第八十九中学2024-2025学年九年级国庆作业检测数学试题（答案解析）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_九上月考_初三上十月考

2024 学年第一学期初三国庆作业检测 数学试卷 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共120分．考试时间 90分钟． 第I 卷（选择题 共32分） 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） 1 4x10 2x13x x2 A. B. 2x2 3y20 x2 32x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程， 然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知 数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、2x13x是一元一次方程，故A不符合题意； 1 4x10 B、 x2 是分式方程，故B不符合题意； 2x2 3y20 C、 是二元二次方程，故C不符合题意； x2 32x D、 是一元二次方程，故D符合题意． 故选：D． x2 2x+8 2. 方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 1，−2，8 B. −1，2，8 C. 1，2，−8 D. 1，2，8 【答案】C 第1页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 ax2 bxc＝0 a0 a0 【分析】一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且 ）特别要注意 的条 ax2 bx 件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c是常数项．其中 a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． x2 2x+8 x2 2x80 【详解】解： 化成一元二次方程一般形式是 ， 它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是−8． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成 一般形式是解题的关键． y  x2 2 3. 二次函数 的最小值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 y ax2 c 【分析】本题考查了二次函数 的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． y ax2 c 利用二次函数 的性质判断即可． y  x2 2 a10 【详解】解：∵二次函数 中 ， ∴开口向上， 0,2 ∴顶点为 x0 y 2 ∴当 ，有最小值为 ， 故选：A． x2 2x50 4. 用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ） x12 6 x12 6 x22 9 x22 9 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次 项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 第2页/共18页 学科网（北京）股份有限公司x2 2x50 【详解】解： ， x2 2x5 ， x2 2x16 ， x12 6 ， 故选：B． x2 x10 5. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可． 0 ax2bxc0(a0) b2 4ac  0 本题主要考查了 ：一元二次方程 的根的判别式为 ，当 时，  0 0 方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．熟练 掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． Qa 1 b1 c1 【详解】解： ， ， ， b2 4ac(1)2 41(1)50 ， x2 x10 ∴一元二次方程 有两个不相等的实数根． 故选：B． x2x50 6. 一元二次方程 的根是（ ） A. 2 B. 5 C. 2或–5 D. 2或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可． x2x50 【详解】解： ， ∴x20或 x50 ， x 2,x 5 ∴ 1 2 ； 第3页/共18页 学科网（北京）股份有限公司故选D． x2 2x40 x x 7. 设一元二次方程 两个实根为 1和 2，则下列结论正确的是（ ） x x 2 x x 4 x x 2 x x 4 A. 1 2 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 2 【答案】A 【解析】 x x 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得，设 1， 2是关于x的一元二次方程 b c ax2 bxc0 x x a x gx a （a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则 1 2=- ， 1 2= ． 【详解】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣4， b c x x x gx a a ∴ 1 2 =﹣ =2， 1 2 = =﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8. 某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（ ） A. a（1+x）2 B. a（1+x%）2 C. a+a•x% D. a+a•（x%）2 【答案】B 【解析】 【分析】 x% x% 【详解】解：增产 指的是增产前一个月的 ， (aax%)a(1x%) 故2月份产量为 吨， a(1x%)a(1x%)x%a(1x%)2 3月份产量为 吨. 故选B 二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得 4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.） 9. 以2为根的一元二次方程是（ ） x2 2x0 x2 x20 x2 x20 x2 x20 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 第4页/共18页 学科网（北京）股份有限公司x  2 【分析】把 代入方程计算即可求解． x  2 440 【详解】解：A、把 代入方程得左边 右边，故符合题意； B、把 x  2 代入方程得左边42240，故不符合题意； C、把 x  2 代入方程得左边42240，故不符合题意； D、把 x  2 代入方程得左边4220右边，故符合题意． 故选：AD． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的 解． 10. 关于x 的 一元二次方程：① ax2 bxc0 ，② cx2 bxa0 ，其中ac，下列结论正确的是（ ） A. 若方程①有实数根，则方程②必有实数根 B. 若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1 C. 若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根 1 D. 若 mm0 是方程①的实数根，则m 是方程②的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式和根与系数的关系，A．求出①②两根方程根的 判别式，然后判断即可； ax2 bxc cx2 bxa x B．根据两个方程有一个相同的实数根，得到 ，求出 就能判断； C．利用一元二次方程根与系数的关系求出①的两根之积，判断其正负，然后求出②的两根之积进行判断 即可； 1 b c a  0 x D．把xm代入①得到am2 mbc0，此等式两边同时除以m2 得 m m2 ，然后再把 m 代 入②，把所得结果与①的结果进行比较判断即可． x ax2 bxc0 b2 4ac0 【详解】解：A．若关于 的方程：① 有实数根，则△ ， Q② cx2 bxa0 的判别式为△ b2 4cab2 4ac0 ， ②也必有实数根， 第5页/共18页 学科网（北京）股份有限公司此选项的说法正确，故选项A符合题意； B．Q若两个方程有一个相同的实数根， ax2 bxccx2 bxa， ax2 cx2 ac， (ac)x2 ac ， x2 1 ， x1 ， 故选项B说法错误，不符合题意； C．Q方程①②的根的判别式都是 b2 4ac ， b b2 4ac c b b2 4ac x x x  x ①的求根公式为 2a ， 1 2 a ，方程②的求根公式为： 2c ， a x x  1 1 c ， 若方程①有一正根一负根，则 a ， c 异号， a 0  c ， c 0  a ， 方程②有一正根一负根， 故选项C说法正确，符合题意； b c a  0 D．Q把xm代入①得：am2 mbc0，此等式两边同时除以m2 得： m m2 ； 1 c b x  a0 把 m 得入②得：m2 m ， b c c b a    a0  m m2 m2 m ， 故选项说法D正确，符合题意； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共88分） 三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） x2 3x 11. 方程 的解是____． 第6页/共18页 学科网（北京）股份有限公司x 0 x 3 【答案】 1 ， 2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． x2 3x0 把方程化为 ，再利用因式分解的方法解方程即可． x2 3x 【详解】解：∵ ， x2 3x0 ， x(x3)0 ， x0或 x30 ， x 3,x 0 解得： 1 2 ． x 0 x 3 故答案为： 1 ， 2 ． x12 2x3 12. 一元二次方程 化为一般形式为 _________． x2 4x20 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为 ax2 bxc0a 0 是解题关键．依次去括号、移项、合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可． x12 2x3 【详解】解： x2 2x12x3 x2 2x12x30 x2 4x20 ， x2 4x20 故答案为： ． 13. 正方形边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y与x的函数关系式为________． y  x2 8x 【答案】 【解析】 【分析】增加的面积等于增加后的正方形的面积减去原来正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第7页/共18页 学科网（北京）股份有限公司y 4x2 42  x2 8x ， y  x2 8x 即y与x的函数关系式为 ． y  x2 8x 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． m1xm213x50 x m 14. 已知 是关于 的一元二次方程，则 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程， 特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知： m2 12 且m10， 解得m1， 故答案为：1． x2 2x30 2a2 4a1 15. 若a是方程 的一个根，则代数式 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出a2 2a30，推出a2 2a 3， 整体代入计算即可得出答案． x2 2x30 【详解】解：∵a是方程 的一个根， ∴a2 2a30， ∴a2 2a 3， 2a2 4a12  a2 2a  12317 ∴ ， 故答案为：7．  m2 n22 3  m2 n2 100 m2 n2  16. 已知 ，则 _________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 第8页/共18页 学科网（北京）股份有限公司根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． t m2 n2t 0 【详解】解：设 ， t2 3t100 则 ， t5t20 ∴ ， 则t50或 t20 ， t 5 t 20 ∴ 或 （舍去）； m2 n2 5 ∴ ． 故答案为：5． 四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 1 x2 4 17. 解方程：2 x 2 2,x 2 2 【答案】 1 2 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关 键．本题直接利用开平方法求解即可． 1 x2 4 【详解】解：2 ， x2 8 ， x 2 2,x 2 2 ∴ 1 2 ． 2x2 x30 18. 解方程: . 3 【答案】-1；2 【解析】 【详解】试题分析：运用公式法求解即可. 试题解析：∵2x2-x-3=0 在这里,a=2，b=-1，c=-3 b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0 第9页/共18页 学科网（北京）股份有限公司15 4 ∴x= 3 即：x =-1；x = 2 . 1 2 19. 已知关于x的一元二次方程 x2 4xm10 （m为实数）的一个根是1，求m的值及方程的另一 个根． m6 【答案】 ，5 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系等知识点，把x1代入方程，求出 m 的值，再 x x 设方程的另一个根为 2，根据根与系数的关系求出 2的值即可． 【详解】解：∵1是方程的一个根， 12 41m10 ∴ ， m6 ∴ ， x 设方程的另一个根为 2， 1x 4 ∵ 2 ， x 5 ∴ 2 ， m6 ∴ ，方程的另一个根为5． x ,x 2x2 4x30 20. 设 1 2是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： x 2x 2 （1） 1 2 ； x x 1  2 x x （2） 2 1 ． 3  【答案】（1） 2 14  3 （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系： 第10页/共18页 学科网（北京）股份有限公司3 x x 2,xx  （1）根据根与系数的关系，得到 1 2 1 2 2，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 x ,x 2x2 4x30 解：∵ 1 2是方程 的两个根， 3 x x 2,xx  ∴ 1 2 1 2 2， x 2x 22x 2x x x 4 ∴ 1 2 1 2 1 2 3 22 4 2 3  2； 【小问2详解】 3 x x 2,xx  ∵ 1 2 1 2 2， x x x2 x2 1  2  1 2 x x x x ∴ 2 1 1 2 x x 2 2x x  1 2 1 2 x x 1 2  3 22 2     2 14   3 3  2 ． 21. 丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为 90m 60m 4536m2 ，宽为 ，按照规划将预留总面积为 的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花 草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 【答案】各通道的宽度为2米； 【解析】 第11页/共18页 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查一元二次方程解决图形面积问题，先平移道路使阴影部分拼在一起，再根据预留总面积 列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设路宽为xm，由题意可得， (903x)(603x)4536 ， x 2 x 48 解得： 1 ， 2 （不符合题意舍去）， 答：各通道的宽度为2m． y ax2 2 1,1 22. 已知二次函数 的图象经过点 ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直角坐标系中画出该函数图象； （3）写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； 2,y  1,y  1.5,y  y y y （4）已知点 1 ， 2 ， 3 都在此函数图象上，试比较 1， 2， 3的大小． y 3x2 2 【答案】（1） 0,2 x0 （2）见解析 （3）此函数的开口方向向下、对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； y  y  y （4） 1 3 2 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质，比较二次函数值的大 小，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 1,1 a （1）将点 代入二次函数解析式，求出 的值即可； x y （2）分别求出二次函数与 轴和 轴的交点，即可画出函数图象； （3）根据（2）函数图象即可作答； x y y y （4）将 的值代入二次函数解析式，分别求出 1、 2、 3的值，再比较大小即可． 【小问1详解】 y ax2 2 1,1 解：Q二次函数 的图象经过点 ， 第12页/共18页 学科网（北京）股份有限公司a21， a3 解得： ， y 3x2 2 二次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 Q y3x2 2 解： ， 6 x   令 y0 ，则3x2 20，解得： 3 ，  6   6   ,0  ,0     3 3 二次函数与 x 轴 的 交点为   和   ， x0 y 2 令 ，则 ， y 二次函数与 轴的交点为(0,2)，且为顶点， 该函数图象如下： 【小问3详解】 解：由（2）函数图象可知，此函数的开口方向向下、对称轴为直线 x0 ，顶点坐标为(0,2)； 【小问4详解】 y 322 210 x  2 解：当 时， 1 ； y 312 21 当x1时， 2 ； y 31.52 24.75 x1.5 当 时， 3 ； Q104.751， y  y  y 1 3 2． mx2 3m1x2m30 23. 已知：关于x的一元二次方程 （m为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根． 第13页/共18页 学科网（北京）股份有限公司m 3 m0 【答案】（1） 且 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的 思想是解题的关键． Δm32 0 m0 （1）由方程有两个不相等的根，可得 ，由一元二次方程的定义可得 ，由此即可求得 m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【小问1详解】 Δb24ac3m1 2 4m2m3m32 解：   ， ∵方程有两个不相等的实数根， m32 0 m0 ∴ 且 ， m 3 m0 ∴ 且 ， m m 3 m0 ∴ 的取值范围是 且 ； 【小问2详解】 解：由求根公式得 b b24ac 3m1m3 x  2a 2m ， 3m3m3 2m3 3 x   2 ∴ 1 2m m m， 3m3m3 x  1 2 2m ， m ∴无论 为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 24. 如图，在 VABC中， ABC 90 ， AB6cm ， BC 12cm ，点P从点A开始沿𝐴𝐵边向点B以 1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2cm/s 的速度移动．如果P、Q分别从点A、B 同时出发，运动时间为t（s）； 第14页/共18页 学科网（北京）股份有限公司（1）经过几秒 VPBQ 的面积等于8cm2 ？ （2） VPBQ 的面积能否为 VABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． PQ 6cm （3）经过几秒， 的长度等于 ？ 【答案】（1）经过2秒或4秒 VPBQ 的面积等于8cm2 ； （2） VPBQ 的面积不能为 VABC面积的一半，理由见解析； 12 （3）经过 5 秒， PQ 的长度等于 6cm ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理。利用数形结合的思想解决问题是关键． AP tcm BQ2tcm 0t 6 BP6tcm （1）由题意可知， ， ， ， ，根据三角形面积公式列方程求 解即可； （2）先求出 VABC的面积，再根据 VPBQ 的面积为 VABC面积的一半列方程，利用一元二次方程根的判 别式求解即可； PQ 6t2 2t2 PQ 6cm （3）由勾股定理，得到 ，再根据 的长度等于 列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为t（s） AP tcm BQ2tcm 0t 6 由题意可知， ， ， ， BP6tcm ， QVPBQ 的面积等于8cm2 ， 1  BPBQ8 2 ， 1  6t2t 8 2 ， 第15页/共18页 学科网（北京）股份有限公司t 2 t 4 解得： 1 ， 2 ， 即经过2秒或4秒 VPBQ 的面积等于8cm2 ； 【小问2详解】 解： VPBQ 的面积不能为 VABC面积的一半，理由如下： 在 VABC中， ABC 90 ， AB6cm ， BC 12cm ， 1 S  61236cm2 VABC 2 ， 1 1 BPBQ 36 若 VPBQ 的面积为 VABC面积的一半，则2 2 ， 1  6t2t 18 2 ， t2 6t180 整理得： ， Q62 4118360 ， 该方程没有实数根， VPBQ 的面积不能为 VABC面积的一半； 【小问3详解】 RtVPBQ BQ2tcm BP6tcm 解：在 中， ， ， PQ BP2 BQ2  6t2 2t2 ， ∵PQ 的长度等于 6cm ，  6t2 2t2 6 ， 方程两边平方后，整理得：5t2 12t 0， 12 t  t 0 解得： 1 5 ， 2 （舍）， 12 即经过 5 秒， PQ 的长度等于 6cm ． 25. 大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售 价-进货价） 类别 A款纪念 B款纪念 价格 币 币 第16页/共18页 学科网（北京）股份有限公司进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 （1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； 的 （2）第一次购进 A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售 价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是 多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚， 经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使 A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】（1）购进A款纪念币12个，B款纪念币20个； （2）购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元； （3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元． 【解析】 【分析】（1）设购进A款纪念币 x 个，B款纪念币 y 个，由题意：网店第一次用580元购进A、B两款 纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进 m 个A款纪念币，则购进 (80m) 个B款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出 一元一次不等式，解答即可．设再次购进的A、B款纪念币全部售出后获得的总利润为 w 元，则 w(2515)m(3220)(80m)2m960 ，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设A款纪念币的售价定为 a 元，则每个的销售利润为 (a15) 元，平均每天可售出 (52a) 个，使 A款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购进A款纪念币 x 个，B款纪念币 y 个， 15x20y 580  x y 32 ， x12  y 20 解得 ， 答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个； 【小问2详解】 第17页/共18页 学科网（北京）股份有限公司解：设购进 m 个A款纪念币，则购进 (80m) 个B款纪念币， 15m20(80m)1350 依题意得： ， m50 解得： ． 设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为 w 元， w(2515)m(3220)(80m)2m960 则 ． Q20 ， w随 m 的增大而增小， 当 m50 时， w 取得最大值，最大值 250960860 （元 ) ， 80m805030 ) 此时 （个 ． 即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元； 【小问3详解】 解：设A款纪念币的售价定为 a 元，则每个的销售利润为 (a15) 元，平均每天可售出 62(25a)(562a) 个， (a15)(562a)84 依题意得： ， a 21 a 22 解得： 1 ， 2 ． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数 的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系， w m 找出 关于 的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第18页/共18页 学科网（北京）股份有限公司