文档内容
主题：最值+容斥原理
日期：2022.12.14最值+容斥原理（笔记）
第九章 最值问题
1.最不利构造
2.构造数列
3.多集合反向构造
【注意】第 11 节课，最值+容斥原理，最后加了年龄问题的小技巧。
1.最不利构造
最不利构造：
识别：至少（最少）……保证……
方法：答案=最不利情形+1
【引例 1】袋子中装有 5个红球，8个白球，10个黄球。问：
①至少取出（ ）个，才能保证有红球？
②至少取出（ ）个，才能保证至少有 3个同色的球？
③至少取出（ ）个，才能保证至少有 8个同色的球？
方法：要保证同种情况至少 n个，应每种情况各取（n－1）个（如果有不够
n－1的有多少取多少），最后再加 1。
【注意】
1.最值问题：不定方程、经济最值，重点是识别。
2.最不利构造：
（1）目的是有红球，最坏的情况是取出 8个白球，10个黄球，再取 1个一
定有红球，则（ ）=8+10+1=19。
（2）目的是有 3 个同色的球，最坏情况为 2 个红球，2 个白球，2 个黄球，
再取1个满足题干，（ ）=2+2+2+1=7。
（3）目的是 8 个同色的球，红色不足 7 个，全取；白球取 7 个，黄球取 7
个，再取1个满足题干，（ ）=5+7+7+1=20。
- 1 -【例 1】（2020 联考）某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季
花、牡丹花三种花卉各 20 盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由
工人搬运至布展区。问至少要搬出多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金
香？
A.20 盆 B.21盆
C.40 盆 D.41盆
【解析】1.出现“至少……保证……”，最不利构造问题。
方法一：所求=最不利+1=20月季花+20 牡丹花+1=41，对应D项。
方法二：猜题。观察选项，A 项+1=B 项，C 项+1=D 项，所求=最不利+1，排
除A、C 项；材料“各20盆”，B项少了，蒙 D项。【选D】
【例 2】（2017 辽宁）某高校举办一次读书会共有 37位同学报名参加，其中
中文、历史、哲学专业各有 10 位同学报名参加此次读书会，另外还有 4 位化学
专业学生和3位物理专业学生也报名参加此次读书会，那么一次至少选出（ ）
位学生，将能保证选出的学生中至少有 5位学生是同一专业的。
A.17 B.20
C.19 D.39
【解析】2.出现“至少……保证……”，最不利构造问题，目标是 5 位学生
同一专业，所求=最不利+1。
方法一：五类分别为 10、10、10、4、3，先给4个，够4个就给 4个，不够
4个全给，所求=4+4+4+4+3+1=20，对应B项。
方法二：猜题。B项=C项+1，猜B项。【选 B】
【题目溯源 1】（2012 国考）有 300 名求职者参加高端人才专场招聘会，其
中软件设计类、市场营销类、财务管理类和人力资源管理类分别有 100、80、70
和50人。问至少有多少人找到工作，才能保证一定有 70名找到工作的人专业相
同：
- 2 -A.71 B.119
C.258 D.277
【解析】题目溯源 1.资料分析最好做近五年，而数量题可以做近十年的。出
现“至少……保证……”，最不利构造问题，所求=最不利+1，目标是 70，够 69
给69，不够 69全给，所求=69+69+69+50+1=尾数8，对应C项。【选 C】
【例 3】（2016 山东）某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、
交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员
进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有 4名会员报的兴趣班完全相
同？
A.93 B.94
C.96 D.97
【解析】3.从 5科中选出1科，为 C（5,1）=5 种情况；从5科中选出 2科，
没有顺序的差别，为 C（5,2）=10种情况；从 5科中选出3科，为 C（5,3）=10
种情况；从 5 科中选出 4 科，为 C（5,4）=5 种情况；从 5 科中选出 5 科，为 C
（5,5）=1种情况，共 5+10+10+5+1=31种情况。出现“至少……保证……”，最
不利构造问题，所求=最不利+1，目标是至少 4 人相同，最不利是每种情况有 3
人相同，则所求=31*3+1=93+1=94，对应B项。【选 B】
【注意】改题：A、B、C、D、E 五个兴趣班，老年人能且只能报其中两项，
如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样
本中有4名会员报的兴趣班完全相同？
A.31 B.34
C.37 D.40
答：A、B、C、D、E五个选出两个，为C（5,2）=10种情况，所求=最不利+1，
最不利为每种情况有 3人相同，则所求=3*10+1=31，对应A项。
- 3 -【练习】（2023 上海-2022 年 12 月 11 日考试-资料分析）2018 年如果想调
查我国独角兽企业的经营状况，至少要抽取（ ）家公司才能保证至少有一家公
司估值不低于50亿美元。
A.27 B.59
C.178 D.191
【解析】练习.时间为 2018 年，出现“至少……保证……”，最不利构造问
题，所求=最不利+1。目标是至少有一家公司不低于50亿美元，最坏情况145+32，
所求=145+32+1=178，对应C项。【选C】
2.构造数列
二、构造数列：
特征：某个主体……最……
方法：
1、构造一个名次
2、求谁设谁
3、反向推其它
4、加和求解
【引例】4个人分 100个一元的硬币，每人都能分到钱，分到的钱均为整数
且互不相等。分到最多的人，最多分（ ）钱？
坑点：
1、主体个数是否相同！！！
2、答案是非整数时：反向取整
某个主体……最多……，向下取整
某个主体……最少……，向上取整
- 4 -【注意】特征：最……最……，第一个“最”确定主体，第二个“最”确定
方向。
【引例】4个人分 100个一元的硬币，每人都能分到钱，分到的钱均为整数
且互不相等。分到最多的人，最多分（ ）钱？
答：第一个“最”为某人，第二个“最”为多少。先构造一个名次，默认第
一名最多，设为 x，要想 x 多，则要让其他人少，向最少的看，则第四名为 1，
第三名为2，第二名为 3，x+3+2+1=100→x=94。
【改引例】4个人分 100个一元的硬币，每人都能分到钱，分到的钱均为整
数且互不相等。分到最多的人，最少分（ ）钱？
答：先构造一个名次，第一名最多，设为 x，要想 x 少，则要让其他人多，
向最多的看。第二名为 x-1，第三名为x-2，第三名为 x-3，x+x-1+x-2+x-3=100，
4x=106，x=26.25，反向取整，x取27（如果问最多，则 x取26）。
【例 4】（2022 上海）某单位进行了一次绩效考评打分，满分为 100 分。有
5 位员工的平均分为 90 分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得
分为77 分，那么排第二名的员工至少得（ ）分。（员工分数取整数）
A.90 B.92
C.94 D.96
【解析】4.问第二名至少，构造数列问题。总分=5*90=450，圈出“各不相
同”。第五名为77，设第二名为 x，要想少，其他人要多，则第一名为 100，第三
名为 x-1，第四名为 x-2，100+x+x-1+x-2+77=450，3x=276，解得 x=92，对应 B
项。【选B】
【例 5】（2020 联考）从某物流园区开出 6 辆货车，这 6 辆货车的平均装货
量为62 吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了 71吨，最
轻的装载了54吨。问这 6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？
A.59 B.60
C.61 D.62
- 5 -【解析】5.问这 6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨，构造数列问
题，先构造名次，6 辆货车的平均装货量为 62吨，则总重量=6*62，每辆货车载
重量各不相同且均为整数，设第三名为 x，要想第三名少，其他要尽可能的多，
已知第一名为71，则第二名为 70，第三名为 x-1，第四名为x-2，则 71+70+x+x-
1+x-2+54=6*62，3x=180，解得x=60，对应 B项。【选B】
【例 6】（2019 江西法检）某高校计划招聘 81 名博士，拟分配到 13 个不同
的院系，假定院系 A分得的博士人数比其他院系都多，那么院系 A分得的博士人
数至少有多少名？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】6.院系 A 最多，问院系 A 分得的博士人数至少，即问最多……最
少……，构造数列问题。构造名次，1～13；设院系 A为x，要想院系 A最少，其
他要尽可能的多，未要求各不相同，可以相同，则第二名～第十三名均为 x-1，
x+12*（x-1）=81，13x-12=81，解得x=7+，问最少向上取整（x取8），对应 C项。
【选C】
3.多集合反向构造
1.题型特征：都满足的最少/至少
2.方法：反向→加和→作差
1.题型特征：都满足的最少/至少
2.方法：反向→加和→作差
【注意】引例.有 100 人，行测学习中：学习言语 90 人，学习判断 88 人，
学习资料92人，学习常识 80人，学习数量 60人，问“都学”的至少有多少人？
答：“都学”至多有 60人。（1）反向；不学言语为 10人、不学判断为 12人，
不学资料为8人，不学常识为 20人，不学数量为 40人；（2）加和：不学的最多
有10+12+8+20+40=90；（3）作差：100-90=10，即“都学”至少有10 人。
- 6 -【例 7】（2022 江苏）某机构对全运会收视情况进行调查，在 1000 名受访者
中，观看过乒乓球比赛的占 87%，观看过跳水比赛的占 75%，观看过田径比赛的
占69%。这 1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310 人 B.440人
C.620 人 D.690人
【解析】7.问都观看过的至少有多少人，观看过乒乓球比赛的有 870人，观
看过跳水比赛的有 750 人，观看过田径比赛的有 69 人。（1）反向；没看过乒乓
球的有 130 人，没看过跳水的有 250 人，没看过田径比赛的有 310 人；（2）加
和：130+250+31=690；（3）作差：1000-690=310，对应A项。【选A】
【例 8】（2021 广东选调）某单位在网上办公系统传阅了 15份文件，甲阅读
了9份，乙阅读了 12份，丙阅读了10份，则甲、乙、丙三人共同阅读过的文件
至少有（ ）份。
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】8.问“都”至少。（1）反向：甲没阅读 6份，乙没阅读 3份，丙没
阅读5份；（2）加和：6+3+5=14；（3）作差：15-14=1，对应B项。【选 B】
【答案汇总】1-5：DBBBB；6-8：CAB
第十章 容斥原理
1.两集合
2.三集合
3.画图法
4.容斥原理最值
【注意】容斥原理和不定方程融合。
1.两集合
- 7 -【注意】公式：A+B-A∩B=总-都不。
【例 1】（2022 广东）某单位计划从全部 80 名员工中挑选专项工作组成员，
要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有 40 人有基
层经历，有 46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书
的有10 人。那么能够进入工作组的员工有（ ）人。
A.16 B.40
C.46 D.54
【解析】1.问 A∩B，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有 10 人，
即都不=10，公式：A+B-A∩B=总-都不。代入数据：40+46-x=80-10，解得 x=16，
对应A项。【选 A】
【例 2】（2020 联考）学校有 300 个学生选择参加地理兴趣小组、生物兴趣
小组或者两个小组同时参加，如果 80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生
物兴趣小组。问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少？
A.240 B.150
C.90 D.60
【解析】2.问同时参加地理和生物兴趣小组的学生人数是多少，即求A∩B。
两集合容斥问题，公式：A+B-A∩B=总-都不。代入数据：240+150-x=300-0，解
得x=90，对应C项。【选 C】
【例 3】（2022 天津）某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人
数占全班的 14%，物理及格的人数比化学及格的人数多 10 人，且化学及格的人
数占全班人数的 60%。已知全班人数不超过 70 人，问物理及格的人中化学也及
- 8 -格的有多少人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】3.问物理及格的人中化学也及格的有多少人，即求 A∩B。题干可
知，都不/总人数=14/100=7/50，材料可知全班不超过 70人，则总人数为 50，都
不为 7 让你，化学及格为 30 人，物理及格为 40 人，两集合容斥问题，公式：
A+B-A∩B=总-都不。代入数据：40+30-A∩B=50-7，解得 A∩B=27，对应 C 项。
【选C】
2.三集合
【注意】三集合：
1.识别：出现 A∩B、A∩C、B∩C。
2.三集合标准型公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不。
【例 4】（2018 重庆选调）一社区居委会为丰富居民的业余生活，专门设立
了多个俱乐部邀请居民自愿参加。统计结果如下：22 人参加了棋类俱乐部、27
人参加了音乐俱乐部、50人参加了戏剧俱乐部、10人参加了棋类和音乐俱乐部、
14 人参加了音乐和戏剧俱乐部、10 人参加了戏剧和棋类俱乐部、8 人参加了这
三个俱乐部。那么参与活动的居民人数是（ ）。
A.57 B.68
C.73 D.84
【解析】4.题干可知，A=10，B=27，C=50,A∩B=10，B∩C=14，A∩C=10，∩
- 9 -B∩C=8，用三集合标准型公式，A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不，代入
数据：22+27+50-10-14-10+8=总数-0，总数=73，对应C项。【选C】
【注意】“参加活动的人数”的里面“都不”为 0。
【例 5】（2020 新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅 A期刊的有 125人，
订阅B期刊的有 126 人，订阅C期刊的有135 人，订阅A、B期刊的有 57人，订
阅A、C期刊的有73 人，订阅 3种期刊的有 31人，此外，还有17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
A.57 B.64
C.69 D.78
【解析】5.题干可知，A=125，B=126，C=135，A∩B=57，A∩C=73，A∩B∩
C=31，都不=17，用三集合标准型公式，A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都
不，代入数据：125+126+135-57-73-x+31=240-17，x=尾数4，对应 B 项。【选 B】
【注意】三集合非标准型：
1.前提：出现满足两个条件（m、n、p）。q为满足三个条件。
2.注：满足两个条件=只满足两个条件。
3.A+B+C-满足两项-2*满足三项=总-都不满足个数。
4.三集合标准型和非标准型区分：
（1）标准型：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不。
（2）标准型判定：分别给出两两集合的交集（既 A又B、既A又 C、既B又
- 10 -C）。
【例 5】（2020 新疆）某单位共有 240名员工，其中订阅 A期刊的有 125人，
订阅B期刊的有 126 人，订阅C期刊的有135 人，订阅A、B期刊的有 57人，订
阅A、C期刊的有73 人，订阅 3种期刊的有 31人，此外，还有17人没有订阅这
三种期刊中的任何一种。问订阅 B、C期刊的有多少人？
（3）非标准型：A+B+C-满足两项-2*满足三项=总-都不。
（4）非标准型判定：给出只满足两种（满足两种）。
【例 6】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数 40人，其中参加数学竞赛的有
22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的
有24人，参加三科竞赛的有多少人？
【例 6】（2019 河北）某班参加学科竞赛人数 40人，其中参加数学竞赛的有
22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的
有24人，参加三科竞赛的有多少人？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】6.出现满足两项，用三集合非标准公式。A+B+C-满足两项-2*满足
三项=总数-都不，设满足三项为 x，代入数据：22+27+25-24-2x=40-x，解得x=5，
对应C项。【选 C】
【例 7】（2022 北京）单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地
学习，要求每名职工至少去 1个基地。已知有 48人去了甲基地，有 42人未去乙
基地，去丙基地的人中，去 1个、2个、3个基地的人数比为 3：2：1。如仅去 2
个基地和去3个基地的职工分别有 x人和y 人，则x和y的关系为：
A.x=4y+6 B.x=4y-6
C.x=3y+6 D.x=3y-6
【解析】7.仅去 2 个基地和去 3 个基地，出现满足两个条件和满足三个条
件，用三集合非标准公式。A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不，去丙基地
- 11 -的人中，去1个、2 个、3个基地的人数比为 3：2：1，去3个基地的为 y，则丙
=3y+2y+y=6y，则代入数据：48+（总-42）+6y-x-2y=总-0→x=4y+6，对应 A 项。
【选A】
容斥原理的方法选择
1.公式法：
题目中所给所求都是公式中的一部分（清晰明了，快准狠）
2.画图法：
题目中所给所求公式里没有，或者公式法不好用（往往是出现只满足一个条
件）
特征：只参加 A；参加A但不参加B；或者缺少代公式必要的数据
画图法：三步走
第一步，画圈圈
第二步，标数字（从里到外，注意去重）
第三步，列算式
【注意】
1.只参加A为②；参加 A但不参加B为②。
2.每个封闭区域只能标一个数。如：满足 A的有30人，A∩B∩C=2，A∩B=8，
标法如下图。
- 12 -3.画图法
【例 8】（2017 广州）某班共有 46 人参加了一次数学测验，其中 35 人做对
了第一题，28人做对了第二题，有 3人都做错了这两道题，那么该班有（ ）
人只做对了第二题。
A.8 B.11
C.15 D.18
【解析】8.方法一：画图分析，标数据如图，根据两集合公式列式：35+28-
A∩B=46-3，解得A∩B=20，标出数据，只做对第二题为 28-20=8，对应 A项。【选
A】
方法二：问红色区域部分，标出蓝色和绿色数据，46-蓝色-绿色=红色，代
入数据：46-3-35=46-38=8，对应A项。【选 A】
- 13 -【例 9】（2019 事业单位、2014国家）工厂组织职工参加周末公益活动，有
80%的职工报名参加，报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为
2：1，两天的活动都报名参加的为只报名参加周日活动的人数的 50%，问未报名
参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A.20% B.30%
C.40% D.50%
【解析】9.出现“只”，画图求解。给比例求比例，赋值法。根据题干，设
两天都参加为 1，则只周日为 2，则周日为 3，周六：周日=2：1，则周六为 6，
因此只周六为 5，共 5+1+2=8 人，对应 80%，则未参加为 2 人，所求=2/5=40%，
对应C项。【选 C】
【例 10】（2018 联考）联欢会上，有24 人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃
水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有 12人，既吃冰激凌又吃水果的有 16人，既
吃蛋糕又吃水果的有 18 人，三样都吃的则有 6 人。假设所有人都吃了东西，那
么只吃一样东西的人数是多少？
A.12 B.18
C.24 D.32
【解析】10.出现“只”，画图分析。根据题干，从内往外标数据，三样都吃
的有 6 人，只吃冰激凌和蛋糕为 6 人，只吃冰激凌和水果为 10 人，只吃蛋糕和
水果为12人，则只吃冰激凌为 2人，只吃蛋糕为 6人，只吃水果为 10人，所求
=2+6+10=18，对应 B项。【选B】
- 14 -4.容斥原理最值
【注意】容斥原理+不定方程——此消彼长。
【例 11】（2019 青海）一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
求：这个班最多有多少人？
A.45 B.51
C.53 D.55
【解析】11.三集合标准公式，A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总-都不，
代入数据：23+21+20-8-6-10+A∩B∩C=总数-5，40+x=总数-5→总数=45+x，要想
总数最多，则让 x 最多，因为 A∩B 为 8 人，A∩C 为 6 人，B∩C 为 10 人，则 x
最多为6，总数最多为 45+6=51，对应B项。【选 B】
【答案汇总】1-5：ACCCB；6-10：CAACB；11：B
【注意】知识点增加：年龄问题平方数巧解。总结 2010～2021 年真题，总
结：出现“年龄的平方等于当年的年份”，只考查 442=1936和452=2025 这两个年
份。
- 15 -【例 1】（2010 国考）一位长寿老人生于 19 世纪 90 年代，有一年他发现自
己的年龄的平方刚好等于当年的年份。问这位老人出生于哪一年？
A.1894 年 B.1892年
C.1898 年 D.1896年
【解析】1.19 世纪90年代为189X年，读问题发现，考查涉及年龄平方数，
只考查 442=1936 和 452=2025 这两个年份。出生于：1936-44=1892，对应 B 项。
【选B】
【注意】若是 452=2025，则2025-45=1980，非19世纪90年代。
【例 2】（2012 浙江）有一个上世纪 80年代出生的人，如果他能活到 80岁，
那么有一年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于哪一年：
A.1980 年 B.1983年
C.1986 年 D.1989年
【解析】2.上世纪 80 年代为 198X 年，读问题发现，考查涉及年龄平方数，
只有442=1936和452=2025这两个年份在2000年附近。在198X年，代入452=2025，
所求=2025-45=1980，对应A项。【选A】
【例 3】（2017 江西）有一个20世纪80年代出生的人，如果他能活到 80岁，
那么有一年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。此人生于：
A.1985 年 B.1984年
C.1983 年 D.1980年
【解析】3.20 世纪 80 年代，为 198X 年，读问题发现，涉及年龄平方数，
452=2025，所求=2025-45=1980，对应D项。【选 D】
【例 4】（2017 陕西）今年是鸡年，公历年数为2017。小王发现，在未来十
年内的某一年，他年龄的平方数正好是那年的公历年数，则小王的属相为（ ）
A.牛 B.虎
- 16 -C.兔 D.龙
E.蛇 F.马
G.羊 H.猴
【解析】4.读问题，涉及年龄平方数，452=2025，45 岁时为 2025 年，已知
48岁为属相年，即 2028年。因为2017年为鸡年，则 2029年为鸡年，则 2028年
为猴年，对应H。【选 H】
【注意】子（鼠）、丑（牛）、寅（虎）、卯（兔）、辰（龙）、巳（蛇）、午（马）、
未（羊）、申（猴）、酉（鸡）、戌（狗）、亥（猪）。
【例 5】（2022 天津）,有一个20世纪八九十年代出生的人，在 21世纪，恰
好有一年，他年龄的平方数等于那一年的年份。这个人是哪年出生的？
A.1995 B.1990
C.1985 D.1980
【解析】5.读问题，涉及年龄平方数，20世纪八九十年代，为198X 或199X
年，只能是452=2025 满足，所求=2025-45=1980，对应D项。【选D】
【注意】442=1936——1892年，452=2025——1980年。
【答案汇总】1-5：BADHD
- 17 -
