华南师范大学附属中学2024—2025学年10月月考九年级数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

2024 学年第一学期学业质量发展阶段性调研九年级数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 4x2 x10 1. 方程 中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4、–1、–1 B. 4、–1、1 C. 4、–1、2 D. 4、–1、3 【答案】A 【解析】 ax2 bxc0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 （其中 a0 ax2 bx a、b、c是常数， ），其中a叫做二次项系数， 叫做二次项，b叫做一次项系数， 叫做一次项， c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：方程 4x2 x10 中二次项系数、一次项系数、常数项分别是4、–1、–1， 故选：A． y 2x2 2. 将函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ） y 2x12 3 y 2x12 3 y 2x12 3 y 2x12 3 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答． y 2x2 【详解】解：将函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， y 2x12 3 得到的抛物线是 ， 故选：B． 【点睛】本题考查图象的平移，熟练掌握图象的平移规律是解答的关键． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的过程中，配方正确的是（ ） 2 2 2 2 A. （x﹣1） ＝4 B. （x+1） ＝4 C. （x﹣1） ＝2 D. （x+1） ＝16 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法中的配方法过程即可求出答案． 【详解】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x+1＝4，∴（x﹣1）2＝4， 故选A． 第1页/共23页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用一元二次方程的解法，属于基础题型． 4. 某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参 赛队数为x，列方程为（ ） 1 2 A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 【答案】B 【解析】 1 xx1 【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）， x 个球队比赛总场数为2 ，由此列出方 程即可得． x1 【详解】解：由题意，每个队都要赛 场，但两队之间只有一场比赛， 1 xx121 2 则可列方程为 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 3，y  1，y  3，y  y(x1)2 k y y y 5. 若点 1 、 2 、 3 都在二次函数 的图象上，则 1， 2， 3的大小关系 是（ ） y  y  y y  y  y y  y  y y  y  y A. 1 2 3 B. 1 3 2 C. 1 2 3 D. 1 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性，根 据函数解析式的特点，其对称轴为x1，根据x1时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】Q二次函数 y(x1)2 k ， 开口向上，对称轴为x1，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 3，y  1，y  根据二次函数图象的对称性可知， 1 与 2 关于对称轴对称， y  y 1 2， Q113， y  y  y 1 2 3， 第2页/共23页 学科网（北京）股份有限公司故选：C． y  x2 bxc 1,0 6. 如图，若抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 （ ） 1,0 2,0 3,0 4,0 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的对称性求解即可． x1 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线 ， 1,0 ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ， 3,0 的 ∴抛物线与x轴 另一个交点坐标为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，会利用抛物线的对称性求解是解答 的关键． y 2x2 12x17 ① ② 7. 已知二次函数 ，下列说法： 其图象的开口向下； 其图象的对称轴为直线 x3 ③ 3，1 ④ x3 ； 其图象顶点坐标为 ； 当 时，y随x的增大而增大．其中说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个小题中 的说法是否正确，从而可以解答本题 ． y 2x2 12x172x32 1 【详解】Q二次函数 ， 第3页/共23页 学科网（北京）股份有限公司① 该函数图象的开口向下，故 正确； 12 x 3 22 ② 其图象的对称轴为直线 ，故 正确； 3，1 ③ 其图象顶点坐标为 ，故 错误； x3 ④ 当 时，y随x的增大而增大，故 正确， 综上所述：共有3个正确， 故选：B． y mxm y mx2 2x2 m0 8. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 （m为常数，且 ）的图象可能 是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵 活解题．关键是 m 的正负的确定，对于二次函数 y ax2 bxc ，当 a0 时，开口向上；当a0时， b x 开口向下．对称轴为 2a ，与 y 轴的交点坐标为 (0,c) ． y mxm m0 y mx2 2x2 【详解】解：A．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，与图 象不符，故A选项错误； y mxm m0 y mx2 2x2 B．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，称轴为 b 2 1 x   0 2a 2m m ，则对称轴应在 y 轴左侧与图象不符，故B选项错误； y mxm m0 y mx2 2x2 C．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝下，故C选项错误； y mxm m0 y mx2 2x2 D．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，对称轴为 第4页/共23页 学科网（北京）股份有限公司b 2 1 x   0 2a 2m m ，则对称轴应在 y 轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 9. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形 ABEF和ADGH的面积之和为68cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ） A. 9cm2 B. 16cm2 C. 21cm2 D. 24cm2 【答案】B 【解析】 【分析】设出矩形的长与宽分别为x、y，根据两正方形的面积和矩形的周长列出方程，然后结合完全平方 公式求出xy的值，也就是矩形的面积． 【详解】设AB=x，AD=y，根据题意，得 x2+y2=68①，2（x+y）=20②， 由②得：x+y=10， 由①，得（x+y）2-2xy=68， 100-2xy=68， ∴2xy=100-68=32， ∴xy=16． 矩形ABCD的面积是16cm2． 故选B 【点睛】熟练运用正方形的面积公式和长方形的周长公式表示等式，再根据完全平方公式变形代值计算， 不需要求出矩形的长与宽的具体数值，只要求出它们的积即可． 10. 如图，等腰 RtVABC （ ACB90 ）的直角边与正方形 DEFG 的边长均为2，且 AC 与𝐷𝐸在同一 条直线上，开始时点C与点D重合，让 VABC 沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设𝐶𝐷的长为 x VABC DEFG y y x ， 与正方形 重合部分（图中阴影部分）的面积为 ，则 与 之间的函数的图象大致是 （ ） 第5页/共23页 学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点C的位置对 x 分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公 式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，𝑥=2；当点A到点E时， x4 ； 当 0＜x2 时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设𝐴𝐵与 DG 交于点H DEFG ∵四边形 是正方形， EDG DEF EFG FGD90,DE  EF  FG  DG 2 ∴ ， ADH 90, ∴ ∵ AC  DE  BC 2 ， CD  x ， VABC是等腰直角三角形， A45 AD ACCD2x ∴ ， ∴VADH 为等腰直角三角形 DH  AD2x ∴ CDDH BC x2x2 1 y    x2 2x 2 2 2 ∴ ； 第6页/共23页 学科网（北京）股份有限公司当 2＜x4 ，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设𝐴𝐵与EF 交于点H DEFG ∵四边形 是正方形， EDG DEF EFG FGD90,DE  EF  FG  DG 2 ∴ ， ∵ AC  DE 2 ， CD  x ， VABC是等腰直角三角形， HAE 45 AE  DE ACCD4x ∴ ， ∴VAEH 为等腰直角三角形 HE  AE 4x ∴ AEHE 4x2 y   2 2 ∴ ．  1  x2 2x0 x2   2 y  4x2  2 x4   2 综上所述： 结合图像可得只有A项符合题意， 故选：A． 【点睛】此题考查的是求实际问题中的函数关系式，二次函数的图像及性质，掌握正方形的性质、等腰直 角三角形的性质、梯形面积公式、三角形的面积公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） (m3)xm1m3x50 x m 11. 若 是关于 的一元二次方程，则 的值为___________. 【答案】3 【解析】 m -1=2 m30 【分析】根据一元二次方程的定义，可知 且 ，由此即可求得m的值． m -1=2 m30 【详解】解：由题意可知， 且 ， 解得： m3 ，且m3， 第7页/共23页 学科网（北京）股份有限公司m3 ∴ ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0． 12. 某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出 (40010a) 件，商店计划要盈利500元，则可列方程为__________． a2540010a500 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出代数式是解题的关键， 根据“总利润单件利润销量”列出方程即可． a25 (40010a) 【详解】解：因为每件商品售价a元，所以每件盈利 元，可卖出 件， a2540010a500 根据题意可列方程为： ， a2540010a500 故答案为： ． 13. 已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1，则m的值是________． 【答案】10 【解析】 b 6   3 【详解】试题分析：由二次函数的性质可知当x= 2a 21 （对称轴）时，函数有最大值y=9- 18+m=1，因此m=10. 考点：二次函数的最值问题 y ax2 c y mxn A1，p，，B3 q 14. 如图，抛物线 与直线 交于 两点，则不等式 ax2 mxc＞n 的解集是______． 第8页/共23页 学科网（北京）股份有限公司x＜1 x＞3 【答案】 或 【解析】 ax2 mxc＞n 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式 的解集，本题得以解决． y ax2 c y mxn A1，p，，B3 q 【详解】解：∵抛物线 与直线 交于 两点， ax2 c＞mxn x＜1 x＞3 ∴ 的解集是 或 ， ax2 mxc＞n x＜1 x＞3 ∴ 的解集是 或 ， x＜1 x＞3 故答案为： 或 ． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象 求解． x2 3x10 15. 已知，m、n是一元二次方程 的两个根，则  m2 3m31  2n2 6n69   _________． 【答案】2010 【解析】 m2 3m10，n2 3n10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义得 ， m2 3m1，n2 3n1 变形为 ，然后把题目整体代入计算即可求解． 【详解】解：Qm、n是一元二次方程 x2 3x10 的两个根， m2 3m10，n2 3n10 ， m2 3m1，n2 3n1 ，   m2 3m31  2n2 6n69    m2 3m31 2  n2 3n  69 13121692010   ， 故答案为：2010． Ax，2024 Bx，2024 y ax2 bx a0 x x x 16. 已知 1 ， 2 是二次函数 （ ）的图象上两点，当 1 2时， 二次函数的值是__________． 【答案】0 【解析】 x，x ax2 bx2024 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，根据题意可知 1 2是方程 的两个根， 第9页/共23页 学科网（北京）股份有限公司ax2 bx 2024 ax 2 bx 2024 ax2 bx ax 2 bx 0 因此 1 1 ， 2 2 ，故 1 1 2 2 ，整理得 b b x 1 x 2   ax 1 x 2 b  0 ，从而可得 x 1 x 2  a ，把 xx 1 x 2  a代入 y ax2 bx 即可求出答案． 【详解】Q Ax 1 ，2024 ， Bx 2 ，2024 是二次函数 y ax2 bx （ a0 ）的图象上两点， x，x ax2 bx2024 1 2是方程 的两个根， ax2 bx 2024 ax 2 bx 2024  1 1 ， 2 2 ， ax2 bx ax 2 bx 0 1 1 2 2 ， x x ax x b0 整理得 1 2  1 2  ， Qx  x 1 2， ax  x b0 1 2 ， b x x  1 2 a 即 ， 2 Qx b y ax2 bxa    b  b    b  0 a 时，  a  a ， x x x 1 2时，二次函数的值是0， 故答案为：0． 三、解答题（本题有9小题，共72分）第14题图 17. 解下列方程： 4(x1)2 160 （1） 2x2 4x10 （2） 6 6 1 1 【答案】（1）x =-1或x =3；（2）x = 2 或x = 2 1 2 1 2 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用配方法求解可得． 4(x1)2 160 【详解】解：（1） ， 第10页/共23页 学科网（北京）股份有限公司4(x1)2 16 ∴ ， (x1)2 4 ∴ ， x12 ∴ ， 解得：x =-1或x =3； 1 2 2x2 4x10 （2） ， 2  x2 2x  1 ∴ ， 1 x2 2x11 ∴ 2 ， 3 x12  ∴ 2 ， 6 x1 ∴ 2 ， 6 6 1 1 解得：x = 2 或x = 2 ． 1 2 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18. 已知关于x的方程 x2 2mxm2 10 有一个根为1，求m的值和方程的另一个根． 【答案】当m0时，此时原方程的另一个根为 x1 ；当m2时，此时原方程的另一个根为 x3 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左 右两边相等的未知数的值把x1代入原方程求出m的值，进而求出原始方程，再解原方程求出方程的 另一个根即可． 【详解】解；∵关于x的方程 x2 2mxm2 10 有一个根为1， 12 2mm2 10 ∴ ， 解得m0或m2， 当m0时，原方程为 x2 -1=0 ，解得 x1 或x1， x1 ∴此时原方程的另一个根为 ； 第11页/共23页 学科网（北京）股份有限公司当m2时，原方程为 x2 4x30 ，解得 x3 或x1， x3 ∴此时原方程的另一个根为 ； 综上所述，当m0时，此时原方程的另一个根为 x1 ；当m2时，此时原方程的另一个根 x3 为 ． x x2 6xk10 19. 关于 的一元二次方程 ． k （1）如果方程有实数根，求 的取值范围； x x x2 x2 3x x 24 k （2）如果 1， 2是这个方程的两个根，且 1 2 1 2 ，求 的值． k 10 【答案】（1） k 11 （2） 【解析】 x x 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确 1， 2是一元二次方程 b c ax2 bxc0a 0 x 1 x 2  a x 1 x 2  a 的两个根时， ， 是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； x x 6 x x k 1 （2）由根与系数的关系可得 1 2 ， 1 2 ，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， 62 4k10 ∴ ， k 10 解得： ； 【小问2详解】 x x ∵ 1， 2是这个方程的两个根， x x 6 x x k 1 ∴ 1 2 ， 1 2 ， x2 x2 3x x 24 ∵ 1 2 1 2 ， x x 2 x x 24 ∴ 1 2 1 2 ， 62 k124 ， 第12页/共23页 学科网（北京）股份有限公司k 11 解得： ． 2020 20. 新冠疫情下，网上购物已经成为一种习惯．某网点“元旦”全天交易额逐年增长， 年交易额为 40万元， 2022 年交易额为 48.4 万元，求： 2020 2022 （1） 年至 年“元旦”交易额的年平均增长率； 2023 （2）若保持原来的增长率，预计 年“元旦”全天交易额是多少？ 10% 【答案】（1）2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为 ； 53.24 （2）保持原来的增长率，预计2023年该平台“元旦”的交易额将达到 万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用； （1）设2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为x，然后根据经过连续两年增长后从40万元增 48.4 长到 万元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出2023年该平台“元旦”的交易额即可得到答案． 【小问1详解】 解：设2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为x， 401x2 48.4 由题意得， ， 解得x0.110%或 x2.1 （舍去）， 10% 答：2020年到2022年“元旦”交易额的年平均增长率为 ； 【小问2详解】 48.4110%53.24 解：∵ ， 53.24 答：保持原来的增长率，预计2023年该平台“元旦”的交易额将达到 万元． 21. 如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问 题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第13页/共23页 学科网（北京）股份有限公司14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 的 （1）若虚线方框中最大数与最小数 乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请 说明理由． 【答案】（1）10 （2）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见详解 【解析】 的 【分析】本题考查了一元二次方程 应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． x8 （1）设最小数是x，则最大数是 ，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值， 即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是 y1 y7 y8 y 6 ， ， ，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由 在最后一列， 可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【小问1详解】 x8 解：设最小数是x，则最大数是 ， xx8180 根据题意得： ， x2 8x1800 整理得： ， x 10，x 18 解得： 1 2 （不符合题意，舍去） 答：最小数是10； 【小问2详解】 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： y1 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是 ， y7 y8 ， ， yy8 yy1y7y8124 根据题意得： ， 第14页/共23页 学科网（北京）股份有限公司y2 12y1080 整理得： ， y 6，y 18 解得： 1 2 （不符合题意，舍去） Q y6 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 22. 如图，抛物线 y ax2 bx5 与 x 轴交于点A（1，0），B（5，0），点P为 y 轴正半轴上一点，直线 PD y 轴交抛物线于点C，D（点C在点D左侧）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若PC CD，求D点的坐标． x2 【答案】（1）y＝－ ＋6x－5 （2）（4，3） 【解析】 ax2 【分析】（1）根据抛物线y＝ ＋bx－5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），先求出对称轴，再把A点 坐标代入解析式即可； （2）先设出PD直线解析式，再联立直线和抛物线解析式组成方程组，得出C，D横坐标之间的关系，再 由PC＝CD得出结论． 【小问1详解】 ax2 解：∵抛物线y＝ ＋bx－5与x轴交于点A（1，0），B（5，0） b 15 x  2a 2 ， b＝－6a， 把点A坐标代入抛物线得：a＋b－5＝0，即a－6a－5＝0 第15页/共23页 学科网（北京）股份有限公司解得：a＝－1 b＝6 抛物线解析式为y＝－ x2 ＋6x－5 【小问2详解】 设点P坐标为（0，m）（m＞0） Q直线PD⊥y轴 直线PD的解析式为y＝m x，x 设直线PD交抛物线于点C，D的横坐标为 1 2 y m  y x2 6x5 联立方程组得： x2 整理得： －6x＋5＋m＝0 x x 6  1 2 QPC＝CD x 2x  2 1 x 2，x 4  1 2 当x＝4时，y＝－16＋24－5＝3 点D的坐标为（4，3）． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，直线和抛物线的交点等知识，关键是求函数解析式． 3,0 2,1 23. 已知二次函数的图象经过三点(1,0)， ， 三点． （1）求二次函数的解析式； 第16页/共23页 学科网（北京）股份有限公司（2）在平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象； 0 x3 的 （3）据图象回答：当 时，y 取值范围是多少？ y  x2 4x3 【答案】（1） 1 y3 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式，描点画图和求函数值， （1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先列表，再描点，再画图即可； 0 x3 （3）根据函数的图象得到当 时，y的最大值与最小值即可得到答案． 【小问1详解】 y ax2 bxca0 解：设二次函数的解析式为 ，则 0abc a1   09a3bc b4   14a2bc c3   ，解得 ， y  x2 4x3 ∴二次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：列表如下： x ggg 0 1 2 3 4 ggg y ggg 3 0 1 0 3 ggg 描点并画图， 【小问3详解】 第17页/共23页 学科网（北京）股份有限公司解：根据图象可得当 0 x3 时，最小值为1， x0 y3 当 时， ， 1 y3 ∴ ． y ax2 bxca0 24. 如图，已知抛物线 的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1,0)， C0,3 两点，与x轴交于点B． （1）若直线 y mxn 经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x1上找一点M，使MAMC 的值最小，求点M的坐标； （3）设P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使 VBPC 为直角三角形的点P的坐标． y= x+ 3 yx2 2x3 【答案】（1） ， 1,2 （2）  3 17   3 17  1,  1,  1,2 1,4  2   2      （3）点P的坐标为 或 或 或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、点的对称性等； （1）用待定系数法即可求解； （2）设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC 的值最小，进而求解； （3）分点B为直角顶点、点C为直角顶点、P为直角顶点三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 A1，0 抛物线的对称轴为直线x1，且抛物线经过 ， B3，0 ∴ ， y ax1x3 设抛物线的表达式为 ， C0,3 3a0103 a1 将 代入上式得： ，解得 ， 第18页/共23页 学科网（北京）股份有限公司y x1x3x2 2x3 ∴抛物线的解析式为： ； 3n  B3，0 C0,3 y mxn 03mn 把 ， 代入 得： n3  m1 ，解得 ， y= x+ 3 ∴直线的解析式为 ； 【小问2详解】 设直线BC与对称轴x1的交点为M，则此时MAMC 的值最小， 把x1代入直线 y= x+ 3 得 y 2 ，故 M 1,2 ， 1,2 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为 ； 【小问3详解】 P1,t 设 ， B3，0 C0,3 ∵ ， ， BC2 18，P，B2 132 t2 4t2 PC2 t32 1 ∴ ， BC2 PB2  PC2 若点B为直角顶点时，则 ， 184t2 t32 1 即 ， t 2 解得 ； BC2 PC2  PB2 若点C为直角顶点时，则 ， 18t32 14t2 即 t 4 解得 ， PB2 PC2  BC2 若P为直角顶点时，则 ， 4t2 t32 118 ∴ ， 第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司3 17 t  解得 2 ，  3 17   3 17  1,  1,  1,2 1,4  2   2      综上，点P的坐标为 或 或 或 ． 25. 如图，AC是正方形ABCD的对角线，AD＝8，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每 秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点 C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒 （0＜t＜8） （1）当t＝1时，试求PE的长； （2）当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长； （3）在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值． PE 5 【答案】（1） （2）BF 2 8 16 （3）3或 3 【解析】 【分析】（1）作EM⊥AB于M，由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=AD=8，证出EM∥BC，得 1 2 出EM是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EM= BC=4，当t=1时，AP=1，求出PM=AM- AP=3，再由勾股定理求出PE即可； （2）由平行四边形的性质得出PF=EQ，PF∥EQ，当点F恰好落在线段AB上时，得出EQ⊥BC，Q为 1 2 BC的中点，得出EQ是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出EQ= AB=4，求出PF=4，AP=2，即 可求出BF的长； （3）由菱形的性质得出PE=PQ，分四种情况：①当0＜t≤2时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；②当 第20页/共23页 学科网（北京）股份有限公司2＜t≤4时；③当4＜t≤6时，作EM⊥AB于M，EN⊥BC于N；④当6＜t≤8时；分别由勾股定理得出方程， 解方程即可． 【小问1详解】 作EM  AB于交AB于点M，如图1所示： ABCD AC ∵四边形 是正方形，E是对角线 的中点， AB  BC CD  AD 8,AM  BM  AB 4 ∴ ， ∴EM 是 VABC的中位线， 1 EM  BC 4 ∴ 2 ， 当 t 1 时，AP 1， ∴PM  AM  AP 3， PE  PM2 EM2  32 42 5 ∴ 【小问2详解】 PEQF ∵四边形 是平行四边形， PF  EQ,PF∥EQ ∴ ， 当点F恰好落在线段AB上时， PF  BC ， EQ BC ∴ ， ∴Q为BC 的 中点， 1 BQ  BC 4 ∴ EQ 是 VABC的中位线， 2 ， 1 EQ  AB 4 2 ∴ ， 第21页/共23页 学科网（北京）股份有限公司∴PF 4， ∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C， ∴t 422， ∴AP 2 ∴BF  AB AP  PF 2 【小问3详解】 YPEQF PE  PQ 当 为菱形时， ，分四种情况： ①当 0t 2 时，作EM  AB于M，EN BC于N，如图2所示： PE2  PM2 EM2,EQ2 QN2 EN2 ∵ ， (4t)2 42 (42t)2 42 ∴ ， 8 t  解得：t 0（舍去），或 3（舍去）； 2t 4 ②当 时， (4t)2 42 (2t4)2 42 同①得： ， 8 t  解得：t 0（舍去），或 3 8 t  ∴ 3 ③当4t 6时，作EM  AB于M，EN BC于N，如图3所示： 第22页/共23页 学科网（北京）股份有限公司PE2  PM2 EM2,EQ2 QN2 EN2 ∵ ， (t4)2 42 (122t)2 42 ∴ ， 16 t  解得： 3 或 t 8 （舍去）， 16 t  ∴ 3 ④当6t 8时， (t4)2 42 (2t12)2 42 同③得： ， 16 t  解得： 3 （舍去）或 t 8 （舍去）； 8 16 综上所述：在整个运动过程中，当 YPEQF 为菱形时，t的值为3或 3 ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定 理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论， 运用勾股定理得出方程才能得出结果． 第23页/共23页 学科网（北京）股份有限公司