文档内容
第 2 讲比例解应用题
兴趣篇
1. 圆珠笔和铅笔的价格比是4︰3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71.5元。问：圆珠笔的
单价是每支多少元？
【分析】设圆珠笔价格为4份，铅笔价格为3份。
则，20支圆珠笔，21支铅笔共 份。共花费71.5元
所以每份 元。
圆珠笔每支 元。
2、一段路程分为上坡和下坡两段，这两段的长度之比是 4：3.已知阿奇在上坡时每小时走
3千米，下坡时每小时走4.5千米。如果阿奇走完全程用了半小时。请问：这段路程一
共有多少千米？
【分析】设上坡长度为4份，下坡距离为3份，
则，上坡时间 份，下坡时间 份，
总时间 份，用了半小时，每份15分钟，上坡时间20分钟，下坡时间10分钟。
总距离： 千米。
3、加工一个零件，甲要2分钟，乙要3分钟，丙要4分钟。现有1170个零件，甲、乙、
丙三人各加工几个零件，才能使他们同时完成任务？
【分析】 甲、乙、丙每人每分钟分别加工 个零件。甲乙丙一起，每分钟加工
个零件。
1170个零件需要三人一起加工： 分钟。此时甲加工了 个零件；乙加工了 个零件；丙加工了
个零件。
4、有两块重量相同的铜锌合金。第一块合金中铜与锌的重量比是 1︰3。现在把这两块合
金铸成一块大的。求合铸所成的合金中铜与锌的重量之比。
【分析】 设每块合金的重量为“1”，则，第一块合金中有铜“ ”，有锌“ ”；第
二块合金中有铜“ ”，有锌“ ”。
两块合金熔在一起，总重量为“2”，其中有铜： ，有锌： 。
铜与锌的重量比为15:41。
5、已知甲、乙、丙三个班总人数的比是3︰4︰2，甲班男、女生的比为5︰4，丙班男、女
生的比为2︰1，而且三个班所有男生和所有女生的比为13︰14。请问：
（1）乙班男、女生人数的比是多少？
（2）如果甲班男生比乙班女生少12人，那么甲、乙、丙三个班各有多少人？
【分析】设共有男生13份，女生14份，则三班总人数为27份。
甲班有男生5份，女生4份；丙班有男生4份，女生2份。所以乙班有男生13-5-4=4份，
女生14-4-2=8份。
乙班男女生比1:2。
甲班男生比乙班女生少3份，是12人，于是1份有4人。
甲班 人；乙班 人；丙班 人。
6、甲、乙两包糖的重量比是5︰3，如果甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量
比变为7︰5。请问：这两包糖重量的总和是多少克？
【分析】 原甲糖占总重量的 ，给乙10g后，甲糖占总重量的 。
甲少的糖占总糖的 ，是10g。
所以，两包糖总重 g。7、小明从甲地到乙地，走时每小时走5千米，回来时每小时走7千米，来回共用了4小时。
问：小明去时用了多长时间？
【分析】 往返距离相同，时间比=速度比的反比。所以去时时间：回时时间=7:5，
总时间是4小时，所以去时时间为 小时=2小时20分钟。
8、冬冬从家去学校，平时总是7：50到校。有一天他起晚了，结果晚出发10分钟。为了
不至于迟到，他将速度提高了五分之一，跑步前往学校，最后在 7：55到校。请问：冬
冬这天是几点出发的？
【分析】 距离相同，时间比=速度的反比，所以速度提高 ，时间为原来的
，少用了 的时间。
现在东东晚10分钟出发，晚5分钟到达，实际少用了5分钟。是原时间的 。
所以东东平时从家到学校用时 分钟。平时7:20出发，今天晚走10分钟，7:30出
发。
9、一项工程，由若干台机器在规定时间内完成。如果增加 2台机器，只需要用规定时间的
就可完成；如果减少2台机器，就要推迟 小时才能完成。请问：
（1）在规定时间内完成需几台机器？
（2）由1台机器去完成这工程，需要多少小时？
【分析】（1）每台机器的工作效率是一样的，那么，要在规定时间的 完成工程，需要
的机器，需要比以前多 的机器。现在增加2台机器，使得工程在规定时间的
完成，说明2台机器占原机器数量的 。原有机器 台。
（2）减少2台后，现有机器是原有的 ，所需时间为原来的 ，多需原
来 的时间。实际减少2台后，工程推迟 小时完成。所以原来用时 小时。
如用1台机器，需要 小时。10、康师傅加工一批零件，加工720个之后，他的工作效率提高了20%，结果提前4天完成
任务；如果康师傅从一开始就把工作效率提高 12.5%，那么也可以提前4天完成任务。
这批零件共有多少个？
【分析】原计划 天完成任务
做完 720 个后，工作效率提高 20%，提前 4 天完成任务。则剩余部分原计划
天完成。
即720个零件用了12天完成，
原有零件 个。
拓展篇
1、学校组织体检，收费标准如下：老师每人3元，女生每人2元，男生每人1元。已知老
师和女生的人数比为2︰9，女生和男生的人数比为3︰7，共收体检费945元。那么老
师、女生和男生各有多少人？
【分析】老师：女生=2:9，女生：男生=3:7
于是，老师：女生：男生=2:9:21。
设老师2份，女生9份，男生21份，则老师交钱6份，女生18份，男生21份。共花费
份。所以每份花费 元。每份21人。
所以有老师 人；女生 人；男生 人。
2、徐福记的巧克力糖每6块包成一小袋，水果糖每15块包成一大袋。现有巧克力糖和水
果糖各若干袋，而且巧克力糖比水果糖多30袋。如果巧克力糖的总块数与水果糖的总
块数之比为7︰10，那么它们各有多少块？
【分析】设有巧克力 7 份，水果糖 10 份，则，巧克力有 份包，水果糖
份包。巧克力比水果糖多 份包，为30袋，每份包60袋，巧克力
块；水果糖 块。
3、甲、乙、丙三人合买一台电视机。甲付的钱等于乙付的钱数的2倍，也等于丙付的钱数
的3倍。已知甲比丙多付了680元，请问：
（1）甲、乙、丙三人所付的钱数之比是多少？
（2）这台电视机售价多少钱？【分析】（1）甲：乙：丙=
（2）甲付了 ，丙付了 ，甲比丙多付了 。甲比丙多付了
680元，所以电视机的售价为 元。
4、一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2︰
5；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8︰13。小明原来有多少钱？
【分析】两人剩余钱的总数不变，第一次，小明剩余钱占总钱数的 ；第二次，
小明的钱占总人数的 。小明少了 ，是 3 元，所以两人共剩
元。小明原有 元。
5、两根粗细相同、材料相同的蜡烛，长度比为29︰26，燃烧50分钟后，长蜡烛与短蜡烛
的长度比为11︰9，那么较长的那根还能燃烧多少分钟？
【分析】设长蜡烛比短蜡烛长的部分为1份，则原有长蜡烛 份。烧50
分钟后，剩余长蜡烛 份。消耗了 份。则每份可燃烧
分钟。
剩余的蜡烛可以烧 分钟。
6、某俱乐部男、女会员的人数比是3︰2，分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组的
人数比是10︰8︰7，甲组中男、女会员的人数比是3︰1，乙组中男、女会员的人数比
是5︰3。求丙组中男、女会员的人数比。
【分析】设共有30份男会员，20份女会员。则甲组有人20份，男会员15份，女会员5份；
乙组有人16份，男会员10份，女会员6份。所以丙组有30-15-10=5份男会员；20-5-6=9
份女会员。男女会员人数比为5:9。
7、某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知：
①甲、乙两校获一等奖的人数比为1︰2，但它们一等奖人数占各自获奖总人数的百分数之比为2︰5；
②甲、乙两校获得二等奖人数占量小获奖人数总和的25%，其中乙校是甲校的3.5倍；
③甲校三等奖获奖人数占该校获奖人数的80%。
请问：乙校获三等奖人数占该校获奖人数的百分比是多少？
【分析】甲乙两校一等奖人数比 1:2，占总获奖人数比 2:5，于是，甲乙两校人数比
。
设甲校人数5份，乙校人数4份。
则 ， 甲 乙 两 校 得 二 等 奖 的 总 人 数 占 份 ， 其 中 甲 占
份，乙占 份。
甲校三等奖人数占 份，所以，甲校一等奖人数占 份。
乙校一等奖人数为 份。乙校三等奖人数为 份。
乙校三等奖人数占该校获奖总人数的
8、如果单独完成某项工作，甲需24天，乙需36天，丙需48天。现在甲先做，乙后做，
最后由丙完成。甲、乙工作的天数比为1︰2，乙、丙工作的天数比为3︰5。问：完成
这项工作一共用了多少天？
【分析】甲的工效为 ，乙的工效为 ，丙的工效为 。
甲乙丙工作天数的连比为3:6:10。
则 ， 甲 工 作 3 天 ， 乙 工 作 6 天 ， 丙 工 作 10 天 可 以 完 成 总 工 程 的
。
那么要完成整个工程，需要甲工作6天，乙工作12天，丙工作20天，共38天。
9、已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同，猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同。
而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同，猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同。求
猫、狗和兔的速度之比。
【分析】设猫5步的路程为“1”，则
猫1步的路程为 ；狗1步的路程为 ；兔1步的路程为
设猫3步的时间为“1”，则猫1步的时间为 ；狗1步的时间为 ；兔1步的时间为
速度=路程/时间
所以猫速：狗速：兔速=
10、星期天早晨，哥哥和弟弟都要到奶奶家去。弟弟先走5分钟，哥哥出发25分钟后追上
了弟弟。如果哥哥每分钟多走5米，出发20分钟后就可以追上弟弟。问：弟弟每分钟
走多少米？
【分析】依题意，弟弟走 30 分钟的距离，哥哥走了 25 分钟。哥哥速度是弟弟的
。
哥哥速度增加5米/分钟后，弟弟走25分钟的距离，哥哥走了20分钟。哥哥速度是弟弟的
。哥哥速度增加弟弟速度的 ，是5米/分钟。
所以弟弟的速度为 米/分钟。
11、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶 1个小时候，将车速提高五
分之一，就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提
高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到。问：这支解放军部队一共需要行多少
千米？
【分析】将车速提高 ，所需时间减少 。实际少用了 小时，所以，原
预计用时 小时。
如将车速提高 ，所需时间减少 。实际少用了 小时，所以，剩余部分
路程预计用时 小时。所以，72千米是原速度1小时行驶的路程。
一共要行驶 千米。
12、一项工作有甲、乙两人合作，恰可在规定时间内完成。如果甲效率提高三分之一，则只需用规定时间的 即可完成；如果乙效率降低四分之一，那么就要推迟75分钟才能
完成。请问：规定时间是多少小时？
【分析】设甲效率为x，乙效率为y，则 ， 。
设甲效率为3份，乙效率为2份。则甲乙总效率为5份。
当乙效率降低 ，乙效率变为1.5份，甲乙总效率为4.5份。
需比以前多用 的时间。实际多用了75分钟，所以规定时间是 分钟
= 小时。
超越篇
1、甲、乙两人分别同时从 、 两地开始，修建一条连接 、 两地的公路，并按修路
的
距离分配240万元工程款。如果按原计划，甲应分得100万元。而在实际施工的时候，
乙每天比原计划多修1千米，结果乙实际分得了150万元。那么乙队实际施工时，每天
修多少千米？【分析】原计划，甲分100万元，乙分140万元。即乙工作效率是甲的 。
乙提高效率后，乙分150万元，甲分90万元。即乙工作效率是甲的 。
乙的效率提高了甲的： ，实际乙效率提高了1千米/天，
所以甲的效率是 千米/天。乙的实际效率是 千米/天。
2、孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面比例互换：仙桃与甜饼为
3：5，仙桃与泡泡糖为3：8，甜饼与泡泡糖为5：8。现孙悟空共拿出39个仙桃分别与
其他两位互换，机器猫共拿出甜饼90个与其他两位互换，米老鼠共拿出88个泡泡糖与
其他两位互换。请问：米老鼠与孙悟空和机器猫各交换泡泡糖多少个？
【分析】仙桃：甜饼：泡泡糖=3:5:8。
则39个仙桃可兑换13次；90个甜饼可兑换18次；88个泡泡糖可兑换11次。
若设仙桃与甜饼之间兑换了a次，仙桃与泡泡糖之间兑换了b次，甜饼与泡泡糖之间兑换
了c次，则：
所以，仙桃与泡泡糖之间兑换了3次，甜饼与泡泡糖之间兑换了8次。
即米老鼠与孙悟空之间交换了24个泡泡糖，米老鼠与机器猫之间交换了64个泡泡糖。
3、有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知：
①第一包糖的粒数是第二包糖的 ；
②在第一包糖中，奶糖占25%，在第二宝糖中，水果糖占50%；
③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍。当两包糖
混合在一起时，巧克力糖占28%。
求第一包与第二包中水果糖占所有糖占所有糖的百分比。
【分析】设第一包有糖4份，第二包有糖6份。
则，第一包有奶糖 份，第二包有水果糖 份。
第一包巧克力的百分比是第二包的二倍，则，第一包巧克力糖的粒数是第二包的 。
两包共有巧克力 份。所以第一包有1.6份，第二包有1.2份。于是第一包有水果糖： 份。
两包共有水果糖 份。水果糖占所有糖的比例为 。
4、某工地用三种型号的卡车运送土方。已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 10：7：
6，
速度比为3：4：5，运送土方的路程之比为15：14：14，三种车的辆数之比为10：5：
7。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 10天后，
另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务。求甲种车完成的工作量与总工作
量之比。
【分析】一半甲车工作10天，所有甲车工作15天，相当于 的甲车25天一
直工作。
相 当 于 三 种 车 辆 数 之 比 为 8:5:7 。 因 此 ， 三 车 工 作 量 之 比 为 ：
。
所以，甲车的工作量与总工作量之比为， 。（解析可能有误）
5、在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距 50米的 、 两地，相背出发，相
遇后，乙返回，甲方向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之
一。当乙回到 地时，甲刚好回到 地，此时他们都按现有速度与方向前进。请问：
当甲再次追上乙时，甲（从开始出发算起）一共走了多少米？
【分析】相遇前相遇后，乙走的路程相同，而乙相遇后速度变为原来的 ，所以用
时为原来的 。
甲相遇后速度为原来的 ，所以相遇后所走路程为原来的 。
甲两次共走了跑道全程，所以相遇时甲走了 米，乙走了
米。
提速后，甲走了240米，乙走了190米。现在甲要超越乙，需比乙多走440米，则甲超过
乙时走了 米，加上之前走的一整圈，甲共走了米。
6、将 、 两种细菌分别放在两个容器里。在光线亮时 细菌的分裂速度要下降40%，
细菌的分裂速度反而提高10%。现在两种细菌同时开始分裂并同时分裂完毕，试问：
在分裂过程中，光线暗的时间有多少小时？
【分析】A 细菌在光亮处分裂效率为每小时 ，黑暗处分裂效率为每小时
；
B细菌在光亮处分裂效率为每小时 ，黑暗处分裂效率为每小时 。
现已知两细菌同时分裂完毕，设光亮时间为x小时，黑暗时间为y小时，建立方程：
所以光线暗的时间为6小时。
7、某大学本科共有四个年级，男生总人数和女生总人数的比为7：5.又已知：
①一年级男生和二年级女生的比是3：2，二年级男生和一年级女生的比也是3：2；
②三年级和四年级的人数相等，且三年级男生比四年级女生多100人；
③三、四年级男生与女生的比为6：5；
④二年级的男生占学生总数的24%。
请问：一年级男生和女生的人数分别是多少？
【分析】三四年级人数相等，且三年级男生比四年级女生多 100人，所以四年级男生比三
年级女生也多100人。三四年级男生比女生多200人；男女比为6:5（差倍问题）。可算出，
三四年级有男生1200人，女生1000人。
一年级男生：二年级女生=二年级男生：一年级女生=3:2，所以一二年级男女比为3:2。
设一二年级男生有3x人，女生2x人，则， ，解得 。
四个年级学生总数为 人。
二年级男生 人，一年级女生 人，一年级男生
人。8、如图所示， 、 、 、 、 、 是六个齿轮。其中 和 互相咬合， 和 互相
咬合， 和 、 和 也都互相咬合；而 和 也是同轴的两个齿轮，也就是说 和
转动的圈数始终相同。当 转了7圈时， 恰好转了5圈，当 转了8圈时， 恰
好转了9圈；当 转了5圈时， 和 恰好共转了28圈。请问：
（1）如果 、 转的总圈数总是和 、 转的总圈数相同，那么当 、 共转了100
圈时， 转了多少圈？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数）
（2）如果 、 的总齿数和 、 的总齿数相等， 的齿数是 的齿数的2倍，那么
当 转了210圈时， 和 分别转了多少圈？
【分析】
设C转5圈时，B转了5x圈，则E转了28-5x圈，A转了7x圈，F转了 圈。
（1）依题： ，
解得， 。
于是，C转5圈时，B转了 圈，则E转了 圈，A转了 圈，F转了24圈。A、F共
转了 圈。
所以A、F共转100圈时，C、D都转了15圈。
（2）设C有a齿，则D有2a齿。则A有 齿，B有 齿，E有 齿，F有
齿。建立方程。
，解得， 。于是，C转5圈时，B转了 圈，则E转了 圈，A转了 圈，F转了 圈。A
转 了 210 圈 时 ， C 、 D 转 了 圈 。 F 转 了
圈。
