哈尔滨2020中考数学压轴真题解析和答案

这道哈尔滨2020中考压轴题，主要考查学生圆内接等腰三角形的基本性质和定理的综合运用，圆内直角三角形全等以及解直角三角形的综合应用。具体题目如下：

第一问，需要先证明△ABC为等腰三角形。因为AD是直径，且AD⊥BC，所以AD必平分BC（垂径定理），因此，AD也平分∠BAC，则有：∠BAE=∠CAE。又因为OA=OB，所以，∠OBA=∠OAB，因此，∠BAE=∠CAE∠OBA。而∠BFC=∠BAC+∠OBA=3∠CAD，命题得证。

第二问，连接OG，很容易证得OH⊥DG，又因为BF∥DG，所以，∠BOE=∠ODH，∠BEO=∠OHD=90°，BO=OD，因此，RT△BOE≌RT△ODH，所以，BE=OH，命题得证。

第三问①，依据（2）问结论，DH=OE，因此，DG=2DH=2OE，又有DG=DE，所以，DE=2OE，OD=3OE，即圆O的半径r=3OE。

设OE=x，则DG=DE=2x，半径r=OB=OD=3x。

BE=OH=√(OD²-OH²)=2√2x。

AE=OA+OE=4x，AB=AC=√(AE²+BE²)=2√6x。

tan∠OBE=OE/BE=x/(2√2x)=√2/4。

tan∠BAD=BE/AE=(2√2x)/4x=√2/2。

②过点F作FK⊥AD，垂足为K。则有∠KFO=∠OBE，因此，tan∠KFO=tan∠OBE=OK/KF=√2/4，设OK=y，KF=2√2y，OF=3y。

又有：∠KAF=∠BAD，tan∠KAF=tan∠BAD=KF/KA=√2/2，KA=4y，所以，0A=KA+OK=5y。

又有：0A=r=3x，因此，3x=5y，则有：OK=3x/5，KA=12x/5，KF=6√2x/5，OF=3y=9x/5。

因为，AD平分∠BAC，所以，AB/AF=OB/OF，2√6x/AF=3x/(9x/5)，AF=6√6x/5。

又因为，S△AOF=9√2/5，S△AOB/S△AOF=OB/OF。

即：S△AOB/(9√2/5)=3x/(9x/5)，S△AOB=3√2。

S△AOF=1/2*OA*KF=1/2*3x*6√2x/5=9√2x²/5=9√2/5。

解得：x=1。

③过点G作GM⊥AD，垂足为M，作GN⊥BC，垂足为N，则四边形EMGN为矩形。EM=GN，MG=EN。

又因为，∠MDG=∠BOE，所以，∠MGD=∠OBE，MD/DG=OE/OB=1/3，又因为，OG=2x=2=DE，MD=2/3，ME=GN=DE-MD=2-2/3=4/3。

MD/MG=OE/BE=√2/4，MG=4√2/3，EN=MG=4√2/3，CN=CE-EN=2√2-4√2/3=2√2/3。

CG²=CN²+GN²=8/9+16/9=8/3。

即：CG=2√6/3。

综上所述，本题第3问针对于圆内相似直角三角形等角三角函数的极致综合应用和已知题干面积拆解，通过两次设元求值逐步拆解，把已知数量转换到直角三角形CGN中再运用勾股定理求值，难度系数较高，是一道综合素质不错的圆内几何综合大题。

附上具体解析答案：