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2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
高组B 卷）
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）
1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线
互相平行．
A．0 B．2 C．3 D．4
2．（10分）在下列四个算式中： ÷ ＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表0～9中的
不同数字，那么两位数 不可能是（ ）
A．54 B．58 C．92 D．96
3．（10分）淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七
个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪
下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）
A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高
C．两种剪法利用率一样 D．无法判断
4．（10分）小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上
午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（ ）分
钟．
A．14 B．15 C．16 D．17
5．（10分）甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁，几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是
16岁，又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），如果甲乙丙
丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ）种情况．
A．4 B．6 C．8 D．10
6．（10分）有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数
2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张．他们各说了一句话：
甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍
第1页（共10页）数”
乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍
数”
丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍
数”
丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍
数”
已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题（每小题10分，满分40分．）
7．（10分）算式1007× ÷19 的计算结果是 ．
8．（10分）海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，
它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的
一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，
于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴
子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将
剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有
个．
9．（10分）甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时从B地出发匀速走向A地．出
发后20分钟甲与丙相遇，相遇后立即调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地．
结果当甲走到B地时，乙恰走过A、B两地中点105米，而丙离A地还有315米．甲的速度
是乙的速度的 倍，A、B两地间的路程是 米．
10．（10分）从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组
成的等差数列中包含1的有 种取法；总共有 种取法．
第2页（共10页）2014 年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小高组 B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的）
1．（10分）平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线
互相平行．
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】这道题考查的是大家对于平面直线分割的考查，因为所给的直线比较少，因此用
找规律的方法来做比较简单．
【解答】解：这道题问的是至多有几条直线平行，现在总过四条直线，那么最多4条线平行，
而此时最多只能分成5个部分，那么我们再考虑三条直线的情况，此时只要画成“丰”字
形，就可以得到八个平面，成立，
故选：C．
2．（10分）在下列四个算式中： ÷ ＝2，E×F＝0，G﹣H＝1，I+J＝4，A～J代表0～9中的
不同数字，那么两位数 不可能是（ ）
A．54 B．58 C．92 D．96
【分析】因为E×F＝0，所以EF中至少有一个为0，另一个可以是任何数；又因为I+J＝4，
所以I和J有一个是3，有一个是1；又因为A～J代表0～9中的不同数字，而G﹣H＝1，
分以下情况讨论： GH是9，8时 GH是8，7时 GH是7，6时
GH是6， 5时①GH是5，4时，②据此解答即可．③
【④解答】解：由⑤条件可知：E、F中至少有一个为0，假设E为0；另一个可以是任何数；I和J
有一个是3，有一个是1；那么0～9中的数字
还剩下2、4、5、6、7、8、9；
因为：G﹣H＝1
GH是9，8时
①则54÷27＝2
此时F＝6
GH是8，7时
② 第3页（共10页）则92÷46＝2
此时F＝5
GH是7，6时
③则58÷29＝2
此时F＝4
G、H是6，5
④此时不满足条件
时G、H是5，4时，
⑤此时不满足条件
所以两位数 可能是54、58、92；不可能是96
故选：D．
3．（10分）淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七
个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪
下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）
A．淘气的剪法利用率高 B．笑笑的剪法利用率高
C．两种剪法利用率一样 D．无法判断
【分析】要求两个人的利用率情况，因为淘气是用正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲）
笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），假设正方形的边长是9厘米，则能
求出圆的面积，进而再比较即可．
【解答】解：设正方形的边长是9厘米，
则正方形的面积是：9×9＝81（平方厘米）
第4页（共10页）淘气：圆的半径是9÷2＝4.5（厘米）
用的材料的面积是3.14×4.52
＝3.14×20.25
＝63.585（平方厘米）；
63.585÷81
＝0.785
＝78.5%；
笑笑：大圆的直径是9厘米，
小圆的半径是9÷3÷2＝1.5（厘米），
3.14×1.52×7
＝3.14×2.25×7
＝49.455（平方厘米）；
49.455÷63.585
≈0.778
＝77.8%；
78.5%＞77.8%．
答：淘气的利用率高．
故选：A．
4．（10分）小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上
午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（ ）分
钟．
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】首先分析是快慢钟的问题，根据路程之间是成比例即可求解．
【解答】解：依题意可知：
上午十点对号表，标准钟每小时走60格，小华的表快4分是64格．路程比例为15：16．
当小华的表为下午2点时，小华的表走了4圈共240格．
根据比例关系设标准钟走的路程为x则有：15：16＝x：240，解x＝225．
240﹣225＝15（分）
故选：B．
5．（10分）甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁，几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是
第5页（共10页）16岁，又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），如果甲乙丙
丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ）种情况．
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】已知四个人今年的年龄之和是72岁，几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是16岁，
当甲是19岁时，则乙13岁，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），因为此时是至少4
年前，所以4个人的年龄和不超过72﹣4×4＝56（岁），设此时丁的年龄是x岁，丙的年龄
是3x岁，则19+13+x+3x≤56，解得x≤6，又知道x≥1，所以丁的年龄有6种情况，如果甲
乙丙丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有6种情况．
【解答】解：至少一年前，甲是22岁时，乙是16岁，
当甲是19岁时，则乙13岁，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁），
因为此时是至少4年前，所以4个人的年龄和不超过72﹣4×4＝56（岁），
设此时丁的年龄是x岁，丙的年龄是3x岁，
则19+13+x+3x≤56
4x+32≤56
4x≤24
x≤6
又知道x≥1，所以丁的年龄有6种情况，
由于甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，所以今年甲的年龄可以有6种情况．
故选：B．
6．（10分）有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数
2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张．他们各说了一句话：
甲：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 8 的倍
数”
乙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是 9 的倍
数”
丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍
数”
丁：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 11 的倍
数”
已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
第6页（共10页）【分析】如果甲是真的，则甲的卡片为5和2，乙无论是哪张卡片，一定是真的，如果丙是真
的，则丙的卡片为5和0，如果丁是真的，则丁的卡片为0和3，通过观察可以发现丙与甲
两个人均矛盾个，不难找到说谎的人．
【解答】解：根据分析，如果甲是真的，则甲的卡片为5和2；
乙无论是哪张卡片，一定是真的；
如果丙是真的，则丙的卡片为5和0；
如果丁是真的，则丁的卡片为0和3；
通过观察可以发现丙与甲和丁两个人均矛盾，
故说谎的人是丙．
故选：C．
二、填空题（每小题10分，满分40分．）
7．（10分）算式1007× ÷19 的计算结果是 4 ．
【分析】先把上面的带分数化成假分数，把1007分成19×53，然后再进行约分和运算
【解答】解：根据分析
＝
＝
＝
＝19×
＝1×4
＝4
故答案为：4
8．（10分）海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，
它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的
第7页（共10页）一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，
于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴
子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将
剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有 25 3
个．
【分析】还原问题需要画出倒推图，发现每一次都是除以4余数是1的数，那么考虑凑成整
数倍先给三个．发现了数字规律第四只猴子满足是4的倍数，3猴是16的倍数，依此类推
即可求解．
【解答】解：至少有多少个，就从最少的开始分析，每一次猴子来的时候的数字都是除以4
余数是1的．从四猴开始倒推．
每一次拿走 ，剩余的是 ．余数都是1．那么我在第四只猴子来的时候先考虑给他3个凑
成4的整数倍．
第三只猴子的总数比原来也多3个也是4的整数倍，那么要求第三只猴子来的时候要求
是4×4＝16的整数倍．
第二只猴子的总数比原来也是多3个，也构成4的整数倍．那么要求第二只猴子来的时候
要求是4×4×4＝64的整数倍．
第一只猴子的总数也比原来多3个同样是4的整数倍．那么要求第二只猴子来的时候要
求是4×4×4×4＝256的整数倍．
因为要求原来至少是256﹣3＝253个
故答案为：253
9．（10分）甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时从B地出发匀速走向A地．出
发后20分钟甲与丙相遇，相遇后立即调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地．
结果当甲走到B地时，乙恰走过A、B两地中点105米，而丙离A地还有315米．甲的速度
是乙的速度的 3 倍，A、B两地间的路程是 189 0 米．
【分析】（1）30分钟之内，甲向前走了2份路程，又向后走了1份路程，一共走了3份路程，
而乙只走了2﹣1＝1（份）路程；然后根据速度×时间＝路程，可得时间一定时，速度的比等
第8页（共10页）于它们行驶的路程的比，求出甲的速度是乙的速度的多少倍即可；
（2）根据甲的速速是乙的速度的3倍，当乙走过AB中点105米时，如果甲不曾回头，则甲
应该共行：3个半程+315米；即比一个全程多行1个半程+315米，即甲遇丙回头遇到乙再
回来甲丙相遇点的20分钟可走1个半程+315米；所以甲与丙相遇时，甲已行了1个半程
+315米，而丙行了1个半程﹣315米；后来，甲如果不停留，共行3个半程+315米时，丙行
了2个半程﹣315米；甲丙相遇后，甲行了2个半程，丙行了1个半程；那甲的速度是丙的
2倍；即甲丙相遇时，甲行了全程的 ，比1个半程多315米，据此求出A、B两地间
的路程即可．
【解答】解：（1）甲的速度是乙的速度的：
（2+1）÷（2﹣1）＝3（倍）；
（2）当乙走过AB终点105米时，甲行的路程比比一个全程多行1个半程+315米，
甲丙相遇时，甲行了全程的 ，
所以A、B两地间的路程是：
315
＝
＝1890（米）
答：甲的速度是乙的速度的3倍，A、B两地间的路程是1890米．
故答案为：3、1890．
10．（10分）从 1，2，3，…，2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组
成的等差数列中包含1的有 6 种取法；总共有 549 0 种取法．
【分析】易知要形成等差数列，那么315个数中有314个公差，公差最小是1；公差最大是
6，接下来分类讨论即可解决问题．
【解答】解：要形成等差数列，那么315个数中有314个公差，公差最小是1；公差最大是
6，
理由：314×6＝1884＜2014＜314×7＜2205；
含有1的只有6种；
公差为1的有：2014﹣（315﹣1）＝1700种；
第9页（共10页）公差为2的有：2014﹣（2×314﹣1）+1＝1386种；
公差为3的有：2014﹣（3×314﹣1）+1＝1072种；
公差为4的有：2014﹣（4×314+1）+1＝758种；
公差为5的有：2014﹣（5×314+1）+1？444种；
公差为6的有：2014﹣（6×314+1）+1＝130种；
共有1700+1386+1072+758+444+130＝5490种．
故答案为6，5490
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:49:38；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
