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2024 学年第一学期广州四中教育集团期中考试试题
九年级 数学
第Ⅰ卷
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项项分析即可解答．
【详解】解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，灵活运用相关概念成为解答本题的关键．
2. 抛物线y=(x+2)2-3的对称轴是（ ）
A. 直线 x=2 B. 直线x=-2 C. 直线x=-3 D. 直线x=3
【答案】B
【解析】
【详解】试题解析：在抛物线顶点式方程 中，抛物线的对称轴方程为x=h，
∴抛物线的对称轴是直线x=-2，
故选B.
3. 如图，将 AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到 ，若∠AOB＝25°，则 的度数是（
△
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A. 25° B. 35° C. 40° D. 85°
【答案】B
【解析】
【分析】根据 绕点O按逆时针方向旋转60°后得到 ，可得 ，然后根据
，可以求出 的度数．
【详解】∵ 绕点O按逆时针方向旋转60°后得到 ，
∴ ，
又∵
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．
4. 将一元二次方程 配方后得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把 移到方程的右边，然后方程两边都加 16，再把左
边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：方程 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司配方得 ，
即 ．
故选A．
5. 如图，线段 是 的直径， 于点 E，若 长为 16， 长为 6，则 半径是（
）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】连接 ，由垂径定理可得 ，由勾股定理计算即可获得答案．
【详解】解：如图，连接 ，
∵线段 是 的直径， 于点E， ，
∴ ，
∴在 中，可有 ，
∴ 半径是10．
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键．
6. 某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，
设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. 80（1+x）2=100 B. 100（1﹣x）2=80 C. 80（1+2x）=100 D. 80（1+x2）=100
【答案】A
【解析】
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加
到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量 的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年
和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
7. 若二次函数 的图象的对称轴是经过点 且平行于 轴的直线，则关于 的方程
的解为（ ）．
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【详解】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
则− =− =2，
解得：b=−4，
∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0，
则(x−5)(x+1)=0，
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学科网（北京）股份有限公司解得：x=5，x=−1.
1 2
故选D.
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与x轴的交点
坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.
8. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别
式．
根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解
这个不等式即可．
【详解】解：方程 为一元二次方程，故 ，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴ 需满足 ，
解得： ，
∴ 的取值范围为 且 ，
故选：D．
9. 如图，在 中， ， 是内心， 是外心，则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角形内心的性质得到 ，则可计算出 ，然后利用圆周角定
理得到 的度数．
【详解】解：过点I分别作 ，如图
∵点I是 的内心，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
即
∴ ，
∵点O是 的外心，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内心，三角形的外心，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题关键是理解
三角形的内心的意义，三角形的外心的意义．
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学科网（北京）股份有限公司10. 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与 轴交于 A， 两点，若
，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 为任意实数，则
，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，依次分析4个命题：根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与 轴的交点即可判断
①；根据对称轴 ， ，可得 ， ，点 ，点 ，当 时，
即可判断②；根据对称轴 ，以及， 得 与 的关系，即可判断③；根据函数的
最小值是当 时， ，即可判断④，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，抛物线开口向上， ，
抛物线对称轴为直线 ，则 ，
抛物线与 轴交点在 轴下方，则 ，
故 ，①正确；
对于②，设抛物线对称轴与 轴交点为 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
∴ ，
即点 坐标 为，
∴当 时， ，
则有 ，②正确；
对于③，抛物线对称轴为直线 ，则 ，
，
，
，
，③错误；
对于④，当 时， 取最小值，
则对于任意实数 ，都有 ，即 ，④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二
次函数图象与系数的关系．属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11. 在平面直角坐标系中，点A(－1，3)关于原点对称的点A′的坐标是____________．
【答案】(1， )
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接写
出答案．
【详解】解：点A（-1，3）关于原点对称的点A′的坐标是（1，-3），
故答案为（1，-3）．
12. 将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移规律即可解答．
【详解】解：将抛物线 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移变换，掌握函数图像的平移规律“左加右减，上加下减”是
解答本题的关键．
13. 若 是关于 的一元二次方程 的一个根，则 的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把 代入原方程中得到 ，再根据 计算求解即可．
【详解】解： 是关于 的一元二次方程 的一个根，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为：2022．
14. 如图， 、 是 的切线，A、B为切点， 是圆O的直径，若 ，则 的度数
为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查切线的判定定理、切线长定理等知识，求得 是解题的关键．
由 、 是 的切线，A、B为切点，得 ，由切线的性质得 ，则
，求得 ，于是得到问题的答
案．
【详解】解：∵ 、 是 的切线，A、B为切点，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15. 如图，在 中， ， ， ．现在将 绕点 逆时针旋转至
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学科网（北京）股份有限公司，使得点 恰好落在 上，连接 ，则 的长度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质．由题意可得 是等边三角形，进一步可得
是等边三角形即可得出 的长度．
【详解】解： 中， ， ， ，
， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
．
是 旋转而成，
， ．
．
是等边三角形．
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为： ．
16. 如图，在边长为2的正方形 中，点E，F分别是边 上的动点，且 ，连接
，线段 和 相交于点G，连接 ，取 的中点H，连接 ，则线段 的最小值为
_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图：以 所在的直线为对称轴，作正方形 的对称正方形 ，可得 ，
证明 可得 ，即点G在以 为直径的圆上，从而可得 最短时，点G
在 上，利用勾股定理求得 ，继而求出 和 即可．
【详解】解：如图：以 所在的直线为对称轴，作正方形 的对称正方形 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵H为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴当 最短时， 最短，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点G在以 为直径的圆上，
∴当点G在 上时， 最短，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半的性质、三角形的三边关系及圆的性质等知识点，确定出 最小时点H的位置是解题关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程： ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程．
【详解】解： ，
，
则 或 ，
解得 ， ．
【点睛】本题主要考查因式分解法解方程，解题的关键是因式分解方程左边，然后解方程．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，
的顶点均在格点上，点 的坐标为 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）以点 为旋转中心，把 逆时针旋转 ，画出旋转后的 ；
（2）作出与 关于原点 对称的 ．
【答案】（1）图见解析；
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据网格的特点和旋转方式可确定 的位置，描出 ，并顺次连接 即可；
（2）关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，据此可得 的坐标，描出 ，并顺
次连接 即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求．
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知二次函数 的图象经过点 ， ．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请判断点 是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）
（2）点 不在这个二次函数的图象上
【解析】
【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求
函数解析式的一般步骤是解题的关键．
（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出 ，得到此二次函数的解析式；
（2）把 代入函数解析式计算，判断即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图象经过点 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
∴此二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时，
，
的
∴点 不在这个二次函数 图象上．
20. 已知关于 的方程 有两个实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）设方程两个实数根分别为 ， ，且 ，求实数 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系．
（1）根据方程有两个实数根，得到 ，求解即可，解题关键是熟
记结论“当 时，方程 有两个不等的实数根， 时，方程
有两个相等的实数根， 时，方程 无实数根”；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到 ， ，再根据 ，
整体代入得到关于 的方程，求解即可，解题关键是掌握方程 的根与系数关系的公式
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学科网（北京）股份有限公司“ ， ”．
【小问1详解】
解： 关于 的方程 有两个实数根，
，
解得： ．
【小问2详解】
解： 方程 的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，
整理，得 ，
解得 ， ，
，
．
21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为 的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．
（1）求证：AB＝AP；
（2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）详见解析；（2）PC＝ ．
【解析】
【分析】(1)利用等角对等边证明即可．
(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：(1)证明：∵C为 的中点，
∴∠BAC＝∠CAP，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠ACP＝90°，
∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°，
∴∠ABC＝∠P，
∴AB＝AP．
(2)解：如图，连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDP＝90°，
∵AB＝AP＝10，DP＝2，
∴AD＝10﹣2＝8，
∴BD＝ ，
∴PB＝ ，
∵AB＝AP，AC⊥BP，
∴BC＝PC＝ PB＝ ，
∴PC＝ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22. 某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；
而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设
该商品的销售单价为 元 ，每天销量为 件．
（1）当销售单价为11元时，平均每天可以销售______件商品； 与 的函数关系式为______，其中 的
取值范围是______；
（2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元?
（3）销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润 最大?最大利润是多少?
【答案】（1）18， ，
（2）商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元
（3）销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润 最大，最大利润是112元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准变量之间的关系，正
确列出关系式及一元二次方程是解此题的关键
（1）根据“当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件，而当销售单价每提高1元时，平均每天销量
将会减少2件”列出 与 的函数关系式即可；
（2）根据“每天获得100元的销售利润”列出一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先表示出 关于 的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案．
【小问1详解】
解： 当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件，而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减
少2件，
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学科网（北京）股份有限公司当销售单价为11元时，平均每天可以销售 （件）商品，
与 的函数关系式为： ，
销售单价不能超过12元，
，
故答案为：18， ， ；
【小问2详解】
解：设该商品的销售单价为 元，则每件商品的利润为 元，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
，
，
商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元；
【小问3详解】
解：根据题意得：
，
，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 最大，为 （元），
销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润 最大，最大利润是112元．
23. 如图， 是 的直径， 与 交于点 ， 平分 交 于点 ．
第21页/共30页
学科网（北京）股份有限公司为
（1）尺规作图：过点 作 ，垂足 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，
①求证： 是 的切线：
②连接 ，若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）画图见解析
（2）①证明见解析，②
【解析】
【分析】（1）以 为圆心，大于 到 的距离为半径画弧，得到弧与 的两个交点，再分别以这两
个交点为圆心，大于两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过这个交点与 作直线交
于 即可；
（2）①连接 ， 是半径，因此只需证明 即可，已知 ，因此可考虑证明
，通过等腰三角形的性质及角平分线的定义证明 即可；②如图，连接 ，
与 交于点 ，证明四边形 为矩形，可得 ， ，结合垂径定理可
得 ，再求解 ，从而可得答案.
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
①如图，连接 ，
，
，
平分角 ，
，
，
，
，
，
直线 是 的切线；
②如图，连接 ，与 交于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查的是作已知直线的垂线，等腰三角形的性质，平行线的性质，切线的判定，圆周角定理
的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键.
24. 平面直角坐标系 中，抛物线 与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当 时，y的最大值为3，求a的值；
（3）已知点 ， ．若线段 与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范
围．
【答案】（1） ，
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学科网（北京）股份有限公司（2） 或
（3） 或
【解析】
【分析】（1）令 可求点A坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴．
（2）根据抛物线开口方向及对称轴为直线 ，分类讨论 时y取最大值或抛物线顶点纵坐标为
最大值．
（3）由点P为顶点，点Q在直线 上运动，通过数形结合求解．
【小问1详解】
解：（1）令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ．
【小问2详解】
解：由（1）可知， ，
∴抛物线顶点坐标为： ，
①当 时，抛物线开口向上，
∵ ，
∴ 时， 为最大值，
第25页/共30页
学科网（北京）股份有限公司即 ，
解得 ．
②当 时，抛物线开口向下，
时，y取最大值．
∴ ，
解得 ．
综上所述， 或 ．
【小问3详解】
解：∵抛物线 的对称轴为 ．
设点A关于对称轴的对称点为点B，
∴ ．
∵ ，
∴点Q，A，B都在直线 上．
①当 时，如图，
当点Q在点A的左侧（包括点A）或点Q在点B的右侧（包括点B）时，线段 与抛物线只有一个公共点．
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学科网（北京）股份有限公司∴ 或 ．
∴ （不合题意，舍去）或 ．
②当 时，如图，当Q在点A与点B之间（包括点A，不包括点B）时，线段 与抛物线只有一个公
共点．
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
综上所述，a的取值范围为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合
的方法求解．
25. 已知，点 为等边三角形 所在平面内一点，
（1）如图①，点P在 外， ， ，求证： ；
（2）如图②，点P在 内， ，求 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图③，点P在 内，且 ， 为 上一点，连接 ，若
，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2） ；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明 即可；
（2）将 绕点 B 逆时针旋转 得 ，根据旋转的性质得 ， ，
，则 为等边三角形，得到 ， ，在 中， ，
， ，根据勾股定理的逆定理可得到 为直角三角形，且 ，即可得出答案；
（3）将 绕A逆时针旋转 ，得到 ，点P的对应点为E，连接 ，同理得 是等边
三角形，过点 C 作 平行于 ，交 的延长线于点 N，再利用 证明 ，得
，再证明 ，从而解决问题．
【小问1详解】
证明： 是等边三角形，
，
， ，
，
，
第28页/共30页
学科网（北京）股份有限公司；
【小问2详解】
解：∵ 为等边三角形，
∴ ，
将 绕点B逆时针旋转 得 ，连接 ，如图，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ；
【小问3详解】
证明：将 绕A逆时针旋转 ，得到 ，点P的对应点为E，连接 ，
同理可知， 是等边三角形，
第29页/共30页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
，
又
，
过点C作 ，交 的延长线于点N，则
又 ，
由旋转得，
∴
又 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴
∴ ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定
与性质等知识，利用旋转将分散条件集中到一个三角形中是解题的关键．
第30页/共30页
学科网（北京）股份有限公司
