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美国博士考试光学真题及答案:第2辑
Problems and Solutions on Optics汇编了美国主要大学博士资格考试的200多道光学精选真题，从基础到高阶不等，能有效促进对光学概念的理解。本文将继续分享其中的部分试题。
1. 玻璃可通过掺杂提高折射率，以此变成厚度恒定的透镜。为了将一个半径为𝑎、厚度为𝑑的圆形玻璃片变成焦距为𝐹的透镜，折射率𝑛(𝑟)应随径向距离𝑟如何变化？假设这是一个薄透镜(𝑑 ≪ 𝑎)。
解：假设掺杂后随径向变化的折射率为𝑛(𝑟)，且𝑛(0) = 𝑛₀为中心折射率。如下图所示，平面波通过透镜折射后会聚在焦点𝐹处。
根据光程相等原理可知：
整理可得：
如果𝑟 ≪ 𝐹，上式可简化为：
2. 长度为5 mm的线物体位于相机镜头前500 mm处。图像聚焦在胶片上，且长度为 1 mm。如果胶片向后移动10 mm，图像的宽度被模糊成1 mm。镜头的𝐹数是多少？
解：由于横向放大率𝑚 = 𝑣/𝑢 = 1/5且𝑢 = 500 mm，因此𝑣 = 100 mm。将两个距离代入高斯透镜公式可得：
1/𝑢 + 1/𝑣 = 1/𝑓 --> 𝑓 = 83.3 mm
根据上图中的相似三角形：
𝐷/𝑣 = 1/10 --> 𝐷 = 10 mm
由此计算𝐹数：𝐹 = 𝑓/𝐷 = 8.33
3. 对于相机镜头，景深是指一个点物体能够从准确聚焦的位置偏离多远，而且在这个偏离范围内，这个点发出的光仍能落在焦平面一定直径的弥散圆内。虽然增大孔径能收集更多的光，但也会减小景深。下面展示了减小𝐹数(增大孔径)对图像的影响。
现在请参考下图，推导景深(𝛥𝑞)与物距(𝑞)、焦距(𝑓)、𝐹数及弥散圆直径(𝑙)的关系。假设物距远大于焦距。
解：通过对高斯公式进行微分可得：
因此，对于微小的物距偏差(景深Δ𝑞)，像距偏差为：
根据上图中的几何关系可知：
其中𝐷为透镜的直径；后面的𝐹 = 𝑓/𝐷。
由于𝑞 ≫ 𝑓、𝑞' ≈ 𝑓，因此：
4. 如下图所示，折射率为𝑛、曲率半径分别为𝑅₁和𝑅₂的薄透镜置于折射率分别为𝑛₁和𝑛₂的两种介质之间。如果𝑆₁和𝑆₂分别是物距和像距，而𝑓₁和𝑓₂分别是对应的焦距，请证明：
证明：如右上图所示，平行于光轴的光线从点Q处折射，然后与光轴相交于第二焦点F₂；沿光轴传播的光线也通过F₂。由于这两根光线具有相等的光程，因此：
接下来确定上面四个线段的长度。
由于：
因此：
同理可得：
前面两式相加可得：
另外：
将前面四式代入公式(1)可得：
使用相似的步骤可得：
重复示意图方便手机阅读
现在，假设A和A'是一对共轭点，根据几何可知：
将这些式子代入下面的等光程方程：
由此可得：
最后结合公式(2)、(3)和(4)即可导出：
1. 考虑折射率为𝑛、底角为𝛼的菲涅耳双棱镜。
(a) 一根垂直入射底面的光线可以从上半部分或下半部分进入棱镜。求这两种情况下的偏转角。假设𝛼很小。
(b) 一个平面波垂直入射整个棱镜底面，并在平行于底面的屏幕上产生干涉条纹。这些条纹是怎么产生的？请用入射光线的偏转角𝜃表示条纹间距。
(c) 如果双棱镜在黄光下产生间距为100 μm的条纹，那么棱镜底角𝛼约为多少度？
解：(a) 垂直入射到棱镜底面的光线在侧面发生折射。从棱镜上半部分出射的光线朝斜下方传播；根据对称结构，从下半部分出射的光线朝斜上方传播。在两种情况下，偏转角大小相同，当𝛼很小时由下式给出：
𝜃 = (𝑛 - 1) · 𝛼
(b) 从棱镜上下部分对称出射的两束平行光相遇并相互干涉，然后在屏幕上形成干涉条纹，其间距由下式给出：
(c) 取黄光波长𝜆 = 600 nm，双棱镜折射率𝑛 = 1.5，然后将Δ𝑦 = 100 μm代入上式可得：
𝛼 = 0.006 rad = 21'
2. 如左下图所示，劳埃德反射镜可通过单个光源在屏幕上产生干涉条纹。试构造一个等效的双(相干)光源系统。第一个条纹(点O处)为暗条纹。这是什么原因？
解：与劳埃德镜等效的双光源系统如右上图所示。点O处的暗条纹表明，光束在反射时经历了等于𝜋的相位变化。
3. 假设迈克尔逊干涉仪通过𝜆 = 500 nm的扩展(extended)光源照明时产生同心圆干涉条纹。为了从圆心涌出1000个条纹，其中一个干涉臂应移动多远？如果中心是亮斑，请通过两臂之间的路径差以及波长𝜆表示第一个暗环的角半径。
解：当两个反射镜被调节到相互垂直时，迈克尔逊干涉仪将产生同心圆干涉条纹，即等倾条纹。两臂之间的光程差为：
其中𝑛是介质折射率，在空气中约为1，𝑙₁和𝑙₂为两干涉臂长，𝑑为臂长差，而𝜃为光在反射镜上的入射角。
1) 为了从中心涌出1000个条纹，光程差Δ需改变1000𝜆。因此2𝑑 = 1000𝜆，即𝑑 = 0.25 mm，也就是说其中一个干涉臂需平移0.25 mm。
2) 中心为亮斑表明：
其中𝑚为整数。对于第一个暗环有：
前面两式相减可得：
如果使用小角度近似，上式可简化为：
当𝑑 = 0.25 mm时，𝜃 = 0.032 = 1.8°
4. 如果肥皂膜通过反射红光(𝜆 = 700 nm)产生二级相长干涉，那么肥皂膜的厚度是多少。假设肥皂膜折射率为1.33，入射光为平行光束，且与法线成30度角。
解：在有限区域内，肥皂膜可被看作平行平板，因此上下两个表面的反射光之间的光程差为：
对于二级相长干涉有Δ = 2𝜆，由此可得：
其中𝜃是光在薄膜内的折射角。根据折射定律：
由此计算余弦：
代入数值可得：𝑑 = 426 nm
5. 假设一个垂直的肥皂膜通过纳黄光(𝜆 = 589 nm)的反射进行观察。膜的顶部非常薄，因此在所有颜色下看起来都是黑色的。薄膜上有五个亮条纹，且第五个亮条纹的中心位于底部。肥皂膜底部的厚度是多少？已知水的折射率为1.33。
解：肥皂膜顶部的厚度远小于𝜆₀/(4𝑛)，因此这个厚度可忽略不计；𝜆₀为可见光谱的平均波长，约等于550 nm。如下图所示，对于左右表面的反射光线1和2，由于反射的附加相位，两者之间的相位差为𝜋。因此，膜的顶部通过反射光观察时是黑色的。
当两束光入射在薄膜底部时，相位差变为：
第五个亮条纹中心的相位差为：𝛿 = 10 𝜋
代入给定的𝜆和𝑛可算出：𝑑 = 1 μm
趣味光学实验：由于重力作用，垂直肥皂泡从上到下的厚度会不断变小，导致彩色条纹不断下降，直到全部变黑。下面以12倍速度展示了垂直肥皂泡的动态变化；改编自哈佛自然科学实验演示课程视频。
探索、实现、推动光电子核心技术的发展
——以科技改变世界。
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