组合体：拼起来认，拆开来算

高中数学各个击破 · 第 063 讲　｜　第 11 册《特殊空间几何体》·第 3 讲《简单的组合体》　｜　本期考点：组合体的两种构成方式、接口处的表面积与体积、墙角与鳖臑与全等面体三块积木、旋转体的同轴拼接、割补法与分割法

📌 写在前面

前两讲把空间的"家底"清点完了。

第一讲认多面体：棱、面、顶点，全是直线和平面；第二讲认旋转体：转一圈，柱锥台球各有各的母图形。两讲下来，五种标准体——柱、锥、台、球，外加一个台的前身——都能认、能算。

可卷面上的立体几何题，很少给你一个标准体。

给你的是一个正方体挖掉一个圆柱，是一个圆柱里塞着一个球，是一个长方体被两刀切成三块，是一座屋顶由棱锥和三棱柱拼起来。这些叫组合体。

组合体这一讲有个特别之处：它没有一条新公式。你翻遍课本也找不到"组合体体积公式"，因为它不存在。所有组合体的题，用的全是前两讲的公式，区别只在于——你得先看懂它是怎么拼的，再决定是加还是减。

所以这一讲讲的不是公式，是三个动作：

认拼法，找接口，算总账。

• 认拼法：它是拼接（两块摞在一起）还是挖去（从里面掏掉一块）？参与拼接的是多面体配多面体、多面体配旋转体，还是旋转体配旋转体？
• 找接口：两块贴在一起的那个面，藏在里面，两边都看不见——表面积要减两次;掏掉一块之后，掏出来的内壁反而露出来了——表面积要加。这一步是本章丢分最多的地方。
• 算总账：体积可加可减，一套公式走天下；真正要动脑子的是"没有公式"的那些——刍甍、茅屋、玉琮，先分割或补形，变成标准体再算。

还有一个隐藏福利：组合体这一讲会顺手把三块标准积木交给你——墙角、鳖臑、全等面体。它们的体积分别占外接长方体的、、。认得出这三块，很多"看着怪"的四面体就变成送分题。

🎯 学习目标

1. 能说清组合体的两种构成方式（拼接、挖去）与三类搭配（多面体＋多面体、多面体＋旋转体、旋转体＋旋转体），拿到一个图形先判断它属于哪一类；
2. 掌握接口的两条算法：拼接时表面积减去贴合面的两倍，挖去时表面积减去开口、加上内壁；体积则一律按"加"或"减"处理，不重复计算重叠部分；
3. 认得三块标准积木（墙角、鳖臑、全等面体）与三个"切出来的名字"（堑堵、阳马、鳖臑），会用分割法与补形法处理没有现成公式的组合体。

🧭 要点提炼

一、组合体是"没有新公式的新课"

先把话说死：组合体的所有计算，都在用前两讲的公式。柱 、锥 、台 、球 ，一个不多。组合体不提供新工具，它只提供新的组合方式。

所以这一讲的"难"，全难在识别上。拿到题，先问三个问题：

两种构成方式，只有两种。

第一种是拼接：两个或两个以上的简单几何体，拼成一个新的几何体。像积木摞起来。

第二种是挖去：从一个几何体内部，截去或挖去一部分。像苹果被挖掉一个洞。

考试里绝大多数"组合体"都是这两种，或者两种混用（先拼再挖，或先挖再拼）。判断的方法很朴素：用手指头点一遍——这块是实心的吗？ 实心的地方累加，空心的地方减掉。

三类搭配，按"谁和谁配"分。

第三类要特别提醒：旋转体拼接，先看共用不共用轴。同轴的两个旋转体，接口是一个圆（同半径）；不同轴的两个旋转体拼起来，接口是一个斜椭圆，中学阶段基本不给这种题。所以看到柱、锥、台、球的组合，第一反应就该是"它们同轴吗"。

二、接口：两处减法，一处加法

这一节是全场最重要的地方。

组合体算错，九成错在接口。接口就是两块"贴住"的地方。贴住之后，那个面既不属于外面，也不属于里面——它两边都被挡住了，谁也看不见。

拼接型：表面积 = 两块表面积之和 − 2 × 贴合面。

为什么是 2？因为贴合面本来在  里算过一次，在  里又算过一次，而现在它两面都被挡住，一次也不该算。所以要减两遍。

铁律一：贴住一个面，表面积少两个面。

拼一次，两个面同时"消失"。拼  次，就有  个面消失。

这条铁律有个常见的反例陷阱：如果贴合面只是部分重合（比如小圆柱贴在大圆柱底面上），那就只减重合的那部分面积的两倍，不是整个底面。

挖去型：表面积 = 原表面积 − 开口面积 + 内壁面积。

挖去的算法和拼接长得像，方向相反。挖掉一块，原来那块地方的表面没了（减开口），但挖出来的内壁暴露出来了（加内壁）。

两个特例必须记住：

• 挖穿（从上底通到下底）：上下各少一个圆盘，但多出一整圈柱面。以正方体棱 、挖穿半径  的圆柱为例：，表面积反而变大。
• 内切（挖去一个与内壁处处相切的体）：开口面积是 （相切只切掉一个点，没有面积），内壁面积是整块曲面。以圆柱 、 挖去内切球为例：，比原来的  **大了 **。

铁律二：挖去之后，表面积常常变大，不是变小。

很多人凭直觉写"挖掉一块，表面积当然减少"，一写就错。判断标准只有一条：看挖出来的内壁有没有露出来。露出来就是加，露得多就加得多。

体积没有接口问题。

体积是"占了多少地方"，占了就是占了，两块拼起来占的体积就是各自之和；挖去的就减掉。唯一要小心的是重叠：如果两个体本身有重叠部分，不能简单相加，得先处理重叠（要么挖，要么割）。这一点在后文的"割补"里还会遇到。

把这一节的账，缩成一个小表：

三、三块标准积木：墙角、鳖臑、全等面体

组合体拆到最后，常常拆出一个"四面体"。而四面体的体积，有四个数值得背下来——它们都是外接长方体体积的几分之几。

第一块：墙角模型（三条棱两两垂直）。

三棱锥  中，、、 两两垂直，就像房间的一个墙角。设 、、，把它补成长方体，三条棱正好是 ：

为什么是 ？因为长方体可以切成 6 个这样的墙角四面体。这个"6"不是背来的，是真能切出来的。

第二块：鳖臑（四个面都是直角三角形）。

"鳖臑"是《九章算术》里的名字，指的就是墙角模型——它的四个面全是直角三角形：三个面是两两垂直的直角边围成的，第四个面（斜面）也是直角三角形（因为三垂线）。鳖臑 = 墙角，只是换了个古人起的名字。 体积同样是 。

第三块：全等面体（四个面全等）。

四面体  中，若四个面都是全等的三角形，则它的三组对棱分别相等：、、。这种四面体可以"嵌"进一个长方体——取长方体的四个两两不相邻的顶点即可，六条棱恰好是长方体的六条面对角线。

设长方体三条棱为 ，则

三式相加除以 2，得 ，再逐个减回去就能解出 。而体积

一个长方体切出这种全等面体，剩下的是 4 个墙角四面体（每个占 ）：。账对得上。

三块积木的体积账：墙角 、鳖臑 、全等面体 。

一个长方体等于：6 个墙角，或者 3 个全等面体加 4 个墙角，或者 2 个堑堵（见下一节）。

正四面体是全等面体的特例：若每个面都是正三角形，它对应的长方体是正方体，棱长 = 面对角线。所以棱长  的正四面体，外接正方体棱长为 ，体积

这条公式建议直接记住，考试里出现频率很高。

四、一刀切出来的三个名字：堑堵、阳马、鳖臑

《九章算术》里有一套"切长方体"的叫法，高考很喜欢拿它出题。三个名字，其实是三刀：

一句话记住：堑堵一刀分两半，阳马是鳖臑的两倍。

这个等式值得盯着看两秒——它同时说明了三件事：长方体切成两半是堑堵；堑堵切成两块是阳马和鳖臑；阳马正好是鳖臑的两倍。

为什么阳马是鳖臑的两倍？看底面：阳马的底面是堑堵底面那个矩形，鳖臑的底面是矩形的一半（三角形），两者高相同，所以体积比就是底面积比 。

识别口诀：遇到"直棱柱斜着切一半"，先想堑堵；遇到"四棱锥有一条侧棱垂直底面"，先想阳马；遇到"四个面都是直角三角形"，先想鳖臑。

五、旋转体的拼接：同轴相加

旋转体的组合比多面体简单，因为同轴之后，接口就是一个圆，而圆只需要一个半径。

常见的三种同轴拼接：

• 柱＋锥：圆锥的底面圆等于圆柱的上底圆，顶点在上底圆心。接口是上底圆，被圆锥盖住——如果圆锥在圆柱内部，这就是"挖去"；如果在外面，就是"拼接"。
• 柱＋台：圆台的下底圆等于圆柱的上底圆，接成"柱台复合体"，像酒瓶的下半部。
• 锥＋台（塔形）：一层一层叠上去，每一层的接口都是圆。

算这类题，有两件事一定要先定：

1. 接口半径：两块共用同一个圆，半径只有一个。别在上下两段各设一个。
2. 母线：接口处若由两个侧面相接，两段母线是"折"的（不共线），画轴截面时能看到一个折点。表面积要把两段侧面分开算。

轴截面是这类题的唯一正确画法。 把组合体过轴切一刀，旋转体问题立刻降维成平面几何：柱变矩形、锥变三角形、台变梯形、球变圆，拼接关系一眼看清。例 5 就是靠轴截面把"柱＋锥"直接读出来的。

绕轴旋转的四边形，是这类题的常见出法。判断它转出什么，只看三条边：

• 垂直（或平行）于轴的边 → 扫出圆柱侧面或圆盘（底面）；
• 斜边 → 扫出圆锥侧面；
• 落在轴上的边 → 什么都不扫。

六、没有公式的：先分割，再补形

有些组合体，你连它的名字都叫不上来——刍甍、茅屋、玉琮、半正多面体。它们没有公式，但都有办法：分割或补形。

分割法：把它切成几个标准体，分别算再相加。适用于"能沿着棱或面切开"的形体。

典型代表是刍甍（音 chú méng，《九章算术》里的"屋脊形"）：底面是矩形，上面一条脊棱平行于底面。它的体积没有现成公式，但只要过脊棱的两个端点各作一个铅垂面，就被切成"两个三棱锥夹一个三棱柱"——三块全是标准体。

补形法：把它补成一个标准体，再减去多出来的部分。适用于"缺一角、缺一块"的形体。

典型代表是茅屋（下半部长方体＋上部棱锥或棱柱）：不好直接算的部分，补成一个完整的长方体或棱柱，再减掉补上去的。

整体减局部：这是补形法的一个变体，用于"从一个标准体里挖掉若干块"。比如正方体切掉 8 个角，得到的就是半正多面体（截角立方体）——体积等于正方体减 8 个小墙角四面体。

判断用哪个：能切干净就用分割，切不干净就去补形。

"切干净"的意思是：切出来的每一块都叫得出名字。如果切完还是怪东西，说明切错了，换补形。

七、收官三查

组合体的题，算完不算完，必须回查三件事：

一查：单位。 旋转体题给了"厘米"，答案写成"立方米"，白丢分。长度单位换算成立方是三次方，换成平方是两次方。

二查：几个面／几个底。 拼接之后，某些底面会消失（贴住了），某些面会新增（露出来了）。算表面积前，先把"最后到底有几个面"数一遍：几个底面、几个侧面、有没有盖。

三查：接口。 回到第二节的账：拼接减 ，挖去减开口加内壁。这一步最容易漏，也最容易写成反的。

三查口诀：单位对三次方，面数要数一遍，接口别忘两遍。

🎒 记忆钩子

🧩 范例精讲

例 1　先学会找接口：正方体挖穿一个圆柱

棱长为  的正方体，从上底面的中心向下底面中心挖穿一个半径为  的圆柱。求剩下部分的体积与表面积。

解析：这是一道"挖去型"，也是最典型的接口题。先算体积，再算表面积——两者的难度不在一个层次。

体积直接减：

表面积要三笔账，一笔一笔来。

第一笔，原来的表面积：正方体六个面，每个面 ，共

第二笔，挖掉的开口：上下两个面各被挖去一个半径  的圆盘，面积各为 ，共减 。

第三笔，露出的内壁：圆柱的侧面从"藏在正方体内部"变成"暴露在空气里"，它是一整圈柱面，面积 ，要加上。

于是

注意这个结果：，比原来的  大。 挖掉一块，表面积反而增加了  —— 因为挖掉的开口只有两个小圆盘（），而露出来的内壁有一大圈（）。

评注：这道题的价值不在数字，在于建立"接口三笔账"的习惯：原有、减开口、加内壁。很多人只做前两笔，漏掉内壁，答案就少 。还有一笔更隐蔽的账——如果挖的是半穿（没通到底），那只有底面一个开口、内壁只有柱面加一个圆底，结果又是另一个数。做题时把"通没通"看清楚。

例 2　墙角模型：三条棱两两垂直

三棱锥  中，、、 两两垂直，且 、、。求三棱锥的体积，以及点  到平面  的距离。

解析：这是标准的墙角模型。三条棱在  处两两垂直，把  放在原点，三条棱分别放在三条坐标轴上：

体积是"三条互相垂直的棱的乘积除以 6"：

求距离用等体积法：把三棱锥换个顶点看，以  为底、 为顶点，同一个体积就给出了

所以只差  的面积。用向量叉积最快：

模长 ，故

于是

换个算法核对：三条互相垂直的棱 ，斜面三角形三边为 、、，其面积满足

（三个"直角面"面积的平方和）。这里 ，，，一致。

评注：墙角模型有三个"顺手"的结论：体积 ；斜面面积满足"平方和"关系（它是三维的勾股定理）；点面距离一律用等体积法 。第三条是通用武器——只要你会算体积和底面积，任何"点到面距离"都能这么绕过去，不必非要建系。

例 3　一刀切出三个名字：堑堵、阳马、鳖臑

长方体  中，、、。沿对角面  把它切成两个堑堵（三棱柱 ），取其中一个再沿平面  剖开，得到阳马与鳖臑。求这两个几何体的体积。

解析：三刀三块，体积一个比一个清楚，关键是按顺序切，别一上来就想着算阳马。

第一步，长方体：

第二步，堑堵：对角面把一个长方体切成两个全等的三棱柱，体积减半：

第三步，阳马与鳖臑：在堑堵里，阳马的底面是堑堵的那个矩形面 、鳖臑的底面是这个矩形的一半（三角形 ），两者高相同，所以

而两块体积之和等于堑堵，故

核对：鳖臑  是墙角模型——过顶点  的三条棱 、、 两两垂直，故

与上面一致。阳马 ：底面 、高 ，，也一致。

评注：这三个名字常在题干里出现，很多同学被名字吓住，其实只要记住三个分数就够了：堑堵 、阳马 、鳖臑 ，且 。题干若给"鳖臑体积为 1"，整个长方体就是 6；若给"阳马体积为 2"，长方体就是 6；一算就出来。

例 4　全等面体：对棱相等的四面体

四面体  中，、、。求它的体积。

解析：三条棱的"对棱相等"，这是全等面体的标志。它不能直接套公式，但只要嵌进长方体，一切都清楚了。

设长方体三条棱为 ，全等面体的六条棱正好是长方体的六条面对角线，于是

三式相加：

逐个减回去：

故 、、，长方体体积

而全等面体占长方体的 ：

核对：长方体八个顶点中取四个两两不相邻的，剩下四个也两两不相邻。被切掉的是四个墙角四面体，每个占 ：

一致。

评注：这道题的关键动作是"看到三组对棱相等，就补长方体"。补完之后，求体积、求外接球半径、求异面直线夹角，全都变得机械——外接球就是长方体的外接球，。反过来说，如果一道题给了三条棱与三个角，让你求体积，那多半也是同一个套路：先判断能不能塞进长方体。

例 5　柱＋锥：一个梯形转出来的组合体

直角梯形  中，，，、、。把这个梯形绕  所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积与体积。

解析：旋转体组合题，第一步永远是画轴截面——而这里梯形本身就在轴截面所在的平面内，省了一步。

以  为轴， 在轴上， 到轴的距离是 ， 到轴的距离也是 （因为 ）， 在轴上。三条边各扫出一块：

• ：垂直于轴，扫出一个圆盘（半径 ，位于  端）；
• ：平行于轴，扫出圆柱的侧面（半径 、高 ）；
• ：斜边，扫出圆锥的侧面（底面半径 、高 、母线 ）。

所以这个几何体是"圆柱＋圆锥"的拼接，接口是半径  的那个圆（位于  的正下方）——圆锥的底面正好贴在圆柱的上底上。

表面积：三段相加，注意底面只有一个（ 端是锥尖，没有底面）。

体积：柱加锥，接口那个圆不产生额外体积。

评注：这道题也可以用统一的接口法再算一遍，用来验证。圆柱全面积 、圆锥全面积 ，接口那个圆（半径 ）在两块的全面积里各算过一次，现在被夹在体内、两面都不露，所以要减两次：。

与"只算外表面"的结果完全一致。两套算法必须对得上；对不上，一定是哪一笔漏了或重了。 平时做题不妨两法各算一遍，用不了半分钟，却能救回一个  的错误。

例 6　多面体配旋转体：正四面体内接于圆柱

棱长为  的正四面体，三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点在圆柱上底面的圆心。求该圆柱的表面积。

解析：这是"多面体＋旋转体"的典型：正四面体塞在圆柱里，接口是三个切点——下底面的圆周。

先定两件事：圆柱的底面半径  和高 。

底面半径：正四面体的三个顶点在下底面圆上，所以这个圆是正三角形  的外接圆。正三角形边长 ，外接圆半径

（也可用  算。）

高：正四面体的高，就是圆柱的高（第四个顶点在上底圆心，底面在下底圆周所在平面）：

表面积：一个侧面加两个底面。

核对：，。而正四面体的表面积是 ，圆柱比它大得多，合理。

评注：这类题的唯一难点是把"内接"翻译成两个等式：三个顶点在底圆上 ⟹ 底圆是正三角形的外接圆（定 ）；第四个顶点在上底圆心 ⟹ 正四面体的高就是圆柱的高（定 ）。翻译完就只剩代公式。反过来的"圆柱内接于正四面体"、"球内接于圆柱"，翻译方式各不相同，但套路一样——先找相切或相接的那几个点，把它们变成等式。

例 7　挖去之后，表面积反而大了

圆柱的底面半径为 、高为 ，从内部挖去一个与它内切的球（球与圆柱的侧面及上下底面都相切）。求剩下部分的体积与表面积。

解析：球与圆柱内切，意味着球的直径等于圆柱的高：，故 ，恰好等于圆柱的底面半径。所以这个球与圆柱的侧面沿一个大圆相切，与上下底面各相切于一个点。

体积：直接减。

表面积：这是本题的重点，三笔账要数清楚。

• 圆柱的侧面：，保留（球与它只是相切，切掉的是一个圆周，没有面积）；
• 圆柱的上下底面：，保留（球与底面只相切于一个点，也没切掉面积）；
• 球面：，原来藏在里面，现在完全暴露，要加上。

对比：原来圆柱的全面积是 。挖去球之后变成 ，**增加了 **。

评注：这道题是"挖去型"的最强反例。直觉说"挖掉东西表面积会变小"，可这里明明挖掉了一大块（球的体积 ，占圆柱的 ），表面积却从  涨到 。原因只有一个：球面整块露出来了。所以判断表面积增减，永远只问一句——挖出来的内壁露了多少。

📐 方法归纳

这一讲没有新公式，方法也只有四条，但每一条都要练到"看到就知道用"。

第一条：先拆，再算。

拿到组合体，第一件事不是算，是拆。用手指点一遍：这块是柱吗？那块是锥吗？拆成几个标准体？拆得出来，题就成了一半。

拆的标准是"每一块都叫得出名字"。如果拆完还有一块叫不出名字，说明拆法不对，换一个方向再拆。

第二条：接口三笔账。

核心判断：这个面最后露不露。露出来的要加，藏起来的要减，两面都藏的减两次。

第三条：三块积木 + 三个名字。

墙角 、鳖臑 （同一个东西）、全等面体 、阳马 、堑堵 。遇到四面体先想"能不能补长方体"，遇到切开的棱柱先想"是不是堑堵"。

第四条：没有公式就分割或补形。

能切干净就分割（刍甍切成两锥夹一柱），切不干净就补形（茅屋补成长方体，缺角补成整车）。整体减局部是补形的变体，专治"挖掉若干块"。

✍️ 选题说明

本期为自主选题，不沿用原书例题与解析，仅参照第 3 讲的题型分布选题：

答案均已独立验算（见 ）：体积用坐标行列式 verify_063.py 直接算，表面积用"逐面累加"与"公式"双路对拍，旋转体另用轴截面独立的平面几何算法复核。

🏋️ 练一练

基础过关

1. 已知圆柱的体积为 ，从这个圆柱内部挖去一个与它同底等高的圆锥，剩下部分的体积为 ______。

2. 棱长为  的正方体内部挖去一个与它内切的球，剩下部分的体积为 ______，表面积为 ______。

3. 直角梯形  中，，，、、。把它绕  所在直线旋转一周，所得几何体的体积为 ______，表面积为 ______。

4. 三棱锥  中，、、 两两垂直，且 。它的体积为 ______，表面积为 ______。

5. 刍甍是《九章算术》中的屋脊形多面体：底面  是矩形，、；上棱 ，， 与底面  的距离为 ，且 、 在底面上的投影把  方向分成  的三段。该多面体的体积为 ______。

综合练习

**6.**（多选）下列说法中正确的是（　　）

A. 棱长为  的正方体内部挖去一个与它内切的球，剩下部分的表面积为 B. 圆柱内部挖去一个与它内切的球后，剩下部分的表面积比原圆柱的全面积小C. 棱长为  的正方体沿一个对角面切成两个堑堵，每个堑堵的体积为 D. 棱长为  的正四面体，其体积是它外接正方体体积的 

7. 圆柱的底面半径为 、高为 ，从上底面挖去一个以该上底面为底面、顶点在下底面圆心的圆锥。剩下部分的体积为 ______，表面积为 ______。

8. 玉琮的外形是"外方内圆"的柱体：外部是底面边长为 、高为  的正四棱柱，内部沿轴线挖穿一个底面半径为  的圆柱。该玉琮的体积为 ______，表面积为 ______。

9. 正四棱锥  的底面边长为 、高为 ，、 分别是棱 、 的中点。三棱锥  与四棱锥  的体积之比为 ______。

10. 棱长为  的正方体，在每个顶点处用平面截去一个三条棱长均为  的三棱锥（即截角立方体）。剩下部分的体积为 ______，表面积为 ______。

📖 答案与提示

1. 　圆锥与圆柱同底等高，圆锥体积是圆柱的 ，故剩下 。

2. ；

内切球的半径 。体积 。

表面积：球与正方体的六个面各相切于一点，不切掉任何面积，故

（与例 7 同理：挖去后表面积变大了。）

3. ；

绕  旋转，、 在轴上。 到轴的距离为 、 到轴的距离为 ，故  扫出半径  的圆盘， 扫出半径  的圆盘， 扫出圆台侧面（上底半径 、下底半径 、高 、母线 ）。

4. ；

墙角模型：。

三个直角面都是腰为  的等腰直角三角形，每个面积 ，共 ；斜面三角形三边都是 ，是正三角形，面积 。故 。

5. 　刍甍没有现成公式，用"分割"最稳：过 、 分别作与  平行的铅垂面，把它切成四棱锥 ＋ 三棱柱 ＋ 四棱锥。

两端各是一个四棱锥：底面是  的矩形（沿  方向宽 、沿  方向长 ），高为 ，体积

中间是一个三棱柱：横截面是三角形（底 、高 ），柱长为脊棱长 ，体积

合计

核对：用"逐层截面积"验一遍。过高度 （）作水平截面，是一个矩形，两方向边长分别为  与 ，故

一致。（顺带得到一个通式：底面 、脊长 、脊高  且脊棱居中的刍甍，。本题 。）

6. ACD

A 对：同第 2 题，。

B 错：挖去内切球后球面整块露出，表面积变大（见例 7）。

C 对：对角面把正方体分成两个全等的三棱柱（堑堵），。

D 对：棱长  的正四面体内接于棱长  的正方体，。

7. ；

体积：。

表面积三笔账：圆柱侧面 （保留）；下底面 （保留，顶点只碰掉一个点）；上底面被圆锥的底面整块占去，不是剩一个环，而是整个圆盘都没了，这一面不必再加；圆锥的内壁（侧面）露出来，母线 ，面积 ，要加上。故

（也可以从原圆柱的全面积  出发：减掉整个上底面的 ，加上内壁的 ，同样得 。）

8. ；

体积：外柱减内柱，。

表面积：外侧面 ；上下两个"方环"面，每个 ，共 ；内圆柱侧面 。故

9. 

建系：底面中心为原点，、、、、，则 、。

故比值为 。

10. ；

体积：正方体 ；每个角的三棱锥三条棱都是 ，体积 ，八个共 。故

表面积：原来六个面各被切去四个角（每个角是直角边为  的等腰直角三角形，面积 ），共减去 ；新增  个正三角形面，边长 ，每个面积 ，共 。故

💡 金句

组合体这一讲，没有一条新公式。

柱、锥、台、球，还是前两讲那几个；变的是它们的拼法。所以这一讲考的不是记性，是眼力——你能不能一眼看出它是谁和谁拼的，接口藏在哪，那笔账该加还是该减。

记住两件事就够了：贴住的面，两边都看不见，所以要减两遍；挖出来的内壁，整块露在外面，所以要加上去。 挖掉一块，表面积经常不降反升——这不是意外，这是几何的诚实。

再记住三块积木：墙角 、鳖臑 、全等面体 。一个长方体，能切出六个墙角、三个全等面体，也能一刀分成两个堑堵，再一刀分成阳马与鳖臑。

复杂的形体，从来不是靠公式解决的，是靠拆。

共同奔赴，下期见。