AI赋能数学/数字去哪儿最合适?——乘积最大(最小)探究课教学设计

数字去哪儿最合适？

——"乘积最大"规律探索课教学设计

【摘要】本节课以"用2、3、4、5组成两个两位数，使乘积最大"为探究核心，依托顾志能"生问课堂"框架，将课堂问题的发起权完整还给学生。教师通过刻意"随意排数"制造认知张力，激发学生自主提问；以AI交互课件为验证工具，支持学生多轮探究；以生生对话替代师生讲解，形成问题驱动的学习场域。课堂结束时，学生带着新的开放问题离开，而非带着封闭答案离开。

【关键词】乘积最大；规律探索；优化思想；AI交互课件

教材分析

本课属于五年级下册"数与代数"领域中的规律探索课，核心内容是：将给定的几个数字分别填入两个乘数的各位，使乘积最大（或最小）。教材安排此课的意图在于：让学生在真实的数字操作中体验优化思想，感受同样的数字不同排列结果大不相同的数学趣味，同时为后续学习估算策略和数感发展奠定基础。

（一）数学本质

这是一道典型的"整数最优化"问题。其核心规律是：将较大的数字放在乘数的较高位，且两个乘数的高位数字尽量接近，乘积趋向最大；反之则趋向最小。这一直觉性规律可通过面积模型获得几何解释——在周长相同的约束下，越接近正方形的矩形面积越大。

（二）知识关联

学生在此前已系统学习两位数乘两位数的笔算，掌握数位意义（十位、个位），具备初步的估算意识。本课是在此基础上的"用数学"课，核心不在于计算技能，而在于探索排列策略背后的数量关系。

学情分析

（一）已有基础

学生已熟练掌握两位数乘两位数，能进行基本估算，理解十位与个位的数量权重关系。部分学习能力较强的学生已有"大数放前面可能更大"的直觉，但尚不能系统陈述规律。

（二）可能困难

随意排列、缺乏系统策略是主要的认知起点问题。学生往往凭直觉猜一两种排法即停止探究，不会主动穷举。更大的困难在于"说清道理"：即便找到了最大积，也难以用数学语言解释为什么这样排更合理，面积模型的直觉性解释对部分学生存在理解门槛。

（三）生长空间

本课最大的生长空间在于学生的"提问能力"。五年级学生已具备一定的元认知意识，能够感知到"这道题可以问什么"。从"发现问题"到"解决问题"再到"生长出新问题"，是本课希望建立的完整认知循环。

教学目标

（一）知识与技能目标

能用穷举或有策略的排列，找到使乘积最大（最小）的数字组合方式，并用语言描述规律。

（二）数学思想方法目标

经历"猜想—验证—归纳—迁移"的完整探究过程，初步感受优化思想；借助面积模型建立几何直觉，理解"接近正方形乘积最大"的数学本质。

（三）核心目标

能真实地提出自己的数学问题；能用自己的问题推动探究进程；课堂结束时带着新问题离开，而非带着封闭答案离开。

教学重难点

（一）教学重点

通过实际操作，归纳出使乘积最大（最小）的数字排列规律，并能迁移验证。

（二）教学难点

说清楚规律背后的道理——为什么这样排积最大？能与面积模型建立联系，将视觉感受转化为数学解释。

教学准备

交互课件：《乘积最大》HTML拖拽探究工具，支持两位数×两位数、三位数×两位数两种模式，内置面积模型对比可视化与历史记录功能。

学习单：《数字去哪儿最合适》顾志能生问课堂配套学习单，六板块设计。

黑板：用于记录学生提出的问题并开展全班问题投票，问题需完整保留至课堂结束。

教学过程

（一）制造困惑，激发提问（约5分钟）

教师操作

打开交互课件，当着全班学生的面，将数字2、3、4、5随意拖成：

`32 × 54 = 1728`

沉默约5秒，然后淡定地说：

师说：这样摆，也……还可以。

此处刻意不宣布任何问题，保持沉默，等待学生开口。这5秒的静默是给学生留出"不满足感"生长的空间。

教学意图
好问题来自学生真实的"不服气"，而非教师设计的"假疑问"。教师故意"随意摆数"并表现出不在乎的态度，制造强烈的心理张力——学生心里会冒出"这明明不是最大的！"的感受，提问便自然涌现。这与"同学们，你们有什么问题吗"式的引导有本质区别：前者是真实的认知冲突，后者是应答性的配合。
预期学生提问

这样摆是最大的乘积吗？

换一种排法会不会更大？

到底怎么排，乘积才最大？（核心问题）

（二）梳理问题，聚焦核心（约5分钟）

问题公开化

将学生提出的问题逐条写在黑板上，不做筛选，不评价好坏。完成后说：

师说：同学们提了好几个问题，我都写上来了。现在投票——你最想研究哪一个？

问题公开化是仪式感的来源。学生看到自己的问题被写在黑板上，会产生强烈的主人翁意识。投票环节让每个学生都参与到"确定研究方向"的过程中，而非被动接受教师的安排。

核心问题确认

投票结束后，圈出票数最多的问题，郑重宣布：

师说：本节课我们要研究的问题，是你们自己提的：用2、3、4、5这四个数字，组成两个两位数相乘，怎么排乘积最大？

延伸预设

师说：研究完最大，你们猜我们还会不会研究什么？

让学生感到自己能预测课堂走向，建立学习的方向感与主动感。这一问也为后续"乘积最小"的探究埋下伏笔，无需教师额外引入。

（三）放手探究，工具辅助（约13分钟）

第一轮：猜想先行（约2分钟）

师说：在学习单第③板块，先写下你认为乘积最大的排法——不用算出来，先凭直觉写排法。

先猜，让直觉先行。这一步的价值在于为后续"验证—推翻—惊喜"创造认知落差：学生的猜想往往不是最优解，这种落差是驱动深入探究的内在动力。

第二轮：工具验证（约6分钟）

师说：现在用这个课件来验证你们的想法。把数字拖进去，看看你的排法乘积是多少。注意——先不要看右边的最佳答案区域，自己探究至少3种排法，记录在学习单的表格里。

课件工具的定位是验证工具，而非告知工具。遮住"最佳"提示，保护探究的完整过程。面积模型同步可视化，为后续的直觉性解释埋下视觉印象。

师说：课件里有一个面积图，你们注意到了吗？试几种排法，看看那个矩形有什么变化？

第三轮：小组对比（约5分钟）

师说：在四人小组里，把各自的排法都输入同一台设备，看历史记录区谁的乘积最大。现在出现了几种不同的排法？你们注意到什么规律没有？

课件的历史记录区天然支持小组对比，无需额外准备材料。多种排法并排呈现，差异自然引发讨论。

当学生说出"大数放在前面"时，追问：

师说：你说大数要放在前面，是放哪个大数？两个乘数的前面怎么分？能用课件再试一试你的想法吗？

（四）暴露差异，以问促辩（约10分钟）

制造碰撞

操作课件，在全班展示两组学生的不同答案：

排法A：53 × 42 = 2226

排法B：52 × 43 = 2236

师说：这两种只差一个数字换了位置，乘积却不同。谁来解释，这是为什么？

还权于生

师说：他这样说，有没有同学有疑问？可以直接问他——不是问我，问他。

将话语权还给学生，让生生对话替代师生对话。教师退场，成为问题的"交通员"。顾志能生问课堂的精髓不只是让学生提问，还包括让学生的差异彼此碰撞——这比教师讲解更有说服力，也更有数学课堂的真实感。

面积模型价值追问

师说：课件里面积图，乘积更大时，那个矩形感觉更方一点，对吗？这个直觉能说明什么？

追问：如果两个乘数相差越大，矩形会越扁还是越方？面积（乘积）会怎样变化？

将面积模型的视觉感受与数学道理连接，这是本课件独特的教学价值。这一环节不应跳过：从操作规律（大数放高位）到几何直觉（接近正方形），是本课最重要的认知跨越。

（五）回归问题，生成新问（约7分钟）

首尾呼应

师说：还记得这节课最开始，谁提了什么问题吗？——现在能回答了吗？说说你的答案，以及你是怎么发现的。

让学生感受到"我们解决了自己提出的问题"，而非被教师牵着走。这是生问课堂最重要的仪式收尾，也是学生建立数学自信的时刻。

问题生长（延伸迁移）

师说：你们已经知道2、3、4、5怎么排积最大。如果我换成1、2、3、4呢？换成0、1、2、3、4五个数字组成三位数×两位数呢？用课件试试，规律还成立吗？

生问课堂的最高形态是：课堂结束时学生带着新问题离开，而不是带着完整答案离开。含有0的五数字排列涉及首位不能为0的约束条件，能将规律的边界进一步推进，是真实的数学延伸。

课堂留白

师说：今天我们研究的，数学上叫什么？——我不告诉你，课后查一查，下次说给我听。

刻意留白，制造课后探究欲望。（参考方向：最优化问题、整数规划的初步思想。）

板书设计

设计说明与反思

（一）为什么不直接抛出问题？

"问题来自学生"与"问题来自教师"有本质区别。前者激活的是学生真实的认知不满足，后者更多是一种课堂配合。本课开场5秒沉默的设计，是给学生留出发现"不对劲"的时间窗口，这比任何导入语都更有效。

（二）课件如何服务于探究而非代替探究？

本课使用的AI交互课件被刻意定位为"验证工具"而非"告知工具"。遮住右侧最佳答案提示区，要求学生先独立探究3种以上排法，再开放对比功能。面积模型的可视化是课件的核心价值——它让学生在操作中自然建立"接近正方形面积更大"的几何直觉，而这种直觉是纯计算路径难以提供的。

（三）生生对话如何真正发生？

在全班交流环节，教师的一句"可以直接问他，不是问我"将话语权从师生对话切换为生生对话。这一转换看似简单，实则需要教师克制自己解释和评价的冲动。只有教师真正退出，学生之间的质疑和回应才会发生，思维碰撞才有可能产生真实的认知推进。

（四）"带着新问题离开"的价值

本课设计了两个"问题生长"节点：课末提出含0的五数字变式，以及"这叫什么数学问题"的留白。前者将规律探究的边界推向更复杂的情境，后者指向数学术语与学科联结。这两个节点共同传递一个信息：今天的探究不是终点，而是起点。