旋转体：转一圈，摊一张，切一刀

高中数学各个击破 · 第 062 讲　｜　第 11 册《特殊空间几何体》·第 2 讲《旋转体》　｜　本期考点：旋转体的形成与结构特征、侧面展开图与圆心角、轴截面与勾股线、表面积与体积、外接球与内切球

📌 写在前面

上一讲我们认的是多面体——棱、面、顶点，全是直线和平面，看得见摸得着。

这一讲的东西，一条棱也没有。

圆柱、圆锥、圆台、球，它们的身上找不到一条直线段，全是曲面。可它们偏偏是卷面上最好算的一类，因为它们的肚子里藏着一条直线：那条转出来的母线。

所以旋转体的全部秘密，都在"一转"那一刻。母图形转一圈，形状就定了；剩下的问题只有两个——表面多大，里面装多少。而这两个问题，各有一个对应的动作：

转一圈，摊一张，切一刀。

• 转一圈：母图形贴在轴的哪条边上？转出来的到底是什么？这一问最容易错，而且一错到底；
• 摊一张：把侧面剪开摊平，表面积就变成一块平面图形——矩形、扇形、扇环；
• 切一刀：过轴切一刀，体积就落在一个等腰三角形、一个等腰梯形，或者一个圆里。

第 11 册的第二讲，紧接上一讲的多面体。上一讲是"看得见的直线体"，这一讲是"摸不着的曲面体"；两讲讲完，空间几何体的家底就清点干净了。

🎯 学习目标

1. 能从母图形和旋转轴还原旋转体的形状，说清"哪条边扫出侧面、哪条边扫出底面"，并能识别"绕斜边转出两个锥""绕矩形外的平行线转出空心柱"这类变形；
2. 能用侧面展开图算侧面积、用轴截面算体积，掌握（圆台为）以及三条勾股关系；
3. 会处理补形取半、等积搬运、割补相减、外接内切四类问题，并知道"有内切球时"这条通法。

🧭 要点提炼

一、转一圈：母面贴在轴的哪儿

旋转体的定义只有一句：一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转一周，形成的几何体。 这句话里有三个变量，也就有三个坑：

第一条铁律：母图形必须整个在轴的一侧。 母图形若跨过轴，转起来自己扫自己，得到的就不是简单旋转体。

第二条：贴在轴上的那条边，不产生任何面。 它就是转轴，转完还剩一条线段（或者一个点）。比如直角三角形绕一条直角边转，那条直角边原地不动，什么都不扫出来；它对面的斜边扫出侧面；另一条直角边扫出底面圆。

第三条：半径就是"到轴的距离"。 母图形上每一点转一圈都画出一个圆，圆心在轴上，半径等于该点到轴的距离。所以——

母面一转，半径自现：母图形上离轴多远，转出来的圆就多大。

这一条看着像废话，其实能救很多题。例 2 的三种转法、例 5 的斜截圆柱，都是靠"某条线到轴的距离"直接把半径定下来。

四种标准母面：

三个"看着对其实错"的变形，年年有人栽：

其一，直角三角形绕斜边转，得到的是两个圆锥拼起来的"陀螺"，不是一个圆锥。 因为绕斜边转时，直角顶点在旋转中画出一个圆——这个圆成了两个圆锥的公共底面。

其二，直角梯形绕斜腰转，得到的不是圆台。 圆台必须绕直角腰。绕斜腰转时，上底和下底扫出的两个锥面方向相反，拼出来的东西既不是台也不是锥。

其三，矩形绕一条与它不相交的平行线转，得到的是空心圆柱（大圆柱挖掉一个小圆柱），体积要相减。

二、一个图形，三种转法

同一个三角形，绕三条边转，能得到三个完全不同的体。这是"转一圈"最值得练的一道题（例 2）。

设  中 ，，，则 。

三个数摆在一起，有一条值得记的规律：

绕哪条边转，哪条边就当"高"；半径由另一条边到轴的距离定。所以绕斜边转体积最小。

绕斜边时，公共底面半径是斜边上的高；两个锥的高加起来正好是斜边长 ，于是

"高相加"这个技巧要记住：两锥拼接时不必分别求两个高，它们加起来就是那条被绕的边。这是分割法最省事的一次应用。

三、摊一张：三件套，一条不变量

把侧面沿一条母线剪开摊平，三类旋转体各得一块平面图形：

摊开这个动作，唯一不变的是长度——尤其是那两段弧：

展开图的弧长，就是底面圆的周长。 圆柱、圆锥、圆台，无一例外。

于是侧面积不必背三个公式，只要记住扇形面积  弧长  半径：

• 圆锥：；
• 圆台：扇环是大扇形减小扇形，两者共圆心角，一减就出来。

把圆台这条好好算一遍，你会发现用不着背。设圆心角为 ，则两弧半径为

代入 ：

扇环还有一条漂亮的性质，很多人不知道：

扇环所在两个圆的半径之差，恰好等于圆台的母线长。

因为扇环的两条直边就是母线，长度都是 ；而这两条边沿着半径方向排开，"沿半径走 "与"半径增加 "是同一件事。例 1 的第 ⑥ 条命题就埋着这个。

还有两条提醒：

1. 圆心角是弧度。 给出的是弧度数，换算成度要乘 ；
2. ** 必然小于 **。因为  恒成立（母线是直角三角形的斜边）。若算出 ，一定是半径、母线搞反了。

四、切一刀：轴截面上的那条勾股线

过轴切一刀，旋转体就被压成一个平面图形：

四条关系，一个来源：

旋转体只有一条勾股线。找到它，、、 三者就锁死了。

• 锥的勾股线：轴截面等腰三角形砍一半，斜边是母线，两条直角边是高和半径；
• 台的勾股线：轴截面等腰梯形平移出一条横边，横边长 ，于是 ；
• 球的勾股线：球心、截面圆心、截面圆上一点，三点成直角三角形。

记法：锥看斜边，台看平移，球看截面。

五、面积的加减法

全面积  侧面积  底面积，关键是数清几个底、有没有盖：

两种常见的"少算"：

其一，组合体的接口要减。 两个圆柱上下粘在一起，粘住的那个圆两面都不露了，要从总面积里减掉 ——两个面各减一次，别只减一次。

其二，"无盖"要按题面。 水杯、漏斗、灯罩，常常只有一个底，或者一个都没有。题目说"容器内壁表面积"，那是内壁，底面照算。

六、体积的四条路

补形取半为什么合法？例 5 会讲透：斜截圆柱的母线长随方位按余弦规律变化，转半圈之后恰好"补"回来，两段之和恒为定值——所以两个这样的体沿截面一拼，正好补齐成整圆柱，缝都没有。

等积搬运的核心只有一句：物体占的空间，就是它排开的空间。 球沉进水里，水面上升的那一层圆柱的体积，等于球的体积，与球的形状无关。

七、收官三查

1. 转对了吗？ 轴在哪条边上、谁在变半径、有没有多出或漏掉一块；
2. 摊平了吗？ 弧长等于底面周长，圆心角用弧度，；
3. 切开了吗？ 高、半径、母线在同一条勾股线上，别把母线当高、把斜高当高。

🎒 记忆钩子

母面一转半径现，贴轴之边不出面； 绕斜成双不是锥，绕外成环须相减。

摊平只认弧不变，扇环半径差母线； 锥看斜边台看移，球看截面勾股线。

🧩 范例精讲

例 1　六个命题：两对只差一个字

题目　下列命题中，正确命题的个数是（　　）

① 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，所得几何体是圆锥；

 ② 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所得几何体是圆锥； 

③ 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台；

 ④ 用平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台； 

⑤ 圆柱的侧面积等于底面周长与母线长之积； 

⑥ 圆台的侧面展开图是扇环，扇环所在两个圆的半径之差等于圆台的母线长。

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

思路　这六条其实是三对。①②只差"直角"两个字，③④只差"平行于"三个字；⑤⑥看着一真一假，其实两条都得动手算。判断这类题不能靠"大概对"，要盯住那两个字。

解答

①对。 这正是圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥。

②错。 少了"直角"。若绕斜边转，直角顶点在旋转中画出一个圆，这个圆成了两个圆锥的公共底面，得到的是两个圆锥拼成的"陀螺"，不是圆锥。

③对。 定义如此：用平行于圆锥底面的平面去截，截面与底面之间的部分叫圆台。

④错。 少了"平行于"。斜着切一刀，截面是椭圆；截面与底面之间那一块上小下大，但侧边界不是直的，不是圆台。

⑤对。 展开图是矩形，长 、宽 ，面积 ；而  正是底面周长。

⑥对。 这条最容易判错，因为它看着像错的。设上、下底面半径为 、，母线为 ，则

两半径之差

确实等于母线长。取 、、 试一遍：，、，差 ，正好是母线。

正确的有 ①③⑤⑥，共  个，选 C。

核对　⑥的几何意义值得说透：扇环的两条直边就是母线，长度都是 ；这两条边沿着半径方向排开，所以"沿半径走一段 "与"半径增加 "是同一件事。半径差  母线长，这是"看图就懂、算一遍才敢信"的一条结论。

同一对命题只差两个字的时候，考的不是知识，是精度。

例 2　三种转法：同一个三角形，三个不同的体

题目 中，，，。分别以 、、 所在直线为轴，把三角形旋转一周，求所得三个几何体的体积与表面积。

思路　先把三条边摆清楚：直角边 、，斜边 。绕直角边转是圆锥；绕斜边转是两个圆锥拼接，公共底面半径是斜边上的高。

解答

（1）绕  转。 扫出底面圆，半径 ； 扫出侧面，母线 ；高就是 。

（2）绕  转。 半径 、高 、母线 。

（3）绕  转。 直角顶点  到  的距离是斜边上的高

 转出一个半径为  的圆，成为两锥的公共底面。两锥的高之和等于斜边长 ，故

表面积是两个锥面之和，两个锥面都没有底面： 扫出以  为半径、 为母线的锥面， 扫出以  为半径、 为母线的锥面，

核对，绕斜边体积最小，符合"转起来最扁"的直觉。规律在半径上：绕  时半径为 ，绕  时半径为 ，绕斜边时半径只有 。体积对半径是平方关系，对高是线性关系，所以半径一掉，体积掉得最快。

别踩这个坑　绕斜边时不要去分别求两个锥的高。设  在  上的射影为 ， 与  各是多少完全不必算：

"高相加"这一步，是分割法的全部价值。

绕哪条边，哪条边就是高；半径由距离定，不靠眼睛猜。

例 3　摊一张：展开图定要素，也定最短路

题目　圆锥的底面半径为 ，母线长为 。

（1）求它侧面展开图的圆心角；

（2）求它的高、全面积与体积；

（3）一只蚂蚁从底面圆周上一点  出发，沿侧面爬行一周回到 ，求最短路程。

思路　（1）（2）是"摊开"与"切一刀"的正用；（3）是本讲的王牌——沿曲面走最短路，一律摊平；摊平之后，两点之间的直线段才最短。

解答

（1） 展开图扇形的弧长等于底面周长 ，半径为母线 ，故

（2） 由勾股线 ：

（3） 把侧面摊成圆心角 、半径  的扇形。点  在展开图上裂成了两个点——扇形的两条直边的端点，它们本来是同一个点 。

沿侧面绕一周回到 ，在这张展开图上就是"从一个端点走到另一个端点"。摊平之后最短的路是直线段，夹角 、两腰都是 ：

核对　改用弦长公式 ，一致。再看直觉：沿着底面圆周绕一圈要走 ，而 ，确实更短。

这一步为什么关键　圆锥侧面不是"一展开就平"，它是剪开一条母线才摊平的。被剪的那条母线，在展开图上成了扇形的两条直边；而它原来的两个端点，在立体图上是同一个点。所以"绕一圈回到 "，在展开图上就是"从一个端点走到另一个端点"。 这一句想通了，这类题就没有难度；想不通，画多少条辅助线都没用。

曲面上走最短路：先摊平，再连线，最后量直线。

例 4　扇环：把台摊开

题目　圆台的上、下底面半径分别为  和 ，母线长为 。求它侧面展开图的圆心角、扇环的内外半径与侧面积，以及这个圆台的高、体积和全面积。

思路　圆台的展开图是"大扇形挖掉小扇形"。两个扇形共圆心、共圆心角，所以只要定出圆心角，其余全是比例。

解答

（1）圆心角。 扇环的外弧是下底周长 、内弧是上底周长 ，而两弧半径之差等于母线 。设圆心角为 ：

故

圆心角是 ，也就是 ——展开图是一个半圆环。

（2）内外半径。

差 ，正好是母线长，与例 1 ⑥ 吻合。

（3）侧面积。 两条路走一遍：

（4）高。 台的勾股线，横边长 ：

（5）体积与全面积。

核对　把圆台补成整锥。相似比 ，大锥高 。大锥体积 ；小锥高 ，体积 。相减

吻合。

别踩这个坑 的分子是半径之差，不是半径之和，也不是下底半径。这里若把  写成 ， 会变成 ，意思是扇环"卷"成了一个完整的圆环——那不是任何圆台的展开图。算完顺手看一眼  合不合理，能挡掉一半的错。

扇环三件套：圆心角看半径差，内外半径看相似，侧面积看两弧之和。

例 5　补形取半：斜截圆柱

题目　一个底面半径为  的圆柱被一个平面斜截，截得的几何体中，最短的母线长为 ，最长的母线长为 。求这个几何体的体积。

思路　它既不是柱、不是锥，也不是台，是"圆柱被斜着切了一刀"。硬算要积分，但它有一个孪生兄弟——翻过来扣在同一把刀上，正好补齐。

解答

取两个完全相同的这种几何体，让斜截面对接（一个正放、一个倒放），拼成一个完整的圆柱。这个圆柱的底面半径仍是 ，高是两条互补母线之和：

（在拼合处，一条母线接着它"对面"的那条母线，所以每个方位上的两段加起来都是 。）

核对：为什么"互补"成立。 设最短母线所在的方位为 。斜截平面的高度沿某条直径线性变化，所以母线长随方位按余弦规律变化，可写成

 时 （最短）， 时 （最长），平均 。关键在这一步：

转半圈，母线长正好补回来。两个体对接时， 处接的正是  处（倒放之后方位差半圈），两段之和恒为 。缝处严丝合缝，所以能补。

顺带一条副产品：斜截圆柱的侧面积  平均母线  底面周长：

因为侧面积是  在整圈上的累加，而余弦项一整圈积分为零，只剩平均值起作用。这条只作了解，不要求掌握。

别踩这个坑　"拼成整柱"要求两个体完全一样。题目给了"最短"和"最长"，就已经保证了这一点——它们必然相差半圈、恰好互补。

补形取半的前提是"真能拼上"。斜截圆柱能拼，靠的是母线长半圈互补。

例 6　等积搬运：放一个球，水升多少

题目　一个底面半径为  的圆柱形容器内盛有水，水面高度为 。

（1）现将一个半径为  的实心铁球完全浸入水中（沉底，水未溢出），求此时的水面高度；

（2）再放入一个底面半径为 、高为  的实心圆锥（同样完全浸没），求此时的水面高度。

思路排水法的全部内容就一句：物体占的体积，等于水面上升那一层圆柱的体积。 与物体形状无关。

解答

（1） 容器底面积 。球体积

水面上升

故水面高度为 。

（2） 圆锥体积

水面再升

此时水面高度

核对　先验"水没溢出"这个前提：，远小于容器可容的高度，成立。再用总体积复核。水、球、锥三者体积之和

而 ，正是"底面积  新水位"，两条路一致。

这一步白送的分年年有人丢　题目问"水面上升了多少"，答 ；问"此时水面高度"，必须加上原来的 。读题时把这两个问法圈出来。

排水法：形状随便，体积说话。

例 7　外接球与内切球：一个柱，两个球

题目　圆柱的底面半径为 ，高为 。

（1）求它的外接球的半径、表面积与体积；

（2）求它的内切球的半径、表面积与体积；

（3）求两球体积之比，并求内切球体积占圆柱体积的几分之几。

思路　两个球都套在这根轴上，球心都在圆柱轴的中点。区别只在"与什么相切"：外接球过上、下底面的圆周；内切球与侧面、两底面都相切。

解答

（1）外接球。 球心  在轴的中点，到上底面圆周上任一点的距离都相等。在轴截面上看，这是一个直角三角形：

（2）内切球。 球与侧面相切，半径必须等于圆柱半径，故 ；此时球心到上、下底面的距离都是 ，上下底也恰好相切。所以

要提醒一句：圆柱不一定有内切球，条件正是 。本题给 、，刚好满足；若给的是 ，球贴住侧面就够不着上下底，内切球不存在。

（3）比值。

圆柱体积 ，于是

核对　最后这个  是阿基米德的结论：球的体积等于它外切圆柱体积的三分之二；而且球的表面积也等于外切圆柱的侧面积（ 与  相等）。阿基米德说这是他最得意的发现，要求把这个图形刻在自己的墓碑上。

通用工具　不是所有几何体都好找内切球。有一个万能公式：

若一个几何体有内切球，则 ，即 。

道理是把球心与各个面连起来，几何体被分成若干个小锥，每个小锥的高都是 ，底面积加起来正好是 。用它验一下本题：，正确。

外接球则要先把球心设在轴上，再用"球心到顶点  球心到底面圆周"列方程——练一练第 9 题就是这个套路。

外接球心在轴上，内切半径三分之体积比全面积。

📐 方法归纳

一、转一圈速查

二、摊一张速查

三、切一刀速查

四、体积四路

五、四条不变量

1. 扇环的半径差 母线长；
2. 斜截圆柱：体积  平均母线  底面积，侧面积  平均母线  底面周长；
3. 球与其外切圆柱：，（要求 ）；
4. 墙角四面体（承接上一讲）：三条棱两两垂直，。

✍️ 选题说明

本期是第 11 册第 2 讲。七道例题全部自编，只参照原书第 2 讲《旋转体》（书 P10–P17，例 1–8、练 1–14）的题型分布，题干、数据与解法均为重新设计，不沿用原书任何一道题。

• 例 1 对标原书例 1（旋转体概念辨析）。原书四条选项里，B 的错因是"斜边"，C 的错因是"底面不是圆"，D 是正确项，讲评只给了结论。本期把判据拆成三对只差一两个字的命题，逼学生盯住关键字；其中 ⑥ 是"看着像错、实际正确"的结论，原书没提，但它把"扇环半径差"和"母线"连了起来，后面例 4 立刻要用；
• 例 2 对标原书例 6（等腰直角三角形绕一边旋转，问表面积可能值）。原题是多选，只问"可以是哪些值"，学生算完不知道三个体之间有什么差别。本期改成三条边各转一次、体积与表面积全算，并把"绕斜边时高相加"单独立成一步，顺带得出"绕斜边体积最小"的规律；
• 例 3 对标原书例 2（扇形展开图已知半径与弧长，求表面积）。原题一步到位，只考  与侧面积的关系。本期把"摊开"用到底：先求圆心角，再切一刀求高与体积，最后接侧面最短路径——这是展开图最漂亮的应用，原书放在练 10（D 选项）里一笔带过，值得单独成题；
• 例 4 对标原书例 8（圆台母线 、圆心角 、侧面积 ，求高与两底半径）。原题从面积反推，两个未知数要联立。本期改成正向给全三个要素（、、），把圆心角、内外半径、侧面积、高、体积、全面积一次算完，并用"扇环相减"与""两条路对拍，再用补锥法验体积；
• 例 5 对标原书例 3（底面半径  的圆柱被斜截，最短最长母线 、）。原题直接说"用完全相同的几何体补成圆柱"，没有说明为什么能补。本期数据改为  与 （和仍为 ），并把"母线长半圈互补"这个理由补上——这是"补形"合法的唯一依据，缺了它，补形就只是背下来的一招；
• 例 6 对标原书例 7 与例 11（沙漏流沙、冰激凌融化是否溢出）。原题情境复杂，中间夹着"圆锥容器与圆锥沙堆"两层相似比，计算量大而方法单一。本期换成排水法，只留"物体体积  排开体积"这一条，两问层层递进，末了用"水  球  锥  底面积  新水位"复核；
• 例 7 对标原书例 5（圆柱、圆锥、球的直径与高都等于球直径 ，比较侧面积与体积）。原题三个体并排比较，落点是  的比值。本期聚焦一个圆柱套两个球，把"外接球心在轴上"与"内切球用 "两条通法讲清，并用阿基米德的  收尾。

原书例 4（两圆锥母线相等、展开图圆心角之和为 ，求体积比）本期没有直接对标。那一题的四个选项全是带根号的无理数（、、、），算完只学到"照着套公式"，结构感不强；同样的考点（母线、半径、圆心角三者的比例关系）已经并入例 3、例 4 与练 5、练 10。

练习 10 题同样自编：圆柱侧面积 1 题、圆锥体积 1 题、圆台三件套 1 题、球面球体 1 题、展开图逆求 1 题、概念多选 1 题、斜截圆柱 1 题、排水 1 题、外接内切 1 题、侧面最短路径 1 题。

🏋️ 练一练

基础过关

1. 圆柱的底面半径为 ，高为 ，则它的侧面积为 ____。

2. 圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则它的体积为 ____。

3. 圆台的上、下底面半径分别为  和 ，高为 ，则它的母线长为 ____，体积为 ____，侧面积为 ____。

4. 把半径为  的半圆绕它的直径所在直线旋转一周，所得球的表面积为 ____，体积为 ____。

5. 圆锥的侧面展开图是圆心角为 、半径为  的扇形，则它的底面半径为 ____，高为 ____，体积为 ____。

6. （多选）下列说法正确的是（　　）

A. 以直角三角形的一条边所在直线为轴旋转一周，所得几何体是圆锥

B. 圆柱的轴截面是矩形，其面积等于 

C. 圆锥的轴截面是等腰三角形，其面积等于 

D. 圆台的轴截面是等腰梯形，其上、下底长分别为 、

综合练习

7. 一个底面半径为  的圆柱被一个平面斜截，截得几何体的最短母线长为 ，最长母线长为 ，则它的体积为 ____。

8. 底面半径为  的圆柱形容器内盛有水，水面高度为 。将一个半径为  的实心球完全浸入水中且水未溢出，则水面上升了 ____。

9. 圆锥的底面半径为 ，高为 ，则它的外接球半径为 ____，外接球的表面积为 ____，内切球半径为 ____。

10. 圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，一只蚂蚁从底面圆周上一点出发，沿侧面爬行一周回到该点，则最短路程为 ____。

📖 答案与提示

1. 。核对：展开图矩形长 、宽 ，面积 。

2. 　由  得 ，故 。

3. ；；　横边长 ，故母线 。体积

侧面积 。核对：展开图圆心角 ，、，扇环面积 ，一致。

4. ；，，。

5. ；；，由  得

再由勾股线 ，故 。

6. BC　A 错，少了"直角"：绕斜边转，得到的是两个圆锥的拼接体。B 对，轴截面矩形两边为  与 ，面积 。C 对，轴截面等腰三角形底 、高 ，面积 。D 错，上、下底长应为  与 ，是半径的两倍——这是本讲最常见的漏乘 。

7. 　补成整圆柱，高 ，，取一半得 。核对：平均母线 ，体积  平均母线  底面积 。

8. 　球体积 ，容器底面积 ，故

（水面高度变为 ，题目问的是"上升了"，答 。）

9. ；；

球心在轴上。设球心到底面的距离为 、半径为 ，由"到顶点的距离  到底面圆周的距离"得

消去 ：，即 ，得 。于是

内切球用 ：体积 ，全面积 ，故

核对：轴截面是底 、高 、腰  的等腰三角形，其内切圆半径 ，一致。

10. 　圆心角 。展开后两条直边都是 、夹角 ，最短路程是弦：

核对：，沿底面圆周绕一圈是 ，更短，合理。

💡 金句

旋转体身上没有一条棱，可它肚子里藏着一条直线——那条转出来的母线。

转一圈，形状就定了；摊一张，表面就平了；切一刀，体积就落进一个三角形。所有难题，都是这三个动作里有一个没做到位：转错了轴，摊错了弧，切错了线。

真正要学会的不是那七八个公式，而是两个本能——看见曲面就想摊平，看见体积就想轴截面。

柱、锥、台、球，四种长相，一条勾股线。

共同奔赴，下期见。