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平面几何课后习题（二）解析
1-5CBAAB
6-10CCCDA
11-15ACBAA
1. 在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用 28米
长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC两边。图中的P为一棵直径
为1米的树，其与墙CD、AD的最短距离分别是14米和5米，若要将这棵树围在
花园内，则花园的最大面积为多少平方米？
A.187 B.192 C.195 D.196
解析：因为BC+BA=28米，所以矩形ABCD周长固定为2×28=56米。要花园面积
尽量大，则需要矩形ABCD尽量长宽相等即BC=AB=14米。而P离CD最短距离为
14米，其直径为1米，所以BC长度至少为15米，此时AB长度为13米。最大
面积=15×13=195平方米。
故正确答案为C。
2. 如下图所示，某条河流一侧有 A、B两家工厂，与河岸的距离分别为 4km和
5km，且A与B的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河
岸1km处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接 A、B两家工厂。假定河
岸是一条直线，则排污管道总长最短是：
A.12km B.13km C.14km D.15km解析：如上图所示，过污水处理厂做河岸的平行线 HC，D为A关于HC的对称点，
则最短距离为DB，由题污水厂离河1km可得A点距离HC为HA=4-1=3km，所以
DH=HA=3km，B 点距离 HC 等于 5-1=4km，则 DE=3+4=7km，而 EB2=AB2-AE2=121-
1=120，所以 BD2=DE2+EB2=49+120=169，所以 BD=13km。所以 AC+CB 最短距离等
于13km。
故正确答案为B。
3. 如图所示，ABCDEF是一个边长为2的正六边形，圆O是∆ACE的内切圆，则
圆O的面积是（ ）。
A.π
B.2π
C.5π/4
D.3π/2
解析：如上图连接OF交AE于G，因为ABCDEF是正六边形，所以∆AOF是正三角
形。因为圆O是∆AEC的内切圆，所以OG⊥AG，而正三角形中线与垂线合一，所
以G也是OF的中点，OG=1/2×AF=1，即圆O的半径为1，所以面积为π。
故正确答案为A。4. 在下图中，三个圆的半径分别为 1厘米、2厘米、3厘米 ，AB和CD垂直且
过这三个圆的共有圆心O。图中阴影部分面积与非阴影部分的面积之比是多少？
A.11：7 B.10：7 C.12：5 D.13：6
解析：由内至外记为三个圆 1、圆2、圆3，则S1=π，S2=4π，S3=9π，所以
中间一圈面积为4π-π=3π，最外圈为9π-4π=5π。所以最内圈阴影面积为
π/4，中间圈阴影面积为3π/2，最外圈阴影面积为5π×3/4=15π/4，阴影部
分总面积为π/4+3π/2+15π/4=11π/2，剩下面积为9π-11π/2=7π/2，所以
面积比为11：7。
解析二：由内至外三个圆半径比为1：2：3，所以面积比为1：4：9，所以赋值
最内部圆面积为 1，则中间圈为 3、最外圈为 5，阴影部分面积为
1/4+3/2+15/4=11/2，剩余部分面积为9-11/2=7/2，所以面积比为11：7
故正确答案为A。
5.一个圆形的人工湖，直径为50公里，某游船从码头甲出发，匀速直线行驶30
公里到码头乙停留36分钟，然后到与码头甲直线距离为50公里的码头丙，共
用时2小时。问该游船从码头甲直线行驶到码头丙需用多少时间？
A.50分钟 B.1小时 C.1小时20分 D.1小时30分
解析：因为甲丙=直径，所以甲乙丙形成一个以乙处为直角的直角三角形，根据
勾股定理，乙丙=40km。而游船从甲→乙→丙路程为 30+40=70km 用时为
120min-36min=84min，所以甲→丙50km路程需要84×50/70=60min。
故正确答案为B。
6.一个圆形牧场面积为3平方公里，牧民骑马以每小时18公里的速度围着牧场
外沿巡视一圈，约需多少分钟？A.12 B.18 C.20 D.24
解析：πr2=3，所以r=√（3/π），所以周长为 2πr=2√（3π），牧民速度
为 18km/h，所以一圈需要 2√（3π）×60/18min=20√（3/π）≈20√
（3/3.14159）≈20分钟。
故正确答案为C。
7.如下图所示，在一个边长为 8米的正方形与一个直径为 8米的半圆形组成的
花坛中，阴影部分栽种了新引进的郁金香，则郁金香的栽种面积为多少平方米：
A.4+4π
B.4+8π
C.8+8π
D.16+8π
解析：从最高点 A 作 CD 垂线交于 B。阴影部分面积=总面积-S∆ABC-S 梯形
ABDE=8×8+1/2×π×42-1/2×4×12-1/2× （ 12+4 ） ×4=64+8π-24-
32=8+8π。
故正确答案为C。
8. 某疫苗共需接种2剂次方可达到最佳效果。A市的接种人数占比统计如下图
所示，其中，区域“0”表示尚未接种，区域“1”表示只接种 1 剂次，区域
“2”表示已接种2剂次。假设ABC是四分之一圆面，D、E是中点，BDFE是正
方形，则该市某疫苗只接种1剂次的人数占比：A.超过40%但不到50% B.刚好50%
C.超过50%但不到60% D.超过60%
解析：赋值扇形半径为 2，则BE=EC=BD=DA=1，则区域0面积为1×1=1，区域2
面积为 1/2×1×1=1/2，区域 1 面积=总面积-区域 0-区域 2=1/4×π×4-1-
1/2=π-3/2，所以区域1占比为（π-3/2）/π≈1.64/3.14≈52%。
故正确答案为C。
9. 正方形水池ABCD的边长为80米。E点在AB边正中的正北30米处，F点在C
点东偏南45°方向，F点到C点距离为40√2米。甲从E点出发前往F点，问他
的最短行进距离比途经D点的最短行进距离短多少米？
A.30
B.50
C.40√2
D.80
解析：从 E 前往 F 最近距离=EB+BF。因为 ED⊥GB，根据勾股定理，
EB2=EG2+GB2=302+402=2500,所以 EB=50。因为∠ FCH=45°，FH⊥CH，所以
FH=CH=40√ 2/√ 2=40 米 ， 所 以 BH=120 米 ， 根 据 勾 股 定 理 ，
BF2=BH2+FH2=14400+1600=16000，所以 BF=40√10米，所以 E前往 F最近距离
=EB+BF=50+40√10米。
从E经过D点前往F最近距离=EA+AD+DF，因为对称性，所以EA=EB，FD=FB，所
以从E经过D点前往F最近距离=50+80+40√10米。
所以前者比后者短80米。
注：观察到EA=EB、FD=FB的情况后，即可判断出前者比后者少走一段AD，可以
直接秒选D选项。
故正确答案为D。
10.把一头羊用10米长的绳拴在一个长方形小屋外的墙角处，小屋长 9米宽7
米，小屋周围都是草地，羊能吃到草的草地面积为（ ）平方米。
A.155π/2
B.229π/4
C.75π
D.309π/4解析：如图所示，长方形小屋为矩形 ABDC，羊被绳栓在C点。则羊所能吃到草
的面积包括以C为圆心的圆的3/4，与以A和D为圆心的圆的1/4，其他区域的
草 均 不 能 吃 到 。 则 所 能 吃 到 草 的 面 积
=3/4×π×102+1/4×π×32+1/4×π×12=155π/2。
故正确答案为A。
11.一条东西向的河流，水流自西向东，速度为 10公里/小时，现有摆渡船从南
岸的A点出发，要开往正北方向的位于北岸的 B点，已知船速为20公里/小时，
则摆渡船往 方向行驶，可以保证船能够向正北方向航行。
A.北偏西30度 B.西偏北45度 C.东偏北30度 D.北偏东45度
解析：如上图所示，水速自西向东，则船速需要向西抵消水速的影响，AC表示
船速，CO表示水速，AO为正北方向实际船速。已知AC=20km/h，CO=10km/h，因
此sin∠CAO=10/20=1/2，所以∠CAO=30°，所以需要向北偏西30°的方向行驶。
故正确答案为A。
12.一个半径300米的圆形湖泊中有一个半径100米的圆形人工岛，该人工岛的
中心在湖泊中心的正西方150米处。甲从湖正北的A点开船出发，绕行人工岛
西侧到达正南的B点。如果保持最短路线行驶，那么行驶多少米后甲到达人工
岛的岸边？
A.150√5-100
B.300
C.50√41
D.200√3解析：要保持最短线路，则路线需要与人工岛相切，形成AC切线、CD弧线、DB
切线的最短路径。根据勾股定理，AM2=MO2+AO2=1502+3002，所以 AC2=AM2-
MC2=1502+3002-1002=102500，所以AC=√102500=50√41。
故正确答案为C。
13.设矩形ABCD，长与宽分别为6米和4米，分别以AB的中点E和顶点A为圆
心，3米和4米为半径画圆弧，如图所示，那么两阴影部分的面积之差是多少平
方米？
A.1.87 B.2.69 C.3.49 D.4.42
解析：根据容斥原理，总面积=6×4=24=扇形1+扇形2-扇形重叠阴影部分+扇形
外阴影部分。所以 24=1/4×π×16+1/2×π×9-S1+S2=8.5π-S1+S2≈26.69-
S1+S2，所以S1-S2=26.69-24=2.69。
故正确答案为B。
14.大江两岸有两个正面相对的码头，可供客轮往返。如下图所示，根据河流水
文情况，“幸福号”客轮星期一沿着河岸60度夹角方向前行，刚好达到对岸码
头；星期二“幸福号”准备返回时，发现河流水文情况发生变化，船长调整航
向，沿河岸 30度夹角方向返回，顺利到达码头。假设客轮往返速度均是 V千
米/小时，且行驶过程中河水流速是恒定的，问返程时河水流速是去程时的多少
倍？
A.√3
B.√3/3
C.1/2
D.2解析：由于船只垂直河流行驶，所以船速在河流方向上速度与水速正好抵消。
去程沿河岸夹角为 60°，所以去程∠EFD=90°-60°=30°；同理，返程
∠BAC=90°-30°=60°。则去程时水速V =船速V×sin30°=1/2×V；返程时水
1
速V =船速V×sin60°=√3/2×V，所以返程时水流速度V 是去程时水流速度V
2 2 1
的√3倍。
故正确答案为A。
15.工厂有一种测量中控工件内径的方法，就是用半径为 R的钢珠放在圆柱形
内孔上，只要测得钢珠顶端与工件顶端面之间的距离 X，就可以求出工件内孔
径（如下图所示）。已知X=5cm，R=3cm，那么该工件内径的直径是（ ）。
A.2√5cm
B.√5cm
C.√10cm
D.4cm
解析：如图所示，连接钢珠与圆柱内径的交点A、B，连接钢珠的圆心O与点
B，连接钢珠的最高点C与圆心O，并延长交AB于点D，则三角形ODB为直角三
角形。OC、OB 为钢珠的半径，OC=OB=3cm，OD=5-3=2cm。根据勾股定理，
BD2=OB2-OD2=9-4=5，所以BD=√5，所以工件内径为AB=2√5cm。故正确答案为A。
