆盖总面积。
批注 这是考场最常考的方向，减的对象别搞反——永远是「和」减「覆盖」。
4三图形时用容斥完整公式。
批注 三块之和减两两重叠后，一定记得把三重重叠加回来，符号是「+」。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
两张面积分别为 30 和 24 的纸片叠放在桌面上，覆盖桌面的总面积为 45，求重叠部分面积。
例1 题图
审题关键
圈三个数——两张纸各自面积 30、24，覆盖总面积 45。问的是「重叠部分」，用变形公式。
规范解答
由重叠模型，重叠部分被两张纸各算了一次，多算的部分就是重叠区，所以S重叠=S1+S2−S总=30+24−45=9
方法提炼
给「两张纸面积」和「覆盖面积」求重叠，固定动作就是「面积之和 − 覆盖」。9 比 24、30 都小，合理。
例2（变式）
题目
（变式）三个圆面积都是 20，两两重叠部分都是 4，三重重叠 1，求覆盖总面积。
例2 题图
审题关键
变成三个图形了，方向也反过来——求覆盖。圈出「两两重叠都是 4」「三重重叠 1」，提醒自己用三集合容斥。
规范解答
三圆面积之和为 20×3=60；两两重叠共三处，合计 4×3=12，减去；三重重叠被多减了一次，要加回 1：S=20×3−4×3+1=60−12+1=49
方法提炼
变在两处——图形从两个变三个，问题从求重叠变求覆盖。迁移的关键是背熟三集合结构「和 − 两两 + 三重」，尤其最后那个「+」。
八、小升初常考题型精讲
题型一：给覆盖求重叠型
题目
两张面积分别为 30 和 24 的纸片叠放，覆盖桌面总面积为 45，重叠部分面积 = ____。
题型一 题图
审题关键
与例1同型，「和 − 覆盖」。
规范解答
30+24−45=9。
方法提炼
和例题一模一样的数也别慌，这是命题人送分，稳住格式。
题目
两张纸片面积之和为 50 平方厘米，叠放后覆盖桌面的总面积为 38 平方厘米，重叠部分面积为 ____ 平方厘米。
题型一 题图
审题关键
这次直接给「面积之和」50，省一步加法。
规范解答
S重叠=50−38=12（平方厘米）。
方法提炼
题目给「和」就别再自己加，读题时分清给的是「各自面积」还是「面积之和」。
题目
两张纸片叠放后覆盖桌面 70 平方厘米，两纸片面积分别为 45 和 37 平方厘米，重叠部分面积是（ ）
A．10 平方厘米 B．12 平方厘米 C．15 平方厘米 D．8 平方厘米
题型一 题图
审题关键
选择题，数据藏在文字里，先圈 70、45、37。
规范解答
S重叠=45+37−70=82−70=12（平方厘米），对应 B。
方法提炼
重叠 = 和 − 覆盖，选择题也要先列式再对选项，别凭感觉猜。
题型二：给重叠求覆盖型
题目
长 12、宽 8 与长 10、宽 6 的两张长方形纸片部分叠放，重叠部分面积为 24，覆盖桌面的总面积是（ ）
A．132 B．156 C．120 D．108
题型二 题图
审题关键
没直接给面积，要先算两张长方形：12×8=96，10×6=60。
规范解答
S总=96+60−24=132，对应 A。
方法提炼
方向反过来，公式变成「和 − 重叠」。156 是忘减重叠的陷阱项，考场常见。
题目
半径为 3 与半径为 4 的两个圆叠放在桌面上（π 取 3.14），重叠部分面积为 12，覆盖总面积为 ____。
题型二 题图
审题关键
圆面积先各自算：3.14×32=28.26，3.14×42=50.24。
规范解答
S总=28.26+50.24−12=66.5。
方法提炼
套模型前先过「基本面积计算」这一关，r2 别算成 2r，小数减法对齐小数点。
九、真题再现：经典考题拆解
经典考题一（经典考题）
题目
一张长 10、宽 6 的长方形纸片和一张长 8、宽 5 的长方形纸片叠放在桌面上，量得覆盖桌面的总面积是 68，重叠部分的面积是多少？
经典考题一 题图
规范解答
两张纸片面积分别为 10×6=60 和 8×5=40，面积之和 60+40=100。由重叠模型：S重叠=100−68=32
方法提炼
覆盖面积经常是「量出来」给的，别觉得奇怪，模型不变：和 − 覆盖 = 重叠。
经典考题二（改编自常见考题）
题目
三张面积都是 15 的正方形纸片叠放，每两张的重叠部分面积都是 3，三张共同重叠部分面积是 1，它们覆盖桌面的总面积是多少？
经典考题二 题图
规范解答
三集合容斥：面积之和 15×3=45；两两重叠共三处，减 3×3=9；三重重叠加回 1：S总=45−9+1=37
方法提炼
三图形题先默写「和 − 两两 + 三重」再代数，符号一错全错。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误三集合容斥写成「和 − 两两重叠 − 三重重叠」。→
✓ 正确做法最后是「+ 三重重叠」，因为它在减两两重叠时被减光了，要补回来，符号口诀「加、减、加」。
✗ 常见错误两两重叠面积不同时，笼统地拿一个数乘 3。→
✓ 正确做法三处两两重叠各是各的，必须分别相减，只有明确说「都是 4」才能乘 3。
✗ 常见错误求重叠时写成「覆盖 − 和」，得到负数还照抄。→
✓ 正确做法永远是大的减小的——「面积之和 − 覆盖总面积」，算出负数立刻回头检查。
✗ 常见错误涉及圆时把 3.14×42 算成 3.14×8。→
✓ 正确做法先算平方 42=16 再乘 3.14，得 50.24。