每日一题第2900题(2026年全国高中数学联赛广东预赛解答11)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联广东预赛的解答题的第11题，难度中等。

题干中给出了数列的递推式和首项a_0，要求数列的通项公式，因为递推式中有根号，所以考虑两个方向，一个就是根号直接丢掉，得到a_(n+1)≥2a_n-1，剩下一个等差的部分，从这部分以及首项可以预估一下an的范围，至少都是大于1的。另一个方向就是平方把根号去掉，但平方之后是二元二次的，所以肯定还需要用n-1去替换得到另一个式子，然后两个式子相减来处理，这个也是常规方法。

在两式相减，并且因式分解之后，其中一个因式是a_(n+1)-a_(n-1)，根据前面丢根号的那一部分，可以得到这个因式肯定不为0，但作为解答题，过程还是要书写一下的。然后就只剩a_(n+1)+a_(n-1)=4a_n-2了，显然是一个类似于特征根法的式子，所以换一个数列bn=an-1把常数丢掉后就变成了特征根法了，后面就直接特征根法求通项就行了。