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方法精讲－数量 2
（笔记）
主讲教师：杜岩
授课时间：2024.05.21
粉笔公考·官方微信方法精讲－数量 2（笔记）
1.代入排除法适用范围中的典型题型：________、________、________、
________。
2.当选项为________时，可优先考虑用代入排除法。
3.如果选项被排除之后只剩下____项时，代入____项即可得到答案。
4.使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：________、________、
________；若需直接代入时，需注意问法：________
5.在判定整除时，3和9是看________________，4是看_________，5是看
________。如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须________。进
行整除判定时，还可以使用________法。
6.已知 a、x 均为整数，若 y=ax+b，则________能被 a 整除；若 y=ax–b，
则________能被a整除。
7.比例型倍数特性的结论：若 A/B=m/n，则 A 是____的倍数，B 是____的倍
数，A±B是________的倍数。该结论的使用前提：A、B均为整数，且 m/n是_______
整数比。
8.在设方程的未知数时，一般设______不设______；若出现比例，可以设
_________；为了方便列式，也可以设________；为了避免陷阱，可____________。
9.不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，可用
________特性；如果系数与常数有公因子，可用________特性；系数尾数为____
或____时，可用________特性；如果都没有，还可以_______。
【注意】
1.代入排除法适用范围中的典型题型：年龄问题、余数问题、多位数问题、
不定方程问题（未知数的个数大于等式的个数）。代入之前，可以通过奇偶、尾
数、倍数特性排除不适合的选项。
2.当选项为一组数时（选项信息充分），可优先考虑用代入排除法。
3.如果选项被排除之后只剩下两项时，代入一项即可得到答案。比如选项为
A.2、B.3、C.4、D.5，根据答案是偶数，排除 B、D 项。之后剩下两项，代入一
个，比如 A 项是答案，代入 A 项，是答案直接选，如果先代入 C 项，不是答案，
1排除C项，选择 A项。
4.使用代入排除法时，优先考虑排除，常见的排除方法：奇偶、倍数、尾数；
若需直接代入时，需注意问法：最值倾向。问最大，从最大的开始代入，问最小，
从最小的开始代入。
5.在判定整除时，3和9是看各个位数之和，4是看末两位，5是看个位（个
位必须是 5 或者 0）。如果使用因数分解进行整除判定，分解后的数之间必须互
质。进行整除判定时，还可以使用拆分法。比如614/7看能否整除，可以先拆分
为一个 7的整数倍、比较大的数，614=630-16，630是7的倍数，16不是7的倍
数，则 614不是7的倍数。
6.已知 a、x均为整数，若 y=ax+b，则y-b能被a整除（比如分苹果，平均
每人10个还剩3个，则总数-3=10n，总数-3之后，看谁是10的倍数）；若y=ax-b，
则 y+b 能被 a 整除（比如分苹果，发现缺 3 个，则在原来总数基础上再买 3 个，
刚好被 10整除）。
7.比例型倍数特性的结论：若 A/B=m/n，则A是m的倍数，B是n的倍数，A
±B是m±n的倍数。该结论的使用前提：A、B均为整数，且m/n 是最简整数比。
8.在设方程的未知数时，一般设小不设大（避免分数）；若出现比例，可以
设份数（比如甲：乙=5：3，即 5x 和3x，甲是5份、乙是 3份）；为了方便列式，
也可以设中间项；为了避免陷阱，可求谁设谁。
9.不定方程在求解时，先排除，再代入。排除时，如果系数一奇一偶，可用
奇偶特性；如果系数与常数有公因子，可用倍数特性；系数尾数为 0或5时，可
用尾数特性；如果都没有，还可以代入。
第四节 工程问题
三量关系：总量=效率*时间
考查题型
1.给完工时间型（重点）
2.给效率比例型（重点）
3.给具体单位型（送分）
【注意】
21.三量关系：总量=效率*时间。如有100道题（总量），要求 5h做完（需要
完成的时间），则每小时做 20 道题（单位时间的工作量，为效率），100=20*5。
（1）时间一定，比如都做 1 小时，小明每小时做 20 道题，小王每小时做
30 道题，都做 1 小时，则小明做 20 道题，小王做 30 道题。时间一定，效率高
的人总量高，效率越高干得活越多。正比是同时增或者减。即时间一定，效率之
比=工作量之比。
（2）如总量一定，都是 100 道题，小明每小时做 20 道题，小王每小时做
10道题，则小明需要5h做完、小王需要 10h做完。效率越高用时越短，效率越
低用时越长，即总量一定，效率和时间成反比。
2.考查题型：
（1）给完工时间型（重点）：30%的几率考查。
（2）给效率比例型（重点）：50%的几率考查。前两种题型有自己的套路。
（3）给具体单位型（送分）：20%的几率考查。送分题，没有技巧性。
给完工时间型
【例】搬完一车砖，小帅需要 2小时，小美需要 3小时，现俩人合作，需要
多久？
①赋总量（完工时间的公倍数）
②算效率：效率=总量/时间
③根据工作过程列式计算
【注意】给完工时间型：
1.例：搬完一车砖，小帅需要 2小时，小美需要 3小时，现俩人合作，需要
多久？
答：不知道工作总量、效率，不好算。本题如果在小学，会要求大家设工作
总量为单位 1，则小帅的效率=1/2、小美的效率=1/3，两人合作的效率为 1/2+1/3。
合作的时间=总量/效率和=1÷（1/2+1/3）。这种方法计算比较繁琐，计算结果为
6/5。但如果考试中，给出的时间数字比较大，通分会浪费时间，且容易出错。
可以赋值总量为时间的公倍数，这样除以 2、3都能除尽。赋值工作总量为 2、3
的公倍数，赋值为6。小帅的效率=6/2=3、小美的效率=6/3=2。两人合作时间=6/
3（2+3）=6/5。
2.步骤：
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式计算。
3.给完工时间型工程问题，不会给总量和效率，只有完工时间。
最小公倍数：短除法
例：15和35
例：9和11
例：10和25和40
不用太纠结，实际做题中给的数字都一眼看出来；即使看不出来也可以直接
用乘积
【注意】最小公倍数：短除法。
1.例：15 和 35。提取 2 个数的所有公因子，先提出 5，还剩 3、7，3 和 7
两个数之间不存在公因子，则结束，外围所有数字相乘，为 5*3*7=105。
2.例：9和11。9和11互质，不存在公因子，则两个数直接相乘，9*11=99。
3.例：10和25和40。三个数短除法，先找三者之间的公因子，提出 5，还
剩 2、5、8，只有 2、8 有公因子，则提出 2，5 提不出来照抄，还剩 1、5、4，
此时三个数之间不存在公因子，外围数字相乘，5*2*1*5*4=10*20=200。
44.考试中时间宝贵，不建议在考场上用短除法，做题量大了，很多数字可以
一眼看出来，数量关系不太侧重计算，更多考思维。如果实在看不出来，也可以
直接用乘积。
【例 1】（2021 广东）为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工
程人员出国参与一个高铁建设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；
如果由乙队单独施工，则需要 300 天。甲、乙两队共同施工 60 天后，甲队被临
时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需多少天？
A.120 B.150
C.180 D.210
【解析】1.参与一项工程，为工程问题。甲的完工时间为 200天，乙的完工
时间为 300天，给出多个完工时间，工程问题三量关系：总量=效率*时间。其中
总量和效率都没有给出，只有时间，为给完工时间型工程问题。（1）赋总量：尽
量赋值为完工时间的公倍数，200和300的公倍数为600，赋值工作总量为 600。
（2）求效率：甲效率=600/200=3、乙效率=600/300=2。（3）再做题：甲乙合作
60 天+乙单独工作=工作总量，（3+2）*60+乙单独工作=600→乙单独工作的工作
量=300，乙单独工作的时间=300/2=150。问的是“由乙队单独完成剩余任务，则
完成该项目共需多少天？”，而不是问后面的时间需要多久，一共用的时间
=60+150=210 天，对应D项。【选 D】
【注意】工程常考陷阱：分几步工作时，问总时间，需要加上前面已经做的。
5【例 2】（2023 北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先
施工，用了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天。
则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A.10 B.15
C.16 D.20
【解析】2.干活，为工程问题。“甲工程队先施工，用了15 天完成了一半”，
则甲队完成工作需要 30天。“剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9天”，
只需要 15-9=6天完成剩余的一半，说明甲乙合作完成所有工作需要 12天。工作
总量、效率都未知，只知道完工时间，为给完工时间型工程问题。（1）赋总量：
30和12 的公倍数，公倍数一定是 30的整数倍、12的整数倍，30的倍数一定是
整十的数，要找公倍数，至少要找 12的整数倍且是整十的数，60是12的5倍，
同时是 30 的整数倍，则公倍数为 60。（2）求效率：甲效率=60/30=2，甲+乙的
效率=60/12=5，则乙效率=5-2=3。（3）再做题：总工作量/乙效率=60/3=20 天，
对应D项。【选 D】
【例 3】（2021 四川下）某项工程，甲、乙、丙三个工程队如单独施工，分
别需要 12小时、10小时和8小时完成。现按“甲—乙—丙—甲„„”的顺序让
三个工程队轮班，每队施工 1 小时后换班，则该工程完成时，甲工程队的施工时
间共计：
A.2 小时54分 B.3小时
C.3 小时54分 D.4小时
【解析】3.工程的工作量和效率都不知道，但给了三个完工时间，为给完工
时间型工程问题。（1）赋总量：12、10、8的公倍数，出现整十的数，整数倍一
定是整十的数，12 的整十倍是 12*5=60，8 的整十倍为 8*5=40，变为 60、10、
40，公倍数为120（找240也可以），赋值总量为120。（2）算效率：甲效率=120/12=10，
乙效率=120/10=12，丙效率=120/8=15。（3）再做题：轮流交替工作，（甲乙丙）
三小时一组循环，每3小时一轮，每个 3小时内，甲、乙、丙各承担 1小时的工
作。一个周期内的工作量=10+12+15=37，120/37=3个周期„„9个工作量，3个
完整周期后，甲作为第四个周期的第一个人工作，甲每小时可以做 10个工作量，
69个工作量甲用不到 1小时。三个周期，甲每个周期工作 1小时，共 3小时，最
后 9 个工作量，用不到 1 小时，结果为 3 小时多（3～4 小时之间），对应 C 项。
【选C】
【注意】如果计算最后的工作时间，9/10（小时）*60（单位转化）=54 分
钟。
给效率比例型
【例】搬一堆砖，甲和乙的效率比为 2：1，合作 3 小时完成。现在，甲先
做2小时，然后再交给乙做，问乙需要做多少小时？
①赋效率（满足比例即可）
②算总量：效率*时间=总量
③根据题意完成工作
【注意】给效率比例型：
1.例：搬一堆砖，甲和乙的效率比为 2：1，合作 3 小时完成。现在，甲先
做2小时，然后再交给乙做，问乙需要做多少小时？
答：搬砖、干活，为工程问题。题目给出效率之比，直接根据效率比赋值，
默认甲效率=2、乙效率=1，则工作总量=（2+1）*3=9。再根据工作过程做题：2*2+
乙的工作量=9→乙的工作量=5，乙的工作时间=5*1=5。
2.步骤：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：效率*时间=总量。
（3）根据题意完成工作。
效率比例的三种形式
直接给：甲：乙=3：4；甲的效率是乙的 3/4
间接给：
①时间相同，效率与工作量成正比：甲完成50%总量所用的时间与乙完成 25%
总量的时间相同
7②工作量相同，效率与时间成反比：甲 4天的工作量等于乙 3天的工作量
给具体人数或机器数：
50 个人修路、30台机器收割麦子等
赋值每个人/每台机器效率为 1
【注意】效率比例的三种形式：
1.直接给：甲：乙=3：4，赋值甲效率为 3、乙效率为 4；甲的效率是乙的
3/4→甲=乙*3/4→甲/乙=3/4。
2.间接给：
（1）时间相同，效率与工作量成正比：甲完成 50%总量所用的时间与乙完
成 25%总量的时间相同。总量=效率*时间，都用 1 小时，甲完成 50%的总量、乙
完成25%的总量，时间相同，效率越高，干得活越多，总量是 2倍关系，则效率
也是2倍关系，效率和工作量成正比，50%/25%=2/1。
（2）工作量相同，效率与时间成反比：甲 4 天的工作量等于乙 3 天的工作
量。工作总量=效率*时间。甲的效率用甲表示、乙的效率用乙表示，则 4 甲=3
乙→甲/乙=3/4。或者根据工作量相同，效率和时间成反比，时间之比为 4：3，
则效率之比为 3：4。
3.给具体人数或机器数：50 个人修路、30 台机器收割麦子等，默认前提是
50个人每人效率相同，不然题目无法做，无法分析 50个独立个体。赋值每个人
/每台机器效率为 1。
【例 4】（2022联考）甲、乙二人合作计划 30天完成一项工程，甲的工作效
率是乙的 2倍。两人合作10天后，甲的效率提升 25%，乙的效率提升 50%。又合
作10天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。则最终工作比预计时间：
A.早 2天 B.晚2天
C.早 4天 D.晚4天
【解析】4.工程问题，“甲的工作效率是乙的 2倍”，给效率之比，甲/乙=2/1。
（1）赋效率：赋值甲效率为2、乙效率为1。“两人合作10天后，甲的效率提升
25%，乙的效率提升50%”，效率发生变化，甲的效率变为 2*1.25=2.5，乙的效率
变为1*1.5=1.5（如果赋值20 和10会更好，不存在小数点，但“.5”相对比较
8好算，如果是复杂的情况，扩大 10倍会更好）。（2）求总量：（2+1）*30=90。（3）
再做题：甲乙先合作10天+效率提升之后合作 10天+甲单独干=工作总量，（2+1）
*10+（2.5+1.5）*10+甲单独干=90→甲单独干=20，甲单独干的时间=20/2.5=8
天。实际工作时间=10+10+8=28 天，比原计划30天，提前2天，对应 A项。【选
A】
【注意】看到提升 25%，一定和 1/4 有关，是 4 的倍数才能提高 25%，赋值
4：2计算会更简单。
【例 5】（2023 成都事业单位）某市需要修一座桥梁，现有甲、乙两个施工
单位，已知甲、乙合作 12 天可完成桥梁的 7/8；如果甲、乙单独做，那么甲完
成 1/2 与乙完成 2/3 所需要的时间相等。则甲单独做比乙单独做需要多用多少
天？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】5.给时间相等的关系，反推得到效率比例。甲效率/乙效率=甲总量
/乙总量=（1/2）÷（2/3）=3/4。（1）赋效率：赋值甲效率=3、乙效率=4。（2）
求总量：（甲+乙）*12=总量*（7/8）→（3+4）*12=总量*（7/8）→总量=96。（3）
再做题：96/3-96/4=32-24=8，对应 C项。【选C】
【注意】时间相等，效率和总量成正比。比如都工作 2小时，第一个人每小
时工作量为 10，2小时工作量为 20；第二个人每小时工作量为 5，2小时工作量
为10，10：5=20：10=2：1。
【例 6】（2021广东）某茶园需要在一定时间内完成采摘。前 4天安排了20
名采茶工，完成了五分之一的工作量。如果再用 10 天完成全部采摘，至少还需
要增加多少名采茶工？
A.12 B.11
C.10 D.9
9【解析】6.要干活，是工程问题。出现“20名采茶工”，默认每个人效率相
同，不然题目无法做，赋值每个人的效率都是 1。“前 4 天安排了 20 名采茶工，
完成了五分之一的工作量”，20 个人，每人效率为1，20个人的效率就是 20，则
20*1*4=总量*（1/5）→总量=400。还剩下 4/5 的工作量，即 400*（4/5）=320
的工作量，要求 10 天完成，效率为 320/10=32，每人效率为 1，需要 32 人，已
经有20 人，还需要增加12人，对应 A项。【选A】
给具体单位型（条件给出具体效率、具体工程量）
简单应用题，直接根据问题设未知数列方程求解
【注意】给具体单位型：简单应用题，不需要技巧，根据题目条件列方程或
等式，设未知数求解。条件给出具体效率或具体工程量。
【例 7】（2021四川）某工程队计划每天修路 560米，恰好可按期完成任务。
如每天比计划多修 80 米，则可以提前 2 天完成，且最后 1 天只需修 320 米。如
果要提前 6天完成，每天要比计划多修多少米？
A.160 B.240
C.320 D.400
【解析】7.“560 米”为明确的效率，直接列式或列方程做题。“如每天比
计划多修 80米”效率变为560+80=640。假设按期完成的计划时间为 x天，只要
是修这一条绿，总量就是固定的，根据总量相等列方程：560x=（560+80）*（x-3）
+320→x=20。工作总量=560*20=11200 米。提前 6 天为 14 天完成，每天修
11200/14=800 米，比原计划多 800-560=240米，对应B项。【选 B】
【注意】
1.一共x-2天完成，最后一天工作了320米，剩下的x-3天效率为560+80=640
米/天。
2.或者假设每天修 640，最后一天只修了 320，在这个假设的前提下多算了
640-320=320，则要减去，（560+80）*（x-2）-320。
3.只有 10%～20%的几率遇到给具体单位型，更多是给完工时间型和给具体
10单位型。
第五节 经济利润问题
一、基础经济
二、分段计费
三、函数最值
【注意】经济利润问题，考试分为三种类型：
1.基础经济。基础经济难度最高，函数最值和分段计费反而是简单、套路题。
2.分段计费。
3.函数最值。
基础经济公式
①利润=售价-进价
②利润率=利润/进价
③售价=进价*（1+利润率）
折扣：打 N折就用原价乘以 0.N
【注意】基础经济公式：
1.利润=售价-进价：如100 元进价，200元卖出，利润=200-100=100元。
2.利润率=利润/进价：资料分析中，利润率=利润/收入；数量关系中，利润
率=利润/成本。
113.售价=进价*（1+利润率）：比如 100 元的东西，要获得 50%的利润率，售
价=100*（1+50%）=150。利润率指的是提价的程度，类似资料分析中“现期=基
期*（1+r）”，成本、进价就是原先的价格，获得的利润率就是涨幅（增长率），
变化之后的价格就是现期值。
4.折扣：打 N 折就用原价乘以 0.N。比如一个商品，打九折，100 元打九折
之后是 90元，100*0.9=90。如果是打八折，则用原价*0.8。
【例 1】（2023 联考）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售
可获得利润 70 元，如果按定价打九五折出售可获得利润 100 元，这款小家电进
货价格所在区间是：
A.400～450元 B.450～500元
C.500～550元 D.550～600元
【解析】1.方法一：出现定价、进价、利润，要整理售价、进价、利润的关
系，售价-进价=利润，根据概念列式。假设进价为x，按照定价打折出售，有定
价就会有售价，设定价为y，根据题意列式：0.9y-x=70①；0.95y-x=100②，②
-①得：0.05y=30→y=30/0.05=600 元。代入①得：540-x=70→x=540-70=470，
对应B项。
方法二：同样一款小家电，成本不变，9 折为 0.9*定价-成本=70；95 折为
0.95*定价-成本=100。直接找二者的关系，成本不变利润差 30，是因为第二次
折扣更少，卖得更贵，多赚 30，直接分析差值，0.05*定价=30→定价=600 元，
则成本=0.9*600-70=540-70=470 元，对应B项。【选B】
【注意】
1.思维点拨：同一件物品（进价不变时），售价的变化=利润的变化。
2.简单来说：一个东西卖的贵利润高，卖的便宜利润就低。
【例 2】（2024 浙江网友回忆版）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件
商品的标价超过 50 元可以立减 20 元后再打 9 折，乙店单件商品的标价超过 50
元可以打 8 折后再立减 10 元。现两家店都在销售的 3 种商品，相同商品在两店
12价格相同，分别为 45 元、75 元和 85 元，某人准备购买其中两种商品各一件，
最少的花费在以下哪个范围之内？
A.90 元以下 B.90～93元
C.93～96元 D.96元以上
【解析】2.要花钱最少，先买最便宜的。A商品标价45元，没有超过 50元，
在甲商店和乙商店都不参与优惠。B 商品标价 75 元，甲商店优惠后为（75-20）
*0.9=49.5 元，乙商店优惠后为 75*0.8-10=50 元。对比择优，买 B 商品去甲商
店。不需要分析 85 元，85 元和 75 元采取相同的优惠方案，原价更贵，则打折
之后的结果会更贵，要买花费最少得，一定不会买更贵的。A 商品是最便宜的，
在甲和乙都是45元。B商品在甲更便宜，用49.5元，则最少花费为45+49.5=94.5，
在C项范围内。【选 C】
【注意】买东西，比如买篮球，有多个不同的商家，同一个篮球，标价都是
100元，但不同商家优惠方式不同，要对比择优。
基础经济方法
一、方程法：题干给出价格、数量等具体值
设未知数，套公式列方程求解
二、赋值法：题干未给出价格、数量等具体值
往往赋进价（100），利用公式直接计算
补充：当条件关系太乱时，可列表格梳理
【注意】基础经济方法：例 1、例2是考场上能接触到的最多的经济利润问
题。
1.方程法：题干给出价格、数量等具体值。方法是列等式或者列方程，要么
13设未知数，套公式列方程求解；要么直接计算，比如例 1，是方程法；例 2，是
直接计算。
2.赋值法：
（1）题干未给出价格、数量等具体值。比如例 3，无任何价格，无法算，
需要赋值。往往赋进价或成本（100），90%以上的题目，赋值成本为 100更好算，
利用公式直接计算。
（2）补充：当条件关系太乱时，可列表格梳理，可以考虑通过列表梳理条
件关系。
【例 3】（2023河北）某商品的利润率是 20%。如果进货价降低 20%，售价保
持不变，此时利润率是多少？
A.40% B.30%
C.60% D.50%
【解析】3.具体价格未知，只能赋值。赋值进价（成本）为 100，还涉及到
售价、利润率，关系比较复杂，列表分析。现在和以前存在变化，纵轴为时间（现
在、以前），横轴为出现的概念，原来的进价为 100、利润率为 20%。“如果进货
价降低 20%”，现在进价为100*（1-20%）=80，售价=进价*（1+利润率），原来售
价为100*（1+20%）=120，现在售价不变也为 120，现在一件的利润为 120-80=40，
现在利润率为（120-80）/80=40/80=50%，对应D项。【选D】
【注意】无具体价格，直接赋值原来进价为 100。
14【例 4】（2023 浙江）某商品上月售价为进价的 1.4 倍，销售 m 件。本月该
商品进价下降 20%，售价不变，销售利润为上月的 1.8倍。那么本月的销量为多
少件？
A.1.3m B.1.25m
C.1.2m D.1.15m
【解析】4.经济利润问题，没有具体关键数据，m不算具体数值，考虑赋值。
赋值上月成本（进价）为 100，题目出现时间变化（上月、本月），主体涉及售
价、数量、进价、利润，主体多关系乱，列表分析。假设上月进价为 100，则售
价为 100*1.4=140、数量为 m、总利润为 40*m=40m，本月进价为 100*（1-20%）
=80、售价还是 140、总利润为 40m*1.8=72m，单件利润=售价-进价=140-80=60，
本月销量=72m/60=1.2m，对应 C 项。【选C】
分段计费
出题背景：在生活中，税费、水电费、停车费等，有多段计费标准。
计算方法：按标准分开计算（代入也不错）
【引例】某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元；超出 3公里的部分，
每公里 2元。小明打车坐了12 公里，共花费多少钱？
【注意】
1.出题背景：在生活中，税费、水电费、停车费等，有多段计费标准，不同
阶段收费不一样。比如打车，起步价为 xx元，超过的部分每公里 xx元；交电费，
15一年如果用 4000 度以内，按照 5 毛/度收费；如果超过 4000 度以上的部分，按
照 6 毛/度收费；比如工资，5000 以内不收税，超过 5000 的部分，会收 x%的个
人所得税，不同阶段收费标准不同。
2.计算方法：按标准分开计算；也可以用代入排除。
3.例.某地出租车收费标准为：3 公里内起步价 8 元；超出 3 公里的部分，
每公里 2元。小明打车坐了12 公里，共花费多少钱？
答：起步价 3 公里 8 元，超出的 9 公里每公里 2 块钱，所需金额为 18 元，
所求8+18=26。
【例 1】（2020 广西事业单位）某商店实行打折销售，顾客消费在 100 元以
内的部分，按 8折收费，超过 100 元的部分按6折收费。某顾客在商场实际消费
155元，如果没有实行打折销售，这位顾客需要支付多少元？
A.225 B.255
C.275 D.295
【解析】1.方法一：结合选项，直接代入。代入 A 项，原价为 225 元，100
元部分打八折，为 100*0.8，超过 100 元的部分打六折，为（225-100）*0.6，
共花费 100*0.8+（225-100）*0.6=155，符合题意，A项当选。
方法二：打折之后付155 元，原价一定更高，100元的部分打八折，实际消
费 80 元，还剩 155-80=75 元，六折之后为 75，原价为 75/0.6=125 元，则原价
=100+125=225 元。【选A】
16【例 2】（2023 联考）某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过 15
分钟，不收费；超过15分钟但不超过 60分钟，按1小时计，收费 5元；超过 1
小时后，超过的部分按每30分钟 4元收费（不足30分钟，按 30分钟计）。若李
先生支付停车费 17元，则他停车的时长可能为：
A.2 小时 B.2小时15分钟
C.2 小时45分钟 D.3小时
【解析】2.方法一：根据收费标准画图，共收费 17 元，5 元+4 元+4 元+4
元=17元，即17元最多停1小时+3*0.5小时=2.5小时=2小时 30分钟，排除C、
D 项。如果停了 2 小时，收 5+4+4=13 元，如果停 2 小时 1 分钟，后面的 1 分钟
也收4元，故时间区间为 2小时 1分钟～2小时30分钟之间，对应 B项。
方法二：代入。代入 A 项，停车 2 小时，收费 5+4+4=13 元，不符合；代入
B项，多15分钟，按照半小时收费，共收费5+4+4+4=17元，符合，当选。【选 B】
17函数最值
题型特征：价格和销量此消彼长，问如何定价总收入/总利润最高？
【引例】售价为3000元时，可卖出 16万件。若售价每提升 300元，销量会
降低1万件。请问当售价定为多少元时，总收入最高？
计算方法（两点式）：
设提价次数为 x
①令结果为 0，解得x、x ；
1 2
②当 x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
【注意】
1.题型特征：价格和销量此消彼长，问如何定价总收入/总利润最高？
2.引例：售价为3000元时，可卖出 16万件。若售价每提升 300元，销量会
降低1万件。请问当售价定为多少元时，总收入最高？
答：最笨的方法是一个一个试，3000*16、3300*15、3600*14，谁收入最高
就选谁。此处介绍方法，假设需要提升 x次，最终价格为3000+300x。提高x次
价格，销量降低 x 万，销量变为 16-x，总收入=（3000+300x）*（16-x），如果
括号拆开，会得到-x²的形式，对应的图像为开口向下的抛物线，在顶点处取得
18最大值。当 x处于对称轴的时候有最大值，对称轴的左右两边对称，函数图像和
x 轴的两个交点关于对称轴对称，只要找到两个点，对称轴为这两个点的中点，
当 y=0 时，函数的 2 个根。要两个数相乘，乘积为 0，只能两个数分别为 0，令
3000+300x=0，解得x=-10；令 16-x=0，解得x=16，当x=（x+x ）/2=（-10+16）
1 2 1 2
/2=3时，有最大值。
3.计算方法（两点式）：设提价次数为 x。
（1）令结果为0，解得x 、x。
1 2
（2）当x=（x+x）/2时，取得最值。
1 2
【例 1】（2022 联考）北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十
分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个 40 元的“冰墩墩”，当售价定为 44
元时，每天可售出 300 个，售价每上涨 1 元，每天销量减少 10 个。现商家决定
提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为：
A.51 元 B.52元
C.54 元 D.57元
【解析】1.价格和销量此消彼长，问销售利润最大，为函数最值问题。总利
润=单利*数量，最开始单件利润为 44-40=4，假设提高了x次，成本不变，售价
提高多少，利润增加多少，最终利润变为4+x，数量变为300-10x，列式：（4+x）
*（300-10x），让两个括号分别为 0，解得x=-4、x=30，得到x=（-4+30）/2=26/2=13
1 2
时，取得最值，售价=44+13=57，对应 D项。【选D】
【注意】不要盲目的用售价*数量，要看问题若问总收入，总收入=售价*数
量；若问总利润，总利润=单件利润*数量。
19【例 2】（2024 山东网友回忆版）某线上店铺将进货单价为 8 元的商品按每
件 10 元出售，每天可销售 100 件。店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售
价提高 1 元，每天销售量就要减少 10 件，为保证每天至少获利 350 元，问该商
品售价应为多少？
A.不到 13元 B.13～15元之间
C.15～17元之间 D.17元以上
【解析】2.要保证每天至少获利 350 元，则本题的最大利润一定超过 350，
否则没有答案，故直接找最大利润即可。利润=单利*数量，原来每件赚 10-8=2
元，假设提价x次，利润变为2+x，数量变为100-10x，利润=（2+x）*（100-10x），
令两个括号分别为 0，解得x=-2、x=10，当x=（-2+10）/2=4 时，有最大利润，
1 2
最大利润一定超过 350，此时售价为 10+4=14元，B项当选。【选 B】
【注意】如果不放心，可以代入计算，（2+4）*（100-40）=6*60=360 元，
满足要求。
【随堂考】（2020 江苏）某商品的进货单价为 80 元，销售单价为 100 元，
每天可售出 120 件。已知销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。若要实现
该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是：
A.5 元 B.6元
C.7 元 D.8元
【解析】练习 1.价格变低，销量越高，价格和销量此消彼长，问销售利润
最大化，为函数最值问题。销售利润=单个利润*数量，原来利润为 20，设价格
下降x次，成本（单价）不变，卖得越便宜，利润越少，下降 x次，利润减少x
元，数量多卖 20x，则销售利润=（20-x）*（120+20x），令两个括号分别为 0，
解得x=20、x=-6，当x=（20-6）/2=7时有最大利润，降价7 次，下降7元。【选
1 2
C】
【随堂考】（2022辽宁）有 25人铺设某足球场草坪，计划 20天完成。动工
6天后抽出 5人负责围栏围网的施工，留下的人继续铺设草坪。如果每人的工作
20效率不变，那么铺设完该足球场的草坪实际要用多少天？
A.23.5 B.24.5
C.25.5 D.26.5
【解析】练习2.干活，为工程问题。出现 25人，默认每人之间无区别，为
给具体人数或机器台数型，默认每人工作效率相同，赋值每人效率为 1。“有 25
人铺设某足球场草坪，计划 20 天完成”，工作总量=25*1*20=500 份。25 人抽调
5人，还剩 20人，前面六天干了 25*1*6=150 份工作，还剩500-150=350份工作，
还剩20 人，需要350/20=17.5 天完工。实际用的天数=6+17.5=23.5 天。【选 A】
课后作业，先截图课后整理
1.工程问题的基本等量关系：______=______*______。
2.给完工时间型的工程问题的解题思路：先赋值______，赋值的技巧是
____________；再算______=______/______；最后根据工作过程列式子或方程。
3.给效率比例型的工程问题的解题思路：先赋值______，赋值的技巧是
____________；再算______=______*______；最后根据工作过程列式子或方程。
4.给__________型工程问题的解题思路：设未知数，找等量关系列方程。
5.给效率比例型，若甲 3 天的工作量等于乙 2 天的工作量，甲乙效率比
________。若题目说是36台挖掘机工作，则赋值效率________。
6. 经 济 利 润 问 题 涉 及 的 基 本 公 式 ： 利 润 ＝ _____-____ 、 利 润 率
=______/______，售价=______*______；折扣=________/________、______=单
价*数量。
7.题目已知具体价格时，解题方法：________；题目没有具体价格时，解题
方法：________。
8.典型的__________问题有：水电费、出租车费、税费等，其解题过程：
___________________计算。
9.函数最值题型的特征：______和______此消彼长，求______利润或总价；
解题方法是：__________，列式时需要注意____________________
【答案汇总】
21工程问题 1-5：DDCAC；6-7：AB
基础经济 1-4：BCDC
分段计费 1-2：AB
函数最值 1-2：DB
22遇见不一样的自己
Be your better self
23
