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2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五年级第2
试）
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝ ．
2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝ ．
3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，
得余数 ．
4．（5分）数一数图中有 个正方形．
5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的
自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×1 64＝8×8＝
4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有 个．
6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个
自然数是 ．
7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在
异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的
5个棋子中最多有 个白子．
8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人
相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到
达B地后，再经过 分钟，乙到达A地．
9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到
24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是 平方米．
第1页（共10页）10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小
丽的桶最多可以装 千克水，小明的桶最多可以装 千克水．
11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分
组如下（每个括号为一组）：
（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…
则最后一个括号内的各数之和是 ．
12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍
时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大 岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸
的年龄是 岁．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．
13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何
图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直
接作图，不写解答过程）
14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、
丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼
的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？
15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度
第2页（共10页）是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都
立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：
（1）AB两地的距离．
（2）乙车的速度．
16．（15分）观察以下的运算：
若 是三位数，因为 ＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）
所以，若a+b+c能被9整除， 能被9整除．
这个结论可以推广到任意多位数．
运用以上的结论，解答以下问题：
（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．
（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．
第3页（共10页）2011 年第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（五
年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：0.15÷2.1×56＝ 4 ．
【解答】解：0.15÷2.1×56，
＝0.15×56÷2.1
＝0.15×8×7÷2.1
＝1.2× ，
＝4．
故答案为：4．
2．（5分）15+115+1115+11115+…+1111111115＝ 123456793 5 ．
【解答】解：15+115+1115+11115+11115+…+1111111115，
＝（10+110+1110+11110+1111110+1111110+11111110+111111110+1111111110）+5×9，
＝1234567890+45，
＝1234567935．
故答案为：1234567935．
3．（5分）一个自然数除以3，得余数2，用所得的商除以4，得余数3．若用这个自然数除以6，
得余数 5 ．
【解答】解：设这个商除以4得余数3时所得商为x，
则这个商为4x+3，
这个自数数为：（4x+3）×3+2＝12x+11＝6×（2x+1）+5，
所以若用这个自然数除以6，得余数5．
故答案为：5．
4．（5分）数一数图中有 1 8 个正方形．
第4页（共10页）【解答】解：1个小正方形的个数为：13个；
含有4个小正方形的大正方形的个数为：4；
含有9个小正方形的大正方形的个数为：1．
故有13+4+1＝18个正方形．
或直接利用公式先求中间由9个小正方形组成的正方形一共有：32+22+12＝14，
加上四周的4个共14+4＝18个．
故答案为：18．
5．（5分）有一些自然数（0除外）既是平方数，又是立方数．（注：平方数可以写成两个相同的
自然数的乘积，立方数可以写成三个自然数的乘积）．如：1＝1×1＝1×1×1 64＝8×8＝
4×4×4．那么，1000以内的自然数中，这样的数有 3 个．
【解答】解：既是平方数，又是立方数的数一定是完全六次方数，
所以：16＝1，26＝64，36＝729，46＝4096…
而46＝4096超过了1000，所以共有3个．
故答案为：3．
6．（5分）有一个自然数，它的最小的两个约数的差是4，最大的两个约数的差是308，则这个
自然数是 38 5 ．
【解答】解：因为，最小的约数为1，所以第二小的约数为1+4，
因此最大的约数为本身x，第二大的约数为x÷5，
所以，x﹣x÷5＝308，
x﹣ ＝308，
x＝308，
x＝308 ，
x＝308× ，
x＝385；
第5页（共10页）故答案为：385．
7．（5分）如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在
异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的
5个棋子中最多有 3 个白子．
【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．
答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子．
故答案为：3．
8．（5分）甲乙两人分别从AB两地同时相向而行，甲的速度是乙的3倍．经过60分钟，两人
相遇，然后，甲的速度减为原速的一半，乙的速度不变，两人各自继续前行，那么，当甲到
达B地后，再经过 14 0 分钟，乙到达A地．
【解答】解：设乙的速度是x米/分钟，则甲的速度是3x米/分钟，
相遇后甲到达B地的时间：60x÷（3x÷2），
＝60x÷1.5x，
＝40（分钟）；
相遇后已到达A地的时间：（60×3x）÷x，
＝180x÷x，
＝180（分钟）；
180﹣40＝140（分钟）；
答：当甲到达B地后，再经过140分钟，乙到达A地．
故答案为：140．
9．（5分）如图，将一个棱长为1米的正方体木块分别沿长宽高三个方向锯开1，2，3次得到
24个长方形木块，这24个长方形木块的表面积的和是 1 8 平方米．
第6页（共10页）【解答】解：12×6+（2+4+6）×12
＝6+12
＝18（m2）．
故答案为：18．
10．（5分）如图，小丽和小明的桶中原来各装有3千克和5千克水，依据图中的信息可知，小
丽的桶最多可以装 3. 2 千克水，小明的桶最多可以装 6. 4 千克水．
【解答】解：设小丽的桶最多可以装x千克水，则小明的桶最多可以装（8﹣0.5x）千克水，根
据题意可得方程：
5﹣（x﹣3）＝（8﹣0.5x）× ，
x＝2，
x＝3.2，
8﹣0.5×3.2＝6.4（千克），
答：小丽的桶最多能装3.2千克，小明的桶最多可装6.4千克．
故答案为：3.2；6.4．
11．（5分）将1～2011的奇数排成一列，然后按每组1，2，3，2，1，2，3，2，1，…个数的规律分
组如下（每个括号为一组）：
（1）（3，5）（7，9，11）（13，15）（17）（19，21）（23，25，27）（29，31）（33）…
则最后一个括号内的各数之和是 602 7 ．
【解答】解：1+2+3+2＝8，即分组规律为每8个数一循环，
2010÷2+1＝1006（个），
1006÷8＝125…6．
1～2011中最后6个奇数为：（2001），（2003，2005），（2007，2009，2011）．
则最后一个括号内的各数之和为：2007+2009+2011＝6027．
故答案为：6027．
12．（5分）当爷爷的年龄是爸爸年龄的2倍时，小明1岁；当爸爸的年龄是小明的年龄的8倍
第7页（共10页）时，爷爷61岁．那么，爷爷比小明大 5 7 岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸
的年龄是 3 1 岁．
【解答】解：（1）设爷爷比小明大x岁，根据题意可得方程：
x+1﹣ ＝61﹣8×（61﹣x），
整理可得：15x＝855，
x＝57，
（2）小明1岁时，爷爷的年龄是：57+1＝58（岁），爸爸的年龄是：58÷2＝29（岁）；
所以爷爷与爸爸的年龄差是：58﹣29＝29（岁），爸爸与小明的年龄差是：29﹣1＝28（岁）．
设当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄为y岁，根据题意可得方程：
29+y＝20×（y﹣28），
19y＝589，
y＝31，
答：爷爷比小明大57岁；当爷爷的年龄是小明年龄的20倍时，爸爸的年龄是31岁．
故答案为：57；31．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程．
13．（15分）如图，大小两个正方形并排放在一起，请分别在图乙和图丙中阴影标出一个几何
图形（不一定是三角形，可以是任意的多边形），使它的面积等于图甲中的阴影面积．（直
接作图，不写解答过程）
【解答】解：答案如图，
14．（15分）甲、乙、丙、丁4人去钓鱼，共钓到25条鱼，按数量从多到少的排名是甲、乙、丙、
丁．又知甲钓到的鱼的条数是乙和丙钓到鱼的条数的和，乙钓到鱼的条数是丙和丁钓到鱼
的条数的和．那么，甲乙丙丁各钓到几条鱼？
【解答】解：设甲乙丙丁分别钓了a、b、c、d条鱼，且a＞b＞c＞d，根据题意可得方程：
第8页（共10页）a+b+c+d＝25， ；
a＝b+c， ； ①
b＝c+d，②；
把 代入③可得：a＝2c+d， ；
把③和 ②都代入 可得： ④
4c+③3d＝④25，解得①这个二元一次方程的整数解有：
当c＝1时，d＝7；
当c＝4时，d＝3；
又因为：c＞d，所以符合题意的只有c＝4，d＝3，
所以b＝4+3＝7；a＝7+4＝11；
答：甲乙丙丁分别钓了11条、7条、4条、3条．
15．（15分）A、B两地间有一条公路，甲乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度
是50千米/时．经过1小时，两车第一次相遇．然后两车继续行驶，各自到达B、A两地后都
立即返回，第二次相遇点与第一次相遇点的距离是20千米．求：
（1）AB两地的距离．
（2）乙车的速度．
【解答】解：（1）第二次相遇地点距A地50+20＝70千米时，
AB两地的距离为：
（50×3+50+20）÷2
＝220÷2，
＝110（千米）．
答：AB两地的距离为110千米．
乙车的速度为：
110÷1﹣50
＝110﹣50，
＝60（千米/小时）．
答：乙车的速度为60千米/小时．
成第二次相遇时距离A地50﹣20＝30千米时：
（50×3+50﹣20）÷2
＝180÷2，
＝90（千米）．
第9页（共10页）答：AB两地的距离为90千米．
乙车的速度为：
90÷1﹣50
＝90﹣50，
＝40（千米/小时）．
答：乙车的速度为40千米/小时．
16．（15分）观察以下的运算：
若 是三位数，因为 ＝100a+10b+c＝99a+9b+（a+b+c）
所以，若a+b+c能被9整除， 能被9整除．
这个结论可以推广到任意多位数．
运用以上的结论，解答以下问题：
（1）N是2011位数，每位数字都是2，求N被9除，得到的余数．
（2）N是n位数，每位数字都是7，n是被9除余3的数．求N被9除，得到的余数．
【解答】解：（1）2011×2＝4022；
4022÷9＝446…8，
所以N被9除，得到的余数是8；
（2）自然数N各个数位上数字之和为7n；由于n÷9余3，所以不妨设n＝9k+3，
则7n＝7（9k+3）＝63k+21＝（63k+18）+3＝9（7k+2）+3；
那么N﹣3的各个数位上数字和为7n﹣3＝9（7k+2）能被9整除，所以N﹣3能被9整除，
所以N被9除的余数也是3．
答：（1）N被9除，得到的余数是9，（2）N被9除，得到的余数是3．
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日期：2019/4/22 16:45:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
