文档内容
方法精讲-数量 4
（笔记）
主讲教师：贾慕白
授课时间：2024.04.15
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 4（笔记）
数量关系 方法精讲4
学习任务：
1.课程内容：行程问题、几何问题
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第221～226 页
4.重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与匀变速运动平均速度公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及问题计算公式，用图示来理解复杂的
运动过程
（3）掌握几何问题基本公式及其运用
（4）掌握三角形三边关系、勾股定理、特殊三角形及面积相关的知识
第六节 行程问题
三量关系：路程=速度*时间
考查题型：
1.普通行程
2.相对行程
【注意】行程问题：
1.三量关系：路程=速度*时间（S=v*t）。
2.考查题型：
（1）普通行程：大部分情况下是一个人，即使涉及到两个人，也不会涉及
两个人相对运动。
（2）相对行程：有两个人相对运动。
1.普通行程
（1）基本公式考查：路程=速度*时间（s=v*t）
（2）匀变速运动
1【注意】普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（s=v*t）。
2.匀变速运动。
【例1】（2024国考网友回忆版）甲和乙两辆车同时从A地出发匀速开往B
地，甲车出发时的速度比乙车快20%，但乙车行驶1个小时后速度加快30千米/
小时继续匀速行驶，又用了3小时与甲车同时抵达，则A、B两地相距多少千米？
A.540 B.510
C.600 D.570
【解析】1.行程问题，画图分析，“甲车出发时的速度比乙车快20%”→设
乙车速度为v、甲车速度为1.2v，“乙车行驶1个小时后速度加快30千米/小时
继续匀速行驶”，乙车前半段的速度是v、时间是1小时，后半段的速度为v+30、
时间是 3 小时，“与甲车同时抵达”，说明时间相同，t=1+3=4 小时，根据 S
甲
=S =S ，列式：1.2v*4=v*1+（v+30）*3→4.8v=4v+90→0.8v=90，求S ，代入
乙 总 总
S =4.8v=0.8v*6=90*6=540千米，选择A项。【选A】
甲
1.普通行程
（1）基本公式考查：路程=速度*时间（s=v*t）
（2）匀变速（匀加速/匀减速）运动：
匀变速运动的平均速度=（初速度+末速度）/2
等差数列：平均数=（a+a）/2
1 n
2【注意】普通行程：
1.基本公式考查：路程=速度*时间（s=v*t）。
2.匀变速（匀加速/匀减速）运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速
度）/2。中学物理中涉及加速度a，在公务员考试中，没有中学物理考得深，基
本不会涉及到加速度。
3.如左图，点1是初速度，点2是末速度，平均速度对应中点，中间点是中
位线，中位线=（初+末）/2。有的题目不一定从 0开始，有初速度，如右图，平
均值对应梯形的中位线。
4.类比于等差数列：平均数=（a+a）/2。
1 n
【例2】（2023山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20千米，用时20分钟，
已知该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行
驶的最大速度是多少千米/小时？
A.100 B.108
C.116 D.120
【解析】2.“甲地行驶到乙地共20千米，用时20分钟”，给出路程、时间，
可以求出速度，所求单位为千米/小时，转化单位，20 分钟=1/3 小时，v=20÷
1/3=60 千米/小时，或者 20 分钟走 20 千米，即 1 分钟走 1 千米，1 小时=60分
钟走60 千米。“该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为
0”，车在启动时速度为0，意味着从0起步。
方法一：画线段分析，从起点出发，前半程是从0到最大，后半程是从最大
到 0，整个路程是对称的，即两边路程各占一半，总路程为 20 千米，则前半程
的路程为 10 千米，前半程的平均速度 =60 千米/小时，两边是对称的，说明两
边的过程完全相同， =（V +V ）/2=60→V =60*2=120 千米/小时，对应 D
初 最大 v 最大
项。
v
3方法二：数形结合，画图分析，v从0开始达到最大值，再从最大值到 0，
在vt图像中，S 代表路程，求最大速度，即求 h。一共20千米，说明 S
三角形 三角形
=20，20分钟=1/3小时，列式：20=1/2*1/3*h→h=20*6=120，对应D项。【选D】
【注意】
1.匀变速（匀加速/匀减速）运动：匀变速运动的平均速度=（初速度+末速
度）/2。
2.由于两边对称，所以全程的平均速度为 60，如果两边不对称，则右边的
平均速度不是 60。如下图的画法也符合，平均速度也为 60，该题不一定对称，
但是按照对称来做一定是最简单的。
4【拓展】（2020 天津事业单位）甲骑车从 A 地前往 3 千米外的 B 地，出发
时均匀加速，骑行到一半路程时的速度为30千米/小时。此后均匀减速，到达B
地时的速度为20千米/小时。问甲全程用时为多少分钟？
A.不到9分30秒 B.9分30秒～10分之间
C.10分～10分30秒之间 D.超过10分30秒
【解析】拓展.“甲骑车从 A 地前往 3 千米外的 B 地”，S=3 千米，全程用
时分为两个部分，“出发时均匀加速，骑行到一半路程时的速度为30千米/小时”，
默认刚开始从 0 开始均匀加速，一半路程=15 千米， =（0+30）/2=15 千米/小
1
时，t=1.5千米/15=0.1小时；“此后均匀减速，到达B地时的速度为20千米/
1 v
小时”，最后的速度是20 千米/小时，不是0，故第二段的平均速度与第一段不
同，不能当作对称解题， =（30+20）/2=25千米/小时，t=1.5/25*60=3.6分钟，
2 2
所求=0.1*60+3.6=6 分钟+3.6 分钟=9.6 分钟，A 项：9 分 30 秒对应 9.5 分钟，
v
结果＞9.5分钟，对应B项。【选 B】
【注意】本题不建议画 vt 图像，如果画如下图，需要从最高点作垂线，分
为三角形和梯形，相对比较复杂，所以建议分成两段解题。
52.相对行程
（1）直线相遇
（2）直线追及
（3）环形相遇
（4）环形追及
【注意】相对行程：
1.直线相遇。
2.直线追及。
3.环形相遇。
4.环形追及。
直线相遇：两人同时相向而行
➢公式：S =（V+V）*t
和 1 2
S ：相遇开始时两人之间的距离
和
【注意】直线相遇：要求两人同时出发相向而行，相向即面对面，也可以表
述为相对而行。
1.公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
2.S ：相遇开始时两人之间的距离。“相遇开始时”即两个人同时面对面
和
相对出发时。
3.如图，左边的猫和右边的老鼠面对面相向而行，在C点相遇，假设猫的速
6度为v，老鼠的速度为v，二者同时从A、B两点相向而行，AB是相遇开始时两
1 2
人之间的距离，AC是猫走的路程，BC是老鼠走的路程，S =AB=AC+BC=v*t+v*t=
和 1 2
（v+v）*t。
1 2
【例3】（2020新疆）A、B 两地相距600千米，甲车上午9时从A地开往B
地，乙车上午 10时从 B地开往 A 地，到中午 13时，两辆车恰好在 A、B两地的
中点相遇。如果甲、乙两辆车都从上午 9时由两地相向开出，速度不变，到上午
11时，两车还相距多少千米？
A.100 B.150
C.200 D.250
【解析】3.“A、B 两地相距 600 千米”→S =600 千米，“恰好在 A、B 两
总
地的中点相遇”，说明两辆车的路程均为300千米。画线段分析，甲车：从上午
9时到中午13时，t =4小时，v =300/4=75千米/小时；乙车：从上午10时到
甲 甲
中午 13 时，t =3 小时，v =300/3=100 千米/小时。甲、乙两辆车都从上午 9
乙 乙
时由两地相向开出，二者同时出发，“相向”即面对面，速度不变，甲从A点到
B点，乙从B点到A点，上午9时到上午11时→t=2小时，甲到达C点，乙到达
D点，所求=AB-S ，S =v *t=（75+100）*2=350千米，所求=600-350=250千米，
和 和 和
对应D项。【选D】
7【注意】
1.直线相遇公式：S =（V+V ）*t。
和 1 2
2.本题可以不用速度和公式，所求=AB-（AC+BD）=600-（75*2+100*2），本
质与速度和公式是相同的。
直线追及：两人同时同向而行
➢公式：S =（V-V）*t
差 1 2
S ：追及开始时两人之间的距离（与在哪里追上无关）
差
【注意】直线追及：两人同时出发同向而行。“同向”即方向一样，比如都
向右走。
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.S ：追及开始时两人之间的距离（与在哪里追上无关）。
差
3.如图，猫在 A点，老鼠在 B点，同时往右走，到 C点追上，S =AB，C 点
差
在哪里无所谓，S =（V-V ）*t，公式与 C 点无关，作图时可以不画 C 点。AC
差 1 2
是猫的路程，BC是老鼠的路程，S =AB=AC-BC=v*t-v*t=（v-v）*t。
差 1 2 1 2
【例4】（2020深圳）小王和小李从甲地去往相距 15km 的乙地调研。两人
同时出发且速度相同。15 分钟后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返
回，小李则继续前行；小王取到文件后提速20%追赶小李，在小李到达乙地时刚
好追上，假设小王取文件的时间忽略不计，则小李的速度为多少km/h？
8A.4 B.4.5
C.5 D.6
【解析】4.方法一：画图分析，两人同时从甲地出发去乙地调研，速度相同，
小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，小李则继续前行，“原路原速返
回，说明路程、时间、速度均不变，紫色的两条线段长度一样，意味着紫色线段
对应30 分钟的路程，取到文件后小王从 A 点出发，小李从C点出发，此时是同
向追及问题，AC之间的距离对应30分钟的路程，到达乙地时刚好追上，S =（v-v）
差 1 2
*t。求小李的速度，“小王取到文件后提速20%追赶小李”→设小李的速度为v、
小王的速度为 1.2v，30 分钟=0.5 小时，列式：S =AC=0.5v=（1.2v-v）*t→
差
0.5v=0.2v*t，解得t=2.5h，追及时间为2.5小时，求小李的速度，注意不能用
15/2.5=6，会错选D项，因为还有前面的0.5小时，v=S/t=15/（0.5+2.5）=5km/h，
对应C项。
方法二：利用比例思维。小王取到文件后提速 20%追赶小李，20%=1/5，速
度提高了 1/5，v /v =1+1/5=6/5，当路程相同时，速度之比=6：5，时间之比
王 李
=5：6，t 相当于 5 份，t 相当于 6份，t 为1 份，小李走 CD 的时间=小王走
王 李 差
AD 的时间，多出的是 AC 段的时间，为 0.5h，对应 1 份，小李时间为 6 份，t
李
=6*0.5=3h，v=15/3=5km/h，对应C项。
方法三：猜题。提速 20%→v’=1.2v，看选项是否存在 1.2倍的关系，D 项
=C项*1.2，5*1.2=6，大概率5是原来的速度、6是现在的速度，猜C项。【选
C】
9【注意】行程出现比例（比例、分数、百分数、倍数）：也可考虑比例思维
解题。
环形相遇（同点相向出发）
公式：S =（V+V）*t
和 1 2
相遇1次，S =1圈
和
相遇2次，S =2圈
和
……
相遇N次，S =N圈
和
本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
【注意】环形相遇（同点相向出发）：相向即面对面。
1.公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
2.如图，两个人从起点出发相向而行，到达红点相遇，蓝色与黄色的路程和
为1圈，相遇 1次，S =1 圈；黄色继续往前走，蓝色也继续往前走，第 2次相
和
遇时，在原来的路程和之上再加1圈，即每相遇1次，路程和就增加1圈，相遇
102次，S =2圈；相遇3次，S =3 圈；……相遇N次，S =N圈。
和 和 和
3.本质：每一次相遇到下一次相遇期间，两人走的路程和是一圈。
环形追及（同点同向出发）
公式：S =（V-V）*t
差 1 2
追上1次，S =1圈
差
追上2次，S =2圈
差
11……
追上N次，S =N圈
差
本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈。
（速度快的人比速度慢的人多走了1圈）
【注意】环形追及（同点同向出发）：如两个人都从起点顺时针走，即同点
同向出发。
1.公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
2.如图，追上 1 次时，S =AB+1 圈，S =AB，S =1圈，比如你和
走得快的人 走的慢的人 差
你同学在操场上跑步，你同学跑了一圈之后从背后追上你；追上2次，红色线为
第一次相遇点到第二次相遇点的路程，走得快的人比走得慢的人又多走了1圈，
S =2圈，即每多相遇1次，两人走的路程差是1圈；追上3次，S =3圈；追上
差 差
N次，S =N圈。
差
3.本质：每一次追上到下一次追上期间，两人走的路程差是一圈（速度快的
人比速度慢的人多走了1圈）。
环形相遇（同点相向出发）
公式：S =（V+V）*t
和 1 2
相遇1次，S =1圈
和
相遇2次，S =2圈
和
……
相遇N次，S =N圈
和
本质：每一次相遇到下一次相遇期间，
两人走的路程和是一圈。
12环形追及（同点同向出发）
公式：S =（V-V）*t
差 1 2
追上1次，S =1圈
差
追上2次，S =2圈
差
……
追上N次，S =N圈
差
本质：每一次追上到下一次追上期间，
两人走的路程差是一圈。
【注意】
1.环形相遇（同点相向出发）
（1）公式：S =（V+V）*t。
和 1 2
（2）结论：相遇N次，S =N 圈。
和
2.环形追及（同点同向出发）：
（1）公式：S =（V-V）*t。
差 1 2
（2）结论：追上N次，S =N 圈。
差
【例5】（2023内蒙古事业单位）老张和小张在周长为400米的运动场上跑
步，小张的跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8分钟
相遇一次；当两人在同一起点同时反向出发，则每隔2分钟相遇一次，老张在该
运动场跑一圈需要多少分钟？
A.5.33 B.5.36
C.5.42 D.5.45
【解析】5.小张的跑步速度快于老张，设小张的速度为 v 、老张的速度为
1
v，两人在同一起点同时同向出发→追及问题，周长→环形，每追上1次，S =1
2 差
圈，（v -v）*8=400→v-v=50①；“两人在同一起点同时反向出发”→相遇问
1 2 1 2
题，相遇1次，S =1圈，（v+v）*2=400→v+v=200②，求v，②-①：2*v=150，
和 1 2 1 2 2 2
解得v=75，t=400/75=16/3=5.3+，对应A项。【选A】
2 2
13【注意】同点出发环形相遇追及：相遇 1 次，S =1圈，S =（V+V ）*t；
和 和 1 2
追上1次，S =1圈，S =（V-V）*t。
差 差 1 2
【例6】（2023天津事业单位）师范大学体育场的环形跑道长400米，王鹏、
李华、周可从同一地点同时同向出发，围绕跑道分别慢跑、快跑和轮滑。已知三
人的速度分别是 2 米/秒、6 米/秒和 8 米/秒，问李华第 4 次超越王鹏时，周可
已经超越了王鹏多少次？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.方法一：环形跑道→环形问题，同向出发→追及问题，问李华第
4次超越王鹏，追上N次，S =N圈，追上4次，意味着S =4圈。S =（V-V）
差 差 差 1 2
*t→（6-2）*t=4*400→t=400s。求周可已经超越了王鹏多少次，S =（8-2）
差’
*400=6*400=2400，2400/400=6圈，多跑6圈，意味着追上6次，选择A项。
方法二：利用比例思维。S =V *t，时间相同，S 和V 成正比，V =6-2=4，
差 差 差 差 差
V =8-2=6，V /V =6/4=1.5，则S =4圈*1.5=6圈，选择A项。【选A】
差’ 差’ 差 差’
14【注意】
1.同点出发环形追及：追上N次，S =N圈，S =（V-V）*t。
差 差 1 2
2.若加大难度考查，会考查不同点出发，分为两段分析，第一次追上时，一
个从A到C，一个从B到C，相当于是直线追及，到达C点之后是同点同向出发。
强化和套题阶段会有提升难度的题。
【注意】行程问题：
1.普通行程：
（1）公式：路程=速度*时间（S=v*t）。
（2）匀变速运动的平均速度；（初速度+末速度）/2。
2.相对行程：
（1）直线相遇、追及：
①相遇：S =V *t。
和 和
②追及：S =V *t。S ：追及开始时两人之间的距离。
差 差 差
（2）环形运动：
15①环形第n次相遇：S =n圈=V *t。
和 和
②环形第n次追及：S =n圈=v *t。
差 差
第七节 几何问题
考查类型：
一、公式运用
二、三角形相关
【注意】几何问题：属于高频考点，知识点非常多、涉及的面特别广，精讲
阶段讲解公考的高频考点。
1.公式运用。
2.三角形相关。
一、公式运用
1.规则图形
2.不规则图形
【注意】公式运用：
1.规则图形：直接套公式，对于公式要熟悉。
（1）扇形：扇形是圆的一部分，n°/360°是扇形占圆的比例，所以扇形面
积=n°/360*πR²，扇形弧长=n°/360*2πR。
16（2）菱形：面积=对角线乘积/2，菱形本身是平行四边形，平行四边形面积
=底*高，而菱形特殊在两条对角线垂直，所以可以用对角线乘积/2。实际上这一
公式不仅适用于菱形，只要是对角线垂直的四边形，就可以用对角线乘积/2，如
图，S =S +S =1/2*AC*OB+1/2*AC*OD=1/2*AC*（OB+OD）=1/2*AC*BD。
ABCD △ABC △ACD
（3）圆柱体：上下两个底面都是圆，侧面展开是长方形，长方形的长是底
面圆的周长、宽是圆柱的高，表面积=2πR²+2πRh。
2.不规则图形：没学过图形对应的公式，一般可以通过规则图形相加减得到，
如正方形内部有一个内切圆，求四周阴影部分的面积，所求=S -S 。
正方形 圆形
【例1】（2020河北事业单位）街心公园里有一个正方形的花坛（如下图所
示）。花坛四周有 1 米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是 16 平方米，那么中
间花坛的面积是多少平方米？
A.16 B.9
C.4 D.1
17【解析】1.花坛四周有1米宽的水泥路，设花坛的边长为x，外围其实也是
正方形，边长为x+2。
方法一：S =S -S →（x+2）²-x²=16，根据完全平方和公式为：
水泥路 大正方形 小正方形
（a+b）²=a²+2ab+b²，故（x+2）²-x²=16→x²+4x+4-x²=16→x=3，则 S =3²
小正方形
=9，对应B项。
方法二：已知水泥路的面积，进行切割，上下是2个长的长方形，左右是2
个短的长方形（也可以切成4个一样的长方形，但不能出现重合，容易漏算），
（x+2）*1*2+x*1*2=16→4x+4=16→x=3，S =3²=9，对应B项。
小正方形
方法三：熟练的情况下可以分析，S +16=S ，S 是平方数，四
小正方形 大正方形 小正方形
个选项均符合，S 也是平方数，A项：16+16=32，不是平方数；B项：9+16=25，
大正方形
符合；C 项：4+16=20，不符合；D 项：1+16=17，不符合，选择B 项。如果不放
心可以验证，S =9，则小正方形边长为 3，S =25，则大正方形边长为5，
小正方形 大正方形
刚好两边水泥路的宽度为1，符合题意。【选 B】
【例2】（2023国考）一个圆柱体零件A和一个圆锥体零件B分别用甲、乙
两种合金铸造而成。A 的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的 2倍，两个零
件的高相同，质量也相同。问甲合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3 B.3/4
C.2/3 D.3/2
【解析】2.圆柱体零件 A 用甲合金，圆锥体零件 B 用乙合金，质量=密度*
体积（m=ρ*V），在质量m相同的情况下，ρ越大、V越小，即ρ和V成反比，
所求=ρ /ρ =V /V 。V =Sh=πr²h；V =1/3*Sh=1/3*πr²h，题目
甲 乙 乙（B） 甲（A） 圆柱体 圆锥体
没有给出半径、高的具体值，只给出一些条件，则可以赋值，高相同，赋值h=h=1；
A B
18“A的底面半径和高相同；B的底面半径是高的2倍”，则r=1、r=2。所求=1/3*
A B
π*r²*h/（π*r²*h）=（1/3*2²*1）÷（1²*1）=4/3，对应A项。【选A】
B B A A
【注意】
1.知识点链接：质量（m）=密度（ρ）*体积（V）。
2.知识点回顾：圆柱体体积 V=Sh=πr²h；圆锥体体积V=1/3*Sh=1/3*πr²h。
二、三角形相关
1.基础知识：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
2.勾股定理
3.面积相关
【注意】三角形相关：几何问题的高频考点。
1.基础知识：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2.勾股定理。
3.面积相关。
1.三角形基础知识
两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
只需验证：两短边之和大于最长边即可。
【注意】三角形基础知识：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
1.a+b＞c→a＞c-b，即两边之和大于第三边可以推出两边之差小于第三边，
两句话的本质相同，记住第一句即可。
2.a＜b＜c，c是最长边，c+a＞b、c+b＞a均无需验证，只需要验证a+b＞c，
即两短边之和大于最长边。
【拓展】（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为28米的篱
笆围成一个三角形形状的场地，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边
长只能是第一条边长度的1/2多 4米，若第一条边是唯一最短边，则m的取值可
以为：
19A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】拓展.课堂正确率为53%。三角形的周长为28米，第一条边长为m
米，“第二条边长只能是第一条边长度的1/2多4米”→第二条边=1/2*m+4，“第
一条边是唯一最短边”→m＜1/2*m+4→1/2*m＜4→m＜8，排除C、D项。剩二代
一，涉及1/2*m，代入偶数更好计算，故代入 A项：m=6，1/2*m+4=1/2*6+4=7，
则第三条边=28-6-7=15，验证能否构成三角形，6+7=13＜15，两短边之和小于最
长边，不能构成三角形，选择B 项。【选B】
2.勾股定理相关
常考点：a²+b²=c²、特殊角直角三角形三边关系
1.常考勾股数：（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）
2.特殊角直角三角形三边关系
【注意】勾股定理相关：几何问题常考的题型。
1.常考勾股数：
（1）勾股定理存在逆定理，直角三角形的三边关系满足a²+b²=c²；如果三
角形的三边关系满足a²+b²=c²，则一定是直角三角形。
（2）常考的勾股数要背熟，即（3、4、5）、（6、8、10）、（5、12、13）。
长度可能成倍变化，9=3*3、12=4*3，（3、4、5）同时扩大3倍，则另一条边为
5*3=15；同理，（5、12、13）同时扩大 2倍为（10、24、26），也是勾股数；
（6、8、10）本身也是（3、4、5）的2倍，单独写出来是因为考得较多。
2.特殊角直角三角形三边关系：
（1）30°角（另一个角为 60°）的直角三角形：三边关系为 1： ：2。
3
可能成倍变化，如斜边为18，则短直角边=18/2=9，长直角边=9 。
3
（2）45°角的等腰直角三角形：三边关系为 1：1： 。如斜边为 18，则
20
2直角边=18/ =18 /（ * ）=9 。
2 2 2 2 2
【例3】（2024山东网友回忆版）某巡逻艇在海域 A 点发现正南方 30千米
处的 B 点有一艘可疑船只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快 1/3
的速度沿某一方向直线追击，两船恰好在 C 点相遇。问 B、C两点之间的距离约
多少千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
【解析】3.出现方位（正南方、正西方），需要画图（上北、下南、左西、
右东）。巡逻艇在A点，可疑船只在B点，最终在C点追上，“巡逻艇以比该可
疑船只快 1/3 的速度沿某一方向直线追击”→巡逻艇是可疑船只速度的
1+1/3=4/3，时间相同，速度之比为4/3，则路程之比为4/3，即AC是4份、BC
是 3 份，AB=30 千米，AB⊥BC，设 AC=4x、BC=3x，根据勾股定理，列式：30²+
（3x）²=（4x）²→30²+9x²=16x²→7x²=30²→ *x=30，所求=3x= *x＞ *x，
即3x＞30，只有D项符合。【选D】 7 9 7
【例4】（2022北京）一个圆形水库的半径为 1千米。一艘船从水库边的A
点出发，直线行驶1千米后到达水库边的B点，又从B点出发直线行驶2千米后
到达水库边的C点。则C点与A 点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1千米 B.1～1.3千米之间
C.1.3～1.6千米之间 D.超过1.6千米
【解析】4.“一个圆形水库的半径为1千米”，先画出一个圆；“一艘船从
水库边的 A 点出发，直线行驶 1 千米后到达水库边的 B 点”→AB=1；“又从 B
21点出发直线行驶2千米后到达水库边的C点”→BC对应直径，BC=2；问“C点与
A 点的直线距离”，即求 AC。直径所对的圆周角是直角，即∠BAC=90°，已知
BC=2、AB=1，则AC= 2²-1²= ≈1.732（最起码记住是1.7+），对应D项。【选
D】 3
【注意】 ≈1.414（最起码记住是 1.4+）， 和 常考，需要背下来，
2 2 3
如果背不下来，可以计算平方， ²=3，1.6²=2.56＜3，说明 ＞1.6。
3 3
知识点链接：直径所对的圆周角是直角；直角圆周角所对的弦是直径
简称：直径对直角；直角对直径
【注意】直径所对的圆周角是直角；直角圆周角所对的弦是直径。直径 BC
所对的圆周角∠A是直角，推导：当BC为直径时，圆心为O，连接OA，OA=OC，
则∠1=∠2，同理，OA=OB，则∠3=∠4，三角形内角和为 180°，即∠1+∠2+∠
3+∠4=180°→∠2+∠2+∠3+∠3=180°→2*（∠2+∠3）=180°→∠2+∠3=90°。
简称：直径对直角；直角对直径。
22平面最短路径
解题原理：两点之间，线段最短
解题技巧：两点异侧，直接连线
两点同侧，镜面对称再连线
【注意】平面最短路径：
1.解题原理：两点之间，线段最短。
2.解题技巧：
（1）两点异侧，直接连线。如图，A 点和 B 点在一条路的两边，要在路上
找到一点，连接A、B之后，让连线最短，可以将A、B直接相连，也可以找到一
个点，再分别连接 A、B，一定是直接相连最短，因为两点之间线段最短，三角
形两边之和必然大于第三边。
（2）两点同侧（考得更多），镜面对称再连线。如图，先找到 A 点关于直
线的对称点C点，再连接BC，OA=OC，要使OA+OB最短，也就是让OC+OB最短，
B、C直接连线最短。
【例 5】（2019 浙江）A、B 点和墙的位置如下图所示。现从 A 点出发以 5
米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点？
23A.30 B.34
C.38 D.42
【解析】5.在墙上找到 O 点，连接 OA、OB，速度固定，要想时间最短，则
要路程最短，即找到O点，使得 OA+OB最短。找到A点关于墙的对称点C点，连
接BC，t=S/V=S/5，S=OA+OB=OC+OB=BC，求线段，最好放在直角三角形中，延长
CA，过 B点往CA作垂线交于D点，BD=90，CD=30+45+45=120，90和120有公因
子 30，提取公因子，120=30*4、90=30*3，想到勾股数（3、4、5），则斜边为
30*5=150，所求=5*30/5=30秒，对应 A项。【选A】
【例6】（2024国考网友回忆版）甲、乙两个联络站相距 10 千米。一条道
路与甲、乙联络站连线相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12千米。现需
紧邻该道路建一个工作站，问工作站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千
米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【解析】6.甲、乙两个联络站相距 10千米；一条道路与甲、乙联络站连线
相平行，且与两联络站连线的垂直距离为 12千米，画图分析，在这条道路上找
24到一点，使得到达两个联络站的距离之和最短。甲为 A 点、乙为 B 点，找到 A
点关于道路的对称点D点，连接BD，AB⊥AD，所求=OA+OB=OD+OB=BD，已知AB=10、
AD=12+12=24，提取公因子，10=2*5、24=2*12，想到勾股数（5、12、13），则
所求=2*13=26，对应D项。【选 D】
【注意】
1.斜边最长，一定大于24，可以直接选出答案。
2.出现10、24，要求斜边，不是背过的勾股数，提出公因子就会很清晰。
3.面积相关：
（1）底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比
（2）相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平
方
【注意】面积相关：
1.底（高）相同的三角形，面积比等于高（底）之比。
（1）左图：△ABC和△ABD的底相同，过C点作△ABC的高h，过D点作△
1
ABD的高h，S /S =（1/2*AB*h）÷（1/2*AB*h）=h/h。
2 △ABC △ABD 1 2 1 2
（2）右图：△ABC和△BCD的高相同，过C点作高h，S /S =（1/2*AB*h）
△ABC △BCD
÷（1/2*BD*h）=AB/BD。
252.相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【例7】（2023联考）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三
角形ABC区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，
已知BD：DE：EC=1：2：3，F为 AE的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的：
A.7倍 B.6倍
C.5倍 D.4倍
【解析】7.三角形ABC是新能源产业园区，三角形DEF是中央工厂区，已知
BD：DE：EC=1：2：3，没有给出具体长度，可以直接认为是1、2、3，问新能源
产业园区总面积是中央工厂区面积的几倍，所求=S /S 。
△ABC △DEF
方法一：△ABC是最大的三角形，△DEF 是非常小的三角形，二者无法直接
联系起来，需要找一个“中间人”（比如想要和某人交朋友，但是两个人不认识，
则可以找一个“中间人”，如室友、朋友，这个人一定要和两个人都有关系），
即△ADE，S 比S 大、比S 小，居于二者之间。△ADE和△ABC同高，过A
△ADE △DEF △ABC
点作高，面积之比等于底之比，即 S /S =BC/DE=（1+2+3）/2=3/1，S 相
△ABC △ADE △ADE
当于1份、S 相当于3份；以AE、FE为底，过D点作高，△ADE和△DEF同高，
△ABC
26面积之比等于底之比，S /S =AE/FE=2/1，S 对应 1 份，则 S 对应 0.5
△ADE △DEF △DEF △ADE
份，也可以倒推，假定 S 为 1 份，则 S 为 2 份，S /S =3/1→S 为 6
△DEF △ADE △ABC △ADE △ABC
份，所求=6/1=6，对应B项。
方法二：只给出 BD：DE：EC=1：2：3，F 为 AE 的中点，没有提及 AE 和BC
的角度，说明什么角度的答案都是唯一的、都是成立的，所以直接把 AE当成垂
直来处理。S /S =（1/2*BC*AE）÷（1/2*DE*EF）=6/2*2=6，对应B项。【选
△ABC △DEF
B】
【注意】几何特值思维：在三角形形状没有固定的情况下，可直接把 AE 当
成垂直来处理。
【拓展】（2023 国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相
交于O 点，O 到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为 1：2：3：4，一名工人
花费1天正好完成AOB区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同
的工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
27A.8 B.10
C.11 D.12
【解析】拓展.关于图形的形状，唯一的条件是“O到四个顶点A、B、C、D
的距离之比正好为 1：2：3：4”，但是没有提及 AC 和 BD 所成的角度，说明三
角形形状没有固定，直接当作垂直处理。求△AOB的面积，对角线垂直的四边形，
面积=对角线乘积/2，S =1/2*（1+3）*（2+4）=12，S =1/2*1*2=1，可能认
ABCD △AOB
为面积为1时需要1人，则面积为12时需要12人，会错选D项；问增加多少人，
12-1=11人，会错选C项；问完成剩余草坪的修剪，剩余面积=12-1=11，只需要
11人，已经有1人，还需要增加11-11=10人，对应B项。【选B】
【注意】几何特值思维：在三角形形状没有固定的情况下，可直接当成垂直
来处理。
3.面积相关：相似三角形
判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似
结论：长度（边长、高、周长、对角线等）之比=相似比，面积比等于相似
比的平方
28另，立体图形相似：体积比等于相似比的立方
【注意】面积相关：相似三角形。
1.判定：两个三角形的两个角分别对应相等，则三角形相似。如图，当∠1=
∠2、∠3=∠4时，内角和为180°，第三个角必然相等，则两个三角形相似。
2.结论：
（1）长度（边长、高、周长、对角线等）之比=相似比，面积比等于相似比
的平方。如果两个三角形的边长之比为 1：2，则面积之比为（1：2）²=1：4。
推导：如图，两个三角形相似，相似比为1：N，S /S =（1/2*AC*BD）÷
△ABC △A′B′C′
（1/2*A′C′*B′D′）=1/N*（1/N）=1²/N²=（1/N）²。
（2）立体图形相似：体积比等于相似比的立方。比如一个大圆锥里面有一
个小圆锥，两个圆锥相似，高之比为1/2，则体积之比为（1/2）³=1/8。
29【例8】（2023联考）边长为 10厘米的正方形ABCD如下图所示，E为正方
形中的某一点，已知AE长8厘米，BE长6厘米，问三角形ADE的面积为多少平
方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【解析】8.正方形ABCD 的边长为 10厘米、AE 长8厘米、BE 长6 厘米，出
现勾股数（6、8、10），说明∠AEB是直角，求三角形ADE的面积。
方法一：过 E点作△ADE的高，交 AD于F 点，求 EF，最好放在直角三角形
中，但不好直接求，因为不知道 AF，存在两个直角三角形，考虑是否相似，EF
∥AB，内错角相等，即∠FEA=∠BAE（或者∠FEA+∠FAE=90°，∠BAE+∠FAE=90°，
则∠FEA=∠BAE），所以△AEF∽△BAE，EF/AE=AE/AB→EF/8=8/10→EF=6.4，所
以S =1/2*10*6.4=32，对应B项。
△AED
方法二：A、B、C 项的差距较大，往往可以分析大小关系，连接 AC和BD，
左边蓝色三角形的面积是正方形的1/4，即10²*1/4=25，所求比25略大，排除
A项；但是到不了44，44-25=19，19/25=70+%，选择B项。
30方法三：分析，所求＞25，排除 A项；过 E点往 AD作垂线交于 F 点，在△
AEF 中，EF 是直角边、AE 是斜边，EF＜8（斜边），则 S ＜1/2*10*8=40，排
△ADE
除C、D项，选择B项。
方法四：如果本题很难、完全不知道题干条件如何用，还可以用尺子量，已
知AD=10，如果量出是5cm，说明1cm对应2，再量EF的长度，如果EF是3+cm，
则对应6+，所求=1/2*10*6+。【选B】
【注意】几何问题：
311.公式运用：需要背。
2.三角形相关：
（1）基础知识：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（2）勾股定理：
①a²+b²=c²。
②特殊勾股数（背熟）：（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13）。
③特殊三角形：
a.30°、60°、90°对应三边比例=1： ：2。
3
b.45°、45°、90°对应三边比例=1：1： 。
（3）面积相关： 2
①底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比。
②相似三角形：对应边之比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
课后测验
课后练习1（2023广东）小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小
时20千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为每小时24千米，那么将提早5
分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。
A.8 B.10
C.12 D.16
【解析】1.课堂正确率为 83%。给的单位是千米/小时，统一单位，5 分钟
=5/60=1/12小时。
方法一：时间未知，求距离，设准时到达的时间为t，列式：20t=24*（t-1/12）
→20t=24t-2，解得 t=0.5 小时，求甲镇到乙镇的距离，S=20*0.5=10 千米，对
应B项。
方法二：求路程，求谁设谁，设路程为 S，t=S/v，根据题意列式：
S/20-S/24=1/12，正面求解分母需要通分，比较麻烦，考虑代入，优先代入 10
或12，比较好算，代入B项：10/20-10/24=1/2-5/12=6/12-5/12=1/12，符合题
意。【选B】
32【注意】建议优先利用方法一，因为乘法的式子容易想，并且方程好解，除
法方程需要代入，分母通分比较费时。
课后练习2（2022联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北
方500米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5
倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，
结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600 B.1200
C.2400 D.3000
【解析】2.课堂正确率为81%。画图分析，起点为A点，终点为B点，兔子
先向正东方跑到C点后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，正北和正东方向垂
直，兔子和乌龟同时到达终点，时间相同，速度是5倍关系，则路程也是5倍关
系，S =S *5，问兔子发现跑错方向时已经跑了多少米，兔子到达C点发现跑错
兔 龟
方向，即求AC。
方法一：△ABC为直角三角形，看到500，想到（5，12，13），不可能是（3，
4，5），因为5对应斜边，猜AC=1200，如果不放心可以验证，1200+1300=500*5，
符合“兔子的路程是乌龟的5倍”，B项当选。
33方法二：代入A项，AC=600，S =500*5=2500，则BC=2500-600=1900，ABC
兔子
无法构成三角形，排除。同理，C、D项也不符合。【选B】
【注意】一定要背熟勾股数。
【答案汇总】
行程问题1-5：ADDCA；6：A
几何问题1-5：BADDA；6-8：DBB
34遇见不一样的自己
Be your better self
35
