文档内容
2009年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣ B．﹣2 C． D．2
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣a2=3 B．（a2）3=a5C．a3•a6=a9 D．（2a2）2=4a2
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．
4．（3分）36的算术平方根是（ ）
A．6B．±6 C． D．±
5．（3分）（2009•哈尔滨）点P（1，3）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A． B．3C．﹣ D．﹣3
6．（3分）（2009•哈尔滨）如图是某一几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．正三棱柱
7．（3分）（2009•哈尔滨）小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到
6的点数．则向上的一面的点数大于4的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2009•哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．36л B．48л C．72л D．144л
9．（3分）（2009•哈尔滨）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，
点A恰好落在DC边上的点A′处，若∠A′BC=20°，则∠A′BD的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）（2009•哈尔滨）明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上
所走的路程s（单位：千米）与时间（t 单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路
返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（
）
第1页（共20页）A．12分 B．10分 C．16分 D．14分
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）（2009•哈尔滨）长城总长约为6 700 010米，用科学记数法表示为 米
（保留两个有效数字）．
12．（3分）（2009•哈尔滨）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）（2009•哈尔滨）把多项式x3﹣4x分解因式的结果为 ．
14．（3分）（2009•哈尔滨）如图，在 ▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连
接EF．若EF=3，则CD的长为 ．
15．（3分）（2009•哈尔滨）如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的
长为 ．
16．（3分）（2009•哈尔滨）（本两小题为考生根据所学内容任选其一作答题）
（1）如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为 ．
（2）4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比
赛场数为 场．
17．（3分）（2009•哈尔滨）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图
形共有 个★．
第2页（共20页）18．（3分）（2009•哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE=3，M为线段
AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为 ．
三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（5分）（2009•哈尔滨）先化简，再求代数式的值： ，其中
a=tan60°﹣2sin30°．
20．（5分）（2009•哈尔滨）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一
个△ABC和一点O，△ABC的顶点和点O均与小正方形的顶点重合．
（1）在方格纸中，将△ABC向下平移5个单位长度得到△A B C ，请画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
（2）在方格纸中，将△ABC绕点O旋转180°得到△A B C ，请画出△A B C ．
2 2 2 2 2 2
21．（5分）（2009•哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用
总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．
矩形ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值并求出最大值．
（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=﹣ 时，y最大（小）值= ）
22．（5分）（2009•哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE．点C
为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC=∠BOC．
求证：CD=CE．
第3页（共20页）23．（6分）（2009•哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处
测得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°
方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根
号）
24．（6分）（2009•哈尔滨）某中学为了解该校学生阅读课外书籍的情况，学校决定围绕“在艺
术类、科技类、动漫类、小说类、其他类课外书籍中，你最喜欢的课外书籍种类是什么（只写一
类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查问卷适当整理后绘
制成如图所示的条形统计图．
请结合统计图回答下列问题：
（1）在本次抽样调查中，最喜欢哪类课外书籍的人数最多，有多少人？
（2）求出该校一共抽取了多少名同学进行问卷调查？
（3）若该校有800人，请你估计这800人中最喜欢动漫类课外书籍的约有多少人？
25．（6分）（2009•哈尔滨）图（a）、图（b）、图（c）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸
中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a）、图（b）、图（c）中，分别画出符合要求的图形，所
画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．
第4页（共20页）26．（8分）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件
的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种
零件的数量相同．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两
种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件
的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利
润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、
乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
27．（10分）（2009•哈尔滨）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，
求证：FG+DC=AD；
（2）如图2，若∠ABC=135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足
的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，若AG= ，DC=3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这
个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线段
BN相交于P、Q两点，若NG= ，求线段PQ的长．
第5页（共20页）28．（10分）（2009•哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是
菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴
于点H．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C
匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式
（要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线
AC所夹锐角的正切值．
第6页（共20页）2009 年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）
【考点】相反数．
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【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．
2．（3分）
【考点】同底数幂的乘法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
【解答】解：A、应为3a2﹣a2=2a2，故本选项错误；
B、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；
C、a3•a6=a3+6=a9，正确；
D、应为（2a）2=22a2+2=4a4，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需熟练掌
握且区分清楚，才不容易出错．
3．（3分）
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（3分）
【考点】算术平方根．
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【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，利用定义
即可求出结果．
【解答】解：∵6的平方为36，
∴36算术平方根为6．
故选A．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误．
第7页（共20页）5．（3分）（
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】点P（1，3）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，则点的坐标一定满足解析式，代入就得
到k的值．
【解答】解：因为点p（1，3）在反比例函数y= （k≠0）的图象上
所以3=
解得：k=3．
故选B．
【点评】本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式
的点在函数图象上．
6．（3分）
【考点】由三视图判断几何体．
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【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为长方形可得为正
方体．故选A．
【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的
考查．
7．（3分）
【考点】概率公式．
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【分析】让骰子中大于4的数个数除以数的总个数即为所求的概率．
【解答】解：根据等可能条件下的概率的公式可得：小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子
的六个面上分别刻有1到6的点数，则向上的一面的点数大于4的概率为 ．
故选B．
【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）
【考点】圆锥的计算．
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【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形面积公式可以得出此圆锥侧面积为：
×9×2π×8=72π．故选C．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
9．（3分）
【考点】翻折变换（折叠问题）．
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【分析】易得∠DA´B=110°，那么根据折叠得到∠DAB=110°，进而利用平行得到∠ABC的度
数，那么就可得到∠ABA´的度数，除以2就是∠A´BD的度数．
【解答】解：∵∠A′BC=20°
∴∠BA′C=70°
∴∠DA′B=110°
∴∠DAB=110°
第8页（共20页）∴∠ABC=70°
∴∠ABA′=∠ABC﹣∠A′BC=70°﹣20°=50°
∴∠A′BD= ∠ABA′=25°．
故选C．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
10．（3分）
【考点】函数的图象．
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【分析】应先求出上坡速度和下坡速度，注意往返路程上下坡路程的转化．
【解答】解：根据函数图象可得：明明骑自行车去上学时，上坡路为1千米，速度为1÷6= 千
米/分，下坡路程为3﹣1=2千米，速度为2÷（10﹣6）= 千米/分，放学后如果按原路返回，且往
返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为 千
米/分，下坡路程为1千米，速度为 千米/分，
因此走这段路所用的时间为2÷ +1÷ =14分．
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）
【考点】科学记数法与有效数字．
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【分析】绝对值大于10时科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
本题中6 700 010有7位整数，n=7﹣1=6．
有效数字的数法是从左边第一个不是0的数起，后面所有的数字都是有效数字．
【解答】解：根据题意6 700 010米=6.700010×106米=6.7×106米．（保留两个有效数字）
故答案为6.7×106米．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
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【分析】函数是分式形式时，分式的分母是不能为0的，所以x+2≠0，即可求得x的取值范围．
【解答】解：由题意可知：x+2≠0，
解得：x≠﹣2；
所以，函数y= 的自变量x的取值范围是x≠﹣2．
【点评】（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
13．（3分）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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第9页（共20页）【分析】先提取公因式x，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，关键在于要进行二
次分解因式．
14．（3分）
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
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【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边
相等可得CD=AB．
【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，
∴AB=2EF=6，
又∵AB=CD，
∴CD=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的
关键．
15．（3分）
【考点】垂径定理；勾股定理．
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【分析】连接OA，根据垂径定理可知AM的长，根据勾股定理可将OM的长求出，从而可将
DM的长求出．
【解答】解：连接OA，
∵AB⊥ CD，AB=8，
∴根据垂径定理可知AM= AB=4，
在Rt△OAM中，OM= = =3，
∴DM=OD+OM=8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用
勾股定理求解是解答此题的关键．
16．（3分）
【考点】一元二次方程的解．
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【分析】（1）一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代
替未知数所得式子仍然成立；将x=2代入原方程即可求得b的值．
（2）设出相应的球队，列举可能的情况即可．
【解答】解：（1）∵2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，
∴22+2b+2=0，
第10页（共20页）解得b=﹣3．
（2）设这4支排球队分别为A，B，C，D，则可能的情况有：AB，AC，BC，BD，CD，一共有6种
情况．
【点评】（1）本题比较容易，考查利用一元二次方程根的定义求字母系数．（2）本题考事件的
可能情况，关键是列齐所有的可能情况．
17．（3分）
【考点】规律型：图形的变化类．
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【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
【解答】解：观察图形会发现，第一个图形的五角星数为：1×3+1；第二个图形的五角星数为：
2×3+1；第三个图形的五角星数为：3×3+1；第四个图形的五角星数为：4×3+1；则第16个图形
的五角星数为：16×3+1=49个五角星．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．
18．（3分）
【考点】正方形的性质．
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【分析】分两种情况进行分析，①当BF如图位置时，②当BF为BG位置时；根据相似三角形
的性质即可求得BM的长．
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB=AB，∠BAF=∠ABE=90°，AE=BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM，AF=BE=3，
∵AB=4，BE=3，
∴AE= = =5，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS=2，SM是△ABE的中位
线，
∴BM= AE= ×5= ，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG=AE=5，∠AEB=∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC=BE：BG，
∴BH= ．
故答案为： 或 ．
第11页（共20页）【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，勾股
定理求解．
三、解答题（共10小题，满分66分）
19．（5分）
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
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【分析】分别化简分式和a的值，再代入计算求值．
【解答】解：原式= ． （2分）
当a=tan60°﹣2sin30°= ﹣2× = 时，（2分）
原式= ． （1分）
【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是化简．同时也考查了特殊角的三角函数值；注意
分子、分母能因式分解的先因式分解，除法要统一为乘法运算．
20．（5分）
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
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【分析】无论是何种变换都需先找出各关键点的对应点，然后顺次连接即可．
【解答】解：
【点评】本题的关键是作各个关键点的对应点．
21．（5分）
【考点】二次函数的应用．
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【分析】在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函
数的性质求最大值．
【解答】解：（1）由题意，得S=AB•BC=x（32﹣2x），
∴S=﹣2x2+32x．
（2）∵a=﹣2＜0，
∴S有最大值．
∴x=﹣ =﹣ =8时，有S最大= = =128．
第12页（共20页）∴x=8时，S有最大值，最大值是128平方米．
【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，
第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方
法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比用公式法简便．
22．（5分）
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定．
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【分析】证CD和CE所在的三角形全等即可．
【解答】证明：∵OA=OB AD=BE，
∴OA﹣AD=OB﹣BE，即OD=OE．
在△ODC和△OEC中， ，
∴△ODC≌△OEC（SAS）．
∴CD=CE．
【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．
23．（6分）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
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【分析】根据三角形外角和定理可求得BC的值，然后放到直角三角形BCD中，借助60°角的
正弦值即可解答．
【解答】解：由题意得∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=30°，
∴BC=BA=40海里，
∵∠CDB=90°，
∴sin∠CBD= ．
∴sin60°= = ．
∴CD=BC× =40× （海里）．
∴此时轮船与灯塔C的距离为20 海里．
【点评】将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
24．（6分）
【考点】条形统计图；用样本估计总体．
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【分析】（1）根据统计图中各部分的高低即可判断；
（2）根据各部分的人数即可计算总人数；
（3）用样本平均数估计总体平均数，再进一步计算．
【解答】解：（1）最喜欢小说类课外书籍的人数最多，有20人；
（2）由图可知：2+8+12+20+8=50人，
∴一共抽取了50名同学；
第13页（共20页）（3）由样本估计总体得：800× =192人，
∴800人中最喜欢读动漫类课外书籍的约有192人．
【点评】从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算．
25．（6分）
【考点】作图—复杂作图．
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【分析】（1）底边长为4，面积为8，即高也要为4，所以就从网格中找一条为4的底边，找这个
边的垂直平分线，也为4的点．即是三角形的顶点；
（2）面积为10的等腰直角三角形，根据三角形的面积公式可知，两直角边要为 ，那就是
找一个长为4，宽为2的矩形的对角线为直角边，然后连接斜边；
（3）一边长为2 即是一个边长为2的正方形的对角线．面积为6，根据三角形的面积公式
可得高为3 ，即从底边上的垂直平分线找高为3 的点，顺次连接．
【解答】解：
【点评】本题主要考查了利用网格作图的方法，做这类题时，注意要严格按要求来做．
26．（8分）
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．
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【分析】（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”
可根据此列出方程．
（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据
“使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式
方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．
由题意得： ．
解得：x=10．
检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0
∴x=10是原分式方程的解．
每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．
第14页（共20页）由题意得：
解得：23＜y≤25
∵y为整数∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；
方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有
列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意（2）中
未知数的不同取值可视为不同的方案．
27．（10分）
【考点】直角三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定；矩形的判定．
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【分析】（1）首先证明∠CBE=∠DAC，∠AGF=∠BAD可推出FA=FG；
（2）与（1）证明方法同理；
（3）首先证明△FDC为等腰直角三角形，然后证明四边形DFHB为矩形．根据三角函数的计
算得出．
【解答】证明：
（1）∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABC=45°，
∴AD=BD
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=90°，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∵GF∥BD，
∴∠AGF=∠ABC=45°，
∴∠AGF=∠BAD，
∴FA=FG，
∴FG+DC=FA+DF=AD；
解：（2）FG﹣DC=AD；
（3）如图，
∵∠ABC=135°，
∴∠ABD=45°，
∵∠ADB=90°，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴AD=BD，
∵FG∥BC，
∴∠G=∠DBA=∠DAB，
∴AF=FG
∴AG=5 ，FG2+AF2=AG2，
第15页（共20页）∴FG=AF=5
∵DC=3由（2）知FG﹣DC=AD，
∴AD=BD=2，BC=1，DF=3，
∴△FDC为等腰直角三角形
∴FC= ，
分别过B，N作BH⊥FG于点H，NK⊥BG于点K，
∴四边形DFHB为矩形，
∴HF=BD=2 BH=DF=3，
∴BH=HG=3，
∴BG=
∵sinG= ，
∴NK= × = ，
∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°，
∴∠MBH=∠NBK，
∵∠MHB=∠NKB=90°，
∴△MBH∽△NBK
∴ ，
∴MH=1，
∴FM=1，
∵BC∥FG，
∴∠BCF=∠CFN，
∵∠BPC=∠MPF CB=FM，
∴△BPC≌△MPF，
∴PC=PF= FC= ，
∵∠BQC=∠NQF，
∴△BCQ∽△NFQ，
∴ ，
∴ ，
∴CQ= FC= = ，
∴PQ=CP﹣CQ= ．
第16页（共20页）【点评】本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问
题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．
28．（10分）
【考点】一次函数综合题．
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【分析】（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，
根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边
PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来．
（3）本题可以分两种情况进行讨论，当P点在AB边上运动时：设OP与AC相交于点Q连接
OB交AC于点K，证明△AQP∽△CQO，根据相似三角形的对应边的比相等，以及勾股定理可
以求出AQ，QC的长，在直角△OHB中，根据勾股定理，可以得到tan∠OQC．
当P点在BC边上运动时，可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA，根据相似三角形的对应边
的比相等，就可以求出OK，KQ就可以求出．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴垂足为E，如图（1）
∵A（﹣3，4），
∴AE=4 OE=3，
∴OA= =5，
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=0A=5，
∴C（5，0）
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵ ，
∴ ，
∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ ．
（2）由（1）得M点坐标为（0， ），
第17页（共20页）∴OM= ，
如图（1），当P点在AB边上运动时
由题意得OH=4，
∴HM=OH﹣OM=4﹣ = ，
∴s= BP•MH= （5﹣2t）• ，
∴s=﹣ t+ （0≤t＜ ），
当P点在BC边上运动时，记为P ，
1
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC，
∴OM=BM= ，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S= P B•BM= （2t﹣5） ，
1
∴S= t﹣ （ ＜t≤5），
（3）设OP与AC相交于点Q连接OB交AC于点K，
∵∠AOC=∠ABC，
∴∠AOM=∠ABM，
∵∠MPB+∠BCO=90°，∠BAO=∠BCO，∠BAO+∠AOH=90°，
∴∠MPB=∠AOH，
∴∠MPB=∠MBH．
当P点在AB边上运动时，如图（2）
∵∠MPB=∠MBH，
∴PM=BM，
∵MH⊥PB，
∴PH=HB=2，
∴PA=AH﹣PH=1，
∴t= ，
∵AB∥OC，
∴∠PAQ=∠OCQ，
∵∠AQP=∠CQO，
∴△AQP∽△CQO，
∴ = = ，
在Rt△AEC中，AC= = =4 ，
∴AQ= ，QC= ，
第18页（共20页）在Rt△OHB中，OB= = =2 ，
∵AC⊥OB，OK=KB，AK=CK，
∴OK= ，AK=KC=2 ，
∴QK=AK﹣AQ= ，
∴tan∠OQC= = ，
当P点在BC边上运动时，如图（3），
∵∠BHM=∠PBM=90°，∠MPB=∠MBH，
∴tan∠MPB=tan∠MBH，
∴ = ，即 = ，
∴BP= ，
∴t= ，
∴PC=BC﹣BP=5﹣ ．
由PC∥OA，同理可证△PQC∽△OQA，
∴ = ，
∴ = ，
CQ= AC= ，
∴QK=KC﹣CQ= ，
∵OK= ，
∴tan∠OQK= ．
综上所述，当t= 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为 ．
当t= 时，∠MPB与∠BCO互为余角，直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1．
第19页（共20页）【点评】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，求三角函数值的问题可以转化为
求直角三角形的边的比的问题．
第20页（共20页）
