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数量关系基础理论
2025 年国省考全程班
刘文超教育&威猛公考
——主讲：李威猛www.wenchaoedu.com刘文超教育官方网校
目录
数量的思维入门------------------------------------------------------------------------------------------------ 1
基础知识一 数的认识---------------------------------------------------------------------------------1
基础知识二 数的运算---------------------------------------------------------------------------------4
基础知识三 式与方程---------------------------------------------------------------------------------5
基础知识四 比和比例---------------------------------------------------------------------------------7
基础知识五 常见的量---------------------------------------------------------------------------------9
基础知识六 图形的认识-----------------------------------------------------------------------------11
第一章 解题方法--------------------------------------------------------------------------------------------15
第一节 代入排除法-----------------------------------------------------------------------------------15
第二节 数字特性法-----------------------------------------------------------------------------------17
第三节 方程法-----------------------------------------------------------------------------------------20
第四节 赋值法-----------------------------------------------------------------------------------------24
第五节 枚举归纳法-----------------------------------------------------------------------------------26
第六节 十字交叉法-----------------------------------------------------------------------------------27
课后练习（解题方法）--------------------------------------------------------------------------------29
第二章 比例问题--------------------------------------------------------------------------------------------32
第一节 工程问题--------------------------------------------------------------------------------------32
第二节 经济利润问题--------------------------------------------------------------------------------34
第三节 行程问题--------------------------------------------------------------------------------------36
第四节 溶液问题--------------------------------------------------------------------------------------39
课后练习（比例问题）--------------------------------------------------------------------------------40
第三章 计数问题--------------------------------------------------------------------------------------------42
第一节 容斥原理--------------------------------------------------------------------------------------42
第二节 排列组合--------------------------------------------------------------------------------------45
第三节 概率问题--------------------------------------------------------------------------------------50
课后练习（计数问题）--------------------------------------------------------------------------------52
第四章 最值问题--------------------------------------------------------------------------------------------54
第一节 最不利问题-----------------------------------------------------------------------------------54
第二节 数列构造类-----------------------------------------------------------------------------------55
课后练习（最值问题）--------------------------------------------------------------------------------56
第五章 几何问题--------------------------------------------------------------------------------------------57
第一节 几何计算--------------------------------------------------------------------------------------57
第二节 几何相关综合题目--------------------------------------------------------------------------63
课后练习（几何问题）--------------------------------------------------------------------------------65
第六章 高频小题型-----------------------------------------------------------------------------------------67
第一节 年龄问题--------------------------------------------------------------------------------------67
第二节 等差、等比数列-----------------------------------------------------------------------------68
第三节 星期日期问题--------------------------------------------------------------------------------70
第四节 牛吃草问题-----------------------------------------------------------------------------------71
第五节 钟表问题--------------------------------------------------------------------------------------72
第六节 植树问题--------------------------------------------------------------------------------------73
第七节 方阵问题--------------------------------------------------------------------------------------74www.wenchaoedu.com刘文超教育官方网校
第八节 比赛问题--------------------------------------------------------------------------------------75
课后练习（高频小题型）-----------------------------------------------------------------------------76
参考答案--------------------------------------------------------------------------------------------------------78www.wenchaoedu.com刘文超教育官方网校
数量的思维入门
基础知识一 数的认识
第一节 数的意义
整数与自然数
整数：像－3、－2、－1、0、1、2、3、……这样的数统称整数。
自然数：在数物体个数时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、……叫做自然数。一
个物体也没有就用0来表示，0也是自然数。
正整数
自然数
整数 0
负整数
分数
分数：在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除
号，分数值相当于商。
分子分母同时乘以相同的非0数，分数的大小不变。
1
乘积为1的两个数互为倒数。1的倒数为1，3的倒数为 。
3
百分数与小数
百分数：用来表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分比。
小数：像0.1，0.36，0.285，……这样的用来表示十分之几，百分之几，千分之几……
的数叫做小数。小数可以按小数部分分为有限小数和无限小数，也可以按整数部分分为纯小
数和带小数。
小数点向右移动1位、2位、3位……所得的数就扩大到原数的10倍、100倍、1000
倍……
1 1 1
小数点向左移动1位、2位、3位……所得的数就缩小为原数的 、 、 ……
10 100 1000
移动小数点时，如果位数不够就用0补足。
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第二节 数的整除及其它
整除与除尽
整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数且没有小数，我们就说a能被b
整除，或者b能整除a。0能够被任何非0的整数整除。
除尽：两个数相除，所得的商是整数或有限小数，且没有余数，就是除尽。
例如：27能被3和9整除，但27不能被4.5或6整除。27能被4.5或6除尽。
因数和倍数
如果a×b＝c（且a、b、c均为非0自然数），那么我们就说a和b是c的因数，c是a
和b的倍数。倍数和因数是互相依存的。
例如：12＝3×4，12是3和4的倍数，3和4是12的因数。
2，4，8整除判定法则
一个数能被2（或者5）整除，当且仅当末一位数字能被2（或者5）整除；
一个数能被4（或者25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或者25）整除；
一个数能被8（或者125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或者125）整除；
例如：27852的末一位是2，能被2整除；末两位是52，能被4整除；末三位是852，
不能被8整除。所以27852这个数能被2、4整除，但不能被8整除。
3，9整除判定法则
一个数字能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；
一个数字能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；
例如：73725的各位数字之和为24，能被3整除，但不能被9整除。所以73725这个数
能被3整除，但不能被9整除。
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质数与合数
质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也称为素数。最小
的质数是2，2也是唯一的偶质数。
合数：一个数，如果除了1和它本身外还有其它的因数，这样的数叫做合数。最小的合
数是4。1既不是质数，也不是合数。
质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，
叫做这个合数的质因数。
自然数可以分为0、1、质数和合数。
公因数和公倍数
公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数
的最大公因数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数
的最小公倍数。
求最大公因数与最小公倍数的方法：1、分解质因数；2、短除法。
特殊情况：如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍
数是其中较大的数。如果两个数是互质的，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们
的积。
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基础知识二 数的运算
第一节 运算基础与定律
交换律 a＋b＝b＋a
加法运算定律
结合律 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
交换律 ab＝ba
乘法运算定律 结合律 （ab）c＝（a）bc
分配律 （a＋b）c＝ac＋bc
第二节 分数的大小比较
分母相同的分数，分子大的数比较大；分子相同的分数，分母小的数比较大。
分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较。当分子较简单，而分母比较复杂或含
有未知数时，也可以将分子通分。
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基础知识三 式与方程
第一节 用字母表示数
用字母表示数的意义
用字母表示数，可以把数量关系简明地表达出来。这样的表达叫做式。
如：每本书的单价为5元，买a本书应付的钱可以写成5a。
用字母表示数的写法
在含有字母的式子里，数和字母之间的乘号可以记成“×”，也可以记作“”，还可以省
略不写。在省略乘号的时候，应当把数在字母前面，如a×4＝4a。
第二节 简易方程
等式的性质
等式两边加上（或减去）同一个数，等式仍成立。
等式两边同时乘以（或除以）相同的非0数，等式仍成立。
方程的意义与简易解法
含有未知数的等式，叫做方程。例如3x＝12，可以解得x＝4。
根据四则运算中各部分的关系来求方程的解。
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第三节 列方程解应用题
用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到
应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题。
列方程解应用题的一般步骤是：
（1）分析题意。认真读题，反复审题，弄清问题中的已知量是什么，未知量是什么，
它们之间有什么等量关系；
（2）设未知数为 x。合理选择未知数是解题的关键步骤之一．一般设题目里所求的
未知数是x，特殊情况下也可设与所求量相关的另一个未知数为x；
（3）列方程。根据所设的未知量x和题目中的已知条件，利用等量关系列出方程；
（4）解方程。求未知数x的值；
（5）检验并答题。对方程的解进行检查验算，看是否符合题意，针对问题作出答
案。（在公务员考试中，第五步一般可以省略不写。）
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基础知识四 比和比例
第一节 比与比例的意义和性质
比的意义和性质：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前
面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3
例如：3：4＝3÷4＝
4
比的前项和后项分别乘以或除以同一个数（0除外），比值不变。
比例的意义和性质：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比
例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：12：16＝6：8。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
化简比：根据比的基本性质把比化成最简单的整数比，即：把比的前项、后项化成最
大公因数为1的整数。
1）整数比的化简方法：
前项与后项都除以它们的最大公因数。
例如：16：28＝（16÷4）：（28÷4）＝4：7
2）小数比的化简方法：
根据小数点的移动规律，先将前项、后项都扩大相同的倍数，将它们化成整数比，再根
据整数比的化简方法进一步化简。
例如：1.8：2.4＝18：24＝（18÷6）：（24÷6）＝3：4
3）含有分数的比的化简方法：
用分母的最小公倍数去乘以比的前、后项，把分数比化成整数比，再将整数比化简。
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2 4 2 4
例如： ： ＝（ ×45）：（ ×45）＝18：20＝9：10
5 9 5 9
连比：三个或三个以上的数组成的比称为连比。如2：3：5。
第二节 正比例与反比例
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应
的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例
关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（定值），正比例关系可
y
以用以下关系式表示： k（定值）
x
正比例与正相关的区别
在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随
着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例。这种
情况我们一般将之称为正相关（或负相关）。
例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？一个人的
体重和他的身高，是否成正比例？
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应
的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用下面关
系式表示：xyk（定值）
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基础知识五 常见的量
一、长度单位：千米（km） 米（m） 分米（dm） 厘米（cm） 毫米（mm）
1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米
1千米＝1000米
1分米＝10厘米＝100毫米
1厘米＝10毫米
二、面积单位：公顷 平方米（m2） 平方分米（dm2） 平方厘米（cm2） 平方毫米
（mm2）
1平方米＝100平方分米
1平方分米＝100平方厘米
1平方厘米＝100平方毫米
1平方千米＝100公顷
1公顷＝10000平方米
三、体积单位：立方厘米（cm3） 立方分米（dm3） 立方米（m3）
1立方米＝1000立方分米
1立方分米＝1000立方厘米
1立方米＝1000000立方厘米
四、容积单位：毫升（mL） 升（L）
1立方厘米＝1毫升
1立方分米＝1升
1升＝1000毫升
五、质量单位：吨（t） 千克（kg） 克（g） 公斤 斤
1吨＝1000千克＝1000000克
1千克＝1000克
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1千克＝1公斤＝2斤
六、货币单位：元 角 分
1元＝10角＝100分
1角＝10分
七、时间单位：
（1）时（h） 分（min） 秒（s）
1时＝60分
1分＝60秒
（2）年 月 日
1）闰年、平年：
不是4的倍数的年份一定是平年，平年有365天。
是4的倍数的年份一般是闰年。但整百的年份，如果是400的倍数，则是闰年，否则为
平年。闰年的2月是29天，平年的2月是28天。
2）大、小月：
大月：1、3、5、7、8、10、12月是大月，每月31天。
小月：4、6、9、11月是小月，每月30天。
2月既不是大月也不是小月，每月28或29天。
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基础知识六 图形的认识
第一节 图形的基本认识
线段：用直尺把两点连接起来，就得到一条线段。这两个点叫做线段的端点。线段是
直线的一部分，它有长度，可以度量。
直线：把线段的两端无限延伸，就得到一条直线。直线没有端点，它可以向两端无限
延伸，不可度量。
平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
垂线：两条直线相交成90度时，这两条直线相互垂直。其中一条直线叫做另一条直
线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。
垂线的基本性质是：
（1）过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
（2）从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
第二节 平面图形的认识
三角形：由三条线段首尾顺次连接围成的图形叫做三角形。三角形的内角和为180度。
按角分类，分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按边分类，分为不等边三角形，等腰不等边三角形，等边三角形。
三角形的特殊线
高：过三角形的顶点作对边的垂线，垂足与顶点间的线段叫三角形的高线。
中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线，平分三角形的面积的这条线叫做三
角形的中线。
中位线：任意两边中点的连线。它平行于第三边且等于第三边的一半。
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平行四边形：在同一平面内两组对边分别平行，对角相等的四边形是平行四边形。
1. 平行四边形＋直角＝长方形
2. 平行四边形＋一组邻边相等＝菱形
3. 平行四边形＋直角＋一组邻边相等＝正方形
长方形：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形
性质：（1）长方形的四个角都是直角
（2）长方形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质：（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
性质：（1）四个角都是直角
（2）四条边都相等
（3）对角线互相垂直平分且相等
（4）既具有平行四边形的性质，还具备矩形和菱形的性质
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四边形分类示意图
圆
1. 定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆
的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。
2. 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
3. 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的
对称轴。
4. 两个半径不相等的圆，当圆心重合时，两圆之间的部分叫做圆环。通常把较大的圆
叫做外圆，半径为R；较小的圆叫做内圆，半径为r。
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第三节 立体图形的认识
长方体：由六个长方形所围成的立体图形，叫做长方体。
性质：（1）长方体有6个面。有三组相对的面完全相同。一般情况下六个面都是长方
形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。
（2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。
（3）长方体有8个顶点。每个顶点连接三条棱。三条棱分别叫做长方体的长，宽，高。
（4）长方体相邻的两条棱互相垂直。
正方体：长、宽、高都相等的长方体，叫做正方体，也叫做立方体。
正方体的六个面都是正方形，且面积相等。正方体的12条棱的长度都相等。正方体是
特殊的长方体。
圆柱：圆柱是由一个曲面和两个平面组成的，上、下底面是相等的两个圆，侧面展开
后是长方形（或正方形），两个底面之间的距离是圆柱的高。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成
的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。
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第一章 解题方法
第一节 代入排除法
1．方法定位：代入排除是行测（职测）考试第一大法、数量关系第一大法。
2．方法使用：代入排除是指将选择题的答案选项的值代入原题目，排除与题意不符
的选项，最终得出正确答案。(满足题干所有条件的选项为正确选项，有一个条件不满足
即是错误选项，给予排除)
3．方法技巧：
(1)一般情况选择较容易代入的选项进行代入验证(计算量小优先代入)；
(2)如果题干的问法是“最大、最多、至多……”，一般从最大/最多的选项代入；
(3)如果题干的问法是“最小、最少、至少……”，一般从最小/最少的选项代入。
4．代入排除适合题型：
(1)选项信息充分的题目(选项数据比较多，两个及两个以上，优先代入排除)；
(2)多位数问题、余数问题、年龄问题等；
(3)从正面无法入手的题目，一般问题是“可能”或是“不可能”考虑代入排除。
【例1】(2023辽宁)美术培训班有3名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都
是正整数；2号学员的年龄是1号学员年龄的一半；3号学员比2号学员大7岁；3名学员
的年龄之和是不超过70的素数，且该素数的各位数字之和为13，那么这3位学员的年龄分
别是多少岁？
A.12；6；13 B.20；10；17
C.24；12；19 D.30；15；22
【例2】（2024广东）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志
愿者的数量，如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务；如果增加2位
志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（ ）
位独居老人。
A.50 B.55
C.60 D.65
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【例3】（2017联考）已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7他进入成年，
又过了1/6他结婚了，婚后3年他的儿子出生了，儿子7岁时，他们的年龄和为某个质数的
平方，则张先生结婚时的年龄是：
A.38岁 B.32岁
C.28岁 D.42岁
【例4】（2023浙江）将一叠文件分为若干组，每组正好有10份文件。已知其中2组
文件中有18份通知，其余每组文件中最多有5份通知，且所有文件中通知占比正好为60%。
那么这叠文件最多可能有多少份?
A.50 B.60
C.70 D.80
【例5】（2023江苏）某高新技术企业为扩大业务，招收了两批新员工，原计划每批招
收的人数相同，实际第二批多招了4人，结果第一批和第二批招收后员工人数新增的百分比
相同。若第二批再多招 6人，则员工总人数是两次招收前员工人数的 1.5 倍。该企业招收
两批新员工前的员工人数是（ ）
A.96 B.100
C.104 D.108
【例6】（2024山东）某线上店铺将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可
销售100件。该店铺计划提高售价增加利润，若每件商品售价每提高1元，每天销售量就要
减少10件，为保证每天至少获利350元，问该商品售价应为多少？
A.不到13元 B.13~15元之间
C.15~17元之间 D.17元以上
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第二节 数字特性法
奇偶特性：自然数中能够被2整除的数叫做偶数，如0、2、4、…
自然数中不能够被2整除的数叫做奇数，如1、3、5、…
【基础】奇数±奇数＝偶数；偶数±偶数＝偶数；奇数±偶数＝奇数；
奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。
【推论】
①任意两个自然数的和是奇数，那么差也是奇数；和是偶数，那么差也是偶数。
②任意两个自然数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相
同。
③任意自然数与偶数相乘，必得偶数。
【例1】（2019天津选调）某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错
一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（ ）
A.33 B.39
C.17 D.16
【例2】（2015河南）某旅游公司有能载4名乘客的轿车和能载7名乘客的面包车若干
辆，某日该公司将所有车辆分成车辆数相等的两个车队运送两支旅行团。已知两支旅行团共
有79人，且每支车队都满载，问该公司轿车数量比面包车多多少辆？（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
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整除特性：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数且没有小数，我们就说a能被
b整除，或者b能整除a。0能够被任何非0的整数整除。
常用数字整除判定基本法则：
2，4，8整除及其余数判定法则
一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；
一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；
一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除。
3，9整除判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；
一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除。
倍数特性：
如果a∶b＝m∶n(m，n互质)，则a是m的倍数；b是n的倍数。
拓展：如果a∶b＝m∶n(m，n互质)，则a±b应该是m±n的倍数。
【例1】（2024联考）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟和自媒体运
营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到50人，其中选择智力服务领域、连锁
加盟领域和自媒体运营领域的分别占1/7，1/2和1/3。那么该学院今年选择高科技领域创业
的大学毕业生有多少人?
A.1 B.3
C.5 D.7
【例2】（2024联考）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问题，开设了暑托班。开班时
男孩与女孩的比例为3：4，后来有2个男孩、1个女孩退出暑托班，此时男孩与女孩的比例
为2：3。那么开班时女孩有多少人?
A.10 B.12
C.14 D.16
【例 3】（2024 浙江）某公司招聘员工，来应聘的男女人数比是 18:17,最后被
录取的有 280 人，其中男女人数 比是 3:4,未被录取的男女人数比是 6:5。同来应聘
的共有多少人?
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A.630 B.720
C.1050 D.1400
【例4】（2023联考）某高校今年共有231名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推
荐录取人数比上年度减少1/6，而考试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年
度高10％，那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为：
A.40人 B.45人
C.50人 D.55人
【例5】（2023北京）某单位3个部门共有员工50人，拥有中级工程师职称的人员比
重为40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为45％和32%，则丙
办公室拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【例6】（2011国考）某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女
员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？（ ）
A.329 B.350
C.371 D.504
【例7】（2022国考）高校某专业70多名毕业生中，有96%在毕业后去西部省区支援
国家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的20%，比任职大学生村
官的毕业生少2人，比在西部地区参军入伍的毕业生多1人，其余的毕业生选择去国有企业
西部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作的毕业生有多少人？
A.32 B.29
C.26 D.23
【例8】（2016山东）高校的科研经费按来源分为纵向科研经费和横向科研经费，某高
校机械学院2015年前4个月的纵向科研经费和横向科研经费的数字从小到大排列为20、26、
27、28、31、38、44和50万元。如果前4个月纵向科研经费是前3个月横向科研经费的2
倍，则该校机械学院2015年第4个月的横向科研经费是多少万元（ ）
A．26 B．27
C．28 D．31
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第三节 方程法
1．方法使用
方程法即引入未知数x、y、z等代替数字，根据题干所给的已知条件列出等式，有数
据用数据表示，无数据用未知数表示，使等式成立，并求解未知数的值。即所谓的“设—
列—解—答”4步解方程。
2．方法技巧
(1)在同等情况下，优先设所求的量；
(2)为了达到减少未知数的目的，可以设中间变量、份数(有分数、百分数、比例倍数
特征)，其中间变量应该能尽可能多地表示其他的量；
(3)多元方程组的求解，核心问题就是消元(即减少未知数个数直到可以求解为止)，当
未知数系数倍数关系比较明显时，优先考虑“加减消元法”；当未知数系数代入关系比较
明显时，优先考虑“代入消元法”。
3．方程法适合题型
(1)有明显等量关系的题目，直接列式求解；
(2)基础应用题，工程问题、行程问题等比例问题，最值问题，容斥问题等计数问题。
【例1】（2023北京）28名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有 10块羽毛球场地，所
有运动员都要上场比赛,或者参加单打比赛,或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打
比赛,且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛,则有多少名运动员参加双打比赛？
A.20 B.24
C.12 D.16
【例2】（2024国考）市政部门采购了一批灯带用于美化夜景，有30灯珠/条的M型
和60灯珠/条的N型两种规格，单价分别是20元/条和30元/条。已知所采购的M型灯带的
总灯珠数量是N型的2倍，M型灯带的总价比N型多3万元。 问共采购灯带多少条：
A．2400 B．2700
C．3000 D．3300
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【例3】某公司自主研发生产的A、B、C三种型号氢燃料电池，解决了该公司今年生
产轿车所需电池数量的10%（按一辆车配一块电池计算）。其中A型号氢燃料电池的产量
是B型号的2倍，C型号的产量比A、B两种型号的产量之和还多400块。预计该公司今年
的轿车总产量是42.4万辆，那么B型号氢燃料电池的产量是：
A.3500块 B.7000块
C.14000块 D.21400块
【例4】（2024国考）甲、乙、丙和丁四个汽车租赁公司可用汽车数量比为5:4:3:2，
现甲公司调度4辆汽车到丙公司， 丁公司调度1辆汽车到乙公司后，丁公司可用汽车数量
正好是丙公司的60%。 问此时甲公司的可用汽车数量比乙公司：
A．少12辆 B．少22辆
C．多12辆 D．多22辆
【例5】（2022联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2人并重新分配，
使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10人，第二小组人数减少1
人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的小组与人数最少的小组
之间相差：
A.15人 B.21人
C.24人 D.32人
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不定方程是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到限制的方程或方程组。
不定方程(组)解题技巧：
①代入排除，将选项作为已知量，看是否满足题意；
②数字特性(2、3、5)：奇偶特性、倍数特性、尾数特性；
③赋“0”法：不定方程组最后问题是求n(x＋y＋z)时可以使用，任意赋值一个未知数
为0进行求解。
【例1】（2019河北）集贸市场销售苹果5元/个和火龙果3元/个，花光61元最多可
购买这两种水果共多少个？
A.13 B.16
C.18 D.19
【例2】（2023上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当
值主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30秒，每
次换人增加20秒，其他情况每次增加10秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的
时长为4分30秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有
10次，那么下半场两队总共换了（ ）人。
A.1 B.2
C.3 D.4
【例3】（2024江苏）某超市为回馈消费者，将举办购物抽奖活动。每人只能抽奖一次，
奖金有三种： 一等奖888元，二等奖88元，三等奖8元。若前100个中奖者的奖金总额为
2480元，则其中获得三等奖的最少有：
A.95人 B.89人
C.79人 D.65人
【例4】（2024国考）某部门有A、B、C三个科室，共50名职员，一次全员考核中，
三个科室的平均分分别为73.3、70、80分，该部门的总分为3746分，则该部门B科室有（ ）
名职员。
A．20 B．12
C．15 D．18
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【例5】（2021黑龙江秋季）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知
大班采购春联7幅，窗花12对、小狗玩偶5个，共花费200元，中班采购对联9幅、窗花
19对、小狗玩偶5个，共花费224元。问小班采购春联10幅，窗花10对，小狗玩偶10个
需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
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第四节 赋值法
1．方法定位
赋值法是把等式中的未知数替换成适合的数字，以达到简化计算的目的。
2．方法使用
有些题目中使用x等未知数表示的数据计算较为繁琐，可以引入一些适合的数字代替
未知数(比如公倍数，1、10、100等整数)。使用赋值法的前提是不能影响最终计算结果，
赋值之后极大地简化了计算过程，并且提高计算准确率。
3.赋值法适合题型
(1)题目中给出的三个量满足“A＝B×C”的比例形式，如果只给定了其中一个量或者未
给定任何一个量的时候，采用赋值法；
(2)题目未给出明确数值，考虑赋值法；
4．方法技巧
(1)满足赋值的条件，题目中若有不变的量，优先赋值不变的量；
(2)满足赋值的条件，题目中若没有不变的量，优先赋值有限定条件的量。
【例1】（2021河北）社区居委会张阿姨为表达对志愿者的感谢，买了一些毛线，准备
织帽子和手套。这些毛线如果全部织帽子可织15个，全部织手套可织20只，现将一个帽子
和两只手套做成一个“爱心礼包”。这些毛线最多可做成几个“爱心礼包”？
A.4 B.5
C.6 D.7
【例2】（2024江苏）小顾去文具店买办公用品，经费恰好可以买18个计算器或者30
个笔记本或者50个文件夹，若购买了6个计算器，8个笔记本，剩下的钱全都买了文件夹，
请问购买的文件夹个数是：
A.10 B.14
C.20 D.26
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【例3】（2019联考）某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15万元/个；第
二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平
均价格为：
A.10万元/个 B.11万元/个
C.12万元/个 D.13万元/个
【例4】（2014联考）某钢铁厂生产一种特种钢材，由于原材料价格上涨，今年这种特
种钢材的成本比去年上升了20%。为了推销这种钢材，钢铁厂仍然以去年的价格出售，这
种钢材每吨的盈利下降了40%，不过销售量比去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的
总盈利比去年增加了多少？（ ）
A.4% B.8%
C.20% D.54%
【例5】（2021北京）小王从甲公司跳槽到乙公司，年工资总额增长25%，乙公司的
工资总额包括现金部分和股票部分，现金总额和股票价值总额比例为3:1，股票价值按照签
订合同当日股票收盘价计算。一年后公司由于重大变动股价比小王入职时下跌48%，如果
按此时股价计算，小王在乙公司工作一年获得的实际工资总额与在甲公司相比：
A.下降10% B.下降15%
C.增长10% D.增长15%
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第五节 枚举归纳法
1．方法技巧
(1)枚举时要按照一定的规律进行列举，如从小到大、从前到后(不容易出现纰漏)；
(2)归纳寻找规律时，从数据前几项入手，从简单入手。
2．枚举归纳适合题型
(1)选项或是题干数据较小，便于枚举时，采用枚举法；
(2)选项或是题干数据特别大，且按照某种规律交替反复时，可以通过枚举几个数归纳
出规律，以简化计算；
【例 1】（2024 浙江）某工厂有 100 个零件，从 1-100 编号后将编号为奇数的零
件拿掉，余下 50 个零件按顺序重新从 1 开始编号后将编号为奇数的零件拿掉，重复
上述操作直到剩下一个零件，那么余下这个零件最初的编号是多少?
A.32 B.50
C.64 D.100
【例2】（2024深圳）有如下图所示的飞镖盘，当飞镖落到数字标示的扇形区域，可得
相应分数，否则记0分，每个区域可落有多支飞镖。若一次性射出三支飞镖，恰好得到30
分，则共有（ ）种得分组合。
A.6 B.7
C.8 D.9
【例3】（2024黑龙江）有一列数按如下规律排列：第一个数是1,第二个数是2,从第三
个数起，每一个数恰好是其前两个数之和。问这列数中第2024个数除以4所得的余数是( )。
A.3 B.2
C.1 D.0
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第六节 十字交叉法
1．方法定位
十字交叉法实际上是一种简化方程的形式。
2．方法使用
凡是符合如下左边方程的形式，都可以用右边“十字交叉”的形式来简化：
A rb
AaBb(AB)r
B ar
3．方法技巧
(1)十字交叉法能够运用的第一个条件就是题干中出现了整体的量和两个部分的量，并
且符合方程Aa＋Bb＝(A＋B)r；
(2)在利用十字交叉进行列式的时候，注意乘积A×a，B×b是有意义的量，才能使用十
字交叉法。
4．十字交叉法适合题型
(1)题目中明显涉及整体、部分之间的关系，主要解决混合平均问题；
(2)平均数问题、溶液问题、经济利润问题等混合问题。
【例1】（2014广东）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均
得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选
手人数为( )。
A．48 B．45
C．43 D．40
【例2】（2023上海）某公司生产A、B两种产品，其中B是A的升级产品。经过调
研，预判2022年市场对A产品的需求比2021年下降30%（A产品的价格不变）。因此公
司决定增加对B产品营销，使B产品在2022年的销售收入比2021年增长70%，这样恰好
使公司2022年的总销售收入比2021年增长10%。则2021年B产品的销售额占总销售额的
比例是（ ）。
A.40% B.50%
C.60% D.70%
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【例3】（2024联考）高校管理学院某期培训班有不到100名学员参加，期中、期末两
次考试平均分分别为68分和75分，期中考试不及格学员平均分为53分，及格学员平均分
为74分；期末考试不及格学员平均分为47分、及格学员平均分为83分。问这期培训班有
多少名学员参加？
A.42 B.54
C.63 D.77
【例4】（2023江苏）浓度分别为 68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为 240
克。若将它们全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为 72%和 78%的酒精
溶液混合，则得浓度为 76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为 72%的酒精溶液质量
为（ ）
A.30克 B.40克
C.48克 D.60克
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课后练习（解题方法）
【练习1】（2023广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每
支团队由3名社工组成，则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工组成，同样剩余2名社
工，则该社区可能招募了（ ）名社工。
A.32 B.34
C.36 D.38
【练习2】（2023江苏）某企业篮球队16 名队员进行投篮测试，每人投篮两次，这两
次都命中得加投一次，每命中一次得1分，不命中不得分。若16人的总得分为26分，则得
分大于 1 分的队员至少有（ ）
A.5人 B.6人
C.7人 D.8人
【练习3】（2024联考）运动会招募志愿者，第一次招募了不到100人，其中男女比例
为11：7；补招若干女性志愿者后，男女比例变为4：3。问最多可能补招了多少名女性志愿
者？
A.3 B.5
C.6 D.10
【练习4】（2019河南选调）现有5盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、
17。卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊与灰太狼4种，每个盒内装的是同图案的卡片。
已知米老鼠图案的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1
倍，据此可知，图案为米老鼠的卡片的张数为：
A．7 B．9
C．14 D．17
【练习5】（2023北京）某个品牌的洗洁精分为大瓶、小瓶两种包装，5大瓶洗洁精的
总容量与12小瓶相同，8大瓶洗洁精的总容量比20小瓶少320毫升，则一大瓶洗洁精的容
量是多少毫升？
A.960 B.1000
C.1080 D.1200
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【练习6】（2024深圳）老刘家有100亩草场，平均每亩草场年产草料4吨。草场上饲
养了羊、驴、牛共252头，平均每头羊年需草料1吨，每头驴年需草料2吨，每头牛年需草
料5吨。去年老刘家草场恰好能满足草料需求，今年老刘没有饲养羊，但驴和牛的数量都翻
了一倍，草场仍恰好满足草料需求，则老刘家去年饲养了（ ）头牛。
A.32 B.33
C.34 D.35
【练习7】（2024联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9
元、4元和1元。某日销售这四种商品共40件，共盈利201元。四种商品每种至少销售1
件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？
A.21 B.27
C.29 D.31
【练习8】（2017联考）某超市购进三种不同的糖，每种糖所用的费用相等，已知这三
种糖每千克的费用分别为11元、12元、13.2元。如果把这三种糖混在一起成为什锦糖，那
么这种什锦糖每千克的成本是：
A.12.6元 B.11.8元
C.12元 D.11.6元
【练习9】（2015国考）餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的，
3桶2升装的，8桶1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升
食用油？（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
【练习10】（2010联考）n为100以内的自然数，那么能令2n-1被7整除的n有多少
个？
A.32 B.33
C.34 D.35
【练习 11】（2022 山东）某企业甲、乙两个分公司总计有党员 96 名。某次党史
知识测验中，甲分公司党员平均分比乙分公司高 1.2 分，且比两分公司党员的平均分
高 0.5 分，则甲分公司党员人数比乙分公司：
A.少不到10人 B.多不到10人
C.多10人以上 D.少10人以上
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【练习12】（2016联考）某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生
人数占总人数的30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，
问音乐系和美术系的总人数之比为多少？( )
A.5∶2 B．5∶1
C.3∶1 D．2∶1
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第二章 比例问题
第一节 工程问题
1．工程问题核心公式
工作总量＝工作效率×工作时间
2．常用方法
(1)赋值法
①只出现工作时间未出现效率之间关系的，赋值工作总量为工作时间的最小公倍数；
②出现工作效率之间的关系，直接赋值工作效率为简单值。
(2)方程法
不适用赋值法的情况下，通常根据题目中某个特定的比例关系设未知数，然后根据题目
给出的等量关系列方程求解。
【例1】（2022事业单位联考）为保障冬奥会比赛顺利进行，各场馆需对设施设备进行
测评，合格后交付使用。现对一赛道进行检测，已知检测时匀速作业，如甲机构单独检测需
要90分钟，乙机构单独检测需要135分钟，现两机构同时协作检测45分钟后，甲单独完成
剩余部分，问甲机构一共检测了多少分钟？（ ）
A.55 B.60
C.65 D.70
【例 2】（2024 浙江）甲、乙两个施工队共同完成一项工程需要 20 天。甲乙两
队合作 4 天后，乙队因故退出 6 天后回归，回归时工程总量已完成 40%。为保证按时
完工，乙队回归时带来了丙施工队，甲、乙、丙三队共同工作 10 天后刚好完成工程。
问甲、乙、丙队的效率比为多少?
A.3:6:10 B.4:8:15
C.6:3:2 D.10:5:3
【例3】（2011国考）甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工
作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程
若干天后转而参与B工程，两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参
与施工多少天？（ ）
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A．6 B．7
C．8 D．9
【例 4】（2022 山东）甲、乙、丙三个工程队承担 A、B 两项工程。已知甲队的效
率比乙队高 20%，乙队的效率比丙队高 25%。工程 A 的工作量是工程 B 的 1.5 倍。甲
队在工程 A 施工，乙队在工程 B 施工，丙队先在工程 A 施工若干天后再转到工程 B
施工。若 A、B 两工程同时开工，且 180 天同时完成。问丙队在工程 B施工多少天？
A.45 B.75
C.105 D.135
【例5】（2024国考）某工程队接到一项任务，甲、乙合作6天后完成总任务量的25%，
乙、丙合作15天后又完成剩余任务量的2/3，剩下全部任务由乙单独工作11天完成。已知
乙与他人合作时效率比其单独工作时高10%，问甲、乙、丙合作完成这项任务需要多少天：
A．24 B．28
C．16 D．20
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第二节 经济利润问题
1．题型特征
题干中涉及成本、售价、利润以及折扣等与金钱有关的题目。
2．常用公式
(1)利润＝单价－成本；期望利润＝定价－成本；实际利润＝售价－成本；
利润 售价－成本 售价
(2)利润率＝ ＝ ＝ －1；
成本 成本 成本
(3)售价＝定价×折扣(“二折”即售价为定价的20%)；
(4)总售价＝单价×销售量；总利润＝单件利润×销售量。
3．常用方法
(1)赋值法：当题目中关系式满足A＝B×C，并且只给了其中一个量或者一个量都没有给
出的情况下，可以采用赋值法，若有不变的量优先赋值不变的量，若没有不变的量优先赋值
有限定条件的量。
(2)方程法：若题目中不满足赋值的条件，引入未知数列方程求解。
4．常考题型
基本公式类，主要考查利润、利润率和折扣等问题；
分段计费类，主要涉及水电、资费、提成等需要分段计费的问题，解题关键在于找到分
段节点，分区间讨论计算。
【例1】（2023吉林）某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润
70元，如果按定价打九五折出售可获得利润100元，这款小家电进货价格所在区间是
A.400-450元 B.450-500元
C.500-550元 D.550-600元
【例 2】（2024 浙江）甲、乙两店同时开展促销活动，甲店单件商品的标价超过
50 元可以立减 20 元后再打 9 折， 乙店单件商品的标价超过 50 元可以打 8 折后再立
减 10 元。现两家店都在销售的 3 种商品，相同 商品再两店价格相同，分别为 45 元、
75 元、85 元，某人准备购买其中两种商品各一件，最少的花费在以下哪个范围之内?
A.90元以下 B.90-93元
C.93-96元 D.96元以上
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【例3】（2012联考）某网店以高于进价10%的定价销售T恤，在售出2/3后，以定价
的8折将余下的T恤全部售出，该网店预计盈利为成本的：（ ）
A．3.2% B．不赚也不亏
C．1.6% D．2.7%
【例4】（2011国考）某商店花10000进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利
润来定价。结果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这
样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的？（ ）
A. 九折 B. 七五折
C. 六折 D. 四八折
【例5】（2021河北）假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800
元不纳税；（2）超过800元但不超过4000元的部分纳税10%；（3）超过4000元的部分
纳税15%。已知张教授出版一部著作，纳税620元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000 B.8000
C.7000 D.6000
【例6】（2020国考）某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10万元以内的部
分甲得80%，10万元～20万元的部分甲得60%，20万元以上的部分乙得60%。最终乙分得
的利润是甲的1.2倍。问如果总利润减半，甲分得的利润比乙：
A. 少1万元 B. 少2万元
C. 多1万元 D. 多2万元
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第三节 行程问题
1．题型特征
题干中涉及路程、速度以及时间的关系的题目。
2．核心公式
路程＝速度×时间(s＝v×t)。
3．常用知识点
（1）速度单位换算：1m/s=3.6km/h
（2）比例的应用：
s不变，v、t反比（v :v =t :t ）；
1 2 2 1
t不变，s、v正比（s :s =v :v ）；
1 2 1 2
v不变，s、t正比（s :s =t :t ）
1 2 1 2
2v v
（3）等距离平均速度公式： 1 2 (其中v 、v 走过的s必须相等)
1 2
v ＋v
1 2
（4）火车过桥问题：S =S +S ；
总 桥 车
火车完全在桥上：S =S -S
总 桥 车
（5）流水行船问题：
顺流速度＝静水船速＋水速；
逆流速度＝静水船速－水速；
顺流航程s＝(v ＋v )×顺流时间t；
船 水
逆流航程s＝(v －v )×逆流时间t。
船 水
【例1】（2024国考）甲和乙两辆车同时从A地出发匀速开往B地， 甲车出发时的速
度比乙车快20%，但乙车行驶2小时后速度加快30千米/小时继续匀速行驶，又用了3小时
与甲车同时抵达。问A、B两地相距多少千米：
A．510 B．540
C．570 D．600
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【例2】（2016北京）小赵骑车去医院看病，父亲在发现小赵忘带医保卡时以60千米/
小时的速度开车追上小赵，把医保卡交给他并立即返回。小赵拿到医保卡后又骑了10分钟
到达医院，小赵父亲也同时到家。假如小赵从家到医院共用时50分钟，则小赵的速度为多
少千米/小时？（假定小赵及其父亲全程都匀速行驶，忽略父子二人交接卡的时间）
A．10 B．12
C．15 D．20
【例3】（2023河南）某地突发森林火灾，现有甲、乙两支消防队离火灾发生地距离相
同，但路况不同，假设两支队伍接到命令后同时出发，并且按照一定速度匀速赶往火灾现场
参与救援。已知当甲消防队走了1/3路程时，乙消防队走了9公里，当乙消防队走了1/3路
程时，甲消防队走了16公里，问甲消防队到达目的地时，乙消防队距离目的地还有多少公
里？
A.9 B.12
C.27 D.36
【例4】（2015山东）从甲地到乙地111千米，其中有1/4是平路，1/2是上坡路，1/4
是下坡路。假定一辆车在平路的速度是20千米/小时，上坡的速度是15千米/小时，下坡的
速度是30千米/小时。则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少？（ ）
A.19千米/小时 B.20千米/小时
C.21千米/小时 D.22千米/小时
【例5】（2023联考）某公路隧道长1500米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公
共汽车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间
为149秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
A.8米；5米／秒 B.10米；10米／秒
C.10米；15米／秒 D.12米；20米／秒
【例6】（2017联考）有A、B两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别
从A、B港口出发前往两地中间的C港口，C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10公里。
乙船出发后经过4小时到达C港，甲船在乙船出发后1小时出发，正好与乙船同时到达。
已知两船在静水中的速度都是32公里/小时，问河水流速是多少公里/小时？
A.4 B.5
C.6 D.7
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(6)相遇追及问题：（必须是同时出发）
相遇距离s＝(v ＋v )×相遇时间t；
1 2
追及距离s＝(v －v )×追及时间t；
1 2
直线型两端出发n次相遇，(2n－1)×S=(v ＋v )×t；
1 2
直线型单端出发n次相遇，(2n)×S=(v ＋v )×t。
1 2
(7)环形运动问题：
环形周长s＝(v ＋v )×反向运动时间；
1 2
环形周长s＝(v －v )×同向运动时间；
1 2
环线型n次相遇，n×S=(v ＋v )×t；
1 2
环线型n次追及，n×S=(v —v )×t。
1 2
【例7】（2017吉林）两个人带着宠物狗玩游戏，两人相距200米，并以相同速度1
米/秒相向而行，与此同时，宠物狗以3米/秒的速度，在两人之间折返跑，当两人相距60
米时，那么宠物狗总共跑的距离为：
A.270米 B.240米
C.210米 D.300米
【例8】小明在一个环形跑道练习跑步，跑道一圈400米，他的速度为4米/秒。小明的
哥哥想给小明送一瓶矿泉水，哥哥的速度为6米/秒。哥哥来到跑道起点的时候，小明已经
从起点出发跑了70米。如果哥哥想沿着跑道把矿泉水递给小明，至少需要多长时间？（ ）
A．33秒 B．34秒
C．35秒 D．36秒
【例9】（2010江西）甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇
离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则
A、B两地相距多少千米？
A.10 B.12
C.18 D.15
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第四节 溶液问题
1．基本公式
溶液＝溶质＋溶剂；浓度＝溶质÷溶液×100%。
2．主要题型：稀释、蒸发、混合、反复操作等。
3．常用方法：方程法、赋值法、十字交叉法、比例法。
【例1】（2014河北）浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加
入同样多的水后，浓度为多少？（ ）
A．9% B．7.5%
C．6% D．4.5%
【例2】（2020深圳）烧瓶中装有浓度为20%的盐水1000g，先向瓶中倒入甲盐水200g，
再倒入乙盐水400g，然后进行加热蒸干。已知甲盐水的浓度是乙盐水的3倍，水分蒸干后
总重量减轻至加热前的四分之一，则甲盐水的浓度为（）。
A.60% B.45%
C.20% D.15%
【例3】（2021山东）X千克甲盐水和Y千克乙盐水中的含盐量相同。将X千克乙盐
水与X千克甲盐水混合，并蒸发掉X千克水之后，得到的溶液浓度是乙盐水的Z倍。问乙
盐水的浓度是甲盐水的多少倍？
A. B.
C. D.
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课后练习（比例问题）
【练习1】（2023北京）甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用
了15天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了 9 天。则乙工程队独立完
成整个工程需要多少天?
A.10 B.15
C.16 D.20
【练习2】（2017国考）工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生
产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。
问如果所有生产线的产能都扩大一倍。任选2条生产线一起加工最多需要多少天完成？
A.11 B.13
C.15 D.30
【练习3】（2023上海）某超市设有10个人工收银台。周末10个收银台全开，顾客结
账平均排队20分钟。为提高效率，超市撤了4个人工收银台，并改造为6个自助收银台。
若自助收银的效率是人工收银效率的90%。改造后，周末当人工收银台和自助收银台全开，
预计顾客结账平均排队耗时约为。
A.12分钟 B.14分钟
C.16分钟 D.18分钟
【练习4】（2018深圳）某新款手机上市时单价是2598元，销售一段时间后，厂家采
取降价促销策略，手机单价直降300元，于是每月销量提升为原来的2倍，每月利润提升为
原来的1.5倍，则该款手机的成本价是（）元。
A.1698 B.1598
C.1498 D.1398
【练习5】（2010国考）某城市居民用水价格为：每户每月不超过5吨的部分按4元/
吨收取；超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。某
户居民两个月共交水费108元，则该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？（ ）
A．17.25 B．21
C．21.33 D．24
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【练习6】（2024联考）A、B两地相距100米，甲、乙两人分别从AB两地同时出发，
匀速相向而行，相遇后，甲原路返回A地，乙继续向A前行，当甲、乙均到A地结束。已
知乙的用时是甲的三倍，那么甲的速度是乙的：
A.2倍 B.3倍
C.4倍 D.5倍
【练习7】（2023江苏）甲骑自行车，乙步行，同时从A地前往B地。已知A、B两
地相距 4000米，甲的速度是乙的3倍。途中自行车发生故障，甲修车耽误了一段时间。当
乙到达B地时，甲离B地还有400米。在甲修车的时间段内，乙走过的路程为（ ）
A.3000米 B.2800米
C.2400米 D.2000米
【练习8】（2014江苏）如图，在长方形的跑道上，甲、乙两人分别从A处和C处同
时出发，均按顺时针方向沿跑道匀速奔跑。已知甲的速度为5米/秒，且甲第一次追上乙时，
甲恰好跑了5圈回到A处，则乙的速度为（ ）。
A.4.8米/秒 B.4.5米/秒
C.4米/秒 D.5米/秒
【练习9】（2020深圳）小王和小李从甲地去往相距15km的乙地调研。两人同时出发
且速度相同。15min后，小王发现遗漏了重要文件遂立即原路原速返回，小李则继续前行；
小王取到文件后提速20%追赶小李，在小李到达乙地时刚好追上，假设小王取文件的时间
忽略不计，则小李的速度为（）km/h。
A.4 B.4.5
C.5 D.6
【练习10】（2017北京）某种鸡尾酒的酒精浓度为20%，由A种酒、B种酒和酒精浓
度(酒精重量÷酒水总重量)为10%的C种酒按1∶3∶1的比例(重量比)调制成。已知B种酒
的酒精浓度是A种酒的一半，则A种酒的酒精浓度是( )。
A．36% B．30%
C．24% D．18%
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第三章 计数问题
第一节 容斥原理
1．基本概念及题型特征
容斥原理：在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复
计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，
把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排
斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
题型特征：出现多个不同的集合(至少两个)，求解其中某一部分的数量。
2．常用方法：画图法(文氏图)、公式法
(1)有几个不同的集合就画几个圆圈，每个圆圈代表一个集合；
(2)对几个圆圈形成的区域标记数字，图示中每一部分都有自己的含义，标数切不
可写错；注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分，及“都不满足”的情形；
(3)利用公式法进行求解时，问题问的是哪一部分，设那一部分为x。
3．两集合问题
两集合A和B之间的关系：|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|
总数＝满足A的情况数＋满足B的情况数－两个条件都满足的情况数
【例1】（2024江苏）某基层工会共有180名会员，举行甲、乙两项工会活动，60%的
会员参加甲活动，50%的会员参加乙活动，若只参加甲活动的会员有80人，则只参加乙活
动的会员有( )
A.10人 B.100人
C.62人 D.60人
【例2】（2014国考）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报
名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：1，两天的活动都报名参加的为
只报名参加周日活动的人数的50%，问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人
数的？（ ）
A．20% B．30%
C．40% D．50%
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4.三集合问题
①三集合标准型：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|B∩C|－|C∩A|＋|A∩B∩C|；
②三集合非标准型：
|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－只满足2个条件的情况数－2×满足3个条件的情况
数。
【例3】（2017天津选调）某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法
语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，
有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一
种语言都不会说的人多（ ）。
A.1人 B.2人
C.3人 D.5人
【例4】（2024深圳）某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿
进行调查，共725名学生参与调查，可选其中0至3项。结果显示，选择司法机关、律所、
企业的学生分别有360人、380人、237人，3项都选的学生有60人，3项都不选的学生有
8人，则仅选择其中1项的学生有（ ）人。
A.517 B.516
C.515 D.514
【例5】（2024国考）某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法
语；会英语的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50人，只会其中两种语言的
有100人，只会其中一种语言的有150人。问会法语的学生有多少人？
A.100 B.200
C.50 D.150
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5．多集合反向构造
题中给出多个集合(≥3)，问题中出现“至少……都……”的情况下，一般采用逆向
思考，利用极端情况来解题，解题步骤为反向、求和、做差。
【例6】（2010联考）某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人
爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢？（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
【例7】（2022江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看
过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名
受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310人 B.440人
C.620人 D.690人
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第二节 排列组合
1．排列与组合基本概念及区分
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数
的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列与顺序有关，组合与顺序无关。
2．基本公式
排列公式：Pm Am n(n1)(nm1)
n n
连乘m个
n(n1)(nm1)
组合公式：Cm Cnm
n n m(m1)1
3．加法原理和乘法原理
利用排列组合解决数量关系的题目，不仅要区分什么时候用排列(A)、什么时候用组合
(C)；还需要考虑用“＋”还是“×”把一系列的排列组合联系起来。
加法原理：若完成一件事，可以根据某个条件分为几种情况，各种情况都能独立完成任
务，则将多种情况计算出的结果相加，所得的和为完成这件事的种类数。
乘法原理：若完成一件事，需要划分成多个步骤依次完成，每个步骤内的任务之间没有
交叉，则将每个步骤计算出的结果相乘，所得的积为完成这件事的种类数。
【例1】（2023吉林）某教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习
作业和问卷考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与
练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120种 B.72种
C.36种 D.24种
【例2】（2011浙江）某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最
多订四种，那么每个同学有多少种不同的订报方式？（ ）
A．7种 B．12种
C．15种 D．21种
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【例3】（2024联考）某单位从所有职工中选出若干人参加培训，如果选择4人，可能
的选择方式正好是选择3人时的10倍，问该单位有多少名职工？
A.32 B.33
C.42 D.43
【例4】（2022联考）滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、
单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和北欧两项是滑雪大项中的6个分项，短道速滑、速度滑冰
和花样滑冰是滑冰大项中的3个分项。小林打算去现场观看比赛，共选择6个项目，并且每
个大项不少于1个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的观赛方式有：
A.83种 B.84种
C.92种 D.102种
【例5】（2024国考）公司有六个编号依次为1—6的研发团队，现安排这6个团队参
与甲、乙两个科研课题，要求每个团队参与一个课题。每个课题最少安排2个团队，每个课
题安排一个团队负责，且负责团队不能是该课题所有参与团队中编号最小的团队。问有多少
种不同的安排方式？
A.300 B.340
C.150 D.170
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常用技巧和方法1
捆绑法：如果题目要求一部分元素必须在一起，需要先将要求在一起的部分视为一个整
体，再与其他元素一起进行排列。（先排绳子整体，再排绳子内部）
【例6】（2024联考）某公司开展迎新春三分球投篮比赛。3个部门分别派出2、4、4
个选手共计10人参加。规则要求同一个部门的选手顺序相连、全部投完再安排另一个部门
的人员开始投篮，则这10人不同的投篮顺序种数的范围是：
A.小于1000 B.1000~5000
C.5001~10000 D.10000以上
【例7】（2020新疆）某美术馆计划展出12幅不同的画，其中有3幅油画、4幅国画、
5幅水彩画，排成一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有
多少种不同的陈列方式？
A.不到1万种 B.1万—2万种之间
C.2万—3万种之间 D.超过3万种
常用技巧和方法2
插空法：如果题目要求一部分元素不能在一起，则需要先排列其他主体，然后把不能
在一起的元素插空到已经排列好的元素中间。
【例8】（2015国考）把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种
植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。
问有多少种不同的种植方法？（ ）
A.36 B.50
C.100 D.400
【例9】（2016山东选调）单位工会组织拔河比赛，每支参赛队都由3名男职工和3
名女职工组成。假设比赛时要求3名男职工的站位不能全部连在一起，则每支队伍有几种不
同的站位方式？
A.432 B.504
C.576 D.720
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常用技巧和方法3
隔板法：如果题目表述为一组相同的元素分成数量不等的若干组，要求每组至少一个元
素，则将隔板插入元素之间，计算出分类总数。
【例10】（2020联考）某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有一名
交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：
A.35种 B.70种
C.96种 D.114种
【例11】（2010国考）单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放
9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？（ ）
A．12 B．10
C．9 D．7
常用技巧和方法4
错位排列：有n个元素和n个位置，如果要求每个元素的位置与元素本身的序号都不同，
则n个元素对应的排列情况分别为：D ＝0种，D ＝1种，D ＝2种，D ＝9种，D ＝44种，……，
1 2 3 4 5
D ＝(n－1)(D ＋D )种。
n n－2 n－1
【例12】（2015山东）某单位从下属的5个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他
科室，如每个科室只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？（ ）
A．120 B．78
C．44 D．24
【例13】（2020事业单位联考）某个为期2天的会议有8名发言人，每人在每天都要
发言1次。已知第1天的发言次序固定，第2天要求仅有3名发言人的发言次序与第1天一
样，且另有2人正好交换发言次序，问共有多少种不同的安排方式？（ ）
A.不到500种 B.500~1000种之间
C.1000~2000种之间 D.超过2000种
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常用技巧和方法5
环形排列：n个元素围成一圈排列，其排列方式为An－1种
n－1
【例14】（2021联考）幼儿园举办亲子交流会，有4对母子参加，并围成一圈，已知
每对母子必须相邻而坐，有多少种不同的坐法？
A.24 B.48
C.96 D.384
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第三节 概率问题
1．概率基本概念及核心公式
概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，它是概率论的基本概念。概率是对
随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性
大小。越接近1，则该事件越可能发生；越接近0，则该事件越不可能发生，即概率P满足
0≤P≤1。
核心公式：
某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数；
某种情况发生的概率＝1－某种情况不能发生的概率。
2．分类概率与分步概率
与排列组合类似，多个概率间可以用“＋”或是“×”连接。
分类概率：某项任务可以在多种情况下完成，则分别求解满足条件的每种情形的概率，
然后将所有概率值相加。
分步概率：某项任务必须按照多个步骤完成，则分别求解特定条件下每个步骤的概率，
然后将所有概率值相乘。
3.符合抓阄模型的概率相同，且与第一个人概率相同
【例1】（2024联考）某社区服务中心拟引入优质资源为本社区45名老人提供居家养
老服务。已知老人的年龄构成如下（设老人的年 龄为x）：60≤x＜70有17人，70≤x＜80
有12人，80≤x＜90有11人，90岁及以上有5人。现从该社区中随机抽取两名老人了解居
家养老服务情况，那么这两名老人恰好都在80岁以上（含80岁）的概率是：
A.4/33 B.11/45
C.16/45 D.1/3
【例2】（2024辽宁）一盒中有10支晶体管，其中有2支次品，8支正品。现从中连
取两次，每次取1支，取后不放回，则至少取到1支次品的概率是：
A.28/45 B.17/45
C.16/45 D.1/45
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【例3】（2024联考）中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有3个是蛋黄
馅的。回到家后，小赵从中任取3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅的概率是：
A.9/20 B.1/2
C.3/5 D.11/20
【例4】（2012联考）甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字，但记得这个数
字不是“0”。甲某尝试用其他数字代替最后一位数字，恰好第二次尝试成功的概率是（ ）。
A. 1/9 B.1/8
C.1/7 D.2/9
【例5】（2023江苏）某公司实行弹性工作制，允许居家办公，但要求员工每周的周一
到周五至少有两天在公司工作。小王、小李和小陈都是该公司的员工，若他们分别从下周的
周一到周五中随机选 2 天、3天、4天去公司工作，则他们下周三都去公司工作的概率是（ ）
A.1/25 B.6/125
C.24/125 D.3/250
【例6】（2014浙江）两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队
的主场，第二场在乙队的主场。已知甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队
赢得这个系列赛的概率为多少？（ ）
A.0.3 B.0.595
C.0.7 D.0.795
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课后练习（计数问题）
【练习1】（2020深圳）某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉
和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数
量的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香
蕉的狒狒数量的：
A.1/5 B.3/10
C.2/13 D.4/15
【练习2】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的
有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电
影的有（ ）
A.22人 B.28人
C.30人 D.36人
【练习3】（2024山东）某医院积极响应国家号召，组建医疗小分队赴西部地区开展对
口支援工作。该医院现有6名男医生和3名女医生报名，现从9人中抽取一组男女医生都有
的3人小分队。问有多少种不同的组队方式？
A.63 B.70
C.73 D.60
【练习4】（2021联考）随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号
码需要扩容。某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五
位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（除O、I外），
那么这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为：
A.397440辆 B.402400辆
C.552000辆 D.576000辆
【练习5】（2016北京）某次专业技能大赛有来自A科室的4名职工和来自B科室的
2名职工参加，结果有3人获奖且每人的成绩均不相同。如果获奖者中最多只有1人来自B
科室，那么获奖者的名单和名次顺序有多少种不同的可能性？
A．48 B．72
C．96 D．120
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【练习6】（2023陕西）某空军基地举行飞行训练，有8架歼击机、3架预警直升机、
2架反潜直升机参与训练，每架飞机编号不同。训练时，需派出3架歼击机、2架预警直升
机、1架反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞1架飞机，其中3架歼击机必须相邻起
飞，2架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起飞方式有多少种？
A.504 B.4032
C.8064 D.24192
【练习7】（2024山东）山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、
柳编、葫芦画、锡雕、鲁班枕8个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8个展厅中随机选
取3个进行参观。问叶雕和皮影展厅至少一个被选中的概率是多少？
A.5/14 B.15/28
C.9/14 D.19/28
【练习8】（2023国考）单位将10个培训名额分配给4个分公司，要求在每个分公司
至少分配1个名额的所有分配方案中，随机选择1个方案实施，问4个分公司中有3个分配
名额数量相同的概率为多少？
A.3/50 B.1/10
C.3/25 D.1/7
【练习9】（2015河南）甲、乙两名实力相当(每一局两人中任意一人获胜的概率相同)
的棋手进行7局4胜制的比赛，前3局赛完后，甲以2：1领先于乙，那么甲获得最后胜利
的概率是多少？（ ）
A.2/3 B.3/4
C.5/8 D.11/16
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第四章 最值问题
第一节 最不利问题
1．题型特征
当题目问题中出现“至少……保证……”时即为最不利构造的题目。
2．通用方法
找到最不利的情形或是所有不利的情况，最后答案＝最不利情形数＋1；
最不利情形构造方法：问题中是“至少……保证……”，“保证”后面的值为保证值，保证
值－1＝不利值，所有不利值加起来就是最不利情形数。
【例1】（2023山东）一个袋子里装了50个苹果，5个香蕉，30个橘子和50个梨，若
每次从袋子里随机取出1个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10个相同种类的水果？
A.10 B.35
C.33 D.32
【例2】（2024辽宁）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了
拔河、羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至
少有5名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：
A.40名 B.41名
C.50名 D.51名
【例3】（2024深圳）某早餐店推出“10元2件”套餐，顾客花费10元即可在白粥、豆
浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件，既可以选相同的，也可以选不同的。
则至少售出（ ）份该套餐时，一定有2份套餐的搭配完全一致。
A.15 B.16
C.21 D.22
【例4】（2012浙江）有编号为1～13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至
少摸出多少张，就可保证一定有3张卡片编号相连？（ ）
A．27张 B．29张
C．33张 D．37张
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第二节 数列构造类
1．题型特征
当题目的问题中出现“最多(少)……最少(多)……”“排名第……最多(少)……”时即为数
列构造类题目。
2．通用方法
第一步：排序，将需要比较大小或多少的元素进行排序；
第二步：定位，问题问的是哪一个元素的值，设为未知数x；
第三步：构造，根据问题问的x是最多(少)，构造其他元素的值；
第四步：求和，将构造出的所有元素求和，应该等于总数，求解x。
【例1】（2012河北）要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要
求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几
棵？
A．7 B．8
C．10 D．11
【例2】（2013国考）某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同
部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少
为多少名？（ ）
A．10 B．11
C．12 D．13
【例3】（2021浙江）某通信信道可以传输的信号由1、2、3、4四个数字组成，每组
信号包含4个数字（可重复），且前两个数字必须为奇数。某次传输过程中共传输了250
组信号，其中传输次数最多的信号传输了x次。问x的最小值为:
A.2 B.3
C.4 D.5
【例4】（2024联考）部队射击比赛中，5名参赛的战士共击中了88次目标。已知任
意2人击中的目标数量均互不相同，问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？
A.37 B.39
C.58 D.82
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课后练习（最值问题）
【练习1】（2013国考）某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务
能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员
参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？( )
A．17 B．21
C．25 D．29
【练习2】（2020深圳）某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7种颜色的荧光
棒各若干只，每名观众可在入口处任意选取2只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少
（）名观众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。
A.14 B.22
C.28 D.29
【练习3】（2014国考）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖
店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最
后的城市，最多有几家专卖店？（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
【练习4】（2021国考）某地10户贫困农户共申请扶贫小额信贷25万元。已知每人申
请金额都是1000元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2
倍，且任意2户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信
贷？
A.1.5 B.1.6
C.1.7 D.1.8
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第五章 几何问题
第一节 几何计算
1．常用公式
（1）n边形的内角和与外角和：
n边形内角和＝(n－2)×180°，n边形外角和恒等于360°。
（2）常用周长公式：
正方形周长C ＝4a；长方形周长C ＝2(a＋b)；圆形周长C ＝2πR。
正方形 长方形 圆
（3）常用面积公式：
正方形面积S ＝a2；长方形面积S ＝ab；圆形面积S ＝πR2；
正方形 长方形 圆
1
三角形面积S ＝ ah；平行四边形面积S ＝ah；
三角形 平行四边形
2
1 n
梯形面积S ＝ (a＋b)h；扇形面积S ＝ πR2。
梯形 扇形
2 360
（4）常用表面积公式：
正方体的表面积＝6a2；长方体的表面积＝2ab＋2bc＋2ac；
圆柱的表面积＝2πRh＋2πR2，圆柱的侧面积＝2πRh；球的表面积＝4πR2。
（5）常用体积公式：
4
正方体的体积＝a3；长方体的体积＝abc；球的体积＝ πR3；
3
1
圆柱的体积＝πR2h；圆锥(棱锥)的体积＝ ×底面积×高。
3
2.常见几何性质
（1）三角形不等式性质
两边之和大于第三边
（2）等比例放缩性质
若一个几何图形尺度变为原来的m倍，则长度变为原来的m倍，面积变为原来的m2
倍，体积变为原来的m3倍。
注：当m>1时，尺度在按比例放大；当m<1时，尺度在按比例缩小。
（3）等量最值原理
周长相同的多个平面图形，越接近于圆，其面积越大；面积相同的多个平面图形，越
接近于圆，其周长越小。
表面积相同的多个立体图形，越接近于球，其体积越大；体积相同的多个立体图形，
越接近于球，表面积越小。
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重要考点1：勾股定理
指三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2
常见的勾股数（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13），（7、24、25）
【例1】（2024国考）甲、乙两个联络站相距10千米。一条道路与甲、乙联络站连线
相平行，且与两联络站连线的垂直距离为12千米。现需紧邻该道路建一个工作站，问工作
站距离甲、乙联络站距离之和最小为多少千米？
A.20 B.22
C.24 D.26
【例2】（2024联考）一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一
条直角边外的水管长7米。若在水管上随机任选1个点做标记，则该标记点在斜边上的概率
在以下哪个范围内？（忽略水管直径）
A.小于0.35 B.在0.35~0.42之间
C.在0.42~0.50之间 D.大于0.50
【例3】（2021四川）一块长方形土地ABCD中绘有3条会侧线如图所示。已知AE
和CF垂直于对角线BD，AE、EF分别长8米和12米。问整块土地的面积为多少平方米?
A.96 B.156
C.160 D.240
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重要考点2：相似三角形与等高三角形
（1）相似三角形：已知上三角形与下三角形对应边长比为1:2，则面积比1:4
（2）等高三角形：已知BD：DC=1:2，则△ABD与△ADC面积比1:2
【例4】（2023吉林）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC
区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF是中央工厂区，已知BD：DE：
EC=1:2:3，F为AE的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
A.7倍 B.6倍
C.5倍 D.4倍
【例5】（2023国考）一个三角形公园ABC内的道路如下图中实线所示。已知AE=EF=FB，
AD=DC ，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
A.9 B.12
C.16 D.18
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重要考点3：不规则图形计算
通过作辅助线，进行割补平移，把不规则图形，变成规则图形，进行计算。
【例6】半径为5厘米的三个圆弧围成如右所示的区域，其中AB弧与AD弧四分之一
圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘米（ ）
A．25 B．10＋5л
C．50 D．л
【例7】（2023浙江）某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为
6米，小圆的直径为2米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的
三条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A. B.
C. D.
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重要考点4：等比例放缩性质
若一个几何图形尺度变为原来的m倍，则长度变为原来的m倍，面积变为原来的m2
倍，体积变为原来的m3倍。
注：当m>1时，尺度在按比例放大；当m<1时，尺度在按比例缩小。
【例8】（2023江苏）一个 A型 4G基站的地面覆盖半径为 1～3千米，一个 B型 5G
基站的地面覆盖半径为 100～200米。按此计算，一个 A型 4G基站的地面覆盖面积为 B
型 5G基站的（ ）
A.100～225倍 B.100～900倍
C.25～225倍 D.25～900倍
【例9】（2023联考）某餐馆承诺25分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。
每张餐桌上都有一个装满后正好25分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等
待的过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还
未上菜，这位顾客将享受免单服务：
A.不到3分钟 B.3—4分钟之间
C.4-5分钟之间 D.超过6分钟
【例10】（2024联考）气象学中，24小时内降落在某面积上的雨水深度叫做日降雨量
（不考虑渗漏、蒸发、流失等损耗，单位：mm），将日降雨量记为w，其等级划分如下：
小雨（0.1≤w＜10 ），中雨（10≤w＜25），大雨（25≤w＜50），暴雨（50≤w＜100）。某
地某日用一个圆锥形容器接了24小时的雨水（如下图所示），则该地日降雨量等级是：
A.暴雨 B.大雨
C.中雨 D.小雨
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重要考点5：常规平面几何、立体几何计算类
注意几何公式的正确使用，注意几何常见性质的正确使用
【例11】（2024联考）某公园绿化管理部门采购了100片围栏，每片长1米且不可弯
折。现拆分拟围成5块周长相等且互不相邻的矩形花卉区域。若不考虑拼接间隙，那么这5
块区域的最大与最小面积最多可相差多少平方米？
A.10 B.12
C.16 D.25
【例12】（2023北京）现有6根钢筋，长度分别为4尺、7尺、8尺、9尺、10尺和
12尺。现每次抽取3根首尾相连组成一个三角形，则一共能组成多少个不同的三角形？
A.20 B.19
C.18 D.17
【例13】（2023江苏）某食品企业为丰富产品造型，将一款甜点的外形由圆柱形改为
半球形。若圆柱形甜点的底面半径是高的 2倍，半球形甜点的体积缩小到圆柱形甜点的9/16，
则半球形甜点的底面半径是圆柱形甜点底面半径的（ ）
A.1/4 B.1/3
C.2/3 D.3/4
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第二节 几何相关综合题目
1．直角坐标系结合行程问题
常用技巧：勾股定理、三角函数、行程问题比例法
【例1】（2020国考）部队前哨站的雷达监测范围为100千米。某日前哨站侦测到正东
偏北30° 100千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150
千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无
人机相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A. B.
C. D.3
【例2】（2024山东）某巡逻艇在海域A点发现正南方30千米处的B点有一艘可疑船
只正匀速向正西方行驶，巡逻艇以比该可疑船只快1/3的速度沿某一方向直线追击，两船恰
好在C点相遇。问B、C两点之间的距离约为多少千米？
A.26 B.28
C.30 D.34
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2．几何最值问题
常用技巧：
（1）两点之间直线最短
（2）点到直线垂线段最短
（3）几何作图构造（极限思维）
【例3】（2017广州）某工业园拟为园内一个长100米、宽8米的花坛设置若干定点智
能洒水装置，洒水范围是半径为5米的圆形。要保证花坛各个区域都可被灌溉，最少需要（ ）
个洒水装置。
A.17 B.18
C.19 D.20
【例4】（2021四川）下图是长为3a厘米，宽、高均为a厘米的正方体。一只蚂蚁以
m厘米/秒的速度沿如图所示的路径由A点爬行到B点后，又沿棱BA爬回A点。问其全程
用时最短可能为多少秒？
A.7a/m B.8a/m
C.9a/m D.10a/m
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课后练习（几何问题）
【练习1】（2023联考）边长为10厘米的正方形ABCD如下图所示，E为正方形中某
一点，已知AE长8厘米，BE长6厘米，问三角形ADE的面积为多少平方厘米？
A.24 B.32
C.44 D.48
【练习2】（2023国考）公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O点，
O到四个顶点A、B、C、D的距离之比正好为1：2：3：4，一名工人花费1天正好完成AOB
区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起工作，才能在当天内完
成剩余草坪的修剪？
A.8 B.10
C.11 D.12
【练习3】（2022四川）在一块边长为8米的正方形草坪上架设了5个自动洒水器，洒
水器的洒水半径为2米（如图所示）。问草坪上同时被两个洒水器洒到水的区城（灰色）面
积比没有洒到水的区城（黑色）面积:
A.小不到5平方米 B.小5平方米以上
C.大不到5平方米 D.大5平方米以上
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【练习4】（2024黑龙江）有一个高为 h的圆锥形容器，若容器内装有10升水，水面
高度恰好为容器高度的一半。问该容器最多能装( ) 升水。
A.80 B.60
C.40 D.20
【练习5】（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为28米的篱笆围成一
个三角形形状的场地，已知第一条边长为m米，由于条件限制第二条边长只能是第一条边
长度的1/2多4米，若第一条边是唯一最短边，则m的取值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【练习6】（2024辽宁）甲、乙两个圆柱容器底面积之比为3：4，分别盛有7厘米高
和10厘米高的液体，现在向两个容器内注入同样多的液体，直至两个容器内液体的高度相
等，问甲容器内液面上升至：
A.9厘米 B.12厘米
C.15厘米 D.19厘米
【练习7】（2021联考）乙地在甲地的正东方26千米处，丙地在甲、乙两地连线的北
方，且与甲、乙的距离分别为24千米和10千米。一辆车从甲、乙两地中点位置出发向正北
方行驶，在经过甲丙连线时，与丙地的距离在以下哪个范围内？
A.不到8千米 B.8—9千米
C.9—10千米 D.10千米以上
【练习8】某公司要在长、宽、高分别为50米、40米、30米的长方体建筑的表面架设
专用电路管道联接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于：（ ）
A.70—80米之间 B.60—70米之间
C.90—100米之间 D.80—90米之间
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第六章 高频小题型
第一节 年龄问题
1.“家人型”年龄问题
（1）一般不存在“姐弟恋”，爸＞妈、爷＞奶（一般大1、2、3、4岁）
（2）法定结婚年龄才能婚配，一般提倡稍微晚婚晚育（生孩子年龄25-35之间）
2.“朋友型”年龄问题
（1）过N年，每人都长N岁；
（2）两个人的年龄差在任何时间节点都不发生改变（出生例外）；
（3）常用技巧：代入排除法、列表方程法
【例 1】（2023 联考）一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子
年龄的 8 倍，而 10 年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的 5 倍。今年爸爸、妈妈
的年龄在各种可能组合中乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A.39 B.40
C.50 D.51
【例 2】（2024 浙江）小张和小王的年龄之和为 45 岁。5 年之后小李的年龄比小
张的 3 倍少 16 岁。已知小张的年龄比小王小，那么再过 5 年，3 人的平均年龄最大可
能为多少岁?
A.45 B.48
C.50 D.54
【例3】（2024国考）2023 年王的年龄比张的年龄的2倍小2岁，2025年张的年龄是
李的年龄的1.5倍，2030年张和李的年龄之和与王的年龄相同。问3人的年龄之和在哪一年
第一次超过120岁？
A.2037年 B.2036年
C.2035年 D.2034年
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第二节 等差、等比数列
1.等差数列：
相邻两项之差(后项减去前项)等于定值的数列，如2，5，8，11，…
(1)等差数列通项公式：a ＝a ＋(n－1)d；
n 1
(其中a 为首项，a 为末项，n为项数，d为公差)
1 n
等差数列项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1；
a －a
(2)等差数列级差公式：d＝ m n；
m－n
(3)等差数列求和公式：
a ＋a
S ＝ 1 n ×n＝平均数×项数＝中位数×项数。
n
2
注意：对于等差数列，其平均数＝中位数。
2.等比数列：
相邻两项之比(后项除以前项)等于定值的数列，如5，15，45，…
(1)通项公式：a ＝a ×qn－1(a ≠0，q≠1)；
n 1 1
1－qn
(2)求和公式：S ＝a × (q≠1)。
n 1
1－q
【例1】（2024江苏）已知4人的年龄总和为142岁，且他们的年龄恰好构成等差数列，
若其中一人的年龄为47岁，则这4人中年龄最大的为：
A.62岁 B.70岁
C.80岁 D.91岁
【例2】（2020联考）红星中学高二年级在本次期末考试中竞争激烈，年级前7名的三
科（语文、数学、英语）平均成绩构成公差为1的等差数列；第7、8、9名的平均成绩既构
成等差数列，又构成等比数列。张龙位列第10，与第9名相差1分；张龙的英语成绩为121
分，但老师登记为112分。问张龙本应排在第几名?
A.4 B.5
C.7 D.8
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【例3】（2024国考）甲、乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多
生产m件，乙每天比前一天少生产2m件，第5天两条生产线的当日产量相同，且前5天
乙的累计产量是甲的2倍。 问第一天乙的产量是甲的多少倍：
A．7 B．6
C．5 D．4
【例4】（2011联考）小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知
小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高( )。
A．700元 B．720元
C．760元 D．780元
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第三节 星期日期问题
1.平年与闰年：平年有365天，闰年有366天(多了2月29日)。
口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。
2.大月与小月：
大月31天(1、3、5、7、8、10、12月)；小月30天(4、6、9、11月)；
2月平年28(闰年29)天。
3.常用技巧：
（1）每连续7(28)天必有1(4)个星期一到星期日；
（2）365÷7＝52…1；每过一个平年，星期增加1；
366÷7＝52…2；每过一个闰年，星期增加2(过的一年包含2月29日则为过的闰年)；
（3）每隔n天=每n+1天
【例1】（2022青海）2021年7月1日是中国共产党建党100周年的纪念日，这一天
是星期四，那么建党110周年纪念日是：
A.星期一 B.星期二
C.星期三 D.星期四
【例2】（2024广东）只有在星期六，小王才会去图书馆。如果某年3月小王一共有5
天去过图书馆，则当年4月1日可能是（ ）。
A.星期二 B.星期三
C.星期五 D.星期六
【例3】（2019青海）小王负责甲、乙、丙、丁四个采购基地的采购任务，甲、乙、丙、
丁四基地分别需要每隔2天、4天、6天、7天去采购一次。7月1日，小王分别去了四个基
地采购，问他整个7月有几天不用去采购基地采购？
A.10天 B.11天
C.12天 D.13天
【例4】（2024国考）小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9月和
10月，小张分别参加了13次和14次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天？
A.12月31日 B.12月30日
C.12月29日 D.12月28日
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第四节 牛吃草问题
1．牛吃草问题的难点在于草每天都在不断生长，草的数量在不断变化。解答这类题目
的关键是想办法从变化中找出不变量，我们可以把总草量看成两部分的和，即原有的草量加
新长的草量。显而易见，原有的草量是一定的，新长的草量虽然在变，但如果是匀速生长，
我们也能找到另一个不变量——每天(每周)新长出的草的数量。
基本特点：原有草量和新草生长速度是不变的；
关键问题：确定两个不变的量；
基本公式：原有草量+天数×每天长草量=牛数×天数×1，
字母表示为：y+时间×x=A×B×1（1为单位修正，默认每头牛每天吃1）
2．牛吃草问题模型可以应用到超市收银台结账、漏船排水、窗口售票等各种情境。
【例1】（2020浙江）火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加
排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时
90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟?
A.36 B.38
C.40 D.42
【例2】（2024联考）某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都
有定量的自然损耗，如果提货方每天运走1.5吨产品，则50天运完；如果提货方每天运走2
吨产品，则40天运完。那么这批农副产品有多少吨?
A.75 B.80
C.100 D.110
【例3】（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增
前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8个接种台，6小
时后不再有人排队；若开12个接种台，3小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人
数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为：
A.14个 B.15个
C.16个 D.17个
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第五节 钟表问题
1.表盘一周为360°，分针的旋转速度为6°/分钟，时针的旋转速度为0.5°/分钟；并且时
针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。
2.时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°角也是22次。
3.常用技巧
把表盘想象成360°的环形跑道，分针以速度6°/分钟、时针以速度0.5°/分钟沿着跑道进
行比赛，相当于行程问题中的环形追及问题，即追及的距离S＝(6－0.5)×t。
【例1】（2021河北）张爷爷早晨5点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角
为110°，不到6点钟进门时，钟表上的时针和分针的夹角仍是110°，那么张爷爷外出时间
是多少分钟?
A．30分钟 B．35分钟
C．40分钟 D．45分钟
【例 2】（2024 浙江）时钟的分针顶点距离圆心 5 厘米，现在时间为 7:30,那么
接下来时针和分针第三次成直角的时候，分针顶点走过的长度累计为多少厘米?
A. π B. π
156
11 15
C. π D. π
47 33
【3例3】（2020深圳）小成下午2点有课，出门前他发现2寝室的挂钟因电池耗尽停在
12点，于是匆匆换了新电池但是忘了校准时间就离开寝室，到达教室时发现离上课还有15
分钟，课后小成在教室自习到晚上9点才动身离开，到达寝室时发现挂钟显示为7点45分，
若小成在寝室与教室之间往返用时相同，则其离开寝室的实际时间为下午（）。
A.1点15分 B.1点26分
C.1点30分 D.1点36分
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第六节 植树问题
1.单边线性植树：棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔；
2.单边环形植树：棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔。
注意：区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树。
【例1】（2016北京）某单位两座办公楼之间有一条长204米的道路，在道路起点的两
侧和终点的两侧已各栽种了一棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树，使每一侧每两棵
树之间的间隔不多于12米。如栽种每棵树需要50元人工费，则为完成栽种工作，在人工费
这一项至少需要做多少预算？( )
A．800元 B．1600元
C．1700元 D．1800元
【例2】（2024广东）某个障碍跑项目需要在100米长的跑道上布置障碍（起点和终点
均不布置）。如果从起点开始，每隔4米布置一个甲障碍，每隔6米布置一个乙障碍，甲、
乙障碍的重合点则不布置甲障碍。则跑道上总共布置（ ）个甲障碍。
A.16 B.17
C.24 D.25
【例3】（2020深圳）某公园举办春节花展，在周长400米的中心区布置了环形花槽，
并在花槽上每隔16米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，
但仍保持灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间
距最大为（）米。
A.12 B.10
C.8 D.5
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第七节 方阵问题
1.N排N列的实心方阵人数为N2人；
2.方阵最外层人数为4(N－1)人；其他多边形可类推(如三角形：3N－3)；
3.无论是方阵还是长方形矩阵，相邻两圈的人数都满足外圈比内圈多8人。
【例1】（2019事业单位联考）学校校庆计划进行方阵表演，男女同学按照最外层是男
生，从外往内每层按男生、女生相间排列。已知最外层有60位男生，问整个方阵男生比女
生多多少人？
A.16 B.24
C.32 D.40
【例2】（2023河南）某学院有新生两百多人，将学生从1开始依次编号，选取编号为
3的倍数的学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m为整
数）的倍数的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242 B.243
C.245 D.246
【例】（2024深圳）某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，
然后融合并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8架无人
机，且原红方阵恰好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4
架。则参加灯光秀表演的无人机共有（ ）架。
A.260 B.233
C.196 D.185
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第八节 比赛问题
1.淘汰赛：每场比赛淘汰一人(一队)。
2.循环赛：n个队伍单循环赛场次有C2，n个队伍双循环赛(分主客场)场次有A2。
n n
【例1】（2023山东）某工会组织了一次乒乓球单打比赛，由54名职工参加，比赛规
则如下：每轮比赛所有参赛人抽签捉对厮杀，胜者和轮空者进入下一轮，直至决出冠军，问
总共要进行多少轮比赛？
A.4 B.5
C.6 D.7
【例2】（2017河南）140支社区足球队参加全市社区足球淘汰赛，每一轮都要在未失
败过的球队中抽签决定比赛对手，如上一轮未失败过的球队是奇数，则有一队不用比赛直接
进入下一轮。问夺冠的球队至少要参加几场比赛?（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【例3】（2024山东）某市举办高校足球比赛，每所高校都要与其余所有参赛高校各进
行一场比赛。积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分。已知此次比赛的
冠军积分为14分，其中取胜场次比平局场次多2场，平局场次是告负场次的2倍。问参加
这次足球比赛的高校有多少所？
A.7 B.8
C.9 D.10
【例4】（2011国考）小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，
三人约定每一局的输方下一局休息。结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，
小孙共打了5局，则参加第9局比赛的是：
A. 小钱和小孙 B. 小赵和小钱
C. 小赵和小孙 D. 以上皆有可能
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课后练习（高频小题型）
【练习1】（2021联考）2020年老张的年龄是小王年龄的4倍，2021年老李的年龄是
小王年龄的3倍，已知老张比老李大12岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过140岁？
A.2020 B.2023
C.2026 D.2029
【练习2】（2023联考）桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中
都放有彩色珠子，共有45颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取1颗放入空杯，则只需调整
玻璃杯的位置，即可与最初完全一样。问桌上共有几只玻璃杯？
A.7 B.8
C.9 D.10
【练习3】（2019深圳）某市在工作日对本地机动车实行尾号限行，规则为：周一限行
“1”“9”，周二限行“2”“8”，周三限行“3”“7"，周四限行“4”“6”，周五限行“5”“0”。已知某年7
月份尾号“1”“9”和“5”“0”的限行天数一样多，则该年的7月1日是（ ）。
A.周六 B.周日
C.周一 D.周二
【练习4】（2024江苏）小丽和小宋拟从2023年12月1日(星期五)起实施健身计划。
小丽的计划是当天的日期为质数就跑步；小宋的计划是每周一、三、五跑步。按小丽和小宋
的计划，他们2023年12月同日跑步的天数是：
A.5 B.4
C.3 D.2
【练习5】（2014新疆）一条船因触礁船体破了一个洞，海水均匀地进入船内。发现船
漏时，船已经进了一些水。如果13人舀水，3小时可以舀完；如果6人舀水，10小时可以
舀完。如果在2小时内舀完水，最少需要多少人？（ ）
A．15 B．16
C．17 D．18
【练习6】（2023广东）某牧场的草每天都会缓慢生长。若放牧20头牛，则20天把牧
场的草吃完；若放牧30只羊，则30天会把草吃完。已知1头牛每天的食草量与2只羊相当，
如果同时放牧10头牛和10只羊，则（ ）天后牛羊就会把牧场的草吃完。
A.10 B.20
C.30 D.40
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【练习7】（2021北京）小张早上起床的时候，发现挂钟电池没电已经停止了，他把挂
钟换好电池，但未来得及调整时间就匆忙出门上班了，出门前挂钟显示时间是5点25分。
小张赶到单位时，刚好是8点整。中午12点小张从单位返回家中吃饭，12点半进门。假设
小张上下班路上花费时间相等，则小张进门时家里挂钟显示时间为：
A.9点25分 B.9点55分
C.10点25分 D.10点55分
【练习8】（2013河北）施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊
灯，根据施工要求，必须在距西墙375米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列(墙
角不能装灯)。该施工队至少需要安装多少盏吊灯？( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【练习9】（2019深圳）某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方
阵和一个彩旗方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方
阵的最外圈。已知彩旗方阵比鲜花方阵多28人，则新方阵的总人数为（ ）。
A.100 B.144
C.196 D.256
【练习10】（2014上海）甲、乙、丙三人打羽毛球，每一局由两人上场，另一人做裁
判。第一局抽签决定裁判，往后每一局的比赛在上一局的胜者和上一局的裁判之间进行。打
了若干场之后，甲胜了10局，则乙和丙各负了8局，则他们至少打了（）局
A.20 B.21
C.22 D.23
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参考答案
第一章 解题方法
第一节 代入排除法：DBBDB、B
第二节 数字特性法：DBADC、CAACB
第三节 方程法：DCBCC、DACBD
第四节 赋值法：CCCBC
第五节 枚举归纳法：CCB
第六节 十字交叉法：BACD
课后练习：DABAA、ADCCC、CD
第二章 比例问题
第一节 工程问题：BDAAD
第二节 经济利润问题：BCDCD、C
第三节 行程问题：BCABB、CCAD
第四节 溶液问题：BAB
课后练习：DCDDB、DBBCA
第三章 计数问题
第一节 容斥原理：CCCAB、AA
第二节 排列组合：CCDAD、CDCCA、BCCC
第三节 概率问题：ABAAC、C
课后练习：CAACC、DCDD
第四章 最值问题
第一节 最不利问题：CBDD
第二节 数列构造类：ABCB
课后练习：CDCB
第五章 几何问题
第一节 几何计算：DCCBD、CADBC、CCD
第二节 几何相关综合题目：BDAB
课后练习：BBAAB、DCD
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第六章 高频小题型
第一节 年龄问题：AAD
第二节 等差、等比数列：BBDB
第三节 星期日期问题：BABA
第四节 牛吃草问题：ACD
第五节 钟表问题：CBC
第六节 植树问题：BAB
第七节 方阵问题：CCA
第八节 比赛问题：CBBB
课后练习：DDDCB、CCBAB
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